Im Bereich des Quantencomputing werden Eigenschaften quantenmechanischer Systeme genutzt, um schnellere Berechnungen durchzuführen oder bessere Lösungen bei Optimizerungsproblemen zu finden. Im Folgenden werden zwei Beispiele aus dem Finanzbereich vorgestellt, bei denen Vorteile durch Quantencomputing möglich sind. Das erste Beispiel beruhrt auf einem Risikomodell, das die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen ermöglicht. Hierbei wird eine Möglichkeit vorgestellt, wie die Einflussstärken einzelner Parameter des Modells mittels Quantenalgorithmen (Grover-Algorithmus und Quanten-Amplituden-Schätzung) effizienter ermittelt werden können. Als zweites Beispiel wird das Portfoliomanagement betrachtet. Dabei sollen Geldmittel in verschiedene Anlagen verteilt werden, so dass bei einem erwarteten Gewinn die Volatilität möglichst gering ist. Dieses Optimierungsproblem kann als QUBO (Quadratic Unconstrained Binary Optimization) formuliert werden und damit können mittels Quanten-Annealern optimale Lösungen möglicherweise effizenter ermittelt werden.
Im Bereich des Quantencomputing werden Eigenschaften quantenmechanischer Systeme genutzt, um schnellere Berechnungen durchzuführen oder bessere Lösungen bei Optimizerungsproblemen zu finden. Im Folgenden werden zwei Beispiele aus dem Finanzbereich vorgestellt, bei denen Vorteile durch Quantencomputing möglich sind. Das erste Beispiel beruhrt auf einem Risikomodell, das die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen ermöglicht. Hierbei wird eine Möglichkeit vorgestellt, wie die Einflussstärken einzelner Parameter des Modells mittels Quantenalgorithmen (Grover-Algorithmus und Quanten-Amplituden-Schätzung) effizienter ermittelt werden können. Als zweites Beispiel wird das Portfoliomanagement betrachtet. Dabei sollen Geldmittel in verschiedene Anlagen verteilt werden, so dass bei einem erwarteten Gewinn die Volatilität möglichst gering ist. Dieses Optimierungsproblem kann als QUBO (Quadratic Unconstrained Binary Optimization) formuliert werden und damit können mittels Quanten-Annealern optimale Lösungen möglicherweise effizenter ermittelt werden.
Quantencomputer besitzen das Potenzial, um in naher Zukunft Probleme, die mit herkömmlichen Computern und Supercomputern nicht bewältigbar sind, zu lösen. Bisher ist die Umsetzung dieser Technologie in der Industrie noch in der Anfangsphase, wodurch der Einsatz von Quantencomputern bisher nur für Forschungsprojekte möglich ist. Dennoch ermöglichen es große IT-Unternehmen, interessierten Personen einen indirekten Zugang zu Quantencomputern über deren Services. Da die Technologien und Konzepte, auf denen Quantencomputern basieren, sehr umfangreich und komplex sind, ist es für interessierte Personen, die sich in diese neue Materie vertiefen wollen, oft schwierig, die Hauptkonzepte, die benötigt werden, um Quantencomputern zu verstehen, zu identifizieren und somit ein Grundverständnis von Quantencomputern zu erlangen. Aus diesem Grund besteht der Hauptzweck dieser Arbeit darin, die benötigten Grundkonzepte und Themen auf denen Quantencomputer aufbauen, zu identifizieren und auszuarbeiten. Hierfür werden die Konzepte von bekannten Lehrbüchern im Bereich Quantencomputer herangezogen und systematisch nach deren Wichtigkeit für das Verständnis von Quantencomputern gegliedert, aufgelistet und ausgearbeitet. Für den praktischen Teil der Arbeit werden zwei Quantenbeispiele anhand des zuvor erarbeiteten Wissens beschrieben und erweitert. Die zuvor identifizierten und beschriebenen Grundkonzepte werden anschließend grafisch mittels einer Concept-Map dargestellt, diese bietet einen systematischen Überblick über die einzelnen Konzepte und deren Abhängigkeiten zueinander. Der Vorteil in der Darstellung von Wissen mittels einer Concept-Map besteht darin, dass die Visualisierung der Verbindungen zwischen den einzelnen Konzepten hervorgehoben wird. Zusätzlich wird auf Basis des erarbeiteten Wissens ein Beispiel-Curriculum für eine Lehrveranstaltung, die das Ziel hat, die Grundkonzepte von Quantencomputern zu vermitteln, erstellt. Das Ergebnis dieser Arbeit zeigt, dass die Konzepte, auf denen Quantencomputer aufbauen, in drei Grundkompetenzen unterteilt werden können. Zum einen die Kompetenz der linearen Algebra, in dem die meisten Konzepte und Themen bereits in einem vorangegangenen Studium behandelt wurden. Zum anderen die der Informatik-Konzepte, wobei hier wie bei der linearen Algebra das Verständnis im Bereich der Programmierung angenommen werden kann. Die Kompetenz der Quantenmechanik stützt sich auf die Konzepte, die von Quantencomputern genutzt wird und auf die Kompetenzen und das Wissen der beiden anderen Kompetenzen. Zusammenfassend zeigt diese Arbeit, dass für das reine Verständnis von Quantencomputern und dem Replizieren von bereits erstellten Quantenalgorithmen eine große Anzahl an unterschiedlichen Konzepten benötigt wird. Für die Fähigkeit der Entwicklung von eigenen Quantenalgorithmen reicht das erarbeitet Wissen nicht aus, sondern wird als Grundwissen angesehen.
Quantencomputer stellen eine der nachsten technologischen Entwicklungsstufen der modernen
Computerwissenschaften dar. In der vorliegenden Arbeit sollen einige Aspekte
vorgestellt und untersucht werden, die bei der Implementierung von Quantenoperationen (als Bausteine von Quantenalgorithmen) und der Simulation von Quantensystemen relevant sind.
Es werden ausgepragte numerischen Untersuchungen zur Implementierung verschiedenster Quantenoperationen auf einer Reihe von Systemen (NMR-Systeme, Josephson-Elemente, u.a. ) vorgestellt.
Um solche Operationen (beispielsweise QuantenFourierTransformationen, SWAP- oder vielfach-kontrollierte NOT-Operationen)
auch noch auf groseren Systemen untersuchen zu konnen, wurde ein parallelisiertes C++-Programm entwickelt und optimiert.
Neben einer hohen Qualitat der Operationen wird ein besonderes Augenmerk auf die minimale
Implementierungsdauer gelegt.
Die minimalen Zeiten stellen sowohl fur den Experimentator sowie fur den Mathematiker eine interessante Grose dar. Der Erste
versucht durch die schnelle Umsetzungen dissipative Effekte zu minimieren,
wahrend der Zweite aus dieser Kenngrose Ruckschlusse uber die analytischen Losungen ziehen kann.
Dissipative Effekte konnen jedoch auch direkt in die Optimierung mit einbezogen werden.
Die so erhaltenen Losungen sind sowohl relaxations- als auch zeitoptimiert.
Fur Systeme mit 3 linear gekoppelten Spin-1/2-Qubits lassen sich fur die Simulation indirekter Ising-Kopplungen
oder trilinearer Wechselwirkungen auch analytische Losungen finden.
Weiter wurde untersucht, in wie weit sich ein erschopfender Satz von einfachen Kriterien
aufstellen lasst, um Systeme zu identifizieren deren Dynamik sich durch lokale Operationen invertieren lasst.
Als Letztes wurde ein vollstandiger Quantenalgorithmus zur Unterscheidung von
zwei Knoten auf einem Spin-1/2-System implementiert.
Die notwendigen Quantenoperation wurden in diesem Fall analytisch berechnet.
Die erhaltenen Resultate weisen eine hohe Ubereinstimmung mit theoretischen Werten auf.
In dieser Arbeit werden Algorithmen zur Lösung zahlentheoretischer Probleme für klassische Computer und Quantencomputer entwickelt und analysiert sowie ihre Auswirkungen auf Public-Key-Kryptosysteme untersucht. Im Jahr 1994 veröffentliche Shor einen Quantenalgorithmus [Shor, 1994], der das Periodengitter einer gegebenen Funktion in Quanten-Polynomzeit bestimmt. Mit diesem Algorithmus läßt sich das Faktorisierungs- und das Diskreter-Logarithmus-Problems in endlichen abelschen Gruppen in Quanten-Polynomzeit lösen. Dadurch werden die meisten heutzutage verwendeten Public-Key-Kryptoverfahren unsicher, sollten hinreichend große Quantencomputer eines Tages gebaut werden können. Der erste Quantencomputer wurde 1998 gebaut [Chuang/Vandersypen/Zhou/Leung/Lloyd, 1998]. Er bestand aus zwei Qubits. Der größte Quantencomputer, der bis heute gebaut wurde, besteht aus nur sieben Qubits [Vandersypen/Steffen/Breyta/Yannoni/Sherwood/Chuang, 2001]. Es hat sich herausgestellt, daß das Bauen von großen Quantencomputern ein extrem schwieriges Problem ist. Aus diesem Grund kann davon ausgegangen werden, daß die Größe der Quantencomputer, d.h. die Anzahl der Qubits, aus denen ein Quantencomputer besteht, nur langsam wachsen wird. Deshalb ist es von Interesse, Shors Quantenalgorithmus an verschiedene abelsche Gruppen sowie gruppenähnliche Strukturen zu adaptieren und ihre genaue Komplexität zu untersuchen, um daraus die Bedrohungen für die betroffenen Kryptosysteme genau zu bestimmen. In dieser Arbeit werden Quantenalgorithmen zur Lösung des Ordnungsproblems und des DL-Problems in der Klassengruppe der Ideale eines imaginär-quadratischen Zahlkörpers angegeben und ihre Komplexität, d.h. die Anzahl der Qubits und der elementaren Quantenoperationen, bestimmt. Darüberhinaus werden Algorithmen zur Bestimmung des Regulators und zur Lösung des Hauptidealproblems und des erweiterten Diskreter-Logarithmus-Problems in reell-quadratischen Zahlkörpern präsentiert. Shors Algorithmus wird dabei auf Funktionen angewendet, die nicht injektiv innerhalb einer Periode sind. Auch in diesem Fall wird die Komplexität der Algorithmen genau bestimmt. Im Falle von Zahlkörpern eines beliebigen Grades wird eine weitere Modifikation von Shors Algorithmus entwickelt: Es wird das Periodengitter einer Funktion bestimmt, deren Periodengitter irrational ist. Dieser Algorithmus wird benutzt, um die Einheitengruppe eines beliebigen endlich-dimensionalen Zahlkörpers zu berechnen. Als nächstes werden die Auswirkungen von Quantenalgorithmen auf die Sicherheit von Public-Key-Kryptosystemen untersucht. Es wird ein neuer Sicherheitsbegriff eingeführt. Die Sicherheit zweier Kryptosysteme wird als gleich definiert, wenn die Anzahl der Qubits zum Brechen dieser Kryptosysteme gleich ist. Basierend auf der neuen Sicherheitsdefinition wird die Geschwindigkeit und die Schlüsselgröße von einigen Kryptosystemen verglichen. Im letzten Kapitel wird ein deterministischer klassischer Algorithmus zur Berechnung der Struktur einer endlichen abelschen Gruppe aus einem Erzeugendensystem präsentiert, dessen Laufzeit nur linear von der Anzahl der gegebenen Erzeuger abhängt und dessen Speicherplatzkomplexität unabhängig von der Anzahl der gegebenen Erzeuger ist. Das stellt eine exponentielle Verbesserung zu früheren Algorithmen dar, bei denen sowohl die Laufzeit als auch die Speicherplatzkomplexität exponentiell von der Anzahl der Erzeuger im gegebenen Erzeugendensystem abhängt [Buchmann/Jacobson/Teske, 1997].
Quantencomputer bieten die Möglichkeit, einige Probleme ezienter zu lösen als klassische Computer. Im Supply Chain Management (SCM) und in der Logistik gibt es viele Probleme, die hohen Rechenaufwand erfordern. Diese Arbeit soll die Umsetzbarkeit von Quantenalgorithmen in diesen Bereichen untersuchen und deren Potential bewerten. Der Fokus liegt auf Optimierungsproblemen, die als Quadratic Unconstrained Binary Optimization Probleme formuliert werden können, wie z.B. Traveling Salesman Probleme oder Rucksack-Probleme. Insbesondere sollen Optimierungsprobleme betrachtet werden, die in dem Bereich der Bedarfsprognose im Supply Chain Management auftreten. Die Lösung dieser Probleme soll mit klassischen Algorithmen auf herkömmlichen Computern und auch auf einem Quantenannealer getestet und bewertet werden. Ziel ist es, die Umsetzbarkeit in SCM-Prozessen festzustellen. Zur Validierung werden Problemstellungen aus dem Alltag im Supply Chain Management von ALDI SÜD Dienstleistungs-SE & Co. oHG betrachtet, um einen praktischen Bezug herzustellen.
Bei der Berechnung großer Probleminstanzen stoßen klassische Rechner bereits heute an ihre Grenzen. Die wachsende Komplexität der Aufgabenstellungen erfordert daher die Erforschung neuer Rechnerarchitekturen. Es zeigen sich deutliche Hinweise, dass die Ausnutzung quantenmechanischer Prinzipien einen entscheidenden Vorteil gegenüber klassischen Systemen liefert: Quantenbits können sich zugleich im Zustand „0“ und „1“ befinden und somit beide Werte simultan manipuliert werden. Durch diese Quantenparallelität weisen Quantenalgorithmen eine geringere Laufzeit als ihre klassischen Gegenstücke auf. Von einer praktischen Nutzbarkeit sind aktuelle Realisierungen des universellen Quantencomputers jedoch weit entfernt. Von der Firma D-Wave Systems Inc. ist hingegen ein sogenannter adiabatischer Quanten-Annealer kommerziell verfügbar. Durch die Transformation von Quantensystemen können damit spezielle Optimierungsprobleme gelöst werden. Deren eingeschränkte Struktur erschwert jedoch die Übertragung von Anwendungsproblemen. Betrachtet wurden dazu zum einen ein vereinfachtes Modell einer Satellitenmissionsplanung und zum anderen ein Luftverkehrsmanagementproblem aus einem Kooperationsprojekt mit der NASA. Zu letzterem wurden bereits erfolgreich Berechnungen auf der Maschine durchgeführt. Obwohl die Überlegenheit des adiabatischen Quanten-Annealing noch nicht zweifelsfrei nachgewiesen werden konnte, zeigt dies die Lösbarkeit von Problemen der Luft- und Raumfahrt.
Quantencomputer bieten die Möglichkeit, einige Probleme ezienter zu lösen als klassische Computer. Im Supply Chain Management (SCM) und in der Logistik gibt es viele Probleme, die hohen Rechenaufwand erfordern. Diese Arbeit soll die Umsetzbarkeit von Quantenalgorithmen in diesen Bereichen untersuchen und deren Potential bewerten. Der Fokus liegt auf Optimierungsproblemen, die als Quadratic Unconstrained Binary Optimization Probleme formuliert werden können, wie z.B. Traveling Salesman Probleme oder Rucksack-Probleme. Insbesondere sollen Optimierungsprobleme betrachtet werden, die in dem Bereich der Bedarfsprognose im Supply Chain Management auftreten. Die Lösung dieser Probleme soll mit klassischen Algorithmen auf herkömmlichen Computern und auch auf einem Quantenannealer getestet und bewertet werden. Ziel ist es, die Umsetzbarkeit in SCM-Prozessen festzustellen. Zur Validierung werden Problemstellungen aus dem Alltag im Supply Chain Management von ALDI SÜD Dienstleistungs-SE & Co. oHG betrachtet, um einen praktischen Bezug herzustellen.