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Master equation of the Lindblad form based on a microscopic Hamiltonian through stochastic limit approximation : For rapidly decaying systems (Analytical Study of Quantum Information and Related Fields)

Kazuya Yuasa, Gen Kimura, Kentaro Imafuku

Published Apr 1, 2001• 0 citations
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Master equation of the Lindblad form based on a microscopic Hamiltonian through stochastic limit approximation : For rapidly decaying systems (Analytical Study of Quantum Information and Related Fields)

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Master equation of the Lindblad form based on amicroscopic Hamiltonian through stochastic limit approximation -For rapidly decaying systems -Accardi et al. の確率極限近似 (stochastic limit approximation) $[7,8]$ は, 全体系から散逸ダイナ ミクスを引き出す有力な手法である.それが扱うのは, 次のような全体系 Hamiltonian である: $H_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{t}}=H_{S}+\lambda V+H_{B}$ .(1) 例えぼ, 電磁場 $H_{B}$ 中の原子 $Hs$ を考えよ.量子光学においてしぼしば興味のある状況である. そ の場合, 電磁相互作用 $\lambda V$ は十分弱く $(\lambda\ll 1)$ , 摂動計算は十分に良い近似を与えるであろう. 確 率極限近似は, 同時に時間の粗視化 $t\mapsto\tau=\lambda^{2}t$ を行い, 弱結合極限 (weak coupling limit) $\lambdaarrow 0$ ( $\tau$ 固定) によって摂動の最低次の寄与を抽出することで, 最小限ではあるが十分に興味深い散逸ダ イナミクスを導く方法である [9-11].しかしながら, Hamiltonian (1) {?}こ確率極限近似を適用して導かれるダイナミクスは, 少々状況 が限定されている.一般に, 緩和定数 $\gamma$ に対する相互作用の最低次の寄与は $\lambda^{2}$ に比例し, 注目系$Hs$ の特徴的振動数 $\Omega$ に比べて $\gamma<<\Omega$ .すなわち, 弱い散逸 ( $\mathrm{W}\mathrm{D}$ :Weak Damping) が導かれる のである.量子光学はこの状況にあたる.これに比べて緩和が速い $\gamma\sim\Omega$ という状況 ( $\mathrm{R}\mathrm{D}$ :Rapid Decay) を導こうと思ったら, 別の扱いが必要なのである.また, $\mathrm{R}\mathrm{D}$ の取り扱いは, $\mathrm{W}\mathrm{D}$ に比べ て少々注意を要することが指摘されている $[2,12]$ .$\mathrm{W}\mathrm{D}$ においては通常 Lindblad 型マスター方程 式 [13] が導かれている $[2,6]$ -方で, $\mathrm{R}\mathrm{D}$ の状況において導出されるマスタ -方程式は, しぼしぼ Lindblad 型でないのである.そのため, $\mathrm{R}\mathrm{D}$ のマスター方程式はしぼしぼ, 確率の正値性が保証さ れないという困難を伴うことになる $[2,12]$ .1

数理解析研究所講究録•Apr 1, 2001•0 citations

Stochastic limit approximation for rapidly decaying systems

Gen Kimura, Kazuya Yuasa, Kentaro Imafuku

The stochastic limit approximation method for ``rapid'' decay is presented, where the damping rate $\ensuremath{\gamma}$ is comparable to the system frequency $\ensuremath{\Omega},$ i.e., $\ensuremath{\gamma}\ensuremath{\sim}\ensuremath{\Omega},$ whereas the usual stochastic limit approximation is applied only to the weak damping situation $\ensuremath{\gamma}\ensuremath{\ll}\ensuremath{\Omega}.$ The key formulas for rapid decay are very similar to those for weak damping, but the dynamics are quite different. From a microscopic Hamiltonian, the spin-boson model, a Bloch equation containing two independent time scales is derived. This is a useful method to extract the minimal dissipative dynamics at high temperature ${k}_{B}T\ensuremath{\gg}\ensuremath{\Elzxh}\ensuremath{\Omega}$ and the master equations obtained are of the Lindblad form unlike that of Caldeira and Leggett. The validity of the method is confirmed by comparing the master equation derived through this method with the exact one.

arXiv:quant-ph/0007007•Physical Review A•Jan 10, 2001•7 citations
Master equation of the Lindblad form based on amicroscopic Hamiltonian through stochastic limit approximation -For rapidly decaying systems -Accardi et al. の確率極限近似 (stochastic limit approximation) [7,8][7,8][7,8] は, 全体系から散逸ダイナ ミクスを引き出す有力な手法である.それが扱うのは, 次のような全体系 Hamiltonian である: Htot=HS+λV+HBH_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{t}}=H_{S}+\lambda V+H_{B}Htot​=HS​+λV+HB​ .(1) 例えぼ, 電磁場 HBH_{B}HB​ 中の原子 HsHsHs を考えよ.量子光学においてしぼしば興味のある状況である. そ の場合, 電磁相互作用 λV\lambda VλV は十分弱く (λ≪1)(\lambda\ll 1)(λ≪1) , 摂動計算は十分に良い近似を与えるであろう. 確 率極限近似は, 同時に時間の粗視化 t↦τ=λ2tt\mapsto\tau=\lambda^{2}tt↦τ=λ2t を行い, 弱結合極限 (weak coupling limit) $\lambdaarrow 0$ ( τ\tauτ 固定) によって摂動の最低次の寄与を抽出することで, 最小限ではあるが十分に興味深い散逸ダ イナミクスを導く方法である [9-11].しかしながら, Hamiltonian (1) {?}こ確率極限近似を適用して導かれるダイナミクスは, 少々状況 が限定されている.一般に, 緩和定数 γ\gammaγ に対する相互作用の最低次の寄与は λ2\lambda^{2}λ2 に比例し, 注目系HsHsHs の特徴的振動数 Ω\OmegaΩ に比べて γ<<Ω\gamma<<\Omegaγ<<Ω .すなわち, 弱い散逸 ( WD\mathrm{W}\mathrm{D}WD :Weak Damping) が導かれる のである.量子光学はこの状況にあたる.これに比べて緩和が速い γ∼Ω\gamma\sim\Omegaγ∼Ω という状況 ( RD\mathrm{R}\mathrm{D}RD :Rapid Decay) を導こうと思ったら, 別の扱いが必要なのである.また, RD\mathrm{R}\mathrm{D}RD の取り扱いは, WD\mathrm{W}\mathrm{D}WD に比べ て少々注意を要することが指摘されている [2,12][2,12][2,12] .WD\mathrm{W}\mathrm{D}WD においては通常 Lindblad 型マスター方程 式 [13] が導かれている [2,6][2,6][2,6] -方で, RD\mathrm{R}\mathrm{D}RD の状況において導出されるマスタ -方程式は, しぼしぼ Lindblad 型でないのである.そのため, RD\mathrm{R}\mathrm{D}RD のマスター方程式はしぼしぼ, 確率の正値性が保証さ れないという困難を伴うことになる [2,12][2,12][2,12] .1
The stochastic limit approximation method for ``rapid'' decay is presented, where the damping rate $\ensuremath{\gamma}$ is comparable to the system frequency $\ensuremath{\Omega},$ i.e., $\ensuremath{\gamma}\ensuremath{\sim}\ensuremath{\Omega},$ whereas the usual stochastic limit approximation is applied only to the weak damping situation $\ensuremath{\gamma}\ensuremath{\ll}\ensuremath{\Omega}.$ The key formulas for rapid decay are very similar to those for weak damping, but the dynamics are quite different. From a microscopic Hamiltonian, the spin-boson model, a Bloch equation containing two independent time scales is derived. This is a useful method to extract the minimal dissipative dynamics at high temperature ${k}_{B}T\ensuremath{\gg}\ensuremath{\Elzxh}\ensuremath{\Omega}$ and the master equations obtained are of the Lindblad form unlike that of Caldeira and Leggett. The validity of the method is confirmed by comparing the master equation derived through this method with the exact one.