Master equation of the Lindblad form based on a microscopic Hamiltonian through stochastic limit approximation : For rapidly decaying systems (Analytical Study of Quantum Information and Related Fields)

Abstract

Master equation of the Lindblad form based on amicroscopic Hamiltonian through stochastic limit approximation -For rapidly decaying systems -Accardi et al. の確率極限近似 (stochastic limit approximation) $[7,8]$ は, 全体系から散逸ダイナ ミクスを引き出す有力な手法である.それが扱うのは, 次のような全体系 Hamiltonian である: $H_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{t}}=H_{S}+\lambda V+H_{B}$ .(1) 例えぼ, 電磁場 $H_{B}$ 中の原子 $Hs$ を考えよ.量子光学においてしぼしば興味のある状況である. そ の場合, 電磁相互作用 $\lambda V$ は十分弱く $(\lambda\ll 1)$ , 摂動計算は十分に良い近似を与えるであろう. 確 率極限近似は, 同時に時間の粗視化 $t\mapsto\tau=\lambda^{2}t$ を行い, 弱結合極限 (weak coupling limit) $\lambdaarrow 0$ ( $\tau$ 固定) によって摂動の最低次の寄与を抽出することで, 最小限ではあるが十分に興味深い散逸ダ イナミクスを導く方法である [9-11].しかしながら, Hamiltonian (1) {?}こ確率極限近似を適用して導かれるダイナミクスは, 少々状況 が限定されている.一般に, 緩和定数 $\gamma$ に対する相互作用の最低次の寄与は $\lambda^{2}$ に比例し, 注目系$Hs$ の特徴的振動数 $\Omega$ に比べて $\gamma<<\Omega$ .すなわち, 弱い散逸 ( $\mathrm{W}\mathrm{D}$ :Weak Damping) が導かれる のである.量子光学はこの状況にあたる.これに比べて緩和が速い $\gamma\sim\Omega$ という状況 ( $\mathrm{R}\mathrm{D}$ :Rapid Decay) を導こうと思ったら, 別の扱いが必要なのである.また, $\mathrm{R}\mathrm{D}$ の取り扱いは, $\mathrm{W}\mathrm{D}$ に比べ て少々注意を要することが指摘されている $[2,12]$ .$\mathrm{W}\mathrm{D}$ においては通常 Lindblad 型マスター方程 式 [13] が導かれている $[2,6]$ -方で, $\mathrm{R}\mathrm{D}$ の状況において導出されるマスタ -方程式は, しぼしぼ Lindblad 型でないのである.そのため, $\mathrm{R}\mathrm{D}$ のマスター方程式はしぼしぼ, 確率の正値性が保証さ れないという困難を伴うことになる $[2,12]$ .1