数理解析研究所講究録

Master equation of the Lindblad form based on a microscopic Hamiltonian through stochastic limit approximation--For rapidly decaying systems〔和文〕 (量子情報とその周辺分野の解析的研究研究集会報告集)

一哉湯浅, 元木村, Kentaro Imafuku

Published May 1, 2002• 0 citations

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Master equation of the Lindblad form based on amicroscopic Hamiltonian through stochastic limit approximation -For rapidly decaying systems -Accardi et al. の確率極限近似 (stochastic limit approximation) $[7,8]$ は, 全体系から散逸ダイナミクスを引き出す有力な手法である.それが扱うのは, 次のような全体系 Hamiltonian である: $H_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{t}}=H_{S}+\lambda V+H_{B}$ .(1) 例えぼ, 電磁場 $H_{B}$ 中の原子 $Hs$ を考えよ.量子光学においてしぼしば興味のある状況である. その場合, 電磁相互作用 $\lambda V$ は十分弱く $(\lambda\ll 1)$ , 摂動計算は十分に良い近似を与えるであろう. 確率極限近似は, 同時に時間の粗視化 $t\mapsto\tau=\lambda^{2}t$ を行い, 弱結合極限 (weak coupling limit) $\lambdaarrow 0$ ( $\tau$ 固定) によって摂動の最低次の寄与を抽出することで, 最小限ではあるが十分に興味深い散逸ダイナミクスを導く方法である [9-11].しかしながら, Hamiltonian (1) {?}こ確率極限近似を適用して導かれるダイナミクスは, 少々状況が限定されている.一般に, 緩和定数 $\gamma$ に対する相互作用の最低次の寄与は $\lambda^{2}$ に比例し, 注目系 $Hs$ の特徴的振動数 $\Omega$ に比べて $\gamma<<\Omega$ .すなわち, 弱い散逸 ( $\mathrm{W}\mathrm{D}$ :Weak Damping) が導かれるのである.量子光学はこの状況にあたる.これに比べて緩和が速い $\gamma\sim\Omega$ という状況 ( $\mathrm{R}\mathrm{D}$ :Rapid Decay) を導こうと思ったら, 別の扱いが必要なのである.また, $\mathrm{R}\mathrm{D}$ の取り扱いは, $\mathrm{W}\mathrm{D}$ に比べて少々注意を要することが指摘されている $[2,12]$ . $\mathrm{W}\mathrm{D}$ においては通常 Lindblad 型マスター方程式 [13] が導かれている $[2,6]$ -方で, $\mathrm{R}\mathrm{D}$ の状況において導出されるマスタ -方程式は, しぼしぼ Lindblad 型でないのである.そのため, $\mathrm{R}\mathrm{D}$ のマスター方程式はしぼしぼ, 確率の正値性が保証されないという困難を伴うことになる $[2,12]$ .1Master equation of the Lindblad form based on amicroscopic Hamiltonian through stochastic limit approximation -For rapidly decaying systems -Accardi et al. の確率極限近似 (stochastic limit approximation) $[7,8]$ は, 全体系から散逸ダイナミクスを引き出す有力な手法である.それが扱うのは, 次のような全体系 Hamiltonian である: $H_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{t}}=H_{S}+\lambda V+H_{B}$ .(1) 例えぼ, 電磁場 $H_{B}$ 中の原子 $Hs$ を考えよ.量子光学においてしぼしば興味のある状況である. その場合, 電磁相互作用 $\lambda V$ は十分弱く $(\lambda\ll 1)$ , 摂動計算は十分に良い近似を与えるであろう. 確率極限近似は, 同時に時間の粗視化 $t\mapsto\tau=\lambda^{2}t$ を行い, 弱結合極限 (weak coupling limit) $\lambdaarrow 0$ ( $\tau$ 固定) によって摂動の最低次の寄与を抽出することで, 最小限ではあるが十分に興味深い散逸ダイナミクスを導く方法である [9-11].しかしながら, Hamiltonian (1) {?}こ確率極限近似を適用して導かれるダイナミクスは, 少々状況が限定されている.一般に, 緩和定数 $\gamma$ に対する相互作用の最低次の寄与は $\lambda^{2}$ に比例し, 注目系$Hs$ の特徴的振動数 $\Omega$ に比べて $\gamma<<\Omega$ .すなわち, 弱い散逸 ( $\mathrm{W}\mathrm{D}$ :Weak Damping) が導かれるのである.量子光学はこの状況にあたる.これに比べて緩和が速い $\gamma\sim\Omega$ という状況 ( $\mathrm{R}\mathrm{D}$ :Rapid Decay) を導こうと思ったら, 別の扱いが必要なのである.また, $\mathrm{R}\mathrm{D}$ の取り扱いは, $\mathrm{W}\mathrm{D}$ に比べて少々注意を要することが指摘されている $[2,12]$ .$\mathrm{W}\mathrm{D}$ においては通常 Lindblad 型マスター方程式 [13] が導かれている $[2,6]$ -方で, $\mathrm{R}\mathrm{D}$ の状況において導出されるマスタ -方程式は, しぼしぼ Lindblad 型でないのである.そのため, $\mathrm{R}\mathrm{D}$ のマスター方程式はしぼしぼ, 確率の正値性が保証されないという困難を伴うことになる $[2,12]$ .1

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[7,8]

は, 全体系から散逸ダイナミクスを引き出す有力な手法である.それが扱うのは, 次のような全体系 Hamiltonian である:

H_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{t}}=H_{S}+\lambda V+H_{B}

.(1) 例えぼ, 電磁場

H_{B}

中の原子

Hs

を考えよ.量子光学においてしぼしば興味のある状況である. その場合, 電磁相互作用

\lambda V

は十分弱く

(\lambda\ll 1)

, 摂動計算は十分に良い近似を与えるであろう. 確率極限近似は, 同時に時間の粗視化

t\mapsto\tau=\lambda^{2}t

を行い, 弱結合極限 (weak coupling limit) $\lambdaarrow 0$ (

\tau

固定) によって摂動の最低次の寄与を抽出することで, 最小限ではあるが十分に興味深い散逸ダイナミクスを導く方法である [9-11].しかしながら, Hamiltonian (1) {?}こ確率極限近似を適用して導かれるダイナミクスは, 少々状況が限定されている.一般に, 緩和定数

\gamma

に対する相互作用の最低次の寄与は

\lambda^{2}

に比例し, 注目系

Hs

の特徴的振動数

\Omega

に比べて

\gamma<<\Omega

.すなわち, 弱い散逸 (

\mathrm{W}\mathrm{D}

:Weak Damping) が導かれるのである.量子光学はこの状況にあたる.これに比べて緩和が速い

\gamma\sim\Omega

という状況 (

\mathrm{R}\mathrm{D}

:Rapid Decay) を導こうと思ったら, 別の扱いが必要なのである.また,

\mathrm{R}\mathrm{D}

の取り扱いは,

\mathrm{W}\mathrm{D}

に比べて少々注意を要することが指摘されている

[2,12]

\mathrm{W}\mathrm{D}

においては通常 Lindblad 型マスター方程式 [13] が導かれている

[2,6]

-方で,

\mathrm{R}\mathrm{D}

の状況において導出されるマスタ -方程式は, しぼしぼ Lindblad 型でないのである.そのため,

\mathrm{R}\mathrm{D}

のマスター方程式はしぼしぼ, 確率の正値性が保証されないという困難を伴うことになる

[2,12]