Le sujet porte sur une classe de codes correcteurs d erreurs dits codes cycliques tordus, et ses applications a l'Informatique quantique et aux codes quasi-cycliques. Les codes cycliques classiques ont une structure d'idéaux dans un anneau de polynômes. Ulmer a introduit en 2008 une généralisation aux anneaux dits de polynômes tordus, une classe d'anneaux non commutatifs introduits par Ore en 1933. Dans cette thèse on explore le cas du corps a quatre éléments et de l'anneau produit de deux copies du corps a deux éléments.
Le sujet porte sur une classe de codes correcteurs d erreurs dits codes cycliques tordus, et ses applications a l'Informatique quantique et aux codes quasi-cycliques. Les codes cycliques classiques ont une structure d'idéaux dans un anneau de polynômes. Ulmer a introduit en 2008 une généralisation aux anneaux dits de polynômes tordus, une classe d'anneaux non commutatifs introduits par Ore en 1933. Dans cette thèse on explore le cas du corps a quatre éléments et de l'anneau produit de deux copies du corps a deux éléments.
Le sujet porte sur une classe de codes correcteurs d erreurs dits codes cycliques tordus, et ses applications a l'Informatique quantique et aux codes quasi-cycliques. Les codes cycliques classiques ont une structure d'idéaux dans un anneau de polynômes. Ulmer a introduit en 2008 une généralisation aux anneaux dits de polynômes tordus, une classe d'anneaux non commutatifs introduits par Ore en 1933. Dans cette thèse on explore le cas du corps a quatre éléments et de l'anneau produit de deux copies du corps a deux éléments.
On sait depuis vingt ans maintenant qu'un ordinateur quantique permettrait de résoudre en temps polynomial plusieurs problèmes considérés comme difficiles dans le modèle classique de calcul, comme la factorisation ou le logarithme discret. Entre autres, un tel ordinateur mettrait à mal tous les systèmes de chiffrement à clé publique actuellement utilisés en pratique, mais sa réalisation se heurte, entre autres, aux phénomènes de décohérence qui viennent entacher l'état des qubits qui le constituent. Pour protéger ces qubits, on utilise des codes correcteurs quantiques, qui doivent non seulement être performants mais aussi munis d'un décodage très rapide, sous peine de voir s'accumuler les erreurs plus vite qu'on ne peut les corriger. Une solution très prometteuse est fournie par des équivalents quantiques des codes LDPC (Low Density Parity Check, à matrice de parité creuse). Ces codes classiques offrent beaucoup d'avantages : ils sont faciles à générer, rapides à décoder (grâce à un algorithme de décodage itératif) et performants. Mais leur version quantique se heurte (entre autres) à deux problèmes. On peut voir un code quantique comme une paire de codes classiques, dont les matrices de parité sont orthogonales entre elles. Le premier problème consiste alors à construire deux « bons » codes qui vérifient cette propriété. L'autre vient du décodage : chaque ligne de la matrice de parité d'un des codes fournit un mot de code de poids faible pour le second code. En réalité, dans un code quantique, les erreurs correspondantes sont bénignes et n'affectent pas le système, mais il est difficile d'en tenir compte avec l'algorithme de décodage itératif usuel. On étudie dans un premier temps une construction existante, basée sur un produit de deux codes classiques. Cette construction, qui possède de bonnes propriétés théoriques (dimension et distance minimale), s'est avérée décevante dans les performances pratiques, qui s'expliquent par la structure particulière du code produit. Nous proposons ensuite plusieurs variantes de cette construction, possédant potentiellement de bonnes propriétés de correction. Ensuite, on étudie des codes dits q-Aires~: ce type de construction, inspiré des codes classiques, consiste à agrandir un code LDPC existant en augmentant la taille de son alphabet. Cette construction, qui s'applique à n'importe quel code quantique 2-Régulier (c'est-À-Dire dont les matrices de parité possèdent exactement deux 1 par colonne), a donné de très bonnes performances dans le cas particulier du code torique. Ce code bien connu se décode usuellement très bien avec un algorithme spécifique, mais mal avec l'algorithme usuel de propagation de croyances. Enfin, un équivalent quantique des codes spatialement couplés est proposé. Cette idée vient également du monde classique, où elle améliore de façon spectaculaire les performances des codes LDPC : le décodage s'effectue en temps quasi-Linéaire et atteint, de manière prouvée, la capacité des canaux symétriques à entrées binaires. Si dans le cas quantique, la preuve éventuelle reste encore à faire, certaines constructions spatialement couplées ont abouti à d'excellentes performances, bien au-Delà de toutes les autres constructions de codes LDPC quantiques proposées jusqu'à présent.
Dans ce travail nous nous intéressons aux problèmes liés à l'amélioration des performances d'erreur des codes LDPC. Cette amélioration peut être faite pendant la construction des codes LDPC ou pendant leur processus de décodage. Nous concentrons notre attention vers l'amélioration du décodage. Nous proposons un algorithme de décodage itératif log-SPA modifié, qui minimise l'erreur du décodage pour les mots-codes qui ne peuvent pas être décodés par l'algorithme SPA connu. L'algorithme proposé est basé sur une dépendance entre le poids d'un syndrome et le poids de la séquence d'erreurs généré au cours des itérations du décodage. Nous analysons plus en détail cette dépendance et l'effet du décodage log-SPA moyenne sur les poids des vecteurs d'erreur et les poids du syndrome, et ce, sur les ensembles de piégeage. Concernant la construction des codes LDPC, on s'intéresse aux différents paramètres qui posent des problèmes dans la performance d'erreur : au plancher d'erreur, au périmètre du graphe de Tanner, à la distance minimale du code, aux ensembles de piégeage et aux ensembles d'arrêt. On présente différentes méthodes appliquées dans la construction des différents types de codes, pour éviter l'apparition des structures non-souhaitables dans le code. Nous faisons une comparaison entre la performance des codes pseudo-aléatoires et les codes structurés, basés sur les geometries finies euclidienne et géométrique. On présente aussi différentes méthodes de construction des codes LDPC quasi-cycliques, qui peuvent éviter la formation de certains types d'ensembles de piégeage. d'ensembles d'arrêt ainsi que les cycles courts dans le graphe de Tanner. Les méthodes proposées donnent de très bas planchers d'erreur et une faible complexité du codage.
La correction d'erreur est l'ensemble des techniques utilisees pour stocker, processer et transmettre de l'information de facon fiable dans un environnement bruite. La theorie de la correction d'erreur classique est fondee sur l'encodage redondant de l'information. L'un des buts principaux de cette theorie est de trouver des compromis optimaux entre la redondance, qu'on essaie de minimiser, et la tolerance au bruit, qu'on essaie de maximiser.
La theorie quantique de la correction d'erreur ne peut pas directement imiter les schemas redondants de la theorie classique parce qu'elle doit faire avec le theoreme de non-clonage: l'information quantique ne peut pas etre copiee. La correction d'erreur quantique est neanmoins possible en repartissant l'information sur un plus grand nombre d'elements de memoire quantique que necessaire. Dans la theorie de l'information quantique, la dilution de l'information remplace la redondance parce que la copie est interdite par les lois de la mecanique quantique.
Au dela de cette difference conceptuelle, la correction d'erreur quantique a beaucoup herite de son equivalent classique. Dans cette these nous nous interessons a une classe de codes correcteurs quantiques dont l'equivalent classique a ete definie en 1961 par Gallager. A cette epoque l'information quantique n'etait meme pas encore un domaine de recherche. Cette classe est la famille des codes LDPC (low density parity check). De facon informelle un code est dit LDPC si les contraintes imposees pour assurer la redondance dans le cas classique ou la dilution dans le cas quantique sont locales.
Plus precisement cette these se concentre sur un sous-ensemble des codes correcteurs quantiques LDPC: les codes correcteurs quantiques homologiques. Ces codes tiennent leur nom du domaine mathematique de l'homologie, dont les objets d'etude sont des suites d'applications lineaires telles que le noyau d'une application contienne l'image de son voisin de gauche. Initialement introduite pour etudier la topologie de formes geometriques, la theorie de l'homologie comprend maintenant egalement des branches plus algebriques, dont le centre d'interet est plus abstrait et combinatoire. Les codes homologiques ont suivi la meme trajectoire: ils ont ete introduits en 1996 par Kitaev avec un code quantique qui a la forme d'un tore. Ils forment maintenant une vaste famille de codes quantiques LDPC, certains plus inspires de formes geometriques que d'autres. Des codes quantiques homologiques ont ete construits a partir de geometries spheriques, euclidiennes et hyperboliques, a partir d'objets de dimension 2 et de dimension 4, a partir d'objets de dimension croissante et non bornee et a partir de produits d'hypergraphes et homologiques.
Apres avoir introduit des concepts generaux de l'information quantique dans le premier chapitre de cette these, nous nous concentrons dans les deux chapitres suivants sur des familles de code quantique fondee sur des objets hyperboliques de dimension 4. Nous insistons sur l'interconnexion entre leur cote geometrique, donne par des varietes, et leur cote cote combinatoire, donne par des polytopes abstraits. Nous utilisons ces deux aspects pour analyser les codes quantiques correspondants. Dans le quatrieme et dernier chapitre nous analysons une famille de codes quantiques fondee sur des objets spheriques de dimension quelconque. Pour avoir plus de flexibilite dans la construction de codes quantiques, nous utilisons des objets combinatoires qui realisent cette geometrie spherique: des hypercubes. Ce contexte nous permet d'introduire un nouveau lien entre corrections d'erreur classique et quantique ou des codes classiques sont utilises pour introduire de l'homologie dans les hypercubes.
Cette thèse est consacrée à la complexité basée sur le paradigme des preuves interactives. Les classes ainsi définies ont toutes en commun qu’un ou plusieurs prouveurs, infiniment puissants, tentent de convaincre un vérificateur, de puissance bornée, de l’appartenance d’un mot à un langage. Nous abordons ici le modèle classique, où les participants sont des machines de Turing, et le modèle quantique, où ceux-ci sont des circuits quantiques. La revue de littérature que comprend cette thèse s’adresse à un lecteur déjà familier avec la complexité et l’informatique quantique. Cette thèse présente comme résultat la caractérisation de la classe NP par une classe de preuves interactives quantiques de taille logarithmique. Les différentes classes sont présentées dans un ordre permettant d’aborder aussi facilement que possible les classes interactives. Le premier chapitre est consacré aux classes de base de la complexité ; celles-ci seront utiles pour situer les classes subséquemment présentées. Les chapitres deux et trois présentent respectivement les classes à un et à plusieurs prouveurs. La présentation du résultat ci-haut mentionné est l’objet du chapitre quatre.
Le développement de machines quantiques de tailles modestes accessibles en ligne permet aujourd'hui de réaliser des expériences sur des calculateurs à distance. L'avantage de l'informatique quantique repose sur des phénomènes strictement non classiques, tels que la superposition et l'intrication, qui sont des ressources maintenant bien connues. Le phénomène non-classique de la contextualité est peut-être moins bien établi bien qu'il ouvre aussi des perspectives très intéressntes à travers de nombreuses applications telles que la cryptographie quantique, les codes d'accès aléatoires, les codes correcteurs d'erreurs et l'avantage du coût de la mémoire pour la simulation des mesures quantiques. L'objectif de cette thèse est triple : développer de nouveaux tests résistants au bruit pour démontrer la contextualité avec des ordinateurs quantiques bruités d'échelle intermédiaire ; concevoir des algorithmes quantiques pour calculer les limites classiques de ces tests, avec une meilleure complexité par rapport aux algorithmes existants ; interpreter les invariants algébriques, utilisés pour distinguer les classes d'intrication, en termes d'observables à base d'opérateurs de Pauli. À ces fins, l'utilisation de configurations géométriques telles que les espaces polaires symplectiques et leurs sous-géométries est largement exploitée, permettant d'établir un lien solide entre le domaine, relativement ancien des géométries finies, et les concepts plus récents de la théorie de l'information quantique. Pour le premier objectif, nous utilisons l'apport de la géométrie pour fournir des tests de contextualité qui violent largement les limites classiques sur tous les ordinateurs quantiques IBM. Ces tests démontrent empiriquement l'absence de modèles à variables cachées non contextuelles décrivant le système sous-jacent. C'est un résultat d'intérêt ontologique. Plus précisément, il s'agit de la première violation connue du jeu de pseudotélépathie de Mermin sur de telles machines, et des plus grandes violations du test de Rio Negro. Concernant le deuxième objectif, nous nous appuyons sur les symétries de nos géométries pour construire un algorithme quantique basé sur l'algorithme de recherche de Grover. Cet algorithme identifie une affectation optimale de variables cachées classiques avec une complexité comparable à l'algorithme de Grover. Un tel avantage algorithmique est intéressant dans une grande famille de problèmes, connus sous le nom de Max Lin 2, où plusieurs contraintes sur un ensemble de données ne peuvent pas être satisfaites simultanément. Ainsi, l'étude de la contextualité - qui peut être vue comme une limitation de la satisfaction logique pour décrire les systèmes physiques - peut apporter de nouvelles perspectives à des problèmes où la satisfaction d'instruction logique simultanée n'est pas viable. Enfin, pour le troisième objectif, nous proposons de nombreuses connexions entre les géométries finies et les invariants algébriques, en commençant par des liens entre les quadrangles généralisés et les invariants cubiques de Cartan, puis en montrant comment les géométries maximalement mixtes permettent de reconstruire les polynômes de Mermin, et finalement en décrivant les sous-ensembles minimaux d'opérateurs de Pauli qui permettent de calculer les hyperdéterminants. On peut ainsi, grâce à ces invariants, identifier la classe d'intrication de systèmes de qubits N=2,3,4 par des mesures sans avoir besoin d'une tomographie complète du système. En résumé dans cette thèse, nous abordons une grande variété de questions à l'intersection de la géométrie finie et de l'informatique quantique - de la conception de tests de contextualité à l'étude de la non-localité à travers des invariants algébriques en passant par le calcul quantique de bornes classiques. Les idées proposées dans ce travail pourront être utiles à la fois pour l'étude des fondements de la mécanique quantique et pour son application à l'informatique quantique.