La correction d'erreur est l'ensemble des techniques utilisees pour stocker, processer et transmettre de l'information de facon fiable dans un environnement bruite. La theorie de la correction d'erreur classique est fondee sur l'encodage redondant de l'information. L'un des buts principaux de cette theorie est de trouver des compromis optimaux entre la redondance, qu'on essaie de minimiser, et la tolerance au bruit, qu'on essaie de maximiser.
La theorie quantique de la correction d'erreur ne peut pas directement imiter les schemas redondants de la theorie classique parce qu'elle doit faire avec le theoreme de non-clonage: l'information quantique ne peut pas etre copiee. La correction d'erreur quantique est neanmoins possible en repartissant l'information sur un plus grand nombre d'elements de memoire quantique que necessaire. Dans la theorie de l'information quantique, la dilution de l'information remplace la redondance parce que la copie est interdite par les lois de la mecanique quantique.
Au dela de cette difference conceptuelle, la correction d'erreur quantique a beaucoup herite de son equivalent classique. Dans cette these nous nous interessons a une classe de codes correcteurs quantiques dont l'equivalent classique a ete definie en 1961 par Gallager. A cette epoque l'information quantique n'etait meme pas encore un domaine de recherche. Cette classe est la famille des codes LDPC (low density parity check). De facon informelle un code est dit LDPC si les contraintes imposees pour assurer la redondance dans le cas classique ou la dilution dans le cas quantique sont locales.
Plus precisement cette these se concentre sur un sous-ensemble des codes correcteurs quantiques LDPC: les codes correcteurs quantiques homologiques. Ces codes tiennent leur nom du domaine mathematique de l'homologie, dont les objets d'etude sont des suites d'applications lineaires telles que le noyau d'une application contienne l'image de son voisin de gauche. Initialement introduite pour etudier la topologie de formes geometriques, la theorie de l'homologie comprend maintenant egalement des branches plus algebriques, dont le centre d'interet est plus abstrait et combinatoire. Les codes homologiques ont suivi la meme trajectoire: ils ont ete introduits en 1996 par Kitaev avec un code quantique qui a la forme d'un tore. Ils forment maintenant une vaste famille de codes quantiques LDPC, certains plus inspires de formes geometriques que d'autres. Des codes quantiques homologiques ont ete construits a partir de geometries spheriques, euclidiennes et hyperboliques, a partir d'objets de dimension 2 et de dimension 4, a partir d'objets de dimension croissante et non bornee et a partir de produits d'hypergraphes et homologiques.
Apres avoir introduit des concepts generaux de l'information quantique dans le premier chapitre de cette these, nous nous concentrons dans les deux chapitres suivants sur des familles de code quantique fondee sur des objets hyperboliques de dimension 4. Nous insistons sur l'interconnexion entre leur cote geometrique, donne par des varietes, et leur cote cote combinatoire, donne par des polytopes abstraits. Nous utilisons ces deux aspects pour analyser les codes quantiques correspondants. Dans le quatrieme et dernier chapitre nous analysons une famille de codes quantiques fondee sur des objets spheriques de dimension quelconque. Pour avoir plus de flexibilite dans la construction de codes quantiques, nous utilisons des objets combinatoires qui realisent cette geometrie spherique: des hypercubes. Ce contexte nous permet d'introduire un nouveau lien entre corrections d'erreur classique et quantique ou des codes classiques sont utilises pour introduire de l'homologie dans les hypercubes.
La correction d'erreur est l'ensemble des techniques utilisees pour stocker, processer et transmettre de l'information de facon fiable dans un environnement bruite. La theorie de la correction d'erreur classique est fondee sur l'encodage redondant de l'information. L'un des buts principaux de cette theorie est de trouver des compromis optimaux entre la redondance, qu'on essaie de minimiser, et la tolerance au bruit, qu'on essaie de maximiser.
La theorie quantique de la correction d'erreur ne peut pas directement imiter les schemas redondants de la theorie classique parce qu'elle doit faire avec le theoreme de non-clonage: l'information quantique ne peut pas etre copiee. La correction d'erreur quantique est neanmoins possible en repartissant l'information sur un plus grand nombre d'elements de memoire quantique que necessaire. Dans la theorie de l'information quantique, la dilution de l'information remplace la redondance parce que la copie est interdite par les lois de la mecanique quantique.
Au dela de cette difference conceptuelle, la correction d'erreur quantique a beaucoup herite de son equivalent classique. Dans cette these nous nous interessons a une classe de codes correcteurs quantiques dont l'equivalent classique a ete definie en 1961 par Gallager. A cette epoque l'information quantique n'etait meme pas encore un domaine de recherche. Cette classe est la famille des codes LDPC (low density parity check). De facon informelle un code est dit LDPC si les contraintes imposees pour assurer la redondance dans le cas classique ou la dilution dans le cas quantique sont locales.
Plus precisement cette these se concentre sur un sous-ensemble des codes correcteurs quantiques LDPC: les codes correcteurs quantiques homologiques. Ces codes tiennent leur nom du domaine mathematique de l'homologie, dont les objets d'etude sont des suites d'applications lineaires telles que le noyau d'une application contienne l'image de son voisin de gauche. Initialement introduite pour etudier la topologie de formes geometriques, la theorie de l'homologie comprend maintenant egalement des branches plus algebriques, dont le centre d'interet est plus abstrait et combinatoire. Les codes homologiques ont suivi la meme trajectoire: ils ont ete introduits en 1996 par Kitaev avec un code quantique qui a la forme d'un tore. Ils forment maintenant une vaste famille de codes quantiques LDPC, certains plus inspires de formes geometriques que d'autres. Des codes quantiques homologiques ont ete construits a partir de geometries spheriques, euclidiennes et hyperboliques, a partir d'objets de dimension 2 et de dimension 4, a partir d'objets de dimension croissante et non bornee et a partir de produits d'hypergraphes et homologiques.
Apres avoir introduit des concepts generaux de l'information quantique dans le premier chapitre de cette these, nous nous concentrons dans les deux chapitres suivants sur des familles de code quantique fondee sur des objets hyperboliques de dimension 4. Nous insistons sur l'interconnexion entre leur cote geometrique, donne par des varietes, et leur cote cote combinatoire, donne par des polytopes abstraits. Nous utilisons ces deux aspects pour analyser les codes quantiques correspondants. Dans le quatrieme et dernier chapitre nous analysons une famille de codes quantiques fondee sur des objets spheriques de dimension quelconque. Pour avoir plus de flexibilite dans la construction de codes quantiques, nous utilisons des objets combinatoires qui realisent cette geometrie spherique: des hypercubes. Ce contexte nous permet d'introduire un nouveau lien entre corrections d'erreur classique et quantique ou des codes classiques sont utilises pour introduire de l'homologie dans les hypercubes.
Étude de codes LDPC quantiques et de leur décodage Les codes quantiques de type LDPC (Low-Density Parity-Check, à matrice de parité creuse) offrent une solution prometteuse pour protéger l’information quantique contre les erreurs et sont donc considérés comme une étape importante dans la réalisation à grande échelle d’un ordinateur quantique tolérant aux fautes. Dans cette thèse, nous étudions les codes LDPC quantiques selon trois approches différentes, en analysant le décodage par renormalisation du code torique de Kitaev, en établissant des limites sur la distance minimale des codes géométriquement locaux et en construisant de petits exemples de codes de Tanner quantiques. Le code torique de Kitaev est un code LDPC quantique remarquable et est actuellement le plus largement considéré pour une mise en œuvre expérimentale. Nous examinons les décodeurs par renormalisation probabiliste introduits par Duclos-Cianci et Poulin, une famille de décodeurs qui offrent l’un des meilleurs compromis entre précision et rapidité. Nous étudions la manière dont ils gèrent les erreurs adverses en introduisant un décodeur par renormalisation déterministe, n’utilisant pas les probabilités a priori du modèle d’erreur. Nous constatons que ce décodeur par renormalisation admet des motifs d’erreurs incorrigibles de type fractal et nous obtenons une borne inférieure sur le poids de ces erreurs. En raison de contraintes physiques, une grande attention a été accordée aux codes LDPC quantiques dont les stabilisateurs n’agissent que sur un nombre limité de qubits voisins. Nous étendons la fameuse borne de Bravyi-Terhal aux codes quantiques définis par des contraintes locales sur un quotient de réseau, fournissant ainsi un aperçu essentiel des limites des codes stabilisateurs géométriquement locaux. En guise d’application, nous fournissons des bornes supérieures sur la distance minimale de codes à deux blocs construits à l’aide d’une algèbre d’un groupe abélien, une famille de codes LDPC quantiques pour laquelle la distance minimale est actuellement inconnue. Ces dernières années, des codes LDPC quantiques asymptotiquement bons ont été construits, mais les résultats démontrables concernant leurs distances minimales ne s’appliquent qu’à des codes trop longs pour être utilisables. Dans le cadre des efforts visant à concevoir des codes pouvant être mis en œuvre à court terme, nous construisons des instances courtes de codes quantiques de Tanner à l’aide de complexes carrés obtenus à partir de produits liftés de graphes réguliers. Plusieurs instances explicites de ces codes présentent des distances minimales dépassant la racine carrée de la longueur du code.
Le développement de machines quantiques de tailles modestes accessibles en ligne permet aujourd'hui de réaliser des expériences sur des calculateurs à distance. L'avantage de l'informatique quantique repose sur des phénomènes strictement non classiques, tels que la superposition et l'intrication, qui sont des ressources maintenant bien connues. Le phénomène non-classique de la contextualité est peut-être moins bien établi bien qu'il ouvre aussi des perspectives très intéressntes à travers de nombreuses applications telles que la cryptographie quantique, les codes d'accès aléatoires, les codes correcteurs d'erreurs et l'avantage du coût de la mémoire pour la simulation des mesures quantiques. L'objectif de cette thèse est triple : développer de nouveaux tests résistants au bruit pour démontrer la contextualité avec des ordinateurs quantiques bruités d'échelle intermédiaire ; concevoir des algorithmes quantiques pour calculer les limites classiques de ces tests, avec une meilleure complexité par rapport aux algorithmes existants ; interpreter les invariants algébriques, utilisés pour distinguer les classes d'intrication, en termes d'observables à base d'opérateurs de Pauli. À ces fins, l'utilisation de configurations géométriques telles que les espaces polaires symplectiques et leurs sous-géométries est largement exploitée, permettant d'établir un lien solide entre le domaine, relativement ancien des géométries finies, et les concepts plus récents de la théorie de l'information quantique. Pour le premier objectif, nous utilisons l'apport de la géométrie pour fournir des tests de contextualité qui violent largement les limites classiques sur tous les ordinateurs quantiques IBM. Ces tests démontrent empiriquement l'absence de modèles à variables cachées non contextuelles décrivant le système sous-jacent. C'est un résultat d'intérêt ontologique. Plus précisément, il s'agit de la première violation connue du jeu de pseudotélépathie de Mermin sur de telles machines, et des plus grandes violations du test de Rio Negro. Concernant le deuxième objectif, nous nous appuyons sur les symétries de nos géométries pour construire un algorithme quantique basé sur l'algorithme de recherche de Grover. Cet algorithme identifie une affectation optimale de variables cachées classiques avec une complexité comparable à l'algorithme de Grover. Un tel avantage algorithmique est intéressant dans une grande famille de problèmes, connus sous le nom de Max Lin 2, où plusieurs contraintes sur un ensemble de données ne peuvent pas être satisfaites simultanément. Ainsi, l'étude de la contextualité - qui peut être vue comme une limitation de la satisfaction logique pour décrire les systèmes physiques - peut apporter de nouvelles perspectives à des problèmes où la satisfaction d'instruction logique simultanée n'est pas viable. Enfin, pour le troisième objectif, nous proposons de nombreuses connexions entre les géométries finies et les invariants algébriques, en commençant par des liens entre les quadrangles généralisés et les invariants cubiques de Cartan, puis en montrant comment les géométries maximalement mixtes permettent de reconstruire les polynômes de Mermin, et finalement en décrivant les sous-ensembles minimaux d'opérateurs de Pauli qui permettent de calculer les hyperdéterminants. On peut ainsi, grâce à ces invariants, identifier la classe d'intrication de systèmes de qubits N=2,3,4 par des mesures sans avoir besoin d'une tomographie complète du système. En résumé dans cette thèse, nous abordons une grande variété de questions à l'intersection de la géométrie finie et de l'informatique quantique - de la conception de tests de contextualité à l'étude de la non-localité à travers des invariants algébriques en passant par le calcul quantique de bornes classiques. Les idées proposées dans ce travail pourront être utiles à la fois pour l'étude des fondements de la mécanique quantique et pour son application à l'informatique quantique.
La recherche en informatique quantique a pris de l’ampleur dans les deux dernières décennies, notamment grâce aux financements massifs des gouvernements et de l’industrie dans les technologies quantiques. L’ordinateur quantique promet de résoudre des problèmes qui jusqu’à présent restaient insurmontables à cause du temps déraisonnable qu’il faudrait pour les résoudre sur les ordinateurs classiques les plus puissants. L’idée de l’ordinateur quantique consiste à utiliser des propriétés quantiques de la matière, telles que l’intrication et la superposition quantique des états, pour effectuer des calculs d’une nouvelle manière. L’informatique quantique requiert un nouveau type d’ordinateur où les bits d’information classique, généralement représentés par la présence ou non de courant à l’entrée d’un transistor, sont remplacés par des bits quantiques aussi appelés qubits, et qui sont représentés par l’état d’un système quantique. De plus, il est nécessaire de développer de nouveaux algorithmes capables d’être implémentés sur un ordinateur quantique et capables de tirer parti de l’avantage quantique. Cette thèse porte sur ces deux composantes complémentaires : la construction de portes logiques, un bloc fondamental de tout ordinateur, et la création de meilleurs algorithmes pour résoudre des problèmes pertinents sur ces machines. Parmi les plateformes les plus avancées pour l’ordinateur quantique, on trouve les circuits supraconducteurs, qui sont la plateforme sur laquelle ont misé Google, IBM, Alice&Bob, Nord Quantique et bien d’autres compagnies. Malgré les avancées des dernières décennies, de nombreux défis restent à être relevés pour que les machines existantes soient en mesure de résoudre des problèmes pertinents et surpassent les ordinateurs classiques. L’un des défis auquel cette thèse s’attaque est la réalisation de portes logiques à deux qubits rapides et à haute fidélité. La rapidité est cruciale pour pouvoir réaliser le plus d’opérations possible avant que les qubits ne perdent leur cohérence quantique, et une haute fidélité est requise pour minimiser les erreurs de calcul et permettre d’implémenter de la correction d’erreurs quantiques. De plus, certains qubits supraconducteurs sont connus pour être affectés par une interaction indésirable, l’interaction ZZ qui, même si relativement faible, affecte la fidélité des portes logiques quantiques, empêchant d’atteindre des fidélités supérieures à 99.9% nécessaires à la correction d’erreurs. En parallèle avec l’amélioration des composantes de l’ordinateur quantique, il est important de développer des applications pour ce nouveau type de machine. Parmi les approches étudiées, les algorithmes quantiques variationnels (VQA) sont ceux qui sont les plus susceptibles d’être déployés sur les ordinateurs quantiques de petites tailles existants. Ce sont des algorithmes hybrides qui nécessitent à la fois de la puissance de calcul classique et quantique. Ces algorithmes semblent prometteurs pour résoudre de nombreux problèmes concrets d’intérêt industriel, comme obtenir les propriétés de molécules ou trouver les solutions de problèmes d’optimisation combinatoire. En effet, ces problèmes peuvent être formulés sous forme d’un Hamiltonien et résolus en déterminant son état fondamental. Dans ce but, les VQAs utilisent un circuit quantique paramétré appelé ansatz, dont les paramètres sont optimisés pour s’approcher de l’état fondamental. Un premier défi consiste à trouver un ansatz qui permette, pour un problème donné, de converger le plus efficacement possible vers la solution. Un deuxième défi est de trouver un circuit fait de portes logiques facilement implémentables sur les plateformes physiques actuelles. Les travaux effectués dans cette thèse apportent des contributions à ces deux défis. Dans la première partie de la thèse, nous introduisons le dispositif que nous avons conçu et qui permet de réaliser des portes d’intrication paramétrique entre deux qubits supraconducteurs. Cette approche a permis à nos collaborateurs du groupe d’Andrew Houck de l’Université de Princeton de réaliser expérimentalement une opération de type √iSWAP en 15 ns avec une fidélité de 98.8%, et ce dans un dispositif où l’interaction ZZ est supprimée. Dans la seconde partie de la thèse, nous avons développé un ansatz pour les VQAs permettant de résoudre le modèle de Fermi Hubbard. Ce nouvel ansatz utilise les avantages de deux ansätze préexistants, et permet d’obtenir l’énergie et l’état fondamental du FHM avec une précision de plusieurs ordres de grandeur supérieure aux ansätze standards, et ce en réduisant significativement le nombre de portes d’intrication CNOT qui sont généralement imparfaites et longues à implémenter.
Contextualité quantique, géométries finies & informatique quantique Le développement de machines quantiques de tailles modestes accessibles en ligne permet aujourd'hui de réaliser des expériences sur des calculateurs à distance. L'avantage de l'informatique quantique repose sur des phénomènes strictement non classiques, tels que la superposition et l'intrication, qui sont des ressources maintenant bien connues. Le phénomène non-classique de la contextualité est peut-être moins bien établi bien qu'il ouvre aussi des perspectives très intéressntes à travers de nombreuses applications telles que la cryptographie quantique, les codes d'accès aléatoires, les codes correcteurs d'erreurs et l'avantage du coût de la mémoire pour la simulation des mesures quantiques. L'objectif de cette thèse est triple : développer de nouveaux tests résistants au bruit pour démontrer la contextualité avec des ordinateurs quantiques bruités d'échelle intermédiaire ; concevoir des algorithmes quantiques pour calculer les limites classiques de ces tests, avec une meilleure complexité par rapport aux algorithmes existants ; interpreter les invariants algébriques, utilisés pour distinguer les classes d'intrication, en termes d'observables à base d'opérateurs de Pauli. À ces fins, l'utilisation de configurations géométriques telles que les espaces polaires symplectiques et leurs sous-géométries est largement exploitée, permettant d'établir un lien solide entre le domaine, relativement ancien des géométries finies, et les concepts plus récents de la théorie de l'information quantique. Pour le premier objectif, nous utilisons l'apport de la géométrie pour fournir des tests de contextualité qui violent largement les limites classiques sur tous les ordinateurs quantiques IBM. Ces tests démontrent empiriquement l'absence de modèles à variables cachées non contextuelles décrivant le système sous-jacent. C'est un résultat d'intérêt ontologique. Plus précisément, il s'agit de la première violation connue du jeu de pseudotélépathie de Mermin sur de telles machines, et des plus grandes violations du test de Rio Negro. Concernant le deuxième objectif, nous nous appuyons sur les symétries de nos géométries pour construire un algorithme quantique basé sur l'algorithme de recherche de Grover. Cet algorithme identifie une affectation optimale de variables cachées classiques avec une complexité comparable à l'algorithme de Grover. Un tel avantage algorithmique est intéressant dans une grande famille de problèmes, connus sous le nom de Max Lin 2, où plusieurs contraintes sur un ensemble de données ne peuvent pas être satisfaites simultanément. Ainsi, l'étude de la contextualité - qui peut être vue comme une limitation de la satisfaction logique pour décrire les systèmes physiques - peut apporter de nouvelles perspectives à des problèmes où la satisfaction d'instruction logique simultanée n'est pas viable. Enfin, pour le troisième objectif, nous proposons de nombreuses connexions entre les géométries finies et les invariants algébriques, en commençant par des liens entre les quadrangles généralisés et les invariants cubiques de Cartan, puis en montrant comment les géométries maximalement mixtes permettent de reconstruire les polynômes de Mermin, et finalement en décrivant les sous-ensembles minimaux d'opérateurs de Pauli qui permettent de calculer les hyperdéterminants. On peut ainsi, grâce à ces invariants, identifier la classe d'intrication de systèmes de qubits N=2,3,4 par des mesures sans avoir besoin d'une tomographie complète du système. En résumé dans cette thèse, nous abordons une grande variété de questions à l'intersection de la géométrie finie et de l'informatique quantique - de la conception de tests de contextualité à l'étude de la non-localité à travers des invariants algébriques en passant par le calcul quantique de bornes classiques. Les idées proposées dans ce travail pourront être utiles à la fois pour l'étude des fondements de la mécanique quantique et pour son application à l'informatique quantique.
Décodage efficace de codes quantiques LDPC par passage de messages Pour construire un ordinateur quantique, il est nécessaire de corriger au fur et a mesure les erreurs qui se produisent au cours du calcul, qui, si elles s’accumulent, risquent de biaiser le résultat. Ces erreurs s’accumulent pour deux raisons, premièrement car les technologies utilisées aujourd’hui et dans un futur proche sont encore immatures, et deuxièmement, a cause d’un principe fondamental de la physique quantique, le principe d’incertitude de Hilbert. A cause des contraintes liées aux lois de la physique quantique, les méthodes utilisées pour protéger l’information quantique du bruit sont différentes en quantique comparé au classique. Par exemple, il n’est pas possible de faire des “sauvegardes” régulières sur un ordinateur quantique, a cause du Théorème de non-clonage qui stipule qu’il est impossible de copier parfaitement un état quantique.Par chance, il s’avère que la théorie de la correction d’erreur, utilisée de manière classique surtout dans les communications et le stockage d’information, trouve ici une application pour le calcul tolérant aux fautes.Parmi les nombreux problèmes liés a l’utilisation de cette belle et riche théorie pour le calcul tolérant aux fautes en quantique, dans la suite, nous nous intéresserons seulement à la question du décodage par passage de messages des codes LDPC. Dans la suite, je discuterai d’abord les limitations théoriques et pratique d’un certain type de décodeur par passage de message, le Min-Sum appliqué au code torique, un code pressenti pour être utilisé dans la première génération d’ordinateurs quantiques. Ensuite, je montrerai comment les performances pratiques des décodeurs par passage de message peuvent être grandement améliorées en utilisant des post-processings spécifiques aux codes quantiques.
Le sujet de cette thèse est la cryptographie et son interconnexions avec la théorie des codes. En particulier, on utilise des techniques issues de la théorie des codes pour construire et analyser des protocoles cryptographiques avec des propriétés nouvelles ou plus avancées. On se concentre d'abord sur le partage de secret ou secret sharing, un sujet important avec de nombreuses applications pour la Cryptographie actuelle. Dans la variante à laquelle on s'intéresse, un schéma de partage de secret reçoit en entrée un élément secret, et renvoie en sortie n parts de telle façon que chaque ensemble de parts de taille suffisamment petite ne donne aucune information sur le secret (confidentialité), tandis que chaque ensemble de taille suffisamment grande permet de reconstituer le secret (reconstruction). Un schéma de partage de secret peut donc être vu comme une solution à un problème de communication où un émetteur Alice est connectée avec un destinataire Bob par n canaux distincts, dont certains sont contrôlés par un adversaire Ève. Alice peut utiliser un schéma de partage de secret pour communiquer un message secret a Bob de telle façon qu'Ève n'apprenne aucune information sur le secret en lisant les données transmises sur les canaux qu'elle contrôle, tandis que Bob peut recevoir le message même si Ève bloque ces dits canaux. Notre contributions au partage de secret concernent ses liens avec la théorie des codes ; comme les deux domaines partagent un même but (récupérer des données à partir d'informations partielles), ce n'est pas surprenant qu'ils aient connu une interaction longue et fertile. Plus précisément, Massey commença une analyse fructueuse à propos de la construction et de l'étude d'un schéma de partage de secret à partir d'un code correcteur. L'inconvénient de cette analyse est que la confidentialité d'un schéma de partage de secret est estimé grâce au dual du code sous-jacent ; cela peut être problématique vu qu'il pourrait ne pas être possible d'obtenir des codes avec des propriétés souhaitables qui aient aussi un bon code dual. On contourne ce problème en établissant une connexion nouvelle entre les deux domaines, telle que la confidentialité d'un schéma de partage de secrets n'est plus contrôlée par le dual du code sous-jacent. Cela nous permet d'exploiter complètement le potentiel de certaines constructions récentes de codes pour obtenir des meilleurs schémas; on illustre ceci avec deux applications. Premièrement, en utilisant des codes avec codage et décodage en temps linéaire on obtient une famille de schémas de partage de secret où le partage (calcul des parts issues du secret) tout comme la reconstruction peuvent s'effectuer en temps linéaire ; pour des seuils de confidentialité et de reconstruction croissants, ceci restait jusqu'à présent un problème ouvert. Deuxièmement, on utilise des codes avec décodage en liste pour construire des schémas de partage de secret robustes, c'est-à-dire des schémas qui peuvent reconstituer le secret même si certaines parts sont incorrectes, sauf avec une petite probabilité d'erreur. etc...