Há tempos procura-se entender como as características da Teoria Quântica e da Relatividade Geral se unem para explicar a física na sua interface. Um dos motivos pelos quais essa é uma tarefa difícil é a discrepância entre as formas de abordar o tempo e a causalidade em cada teoria. Por exemplo, a estrutura causal na relatividade é dinâmica, determinada pela distribuição de massa no espaço-tempo, enquanto que, no formalismo quântico, ela é fixa e deve ser estabelecida a priori. Nesta dissertação, discutimos a noção de ordem indefinida, que aparece pela primeira vez em uma generalização abstrata da Teoria Quântica. Tal generalização é feita com o intuito de eliminar a incompatibilidade da teoria com a Relatividade Geral no que diz respeito à causalidade. Para isso, o formalismo remove a exigência de que haja uma estrutura causal global e, portanto, a ordem entre operações em protocolos não precisa estar bem definida. Um típico exemplo de ordem indefinida é o processo do quantum switch (controle quântico de ordem), que realiza uma superposição quântica da ordem em que duas operações são aplicadas em um sistema. As probabilidades do quantum switch já foram reproduzidas experimentalmente com fótons, em protocolos completamente descritos pela mecânica quântica usual. Já que esses experimentos são compatíveis com a estrutura causal do espaço-tempo, isso gerou incertezas sobre o que se pode concluir da realização de um processo com ordem indefinida dependendo do contexto. Retornaremos às motivações iniciais, apresentando como cenários gravitacionais a energias baixas poderiam fazer surgir ordem indefinida. Nisto estão inclusas as formulações de um quantum switch em um cenário de gravidade quântica e um quantum switch em uma métrica clássica de Schwarzschild. Assim, o quantum switch pode ser usado como uma base comum para discutir diferenças entre os contextos. A última proposta, de um quantum switch em uma métrica clássica, é um trabalho original. Além de ser um exemplo de ordem indefinida, a sua realização na gravidade da Terra é proposta como um teste das previsões da mecânica quântica em espaços-tempos curvos, um regime que até hoje não foi experimentalmente testado.
A compreensão da natureza das propriedades de átomos, moléculas e sistemas mais complexos está diretamente relacionada com a distribuição e o comportamento das partículas microscópicas que os constitui. Diversas evidências experimentais sugeriram que a estrutura de átomos e moléculas não poderiam ser explicadas por princípios baseados na mecânica clássica. Experimentos, tais como: a radiação do corpo negro, capacidade calorífica e espectros atômicos e moleculares, sugeriam que os processos de absorção ou emissão de energia só poderiam ser explicados admitindo-se que a energia envolvida nesses processos seria quantizada e não contínua, como prevê a mecânica clássica. A nova mecânica criada para conciliar os aspectos observados com a hipótese de quantizações de determinadas propriedades microscópicas foi denominada de Mecânica Quântica. Duas versões dessa nova mecânica foram formuladas pelos físicos Erwin Schrödinger e Werner Heisemberg, em trabalhos e métodos matemáticos diferentes, porém equivalentes. A teoria especifica quais são as leis que as partículas de qualquer sistema microscópico obedecem. Observa-se que há uma relação com a teoria de Newton para o movimento de sistemas macroscópicos (princípio da correspondência), sendo a teoria de Newton um caso particular (no limite macroscópico) das equações de Schrödinger, assim como a teoria da relatividade de Einstein é uma generalização que inclui a teoria de Newton como um caso especial, no limite de baixas velocidades. O modelo de Schrödinger está fundamentado em alguns postulados que são descritos a seguir.
Um seculo apos a sua descoberta, o eletron continua a ser um estranho dentro do eletromagnetismo classico. Varios foram os modelos propostos para descreve-lo. Pode-se dizer que a teoria mais bem sucedida foi formulada por Dirac em 1938, muito embora apresentando problemas tais como as pre-aceleracoes e solucoes auto-acelerantes. Uma alternativa a esta teoria foi proposta na decada de 50 pelo fisico italiano P. Caldirola, tendo por hipotese basica a existencia de um intervalo fundamental de tempo, o cronon. Com base nesta hipotese Caldirola propos uma descricao baseada em equacoes a diferencas finitas equivalentes a de Dirac mas livre dos problemas por ela apresentados. A extensao da hipotese do cronon a mecânica quântica nao-relativistica, resultando em formulacoes discretizadas da equacao de Schrodinger, produziu resultados relevantes como a derivacao da massa do muon e do tau a partir da massa do eletron.
Neste trabalho, analisamos as equacoes discretas com base no formalismo de Feynman e estudamos algumas de suas solucoes. Partindo dos operadores de evolucao associados as equacoes discretas, estendemos o procedimento a representacao de Heisenberg e encontramos uma representacao que, como no caso continuo, e equivalente a de Schrodinger .
Fazemos uma analise de compatibilidade entre as varias representacoes: Schrodinger, Heisenberg e operadores de densidade. Sao estudados alguns exemplos tipicos como, por exemplo, o oscilador harmonico simples. O formalismo de operadores de densidade e utilizado para analisar o problema da medida na mecânica quântica.
Finalmente, fazemos uma abordagem da equivalencia entre o formalismo discreto e a introducao de operadores nao-hermitianos na equacao de Schrodinger continua
Abstract
Este trabalho propõe uma interpretação geométrica complexa para estruturas já presentes na física moderna, incluindo relatividade, mecânica quântica e dinâmica ondulatória. A formulação apresentada parte da hipótese de que diversos fenômenos físicos modernos podem ser compreendidos como projeções observáveis de uma geometria real-complexa mais ampla. A partir dessa abordagem, são introduzidos conceitos como coordenada complexa, tempo complexo, velocidade complexa e massa complexa, buscando reinterpretar geometricamente relações relativísticas e estruturas quânticas conhecidas. O estudo não pretende substituir os resultados experimentais estabelecidos da física moderna, mas oferecer uma estrutura interpretativa unificada capaz de conectar diferentes fenômenos físicos dentro de uma mesma linguagem geométrica. O trabalho explora: espaço e tempo complexos; interpretação geométrica do fator de Lorentz; massa complexa e relação energia-momento; emergência geométrica da função de onda; conexões entre relatividade, mecânica quântica e estruturas ondulatórias. Trata-se de um estudo teórico e exploratório, desenvolvido como proposta conceitual para investigação futura.
Este é um artigo de caráter expositivo, no qual discutimos uma variedade de tópicos relacionados aos fundamentos da física quântica, com destaque para os conceitos de identidade e de individualidade das entidades básicas tratadas por essa teoria (ou grupo de teorias). Consideramos que, se se deseja fundamentar a contraparte formal de uma possível visão das entidades quânticas como objetos destituídos de individualidade, há basicamente duas alternativas possíveis: (a) manter-nos no escopo da lógica e da matemática tradicionais, digamos em uma teoria de conjuntos como Zermelo-Fraenkel, e, nesse caso, podemos ou assumir certas condições de simetria que de certo modo nos permitem falar da não individualidade, ou restringir-nos a certas classes nas quais apenas uma relação mais fraca de indistinguibilidade está definida; (b) elaborar uma teoria matemática nova, na qual certa forma de não individualidade está ab initio incorporada para algumas das entidades. Discutimos a primeira hipótese apresentando "modelos internos" de ZFU e ZFC, onde a identidade é restrita de alguma forma, e comentamos vantagens e desvantagens dessa abordagem. Motivada pela segunda hipótese, é então desenvolvida, em seus traços principais, o que poderia ser uma mecânica quântica fundamentada em uma das possíveis teorias de conjuntos distintas das clássicas, a teoria de quase conjuntos. Como a lógica subjacente à teoria de quase conjuntos é uma lógica não reflexiva, a mecânica correspondente é denominada de mecânica quântica não reflexiva.
A forma do Lagrangiano clássico
L=T−Vé utilizada universalmente na mecânica analítica e na formulação variacional da física. Apesar de sua centralidade conceitual, essa estrutura é historicamente introduzida como hipótese de trabalho, não sendo usualmente derivada a partir de princípios mais fundamentais. Neste trabalho apresentamos uma derivação sistemática dessa forma a partir de uma estrutura interferencial mínima baseada na fase da ação. Partimos de três hipóteses físicas amplamente observadas em fenômenos interferenciais: (i) a existência de uma quantidade acumulativa associada às trajetórias, identificada como ação
S; (ii) a dependência das amplitudes físicas de fatores de fase do tipo
eiS/ℏ; e (iii) a possibilidade de parametrizar evoluções por parâmetros próprios monotônicos. Mostramos inicialmente que diferenças de ação entre sistemas geram coincidências episódicas isoladas, implicando uma discretização operacional de eventos de compatibilidade interferencial. Esses eventos organizam-se naturalmente em uma rede discreta de interações. Sob hipóteses variacionais mínimas — invariância de fase global, localidade na adjacência e conservação de fluxo — demonstramos que o operador estrutural associado à rede coincide com o Laplaciano combinatório
K=D−A, onde
A é a matriz de adjacência e
D a matriz de graus. A dinâmica linear das amplitudes complexas sobre essa rede, impondo linearidade, unitariedade e localidade, conduz a um gerador unitário da forma
H=αK+diag(V) \cite{vrev}. No limite contínuo, o Laplaciano da rede converge para o operador diferencial
−∇2, recuperando a equação de Schrödinger efetiva. A decomposição semiclassica
ψ=aeiS/ℏ leva, na ordem dominante em
ℏ, à equação de Hamilton--Jacobi
∂tS+2m(∇S)2+V=0, da qual identificamos o Hamiltoniano efetivo
H=2mp2+V. Aplicando a transformada de Legendre, obtemos então o Lagrangiano
L=21mx˙2−V, mostrando que a decomposição
T−V emerge como consequência direta da estrutura interferencial da fase e da dinâmica espectral do operador de rede. Como teste físico e validação do formalismo, estendemos o resultado ao regime relativístico, identificando a fase da ação com o tempo próprio. Mostramos que o termo local do gerador de rede atua como um modificador da métrica efetiva do espaço-tempo, conduzindo naturalmente à forma isotrópica
g00≈1+2Φ/c2. Sob a condição de fase estacionária para geodésicas nulas, derivamos o índice de refração gravitacional exato. Isso produz o ângulo de deflexão da luz de Einstein (
4GM/c2b) puramente como consequência da curvatura de fase, sem postular as equações de campo da Relatividade Geral. O resultado central do trabalho é que a mecânica clássica (
L=T−V) e a estrutura geométrica da gravitação não precisam ser assumidas como postulados independentes, mas emergem simultaneamente como limites efetivos de uma arquitetura variacional baseada em interferência de fase, discretização episódica e dinâmica espectral em redes.