Embora o estudo sobre emaranhamento quântico tenha sua origem na primeira metade do a século passado, com os trabalhos de A. Einstein, B. Podolsky e N. Rosen, somente nos anos e 80, após os experimentos de Aspect e colaboradores, é que esse assunto teve renovado o interesse pela comunidade científica. Tal fenômeno se mostrou de grande interesse tanto do ponto de vista teórico, filosófico e tecnológico. Apesar dos esforços, a detecção e medida de emaranhamento não é um assunto totalmente fechado. Falta-nos ainda uma forma geral de detecção e quantificação do emaranhamento. Nesse trabalho, temos por objetivo estudar o emaranhamento quântico. Particularmente, o emaranhamento térmico e macroscópico em sistemas de matéria condensada. Usaremos para isso, o método de distância entre estados como quantificador de emaranhamento. Tal método possui um forte apelo geométrico e possui a vantagem de não depender da dimensão nem do tamanho do sistema. A utilização de tal método não é recorrente na literatura pelo fato de que sua aplicação exige, em geral, métodos numéricos. Mostraremos uma forma analítica de aplicação para sistemas que satisfaçam o critério de Peres-Horodecki. Além disso, será apresentado o cálculo do emaranhamento para vários sistemas de spin-1/2 que satisfaçam a hamiltoniana de Heisenberg 1D, anisotrópica, sem campo magnético externo e com interação antiferromagnética. Além de sistemas dímeros, estudaremos o emaranhamento em sistemas trímeros, cadeias de Heisenberg infinitas e sistemas dímero-trímero. Mostraremos o comportamento do emaranhamento com a temperatura, bem como determinaremos a temperatura crítica de emaranhamento para vários compostos reais.
Embora o estudo sobre emaranhamento quântico tenha sua origem na primeira metade do a século passado, com os trabalhos de A. Einstein, B. Podolsky e N. Rosen, somente nos anos e 80, após os experimentos de Aspect e colaboradores, é que esse assunto teve renovado o interesse pela comunidade científica. Tal fenômeno se mostrou de grande interesse tanto do ponto de vista teórico, filosófico e tecnológico. Apesar dos esforços, a detecção e medida de emaranhamento não é um assunto totalmente fechado. Falta-nos ainda uma forma geral de detecção e quantificação do emaranhamento. Nesse trabalho, temos por objetivo estudar o emaranhamento quântico. Particularmente, o emaranhamento térmico e macroscópico em sistemas de matéria condensada. Usaremos para isso, o método de distância entre estados como quantificador de emaranhamento. Tal método possui um forte apelo geométrico e possui a vantagem de não depender da dimensão nem do tamanho do sistema. A utilização de tal método não é recorrente na literatura pelo fato de que sua aplicação exige, em geral, métodos numéricos. Mostraremos uma forma analítica de aplicação para sistemas que satisfaçam o critério de Peres-Horodecki. Além disso, será apresentado o cálculo do emaranhamento para vários sistemas de spin-1/2 que satisfaçam a hamiltoniana de Heisenberg 1D, anisotrópica, sem campo magnético externo e com interação antiferromagnética. Além de sistemas dímeros, estudaremos o emaranhamento em sistemas trímeros, cadeias de Heisenberg infinitas e sistemas dímero-trímero. Mostraremos o comportamento do emaranhamento com a temperatura, bem como determinaremos a temperatura crítica de emaranhamento para vários compostos reais.
O Emaranhamento quântico teve seu primeiro destaque no trabalho de Einstein, Podolsky e Rosen em 1935, mas foi somente nos anos 80, após as primeiras comprovações experi- mentais, que o emaranhamento passou a ser de grande interesse da comunidade cientı́fica. Na década de 90 vieram as primeiras grandes aplicações baseadas em tecnologias de ema- ranhamento. Os grandes problemas atuais do emaranhamento são detectar e quantificar o emaranhamento. Várias propostas existem, mas o assunto ainda permanece em aberto, tanto do ponto de vista teórico como filosófico. Neste trabalho, o principal objetivo é estu- dar o emaranhamento quântico dando enfase a medidas de emaranhamento via distância entre estados, tema que é pouco abordado na literatura. Particularmente, analisaremos o emaranhamento térmico em sistemas magnéticos descritos pelo modelo de Heisenberg para dı́meros de spin-1/2, dı́meros de spin-( 12 ,1) e trı́meros de spin-1/2 isotrópicos e ani- sotrópicos, na presença de campos magnéticos homogêneos e inomogêneos. Mostraremos os métodos e possibilidades de abordar o assunto com a medida proposta. Apresentare- mos cálculos analı́ticos para temperaturas crı́ticas de emaranhamento, medidas de ema- ranhamento e condições necessárias para que o emaranhamento se manifeste nos modelos citados. Palavras–chave: Emaranhamento. Distância entre estados. Norma de Hilbert-Schmidt. Modelo de Heisenberg.
Além disso, o emaranhamento tem se mostrado um ingrediente indispensável no ramo da computação quântica (no processamento e transmissão de informação) e também na física da matéria condensada (na compreensão de transições de fase quântica). No presente trabalho temos por objetivo apresentar algumas formas de caracterizar tanto quantitativo, quanto qualitativamente, o emaranhamento. Em especial, pretendemos apresentar e aplicar o método desenvolvido por Dahl et al. [1]. Tal método consiste em determinar a distância do estado separável mais próximo do estado de interesse, uma vez que tal distância pode ser utilizada para medir o grau de emaranhamento do sistema. Entendemos por estado separável um estado que apresenta somente cor- relações clássicas, ou seja, um estado não-emaranhado, estados que não são separáveis são ditos emaranhados.
O proposito desse trabalho e estudar o papel da desordem em sistemas de spins fortemente interagentes de baixa dimensionalidade. Do ponto de vista teorico, cadeias de spin sao extremamente atrativas por apresentarem uma nova fisica de baixas energias que vem da competicao entre o ordenamento magnetico e as .utuacoes quânticas. A introducao de desordem, onipresente no contexto experimental, e um elemento que pode desestabilizar as fases puras dando origem a uma nova fisica. Essa e a motivacao principal do estudo de seu papel. Neste trabalho nos estudamos 4 sistemas de spins antiferromagneticos desordenados:(i ) as escadas de spins-1/2 dos tipos 2 pernas e zig-zag, (ii ) as cadeias isotropicas de spins SU(N), (iii ) a cadeia anisotropica de spins SU(4), e (iv ) revisitamos a cadeia de spins-1/2. O estudo destes sistemas foi realizado aplicando generalizacoes da tecnica do grupo de renormalizacao no espaco real para desordem forte. No caso do primeiro sistema, nos mostramos que as escadas de spins sempre renormalizam em cadeias de spins muito bem conhecidas. A escada de 2 pernas renormaliza para uma cadeia de spins-1/2 dimerizada antiferromagnetica desordenada e, portanto, possui duas fases. Para dimerizacao forte ou equivalentemente desordem fraca, o sistema se encontra na fase de Haldane onde ha um gap e a desordem e irrelevante. Para dimerizacao fraca ou equivalentemente desordem forte, o gap de Haldane se fecha e o sistema se encontra numa fase de Griffiths onde as quantidades termodinâmicas sao controladas por um expoente nao universal denominado expoente dinâmico z . Em contraste, a escada zig-zag renormaliza ou para uma cadeia de spins-1/2 antiferromagnetica desordenada ou para uma cadeia de spins com acoplamentos ferro e antiferromagneticos desordenada. Se a desordem e a frustracao sao suficientemente fracas, a escada renormaliza para a primeira cadeia, caso contrario esta pertence a mesma classe de universalidade da segunda. Alem disso, relacionamos o expoente dinâmico da cadeia de spins com acoplamentos ferro e antiferromagneticos com a distribuicao de ponto fixo desses acoplamentos. Finalmente, atraves de argumentos simples, consideramos dizimacoes de acoplamentos correlacionados. Nesse caso, torna-se bem claro que a frustracao e responsavel pelo surgimento de acoplamentos ferromagneticos que poem a escada na bacia de atracao do ponto fixo das cadeias com acoplamentos ferro e antiferromagneticos. Com relacao a cadeia SU(N), desenvolvemos uma generalizacao do metodo do grupo de renormalizacao para desordem forte para uma cadeia isotropica antiferromagnetica de spins que pertencem a representacoes irredutiveis totalmente anti-simetricas do grupo SU(N), com N maior ou igual a 2. Conseguimos resolver as equacoes de fluxo analiticamente e descobrimos que essas cadeias pertencem a uma nova classe de universalidade cujos pontos fixos sao de desordem infinita e, por tal motivo, nossos resultados se tornam assintoticamente exatos. Proximo a esses pontos fixos, os expoentes caracteristicos sao universais, i. e., independentes da desordem inicial da cadeia, e dependem somente do posto N do grupo de simetria. Devido as similaridades entre as regras de aglomeracao de spins quando da dizimacao de uma cadeia de spins com acoplamentos ferro e antiferromagneticos e da dizimacao da cadeia isotropica de spins SU(N) no limite N ® µ , fomos capazes de calcular analiticamente, atraves de expansoes de 1/N , a funcao correlacao da primeira cadeia.Com relacao a cadeia de spins SU(4), modificamos a generalizacao do metodo de grupo de renormalizacao para levar em conta a anisotropia dos acoplamentos. Conseguimos determinar o diagrama de fases atraves de calculos analiticos e numericos. Todos os pontos fixos encontrados sao universais e de desordem infinita, entretanto, os expoentes caracteristicos dependem de uma maneira nao trivial da anisotropia do sistema. Por fim, revisitamos a cadeia de spins-1/2 antiferromagnetica. Calculamos a amplitude da funcao de correlacao media e a relacionamos com a amplitude da entropia de emaranhamento da mesma. Alem disso, argumentamos em favor da universalidade dessas amplitudes
Abstract
Desde o surgimento da mecânica quântica no início do século XX, ela vem sendo alvo de diversos estudos e suas característcas fazem com que a mesma seja descrita de forma totalmente diferente da teoria clássica. Com o aprofundamento em suas áreas, surgiram novos conceitos e a compreensão sobre a teoria da informação e computação quântica foi radicalmente mudada devido a uma propriedade básica da mecânica quântica, o emaranhamento. Assim, a popularização da ideia do computador quântico trouxe consigo uma série de pesquisas relacionadas a informação quântica e suas aplicações no mundo real. Nesta dissertação apresentamos um estudo sobre a construção de um critério de emaranhamento geral, no qual podemos aplicá-lo a quaisquer sistemas possuindo um Hamiltoniano descrito por cadeias de spins, seja ele bipartido ou multipartido. Esse critério é baseado na covariância de um observável geral que pode ou não possuir termos de interações entre os spins. Entretanto, esse critério pode ser facilmente reduzido a variância, uma vez que esta é muito mais adequada para a aplicação em sistemas físicos. Desta maneira, podemos utilizar a susceptibilidade magnética e o calor específico como testemunhas de emaranhamento para o critério, em razão da sua facilidade de medidas experimentais.
Foi proposta uma experiência na qual seria possível produzir um emaranhamento quântico de feixes de fótons com diferentes frequências, movendo-se em uma mesma direção, controlado por meio de um campo magnético externo. Nessa experiência, a interação entre o campo magnético e fótons é realizada por intermédio de elétrons, que interagem tanto com os fótons quanto com o campo magnético externo. Foi desenvolvida uma teoria que descreve processos físicos. Derivamos medidas de emaranhamento de informação e de Schmidt para um sistema geral de dois qubits e a medida residual para um sistema geral de três qubits. Usando a informação obtida da análise dos sistemas de dois e de três quase-fótons, calculamos medidas de emaranhamento. Criamos um programa para cálculo numérico, nesses casos, através do qual construímos gráficos de dependência das medidas de emaranhamentos em feixes de dois e de três fótons. Os resultados obtidos nos permitem ver como a medida de emaranhamento depende dos parâmetros, que caracterizam o sistema em questão. Por exemplo, se ambas as polarizações dos fótons coincidem, então, nenhum emaranhamento ocorre. O emaranhamento acontece apenas se as polarizações do fóton forem opostas.
De acordo com Schrödinger, o emaranhamento é a principal característica da mecânica quântica, e hoje, 100 anos após essa afirmação, sabemos que, apesar da estranheza dessa característica, este é um recurso fundamental para a computação quântica. Além disso, o emaranhamento está intimamente relacionado a outro fenômeno fundamental à com- putação e informação quântica, a não-localidade. Um dos principais debates acerca do emaranhamento teve inicio com o trabalho de Einsten, Podowski e Rosen, que levanta- ram a possibilidade de a mecânica quântica não ser uma teoria completa. Apenas 50 anos depois, um trabalho brilhante de John Bell colocou o trabalho de EPR em questões matemáticas coerentes e possibilitou a sua verificação experimental. Dentre os diversos modelos propostos para a computação quântica, o mais promissor no que diz respeito à estabilidade e coerência de estados é a computação quântica topológica, tendo os modos de Majorana como os principais expoentes para a sua realização, e o modelo de Kitaev a abordagem mais simples apresentando uma solução analítica. Nessa dissertação, aborda- remos aspectos de emaranhamento e não-localidade, seus fundamentos físicos e algumas aplicações a teoria da informação. Estudaremos as correlações entre medidas efetuadas nos estados de paridade dos modos de majoranas que surgem em cadeias de Kitaev, bus- cando uma possível violação de desigualdades de Bell para diferentes configurações de Majoranas modo zero. Palavras-chave: Férmions de Majorana. Emaranhamento. Não localidade.