O proposito desse trabalho e estudar o papel da desordem em sistemas de spins fortemente interagentes de baixa dimensionalidade. Do ponto de vista teorico, cadeias de spin sao extremamente atrativas por apresentarem uma nova fisica de baixas energias que vem da competicao entre o ordenamento magnetico e as .utuacoes quânticas. A introducao de desordem, onipresente no contexto experimental, e um elemento que pode desestabilizar as fases puras dando origem a uma nova fisica. Essa e a motivacao principal do estudo de seu papel. Neste trabalho nos estudamos 4 sistemas de spins antiferromagneticos desordenados:(i ) as escadas de spins-1/2 dos tipos 2 pernas e zig-zag, (ii ) as cadeias isotropicas de spins SU(N), (iii ) a cadeia anisotropica de spins SU(4), e (iv ) revisitamos a cadeia de spins-1/2. O estudo destes sistemas foi realizado aplicando generalizacoes da tecnica do grupo de renormalizacao no espaco real para desordem forte. No caso do primeiro sistema, nos mostramos que as escadas de spins sempre renormalizam em cadeias de spins muito bem conhecidas. A escada de 2 pernas renormaliza para uma cadeia de spins-1/2 dimerizada antiferromagnetica desordenada e, portanto, possui duas fases. Para dimerizacao forte ou equivalentemente desordem fraca, o sistema se encontra na fase de Haldane onde ha um gap e a desordem e irrelevante. Para dimerizacao fraca ou equivalentemente desordem forte, o gap de Haldane se fecha e o sistema se encontra numa fase de Griffiths onde as quantidades termodinâmicas sao controladas por um expoente nao universal denominado expoente dinâmico z . Em contraste, a escada zig-zag renormaliza ou para uma cadeia de spins-1/2 antiferromagnetica desordenada ou para uma cadeia de spins com acoplamentos ferro e antiferromagneticos desordenada. Se a desordem e a frustracao sao suficientemente fracas, a escada renormaliza para a primeira cadeia, caso contrario esta pertence a mesma classe de universalidade da segunda. Alem disso, relacionamos o expoente dinâmico da cadeia de spins com acoplamentos ferro e antiferromagneticos com a distribuicao de ponto fixo desses acoplamentos. Finalmente, atraves de argumentos simples, consideramos dizimacoes de acoplamentos correlacionados. Nesse caso, torna-se bem claro que a frustracao e responsavel pelo surgimento de acoplamentos ferromagneticos que poem a escada na bacia de atracao do ponto fixo das cadeias com acoplamentos ferro e antiferromagneticos. Com relacao a cadeia SU(N), desenvolvemos uma generalizacao do metodo do grupo de renormalizacao para desordem forte para uma cadeia isotropica antiferromagnetica de spins que pertencem a representacoes irredutiveis totalmente anti-simetricas do grupo SU(N), com N maior ou igual a 2. Conseguimos resolver as equacoes de fluxo analiticamente e descobrimos que essas cadeias pertencem a uma nova classe de universalidade cujos pontos fixos sao de desordem infinita e, por tal motivo, nossos resultados se tornam assintoticamente exatos. Proximo a esses pontos fixos, os expoentes caracteristicos sao universais, i. e., independentes da desordem inicial da cadeia, e dependem somente do posto N do grupo de simetria. Devido as similaridades entre as regras de aglomeracao de spins quando da dizimacao de uma cadeia de spins com acoplamentos ferro e antiferromagneticos e da dizimacao da cadeia isotropica de spins SU(N) no limite N ® µ , fomos capazes de calcular analiticamente, atraves de expansoes de 1/N , a funcao correlacao da primeira cadeia.Com relacao a cadeia de spins SU(4), modificamos a generalizacao do metodo de grupo de renormalizacao para levar em conta a anisotropia dos acoplamentos. Conseguimos determinar o diagrama de fases atraves de calculos analiticos e numericos. Todos os pontos fixos encontrados sao universais e de desordem infinita, entretanto, os expoentes caracteristicos dependem de uma maneira nao trivial da anisotropia do sistema. Por fim, revisitamos a cadeia de spins-1/2 antiferromagnetica. Calculamos a amplitude da funcao de correlacao media e a relacionamos com a amplitude da entropia de emaranhamento da mesma. Alem disso, argumentamos em favor da universalidade dessas amplitudes
Abstract
O proposito desse trabalho e estudar o papel da desordem em sistemas de spins fortemente interagentes de baixa dimensionalidade. Do ponto de vista teorico, cadeias de spin sao extremamente atrativas por apresentarem uma nova fisica de baixas energias que vem da competicao entre o ordenamento magnetico e as .utuacoes quânticas. A introducao de desordem, onipresente no contexto experimental, e um elemento que pode desestabilizar as fases puras dando origem a uma nova fisica. Essa e a motivacao principal do estudo de seu papel. Neste trabalho nos estudamos 4 sistemas de spins antiferromagneticos desordenados:(i ) as escadas de spins-1/2 dos tipos 2 pernas e zig-zag, (ii ) as cadeias isotropicas de spins SU(N), (iii ) a cadeia anisotropica de spins SU(4), e (iv ) revisitamos a cadeia de spins-1/2. O estudo destes sistemas foi realizado aplicando generalizacoes da tecnica do grupo de renormalizacao no espaco real para desordem forte. No caso do primeiro sistema, nos mostramos que as escadas de spins sempre renormalizam em cadeias de spins muito bem conhecidas. A escada de 2 pernas renormaliza para uma cadeia de spins-1/2 dimerizada antiferromagnetica desordenada e, portanto, possui duas fases. Para dimerizacao forte ou equivalentemente desordem fraca, o sistema se encontra na fase de Haldane onde ha um gap e a desordem e irrelevante. Para dimerizacao fraca ou equivalentemente desordem forte, o gap de Haldane se fecha e o sistema se encontra numa fase de Griffiths onde as quantidades termodinâmicas sao controladas por um expoente nao universal denominado expoente dinâmico z . Em contraste, a escada zig-zag renormaliza ou para uma cadeia de spins-1/2 antiferromagnetica desordenada ou para uma cadeia de spins com acoplamentos ferro e antiferromagneticos desordenada. Se a desordem e a frustracao sao suficientemente fracas, a escada renormaliza para a primeira cadeia, caso contrario esta pertence a mesma classe de universalidade da segunda. Alem disso, relacionamos o expoente dinâmico da cadeia de spins com acoplamentos ferro e antiferromagneticos com a distribuicao de ponto fixo desses acoplamentos. Finalmente, atraves de argumentos simples, consideramos dizimacoes de acoplamentos correlacionados. Nesse caso, torna-se bem claro que a frustracao e responsavel pelo surgimento de acoplamentos ferromagneticos que poem a escada na bacia de atracao do ponto fixo das cadeias com acoplamentos ferro e antiferromagneticos. Com relacao a cadeia SU(N), desenvolvemos uma generalizacao do metodo do grupo de renormalizacao para desordem forte para uma cadeia isotropica antiferromagnetica de spins que pertencem a representacoes irredutiveis totalmente anti-simetricas do grupo SU(N), com N maior ou igual a 2. Conseguimos resolver as equacoes de fluxo analiticamente e descobrimos que essas cadeias pertencem a uma nova classe de universalidade cujos pontos fixos sao de desordem infinita e, por tal motivo, nossos resultados se tornam assintoticamente exatos. Proximo a esses pontos fixos, os expoentes caracteristicos sao universais, i. e., independentes da desordem inicial da cadeia, e dependem somente do posto N do grupo de simetria. Devido as similaridades entre as regras de aglomeracao de spins quando da dizimacao de uma cadeia de spins com acoplamentos ferro e antiferromagneticos e da dizimacao da cadeia isotropica de spins SU(N) no limite N ® µ , fomos capazes de calcular analiticamente, atraves de expansoes de 1/N , a funcao correlacao da primeira cadeia.Com relacao a cadeia de spins SU(4), modificamos a generalizacao do metodo de grupo de renormalizacao para levar em conta a anisotropia dos acoplamentos. Conseguimos determinar o diagrama de fases atraves de calculos analiticos e numericos. Todos os pontos fixos encontrados sao universais e de desordem infinita, entretanto, os expoentes caracteristicos dependem de uma maneira nao trivial da anisotropia do sistema. Por fim, revisitamos a cadeia de spins-1/2 antiferromagnetica. Calculamos a amplitude da funcao de correlacao media e a relacionamos com a amplitude da entropia de emaranhamento da mesma. Alem disso, argumentamos em favor da universalidade dessas amplitudes
Abstract
Sistemas unidimensionais desordenados destacam-se por apresentar fenomenos sem analogos nos casos sem desordem ou em dimensoes maiores. Fenomenos inerentes a sistemas com desordem incluem antiferromagneticas de sistemas de spins, onde o estado fundamental e formado por colecoes de singletos de pares de spins, e localizacao de Anderson, onde a funcao de onda apresenta decaimento exponencial. Nesta Tese, estudamos alguns casos onde a fisica de baixas energias e dramaticamente alterada quando o sistema e desordenado, incluindo os exemplos citados anteriormente. Alem de sistemas que apresentam as propriedades fisicas anteriores, elucidamos ainda um mecanismo generico que leva ao aumento de simetria de baixas energias em sistemas de spins desordenados, um tema nao explorado previamente. Investigamos os efeitos de desordem em cadeias de spin genericos em uma dimensao, sendo as interacoes invariantes por rotacao do sistema de coordenadas e por reversao temporal. Para tanto, consideramos todos os termos possiveis que preservam estas simetrias. Tais termos vao alem do habitual termo de Heisenberg, em cadeias de spin S>1/2. Em cadeias de spin 1, encontramos distintas antiferromagneticas onde o estado fundamental e composto de uma colecao de singletos de spins cujas posicoes sao aleatorias. Em baixas energias, a desordem efetiva nestas cresce sem limites; tais sao chamadas, portanto, de fases de desordem infinita. Mais surpreendentemente, verificamos que nas antiferromagneticas a simetria de baixas energias e aumentada, de SU(2) para SU(3). Tal verificacao e feita a partir do mapeamento de operadores de spin monopolares, dipolares e quadrupolares para geradores de representacoes de SU(3), e a posterior constatacao de que a fisica de baixas energias e invariante por rotacoes com tal grupo de geradores. Em analogia com a fisica de particulas, uma das e do tipo barionica, onde o estado fundamental e composto de singletos de colecoes de tres spins (ou quarks formando um singleto de cor, pela analogia com altas energias), enquanto outra fase e do tipo mesonica, sendo o estado fundamental uma sopa de pares de spins (ou pares quark-antiquark, pela analogia). Alem das antiferromagneticas, mapeamos o diagrama de completo da cadeia de spin 1 bilinear e biquadratica (nos operadores de spin) no regime de desordem finita, incluindo ferromagneticas e de spin alto. Nestas, o ferromagnetismo e o antiferomagnetismo competem, o que se reflete no crescimento de spin efetivos, que sao os graus de liberdade efetivos em baixas energias, ser mais lento que no caso ferromagnetico. Ao contrario das antiferromagneticas, nestas de spin alto, a desordem efetiva satura em um valor finito. Estendemos o estudo para spins S>1 atraves do uso de tensores esfericos irredutiveis, que se mostram a linguagem natural para construcao das regras de dizimacao e analise do fluxo do grupo de renormalizacao para desordem forte. Novamente, incluimos todos os termos possiveis que respeitam invariância por rotacao SU(2) e reversao temporal. Descobrimos que ha tambem simetria aumentada nas antiferromagneticas em baixas energias, agora para o grupo SU(2S+1), simetria esta herdada de um ponto no espaco de parâmetros onde o mapeamento para SU(2S+1) e exato em todas as escalas de energia. Esta e uma generalizacao da fase mesonica SU(3) de cadeias de spin 1. Nos tambem discutimos o porque da fase barionica ser muito mais restritiva e, portanto, especial da cadeia de spins 1. Outro objeto de nosso estudo foram sistemas de fermions nao-interagentes em uma dimensao. Os hoppings de longo alcance sao escolhidos tendo um desvio padrao com decaimento em funcao da distância entre sitios, em forma de lei de potencia. Para tal estudo, estendemos o metodo de Equacoes de Fluxo, pioneiramente proposto por Wegner, para sistemas desordenados. Acoplado a esta extensao do metodo, propusemos uma tecnica de grupo de renormalizacao. A combinacao do uso direto das Equacoes de Fluxo, mais o metodo de grupo de renormalizacao, permitiu o mapeamento completo do diagrama de fases, com uma fase estendida (nao-localizada) para expoentes de decaimento menores que um, e uma fase localizada para expoentes maiores que um. O carater localizado ou delocalizado de determinada fase e determinado tanto pela evolucao da distribuicao de acoplamentos, quanto pelos autovalores do Hamiltoniano, atraves da medida de sua repulsao mutua entre niveis
Ab
As transições de fase quânticas ocorrem no limite de temperatura T → 0 K. Neste caso, não temos mais flutuações térmicas, mas ainda temos flutuações de origem quântica devido ao princípio da incerteza de Heisenberg. Estas flutuações podem levar a uma transição de fase ou destruição da ordem em um sistema ordenado. Neste caso, a transição entre uma fase e outra não é governada pela temperatura, mas por um parâmetro do hamiltoniano, que pode ser um campo magnético ou frustração geométrica. Dentro deste contexto, estão as cadeias de spin do tipo escada, as quais possuem comportamentos físicos fascinantes. Em particular, para cadeias escadas com duas pernas, as transições de fase quânticas entre as fases com e sem gap de excitação podem ser induzidas por meio de um campo magnético. Outras fases e transições podem surgir ao adicionar frustração na cadeia. Esta dissertação consiste no estudo de uma cadeia escada frustrada de spin 1/2, um modelo antiferromagnético unidimensional com interações do tipo Heisenberg. Determinamos as propriedades físicas através de resultados utilizando o grupo de renormalização da matriz densidade. A curva de magnetização apresenta até três platôs, dois platôs inteiros m = 0 e m = 1, e um platô fracionário m = 1/2 relacionado com uma quebra espontânea de simetria. Construímos um diagrama de fases campo magnético versus frustração, e identificamos linhas de transição de segunda ordem e uma linha de transição de primeira ordem.
Consideramos os efeitos de desordem ou aperiodicidade sobre três sistemas magnéticos distintos. Inicialmente, apresentamos um modelo fenomenológico para descrever a dependência térmica da magnetização remanente induzida por diluição numa classe de antiferromagnetos quase-unidimensionais. O modelo trata exatamente as correlações ao longo da direção dominante, levando em conta as demais interações por meio de um campo efetivo. Em seguida, utilizamos uma aproximação autoconsistente de Bethe-Peierls para avaliar os efeitos de um campo cristalino aleatório sobre os diagramas de fases de um modelo de Ising de spins mistos. Mostramos que a desordem é capaz de modificar a natureza dos pontos multicríticos existentes no limite uniforme do modelo. Finalmente, estudamos os efeitos de interações aleatórias ou aperiódicas sobre o comportamento da cadeia XX quântica em baixas temperaturas, através de câlculos numéricos baseados no mapeamento do sistema em um modelo de férmions livres. Apontamos evidências de que, em temperatura zero, existe um único ponto fixo universal, característico de uma fase de singleto aleatório, que governa o comportamento do modelo na presença de interações desordenadas. No caso de interações aperiódicas,obtemos resultados consistentes com previsões de grupo de renormalização, indicando, para uma certa classe de seqüências de substituição, um comportamento semelhante àquele associado à desordem.
Desde a descoberta de Stanley de que o modelo esférico é o limite de dimensionalidade de spin infinita do modelo de Heisenberg clássico, o modelo esférico tem atraído mais atenção do que meramente ser uma alternativa ao modelo de Ising. Como é bem conhecido, o modelo esférico clássico contradiz a terceira lei da Termodinâmica. Este defeito pode ser corrigido através de uma quantização do modelo. Nesta tese, escolhemos a proposta de Obermair que permite o controle das flutuações quânticas através do parâmetro g. Nesta tese, utilizamos o modelo esférico quântico de spin como laboratório da influência das flutuações quânticas sobre o comportamento magnético e termodinâmico da rede hipercúbica d-dimensional e das cadeias AB e AB2 antiferromagnéticas. A cadeia AB2 tem como motivações experimentais polímeros ferrimagnéticos e compostos de oxocupratos, dentre outras. Através da análise de observáveis como magnetização, susceptibilidade, comprimento de correlação e funções de correlação obtivemos no caso da rede hipercúbica que o modelo apresenta quebra espontânea de simetria a temperatura finita e para o estado fundamental (T=0). Através de cálculos detalhados dos observáveis mencionados acima pudemos obter os expoentes críticos associados às transições de fase térmica e quântica (T=0) da rede hipercúbica d-dimensional. Verificamos também que o calor específico em baixas temperaturas não viola a terceira lei da termodinâmica. Para o caso da cadeia AB, o estado fundamental antiferromagnético é obtido com a presença, e posterior anulamento, de campo magnético staggered e nas ausências de flutuações térmicas e quânticas e de campo uniforme. Por outro lado, o modelo esférico na cadeia AB3 apresenta estado fundamental ferrimagnético para g=T=h=0 mesmo na ausência de campo staggered. Entretanto, apesar das cadeias AB e AB2 não apresentarem transição de fase térmica ou quântica, os valores locais de spin da cadeia AB podem apresentar um comportamento antiferromagnético de curto alcance para flutuações térmicas e quânticas pouco intensas e baixos valores do campo magnético uniforme quando comparados com os do campo magnético staggered; no caso da cadeia AB2, destacamos comportamento ferrimagnético de curto alcance para fracas flutuações quânticas e térmicas e campo magnético baixo. Esses comportamentos antiferromagnético e ferrimagnético desaparecem com o aumento das flutuações térmicas e quânticas ou da presença do campo magnético. Tais resultados foram confirmados pelo comportamento assintótico das funções de correlação. Finalmente, obtivemos que os comportamentos em baixas temperaturas do modelo esférico quântico podem ser comparados com aquele da cadeia Heisenberg quântica XXZ, através da análise de observáveis como entropia e calor específico. A termodinâmica de altas temperaturas do modelo esférico quântico se assemelha à de um oscilador harmônico quântico, cuja freqüência depende da temperatura e do parâmetro quântico g
Sistemas desordenados vêm sendo objeto de extenso estudo devido ao fato de apresentarem características peculiares não presentes em sistemas ordenados.Entre estas características se encontra a controvenida questão da dependênciado valor de expoentes críticos com parâmetros não pertinentes no conceito tradicional de universalidade aplicada a sistemas uniformes. No presente trabalho, estudamos o comportamento do modelo de Ising generalizado com interaçôes leatórias entre primeiros vizinhos em duas dimensões(rede quadrada), através de simulações de Monte Carlo. Utilizamos uma rede quadrada 60x60 com condições de contorno periódicas e constantes de acoplamemo entre primeiros vizinhos distribuídas aleatoriamentede acordo com as distribuições de probabilidade bimodal e gaussiana. Variamos também os valores assumidos pelos spins: S1= ±1 e S1=0,±1. Este modelo só apresenta umatransição de fase em T=O,logo observamos uma divergência da susceptibilidade magnética em função do campo externo aplicado de acordo com uma lei de potência no limite T-+0 calculada para pequenos valores de campo.Observa-seque o expoentecritico associado 11 dependeda forma da distribuição de probabilidade dos Ji;porém para a mesma distribuição,independedo valor quântico do spin. Realizamos,em seguida,um estudo das propriedades do groundstate de vidros de spin unidimensionais através de resultados numéricos, obtidos utilizando relações de recorrência para a Hamiltonianado modelode Ising com interaçôes aleatórias em uma dimensão,na presença de z vizinhos. Utilizamos cadeias lineares com 10 spins e com constantes de acoplamentos seguindo distribuições de probabilidade uniforme, bimodale gaussiana. Estimamos o expoente critico Δ para diferentes distribuiçõese diferentes números de vizinhos. o que permitiu concluir que este sistema apresenta um comportamento dependente da distribuição de probabilidade, para certas distribuições, dependente do número de vizinhos
Neste trabalho estudamos o Modelo de Heisenberg Antiferromagnéico Anisotrópico de spin-1 com interações entre primeiros (J1 ao longo das linhas e J01 ao longo das colunas) e segundos vizinhos (J2 ao longo das diagonais) numa rede quadrada. Aplicamos inicial- mente o método da teoria de ondas de spin linear (LSWT) para estudar o comportamento da transição de fase quântica (T=0) e comparamos os resultados qualitativos com os valores obtidos para o modelo J1 J01 J2, onde exploramos os dois casos de spin-1/2 e spin-1. Analisamos o diagrama de fase no plano ( J01 =J1) versus ( J2=J1). No caso de spin-1/2 os resultados não são satisfatórios na região de pequeno valor de , onde a região desordenada está presente para qualquer valor de em contradição com outros resultados disponíveis na literatura que apresenta a fase desordenada para > 1, enquanto que para < 1 temos ausência desta fase desordenada com uma transição de fase direta de primeira ordem entre as fases antiferromagnética (AF) e colinear antifer-romagnética (CAF). O estado AF (estado de Néel) é caracterizado por spins orientados antiparalelamente sobre toda a rede quadrada. No caso do estado CAF, os spins estão orientados paralelamente em colunas e alternados em sentidos opostos entre cadeias na horizontal. No caso de spin-1 apenas disponibilizamos de um resultado na literatura, que foi obtido anos atrás por Bishop e colaboradores usando o método do cluster acoplado (CCM), no qual demonstram não existir a fase desordenada intermediária, nem mesmo para = 1, apresentando apenas transições de primeira ordem ( < 1) e segunda ordem ( > 1) com presença de um ponto tricrítico. Por outro lado, nossos resultados de ondas de spin mostram um diagrama de fase qualitativamente similar aos encontrados por outros métodos no caso de spin-1/2. Diante desta controvérsia dos resultados encontrados no spin-1, usando CCM e ondas de spin linear, iremos aplicar a técnica dos operadores de Sachdev (operadores de enlace). Nossos resultados indicam que temos a fase desordenada intermediária para qualquer valor de > 0.