Os estados coerente são observados em uma gama muito grande de sistemas físicos, o que possibilita seu estudo e aplicações em varias áreas da ciência. Apresentaremos uma breve discussão histórica e uma pequena análise do tratamento algébrico para os estados coerentes do oscilador harmônico simples. Apresentaremos a álgebra de Wigner-Heisenberg (WH) e o método algébrico para o oscilador generalizado desenvolvido por Jayaraman e Rodrigues [1]. Neste trabalho, investigaremos os estados coerentes do oscilador de Dirac para o caso tridimensional no contexto da álgebra de Wigner-Heisenberg. Para isso, é estabelecida uma conexão entre o hamiltoniano de Dirac quadrático ( ˜HD), e o hamiltoniano de Wigner (HW) em perspectiva da determinação do espectro de energia e das autofunções do oscilador de Dirac. Utilizamos a técnica da supersimetria (SUSI), como recurso algébrico, evidenciando a relação existente entre o hamiltoniano de Wigner e o oscilador harmônico isotrópico tridimensional supersimétrico.
Neste trabalho são determinados os Estados Coerentes do Oscilador Isotônico, a partir da álgebra de Wigner-Heisenberg e da aplicação da Supersimetria em Mecânica Quântica (SUSY). A interação entre a álgebra de Wigner-Heisenberg e a álgebra SUSY permitiu a identificação das coordenadas bosônicas e fermiônicas e seus respectivos espectros de energia. A partir desta setoriza§ao, foram construídos os Estados Coerentes para o Oscilador Isotônico para o setor bosônico. Foram analisadas, também, as principais propriedades desses estados, como não-ortogonalidade, relação de super-completude e relação de minima incerteza, das quais, as duas primeiras condizem com as propriedades dos Estados Coerentes do Oscilador Harmônico. Ao analisar a relação de minima incerteza para esses estados, verificou-se que para valores determinadas intensidades da barreira centrifuga I atinge-se auto estados da posição ou do momento.
No presente trabalho, apresentamos a construção dos estados coerentes para oscilador de Celka-Hussin. Também determinamos as propriedades de super-completeza e não ortogonalidade para esses estados. A técnica adotada para sua construção é inspirada na técnica usada por por Jayaraman e Rodrigues[1994]. Esses autores construíram, os estados coerentes para o setor bosˆonico do oscilador de Wigner, como também, o espectro completo da energia e as autofunções para o oscilador de Celka-Hussin(CH). Para clareza do método adotado, revisamos o procedimento para construção os estados coerentes para o setor Bosônico do oscilador de Wigner (Hw) para em seguida aplicarmos a técnica na construção do estado coerente para o hamiltoniano de Celka-Hussin (Hch).
Nesta tese, obtemos estados quânticos que satisfazem a equação de Schrödinger, para Hamiltonianos quadráticos de forma geral e, ao mesmo tempo, permitem de maneira natural obter a correspondência com a descrição clássica. Usamos o método de integrais de movimento para construir operadores de criação e aniquilação, que satisfazem a álgebra de Weyl-Heisenberg. Dessa forma, construímos os estados de número generalizados (ENG) de maneira análoga ao que é feito para os estados de Fock. Obtemos diferentes famílias de estados coerentes (EC), através de uma superposição dos ENG, que chamamos de estados coerentes generalizados (ECG). Esses estados são rotulados pela constante complexa z escrita em termos do valor esperado inicial da coordenada e do momento. Escrevemos os ECG em função do desvio padrão inicial na coordenada,
sigmaq, de modo a minimizar a relação de incerteza de Heisenberg no instante de tempo inicial. Obtemos, de forma pioneira, os ECG para partícula livre e discutimos em detalhes suas propriedades, tal como a relação de completeza, a minimização das relações de incerteza e a evolução da correspondente densidade de probabilidade. Mostramos que o valor esperado da coordenada e do momento segue ao longo da trajetória clássica no espaço de fase. Mostramos que, quando o comprimento de onda da partícula livre é muito menor que
sigmaq, os EC se comportam como estados semiclássicos. Além da partícula livre, construímos pela primeira vez, os ECG para o oscilador invertido e discutimos em detalhes suas propriedades. Mostramos que os ECG de sistemas diferentes podem ser relacionados, impondo condições sobre os parâmetros do Hamiltoniano. Por fim, consideramos Hamiltonianos dependentes do tempo, em particular, construímos os ECG, de forma exata, para um oscilador harmônico cuja frequência varia explicitamente no tempo. Mostramos ainda modelos úteis para obter solução exata de sistemas dependentes do tempo, fazendo analogia com a equação de spin ou equação de Schrödinger unidimensional independente do tempo. Além disso, desenvolvemos um método próprio, que fixa a solução e em seguida determinamos a forma da frequência.
Neste trabalho, investigamos a dinâmica de uma partícula relativística de spin 1/2 submetida a um potencial generalizado, constituído por um termo Coulombiano mais um termo escalar de Lorentz. A supersimetria é utilizada como recurso algébrico, bem como a atuação dos operadores escada, obtemos assim, um maior aperfeiçoamento matemático e entendimento físico do problema envolvido. Este formalismo e aplicado para o problema de Dirac-Coulomb generalizado que e um potencial exatamente solúvel em mecânica quântica relativística. As simetrias do problema coulombiano relativístico são pesquisadas a partir de um ponto de vista conceitual explorando analogias entre o caso clássico e o caso da mecânica quântica. A simetria do problema não-relativístico descrito pela álgebra de Lie 50(4) e usado como ideia norteadora. As propriedades do problema Dirac-Coulomb são discutidas em detalhe e relações entre as várias abordagens algébricas para estes problemas são apontadas. A relação natural entre a simetria dinâmica e o hamiltoniano de Dirac via o operador de Johnson-Lippmann generalizado no problema Dirac-Coulomb e investigado na nossa dissertação.
Neste trabalho estudamos uma das formulações da mecânica quântica no espaço de fases. Para tal utilizamos o formalismo de Moyal, obtido através de uma deformação da álgebra do espaço de fases clássico e a transformação de Wigner, um método que associa funções de posição do espaço de Hilbert à funções densidade de quasiprobabilidade do espaço de fases. Com estas ferramentas, estudamos os casos da partícula livre e do oscilador harmônico. Mostramos por fim que os estados coerentes de Glauber estão intimamente relacionados à equação de Liouville no caso do oscilador harmônico.
As álgebras de Heisenberg generalizadas (AHG) são métodos de fatorização que permitem a obtenção de operadores escada de diversos sistemas físicos em mecânica quântica. Os geradores da AHG, correspondentes a um determinado sistema físico, são os operadores hamiltoniano 𝐻̂, abaixamento 𝐴̂ e levantamento 𝐴̂†. As AHG dependem de uma função do operador hamiltoniano 𝐻̂, 𝑓(𝐻̂), denominada função característica, onde para qualquer sistema físico o espectro de energia satisfaz 𝑓(𝜀𝑛)=𝜀𝑛+1. Neste trabalho, utilizamos o método de AHG para investigar um oscilador deformado com massa efetiva dependente da posição (MDP) nos formalismos clássico e quântico [Journal of Mathematical Physics, 59 042101 (2018)]. Através da AHG, obtemos os operadores criação e aniquilação do oscilador deformado, assim como as autofunções 𝜓𝑛(𝑥). No formalismo clássico é possível fatorizar o hamiltoniano em termos de duas funções 𝐴(𝑥,𝑝) e 𝐴*(𝑥,𝑝), que juntamente com o próprio hamiltoniano, formam uma álgebra de Poisson. Estas funções levam diretamente a duas integrais de movimento a partir da qual é possível obter as trajetórias no espaço de fase. O sistema obtido constitui um análogo clássico da factorização do oscilador harmônico quântico.