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Jornada de Iniciação Científica e Extensão

Álgebras generalizadas de Heisenberg aplicadas a um oscilador deformado com massa efetiva dependente da posição

Eduardo Rodrigo Mendes Dos Reis, Bruno Gomes Costa

Published May 5, 2023• 0 citations
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Abstract

As álgebras de Heisenberg generalizadas (AHG) são métodos de fatorização que permitem a obtenção de operadores escada de diversos sistemas físicos em mecânica quântica. Os geradores da AHG, correspondentes a um determinado sistema físico, são os operadores hamiltoniano 𝐻̂, abaixamento 𝐴̂ e levantamento 𝐴̂†. As AHG dependem de uma função do operador hamiltoniano 𝐻̂, 𝑓(𝐻̂), denominada função característica, onde para qualquer sistema físico o espectro de energia satisfaz 𝑓(𝜀𝑛)=𝜀𝑛+1. Neste trabalho, utilizamos o método de AHG para investigar um oscilador deformado com massa efetiva dependente da posição (MDP) nos formalismos clássico e quântico [Journal of Mathematical Physics, 59 042101 (2018)]. Através da AHG, obtemos os operadores criação e aniquilação do oscilador deformado, assim como as autofunções 𝜓𝑛(𝑥). No formalismo clássico é possível fatorizar o hamiltoniano em termos de duas funções 𝐴(𝑥,𝑝) e 𝐴*(𝑥,𝑝), que juntamente com o próprio hamiltoniano, formam uma álgebra de Poisson. Estas funções levam diretamente a duas integrais de movimento a partir da qual é possível obter as trajetórias no espaço de fase. O sistema obtido constitui um análogo clássico da factorização do oscilador harmônico quântico.

Related papers

MECÂNICA QUÂNTICA NO ESPAÇO DE FASE PARA UM OSCILADOR COM MASSA EFETIVA DEPENDENTE DA POSIÇÃO

João Henrique Pachêco da Silva, Bruno Gomes da Costa

Este trabalho investiga a formulação da mecânica quântica no espaço de fases para sistemas unidimensionais com massa efetiva dependente da posição (PDM), utilizando duas abordagens baseadas em derivadas deformadas: uma associada a uma translação não aditiva e a outra à κ-álgebra. Ambas as deformações levam a operadores cinéticos modificados que resultam em equações de Schrödinger com potenciais efetivos específicos. A partir dos estados fundamentais obtidos analiticamente, derivamos as funções de Wigner correspondentes em forma fechada. Os resultados gráficos dessas funções revelam diferenças marcantes entre as deformações. No caso da derivada associada ao parâmetro γ, a função de Wigner inicialmente apresenta uma forma circular que se estica assimetricamente para o lado direito, refletindo a deformação logarítmica e uma dependência desigual da massa em relação à posição. Em contraste, a abordagem baseada em κ produz uma função de Wigner que mantém a simetria, com alongamento equilibrado em ambos os lados, devido à transformação via a função arcsinh, que preserva a simetria no espaço de fases. Essas características destacam os efeitos das simetrias não lineares impostas pelas deformações e fornecem uma visão detalhada da transição quântico-clássica em sistemas de massa variável. Há também concordância com a dinâmica clássica dos sistemas PDM nos valores esperados de posição e momento. Este estudo reforça a importância da função de Wigner como ferramenta para analisar sistemas quânticos deformados e suas conexões com a dinâmica clássica.

Jornada de Iniciação Científica e Extensão•Sep 16, 2026•0 citations

Osciladores quânticos com massa dependente da posição

J. P. G. Nascimento, I. Guedes

Neste trabalho investigamos as soluções da equação de Schrödinger de osciladores com massa dependente da posição utilizando o método algébrico de operadores escada e uma transformação canônica de ponto. Os resultados são ilustrados para um sistema onde m(x) ∝ x2. De posse das funções de onda, calculamos a informação de Fisher e a entropia de Shannon para a posição e momentum de uma partícula no estado fundamental deste sistema.

Revista Brasileira de Ensino de Física•May 25, 2016•0 citations

Coherent states for Hamiltonians quadratic in general form

Alberto Silva Pereira

Nesta tese, obtemos estados quânticos que satisfazem a equação de Schrödinger, para Hamiltonianos quadráticos de forma geral e, ao mesmo tempo, permitem de maneira natural obter a correspondência com a descrição clássica. Usamos o método de integrais de movimento para construir operadores de criação e aniquilação, que satisfazem a álgebra de Weyl-Heisenberg. Dessa forma, construímos os estados de número generalizados (ENG) de maneira análoga ao que é feito para os estados de Fock. Obtemos diferentes famílias de estados coerentes (EC), através de uma superposição dos ENG, que chamamos de estados coerentes generalizados (ECG). Esses estados são rotulados pela constante complexa z escrita em termos do valor esperado inicial da coordenada e do momento. Escrevemos os ECG em função do desvio padrão inicial na coordenada, $\\sigma_q$, de modo a minimizar a relação de incerteza de Heisenberg no instante de tempo inicial. Obtemos, de forma pioneira, os ECG para partícula livre e discutimos em detalhes suas propriedades, tal como a relação de completeza, a minimização das relações de incerteza e a evolução da correspondente densidade de probabilidade. Mostramos que o valor esperado da coordenada e do momento segue ao longo da trajetória clássica no espaço de fase. Mostramos que, quando o comprimento de onda da partícula livre é muito menor que $\\sigma_q$, os EC se comportam como estados semiclássicos. Além da partícula livre, construímos pela primeira vez, os ECG para o oscilador invertido e discutimos em detalhes suas propriedades. Mostramos que os ECG de sistemas diferentes podem ser relacionados, impondo condições sobre os parâmetros do Hamiltoniano. Por fim, consideramos Hamiltonianos dependentes do tempo, em particular, construímos os ECG, de forma exata, para um oscilador harmônico cuja frequência varia explicitamente no tempo. Mostramos ainda modelos úteis para obter solução exata de sistemas dependentes do tempo, fazendo analogia com a equação de spin ou equação de Schrödinger unidimensional independente do tempo. Além disso, desenvolvemos um método próprio, que fixa a solução e em seguida determinamos a forma da frequência.

•Apr 25, 2016•0 citations

Sobre aplicações da teoria quântica de invariantes a sistemas hamiltonianos dependentes do tempo

Alberes Lopes de Lima

Na presente tese, usamos operadores invariantes lineares a luz do metodo de invariantes dinâmicos para encontrar as solucoes exatas da equacao de Schrodinger para um oscilador harmonico forcado generalizado dependente do tempo em termos das solucoes de uma equacao diferencial de segunda ordem que descreve a amplitude de um oscilador harmonico amortecido nao-for¸cado. Construimos as solucoes do tipo pacotes de ondas gaussianos e calculamos as flutuacoes quânticas das coordenadas e momentos, bem como da correlacao entre ambos. Como destaque, mostramos que a largura das flutuacoes e as correlacoes do pacote gaussiano nao dependem da forca externa. Como caso particular, aplicamos nosso formalismo ao conhecido oscilador forcado de Caldirola-Kanai. Depois, fazemos uma descricao quântica da propagacao da luz num meio condutor, homogeneo, linear e com densidade de carga nula, usando o modelo de oscilador harmonico dependente de tempo numa abordagem fenomenologica usando o gauge de Coulomb, invariantes lineares e o metodo do invariante dinâmico. Obtemos as funcoes de onda exatas para este problema em termos de solucoes de uma equacao diferencial de segunda ordem que descreve a amplitude do oscilador amortecido classico. Alem disso, construimos solucoes do tipo pacotes de onda gaussianos e calculamos as flutuacoes e as correlacoes quânticas para cada modo do campo eletromagnetico quantizado. Em seguida, estendemos nossa investiga cao utilizando tambem um operador invariante quadratico. Encontramos as funcoes de onda exatas para a equacao de Schrodinger para a luz num meio condutor com frequencia dependente do tempo. Concluimos a presente tese abordando o problema de encontrar funcoes de onda (solucoes da equacao de Schrodinger) exatas, com dependencia temporal, para uma particula aprisionada por campos oscilantes.

•Jun 20, 2008•0 citations

Mecânica quântica no espaço de fases

Guilherme Monteiro Oliveira

Neste trabalho estudamos uma das formulações da mecânica quântica no espaço de fases. Para tal utilizamos o formalismo de Moyal, obtido através de uma deformação da álgebra do espaço de fases clássico e a transformação de Wigner, um método que associa funções de posição do espaço de Hilbert à funções densidade de quasiprobabilidade do espaço de fases. Com estas ferramentas, estudamos os casos da partícula livre e do oscilador harmônico. Mostramos por fim que os estados coerentes de Glauber estão intimamente relacionados à equação de Liouville no caso do oscilador harmônico.

•Jan 1, 2013•0 citations

Formulação da mecânica quântica por integrais de caminho de Feynman

Marcos Aurélio Leandro da Costa

A formulacao da mecânica quântica por integrais de caminho de Feynman surge como uma terceira representacao da teoria quântica, analoga as outras duas representacoes, de Schrodinger e de Heisenberg, de forma que sao matematicamente equivalentes. Entretanto, na representacao de Feynman o formalismo hamiltoniano e substituido pelo formalismo lagrangiano como ferramenta matematica utilizada na construcao da teoria quântica. Na integracao funcional da mecânica quântica, os operadores deixam de ser os principais objetos de estudo, tal como sao nas outras duas representacoes, dando lugar aos propagadores, que tem uma relacao intrinseca com o operador de evolucao temporal, sendo responsavel direto pela evolucao do estado quântico. Este estudo inicia-se com uma analise matematica do formalismo lagrangiano, fundamental para o desenvolvimento da teoria quântica por integrais de caminho de Feynman. Segue-se com a introducao do propagador quântico a partir da definicao do operador de evolucao temporal para uma hamiltoniana independente do tempo (sistema autonomo isolado). A partir desses conceitos, introduz-se a ideia da integral de caminho, onde agora tem-se que todos os caminhos sao possiveis, ao contrario da acao classica na qual o unico caminho possivel seria aquele em que a acao e um minimo. O estudo continua com a integral de trajetoria e sua analogia com a integral de Riemann. Em seguida, investiga-se as regras para dois eventos sucessivos, e tambem, as regras para varios eventos sucessivos. Por um, utiliza-se os conhecimentos obtidos da Integral de Caminho de Feynman para resolver o Oscilador Harmonico Simples e o Oscilador Harmonico Forcado, calculando-se suas autofuncoes e autovalores atraves do propagador quântico, obtendo-se resultados semelhantes aos encontrados por Schrodinger e Heisenberg, comprovando-se a equivalencia dessa representacao com as outras duas representacoes da mecânica quântica.

•Jan 1, 2014•0 citations
As álgebras de Heisenberg generalizadas (AHG) são métodos de fatorização que permitem a obtenção de operadores escada de diversos sistemas físicos em mecânica quântica. Os geradores da AHG, correspondentes a um determinado sistema físico, são os operadores hamiltoniano 𝐻̂, abaixamento 𝐴̂ e levantamento 𝐴̂†. As AHG dependem de uma função do operador hamiltoniano 𝐻̂, 𝑓(𝐻̂), denominada função característica, onde para qualquer sistema físico o espectro de energia satisfaz 𝑓(𝜀𝑛)=𝜀𝑛+1. Neste trabalho, utilizamos o método de AHG para investigar um oscilador deformado com massa efetiva dependente da posição (MDP) nos formalismos clássico e quântico [Journal of Mathematical Physics, 59 042101 (2018)]. Através da AHG, obtemos os operadores criação e aniquilação do oscilador deformado, assim como as autofunções 𝜓𝑛(𝑥). No formalismo clássico é possível fatorizar o hamiltoniano em termos de duas funções 𝐴(𝑥,𝑝) e 𝐴*(𝑥,𝑝), que juntamente com o próprio hamiltoniano, formam uma álgebra de Poisson. Estas funções levam diretamente a duas integrais de movimento a partir da qual é possível obter as trajetórias no espaço de fase. O sistema obtido constitui um análogo clássico da factorização do oscilador harmônico quântico.
Este trabalho investiga a formulação da mecânica quântica no espaço de fases para sistemas unidimensionais com massa efetiva dependente da posição (PDM), utilizando duas abordagens baseadas em derivadas deformadas: uma associada a uma translação não aditiva e a outra à κ-álgebra. Ambas as deformações levam a operadores cinéticos modificados que resultam em equações de Schrödinger com potenciais efetivos específicos. A partir dos estados fundamentais obtidos analiticamente, derivamos as funções de Wigner correspondentes em forma fechada. Os resultados gráficos dessas funções revelam diferenças marcantes entre as deformações. No caso da derivada associada ao parâmetro γ, a função de Wigner inicialmente apresenta uma forma circular que se estica assimetricamente para o lado direito, refletindo a deformação logarítmica e uma dependência desigual da massa em relação à posição. Em contraste, a abordagem baseada em κ produz uma função de Wigner que mantém a simetria, com alongamento equilibrado em ambos os lados, devido à transformação via a função arcsinh, que preserva a simetria no espaço de fases. Essas características destacam os efeitos das simetrias não lineares impostas pelas deformações e fornecem uma visão detalhada da transição quântico-clássica em sistemas de massa variável. Há também concordância com a dinâmica clássica dos sistemas PDM nos valores esperados de posição e momento. Este estudo reforça a importância da função de Wigner como ferramenta para analisar sistemas quânticos deformados e suas conexões com a dinâmica clássica.
Nesta tese, obtemos estados quânticos que satisfazem a equação de Schrödinger, para Hamiltonianos quadráticos de forma geral e, ao mesmo tempo, permitem de maneira natural obter a correspondência com a descrição clássica. Usamos o método de integrais de movimento para construir operadores de criação e aniquilação, que satisfazem a álgebra de Weyl-Heisenberg. Dessa forma, construímos os estados de número generalizados (ENG) de maneira análoga ao que é feito para os estados de Fock. Obtemos diferentes famílias de estados coerentes (EC), através de uma superposição dos ENG, que chamamos de estados coerentes generalizados (ECG). Esses estados são rotulados pela constante complexa z escrita em termos do valor esperado inicial da coordenada e do momento. Escrevemos os ECG em função do desvio padrão inicial na coordenada, sigmaq\\sigma_qsigmaq​, de modo a minimizar a relação de incerteza de Heisenberg no instante de tempo inicial. Obtemos, de forma pioneira, os ECG para partícula livre e discutimos em detalhes suas propriedades, tal como a relação de completeza, a minimização das relações de incerteza e a evolução da correspondente densidade de probabilidade. Mostramos que o valor esperado da coordenada e do momento segue ao longo da trajetória clássica no espaço de fase. Mostramos que, quando o comprimento de onda da partícula livre é muito menor que sigmaq\\sigma_qsigmaq​, os EC se comportam como estados semiclássicos. Além da partícula livre, construímos pela primeira vez, os ECG para o oscilador invertido e discutimos em detalhes suas propriedades. Mostramos que os ECG de sistemas diferentes podem ser relacionados, impondo condições sobre os parâmetros do Hamiltoniano. Por fim, consideramos Hamiltonianos dependentes do tempo, em particular, construímos os ECG, de forma exata, para um oscilador harmônico cuja frequência varia explicitamente no tempo. Mostramos ainda modelos úteis para obter solução exata de sistemas dependentes do tempo, fazendo analogia com a equação de spin ou equação de Schrödinger unidimensional independente do tempo. Além disso, desenvolvemos um método próprio, que fixa a solução e em seguida determinamos a forma da frequência.
Na presente tese, usamos operadores invariantes lineares a luz do metodo de invariantes dinâmicos para encontrar as solucoes exatas da equacao de Schrodinger para um oscilador harmonico forcado generalizado dependente do tempo em termos das solucoes de uma equacao diferencial de segunda ordem que descreve a amplitude de um oscilador harmonico amortecido nao-for¸cado. Construimos as solucoes do tipo pacotes de ondas gaussianos e calculamos as flutuacoes quânticas das coordenadas e momentos, bem como da correlacao entre ambos. Como destaque, mostramos que a largura das flutuacoes e as correlacoes do pacote gaussiano nao dependem da forca externa. Como caso particular, aplicamos nosso formalismo ao conhecido oscilador forcado de Caldirola-Kanai. Depois, fazemos uma descricao quântica da propagacao da luz num meio condutor, homogeneo, linear e com densidade de carga nula, usando o modelo de oscilador harmonico dependente de tempo numa abordagem fenomenologica usando o gauge de Coulomb, invariantes lineares e o metodo do invariante dinâmico. Obtemos as funcoes de onda exatas para este problema em termos de solucoes de uma equacao diferencial de segunda ordem que descreve a amplitude do oscilador amortecido classico. Alem disso, construimos solucoes do tipo pacotes de onda gaussianos e calculamos as flutuacoes e as correlacoes quânticas para cada modo do campo eletromagnetico quantizado. Em seguida, estendemos nossa investiga cao utilizando tambem um operador invariante quadratico. Encontramos as funcoes de onda exatas para a equacao de Schrodinger para a luz num meio condutor com frequencia dependente do tempo. Concluimos a presente tese abordando o problema de encontrar funcoes de onda (solucoes da equacao de Schrodinger) exatas, com dependencia temporal, para uma particula aprisionada por campos oscilantes.
Neste trabalho estudamos uma das formulações da mecânica quântica no espaço de fases. Para tal utilizamos o formalismo de Moyal, obtido através de uma deformação da álgebra do espaço de fases clássico e a transformação de Wigner, um método que associa funções de posição do espaço de Hilbert à funções densidade de quasiprobabilidade do espaço de fases. Com estas ferramentas, estudamos os casos da partícula livre e do oscilador harmônico. Mostramos por fim que os estados coerentes de Glauber estão intimamente relacionados à equação de Liouville no caso do oscilador harmônico.
A formulacao da mecânica quântica por integrais de caminho de Feynman surge como uma terceira representacao da teoria quântica, analoga as outras duas representacoes, de Schrodinger e de Heisenberg, de forma que sao matematicamente equivalentes. Entretanto, na representacao de Feynman o formalismo hamiltoniano e substituido pelo formalismo lagrangiano como ferramenta matematica utilizada na construcao da teoria quântica. Na integracao funcional da mecânica quântica, os operadores deixam de ser os principais objetos de estudo, tal como sao nas outras duas representacoes, dando lugar aos propagadores, que tem uma relacao intrinseca com o operador de evolucao temporal, sendo responsavel direto pela evolucao do estado quântico. Este estudo inicia-se com uma analise matematica do formalismo lagrangiano, fundamental para o desenvolvimento da teoria quântica por integrais de caminho de Feynman. Segue-se com a introducao do propagador quântico a partir da definicao do operador de evolucao temporal para uma hamiltoniana independente do tempo (sistema autonomo isolado). A partir desses conceitos, introduz-se a ideia da integral de caminho, onde agora tem-se que todos os caminhos sao possiveis, ao contrario da acao classica na qual o unico caminho possivel seria aquele em que a acao e um minimo. O estudo continua com a integral de trajetoria e sua analogia com a integral de Riemann. Em seguida, investiga-se as regras para dois eventos sucessivos, e tambem, as regras para varios eventos sucessivos. Por um, utiliza-se os conhecimentos obtidos da Integral de Caminho de Feynman para resolver o Oscilador Harmonico Simples e o Oscilador Harmonico Forcado, calculando-se suas autofuncoes e autovalores atraves do propagador quântico, obtendo-se resultados semelhantes aos encontrados por Schrodinger e Heisenberg, comprovando-se a equivalencia dessa representacao com as outras duas representacoes da mecânica quântica.