Na presente tese, estudamos o oscilador harmonico generalizado com massa e frequencia
dependentes do tempo e submetido a uma forca de friccao linear na velocidade cujo coeficiente de friccao depende do tempo, do ponto de vista classico e quântico. Obtivemos as
solucoes da equacao de movimento classica deste sistema para alguns casos particulares e
derivamos uma equacao de movimento que descreve simultaneamente tres sistemas diferentes.
Em seguida, com a ajuda dos operadores invariantes quadraticos e a luz do metodo
de invariantes dinâmicos encontramos as solucoes exatas da equacao de Schrodinger para
este sistema. Tambem derivamos as fases geometrica, dinâmica e de Berry para este
sistema nao-estacionario e as avaliamos para tres casos especiais. Ainda construimos estados
coerentes para este sistema quantizado e os empregamos para investigar algumas
propriedades quânticas tais como
utuacoes quânticas da coordenada e momento bem
como do produto das incertezas. Em seguida, utilizamos um operador invariante linear
e usamos o metodo de invariantes dinâmicos para encontrar solucoes exatas da equacao
de Schrodinger para um oscilador harmonico amortecido e forcado dependente do tempo.
Com as solucoes desta equacao, construimos solucoes na forma de pacotes de onda Gaussianos
assim como calculamos as
utuacoes quânticas das coordenadas e momentos, bem
como as correlacoes entre ambos. Finalmente, mostramos que a largura das
utuacoes e
correlacoes do pacote Gaussiano nao dependem da forca externa.
Neste trabalho estudamos uma das formulações da mecânica quântica no espaço de fases. Para tal utilizamos o formalismo de Moyal, obtido através de uma deformação da álgebra do espaço de fases clássico e a transformação de Wigner, um método que associa funções de posição do espaço de Hilbert à funções densidade de quasiprobabilidade do espaço de fases. Com estas ferramentas, estudamos os casos da partícula livre e do oscilador harmônico. Mostramos por fim que os estados coerentes de Glauber estão intimamente relacionados à equação de Liouville no caso do oscilador harmônico.
A forma do Lagrangiano clássico
L=T−Vé utilizada universalmente na mecânica analítica e na formulação variacional da física. Apesar de sua centralidade conceitual, essa estrutura é historicamente introduzida como hipótese de trabalho, não sendo usualmente derivada a partir de princípios mais fundamentais. Neste trabalho apresentamos uma derivação sistemática dessa forma a partir de uma estrutura interferencial mínima baseada na fase da ação. Partimos de três hipóteses físicas amplamente observadas em fenômenos interferenciais: (i) a existência de uma quantidade acumulativa associada às trajetórias, identificada como ação
S; (ii) a dependência das amplitudes físicas de fatores de fase do tipo
eiS/ℏ; e (iii) a possibilidade de parametrizar evoluções por parâmetros próprios monotônicos. Mostramos inicialmente que diferenças de ação entre sistemas geram coincidências episódicas isoladas, implicando uma discretização operacional de eventos de compatibilidade interferencial. Esses eventos organizam-se naturalmente em uma rede discreta de interações. Sob hipóteses variacionais mínimas — invariância de fase global, localidade na adjacência e conservação de fluxo — demonstramos que o operador estrutural associado à rede coincide com o Laplaciano combinatório
K=D−A, onde
A é a matriz de adjacência e
D a matriz de graus. A dinâmica linear das amplitudes complexas sobre essa rede, impondo linearidade, unitariedade e localidade, conduz a um gerador unitário da forma
H=αK+diag(V) \cite{vrev}. No limite contínuo, o Laplaciano da rede converge para o operador diferencial
−∇2, recuperando a equação de Schrödinger efetiva. A decomposição semiclassica
ψ=aeiS/ℏ leva, na ordem dominante em
ℏ, à equação de Hamilton--Jacobi
∂tS+2m(∇S)2+V=0, da qual identificamos o Hamiltoniano efetivo
H=2mp2+V. Aplicando a transformada de Legendre, obtemos então o Lagrangiano
L=21mx˙2−V, mostrando que a decomposição
T−V emerge como consequência direta da estrutura interferencial da fase e da dinâmica espectral do operador de rede. Como teste físico e validação do formalismo, estendemos o resultado ao regime relativístico, identificando a fase da ação com o tempo próprio. Mostramos que o termo local do gerador de rede atua como um modificador da métrica efetiva do espaço-tempo, conduzindo naturalmente à forma isotrópica
g00≈1+2Φ/c2. Sob a condição de fase estacionária para geodésicas nulas, derivamos o índice de refração gravitacional exato. Isso produz o ângulo de deflexão da luz de Einstein (
4GM/c2b) puramente como consequência da curvatura de fase, sem postular as equações de campo da Relatividade Geral. O resultado central do trabalho é que a mecânica clássica (
L=T−V) e a estrutura geométrica da gravitação não precisam ser assumidas como postulados independentes, mas emergem simultaneamente como limites efetivos de uma arquitetura variacional baseada em interferência de fase, discretização episódica e dinâmica espectral em redes.
RESUMOEm um curso tradicional de Química Quântica, os modelos estudados para ilustrar algumas das ferramentas da Mecânica Quântica relevantes para a compreensão da estrutura da matéria no nível atômico e molecular são apresentados no que se convencionou chamar, numa apresentação mais formal, de representação da posição.Nesta representação, o estado do sistema é descrito por uma função de onda dependente das posições das partículas que o constituem.Isso leva o estudante de química a uma concepção distorcida de que na natureza os estados dos sistemas devem ser obrigatoriamente descritos em termos das posições de suas partículas.Aqui mostramos que essa não é a única forma de abordar quanticamente a descrição de um sistema físico.Uma outra forma é servir-se da representação do momento, onde a função de estado depende do momento de cada uma das partículas.Existem dois caminhos para se obter as funções de estado na representação do momento.Uma delas é fazer-se a transformada de Fourier das funções de estado na representação da posição, e a outra é buscar resolver a equação de Schrödinger diretamente na representação do momento.Neste trabalho, foram discutidas essas duas abordagens para os modelos mais comuns estudados num curso de Química Quântica, sendo eles: a partícula na caixa, o oscilador harmônico, o átomo de hidrogênio, o átomo de hélio, o íon-molécula de hidrogênio (H 2 + ) e a molécula de hidrogênio (H 2 ).Buscou-se mostrar uma perspectiva diferente na descrição desses sistemas bem como uma abordagem matemática distinta da usual e, também, as dificuldades, principalmente matemáticas, de sua aplicação e ensino num curso de Química Quântica.
Nesta tese, estudamos o comportamento de sistema quânticos cujo limite clássico pode tanto apresentar um comportamento regular como caótico. Nosso estudo se baseou na caracterização dinâmica do comportamento, caótico ou regular, destes sistemas quânticos no limite clássico através da análise da estrutura de distribuições no espaço de fases. Particularmente, aplicamos estas ferramentas ao estudo da transição quântico-clássica para uma classe de sistemas, que denominamos genericamente como sistemas com propensão coletiva, os quais possuem a importante propriedade de admitir, em um certo limite análogo ao limite termodinâmico, uma descrição de sua dinâmica em termos de um número reduzido de variáveis de natureza coletiva. Esta propriedade além de nos permitir reduzir a dinâmica de sistemas com,plicados à dinâmica de sistema com poucos graus de liberdade, também nos permite, através de um escalonamento apropriado das variáveis coletivas, estudar o limite clássico destes sistemas concomitantemente com o limite termodinâmico, evitando assim lidar diretamente com procedimentos formais usualmente associados ao limite clássico da forma h 0. Diferentemente das abordagens usuais, a abordagem que utilizamos nesta tese, baseada na propensão coletiva dos sistemas, permite a implementação de uma descrição em termos do comportamento de distribuições no espaço de fases para sistemas com espectro puramente discreto num espaço de dimensão finita.
Este trabalho está dedicado a estudar a consistência global da dinâmica quântica de sistemas não-comutativos. Nosso ponto de partida é a teoria de sistemas vinculados, dado que esta provê uma descrição uni cada da dinâmica clássica e quântica para os modelos a serem investigados. Analisamos o problema relacionado com a existência da série de Born e unitariedade e focamos, na seqüência, na formulação funcional da dinâmica quântica dos sistemas não-comutativos. A compatibilidade entre as abordagens funcional e operatorial é substanciada de forma geral. Subseqüentemente, a transformada de Weyl generalizada de índice α é usada para implementar a de nição "via time-slicing" da integral de caminho no espaço de fase, o que nos permite calcular o correspondente propagador de Feynman. Como esperado, esta representação para o propagador de Feynman não é única, mas rotulada pelo parâmetro real α. Provamos que as contribuições dependentes de α desaparecem no limite quando o "slice" de tempo tende a zero, tal qual é requerido pela consistência da formulação. Esta prova é intrincada pois o Hamiltoniano envolve, necessariamente, produtos de operadores não comutantes. A anti-simetria da matriz que parametriza a não-comutatividade joga um papel fundamental no mecanismo de cancelamento dos termos dependentes de α. Por m, estudamos a implementação do processo formulado por Batalin, Fradkin e Tyutin (BFT), o qual permite transformar esses sistemas em uma teoria de calibre Abeliana exibindo apenas vínculos de primeira classe. A adequação da imersão BFT, como aplicada neste trabalho, é veri cada demonstrando que existe um mapeamento isomór co que conecta o modelo de segunda classe com o setor invariante de calibre da teoria de calibre. Como é sabido, a quantização funcional de uma teoria de calibre exige a eliminação da liberdade de calibre. Então, temos a nossa disposição um conjunto in nito de descrições alternativas para a mecânica quântica não-comutativa, uma para cada calibre. Estudamos as características relevantes deste in nito conjunto de correspondências. A quantização funcional da teoria de calibre é explicitamente realizada para dois calibres diferentes e os resultados comparados com o correspondente ao sistema de segunda classe. Dentro do quadro operatorial, a teoria de calibre é quantizada utilizando-se o método de Dirac.