Nos dois capítulos iniciais, abordamos a motivação e os fundamentos da estatística fra- cionária de exclusão (EFE) de Haldane. Esta proposta foi formulada por F. D. M. Hal- dane em 1991, e concerne uma generalização do princípio de Pauli para sistemas de muitas partículas. Essa estatística é baseada na contagem de estados quânticos e é válida em qualquer dimensão espacial. Além disso, verificamos que a EFE se mostra efetiva para ma- pear sistemas de bósons ou férmions interagentes em um sistema de quasipartículas com estatística governada por uma matriz g, com aspectos físico-matemáticos bem definidos. Em seguida, descrevemos o exemplo de Wu, isto é, o gás ideal composto dessas quasi- partículas ou espécies, denominadas exclusons, permitindo a derivação de propriedades como número de ocupação e energia total. Ressaltamos, nesse contexto, a nossa proposta de uma demonstração alternativa do teorema abaixo: "Em duas dimensões, o calor es- pecífico a volume constante é independente de g". Após a introdução dos métodos de estatística fracionária, nós os utilizamos para tratar o modelo de Hubbard de alcance in- finito. De fato, este modelo interagente pode ser mapeado em um gás ideal de três espécies de exclusons obedecendo à uma EFE de Haldane-Wu com uma matriz estatística g bem definida. Esta formulação foi utilizada, com sucesso, na descrição de outras variações do modelo de Hubbard. Assim, foi determinada a energia livre grã-canônica do sistema e, em seguida, usando a parte singular da energia livre, exploramos o sistema na região próxima ao ponto crítico: T = 0, μ = 0 e U = ∆. Nessa região, a energia livre é representada por uma série de potências, permitindo o cálculo dos expoentes críticos associados aos regimes quântico e quântico crítico. Salientamos que, no regime quântico crítico, os coeficientes da série são dados em termos das funções de Lerch. Por fim, derivamos resultados no contexto do modelo de Hubbard de alcance infinito no regime de spin incoerente. Em particular, derivamos a energia livre grâ canônica no limite de acoplamento forte, per- mitindo o cálculo da entropia e do calor específico. Mostramos que essas quantidades são descritas por séries de potências, cujos coeficientes são resumidos em duas tabelas, das quais podemos obter gráficos para várias dimensões (até dez), e no limite d → ∞. Para dimensões pares, as séries são finitas e definidas por funções polinomiais com ordem crescente com a dimensionalidade. Destacamos, ainda, o uso de técnicas de soma de Borel para contornar a divergência da série para dimensões ímpares.
Nos dois capítulos iniciais, abordamos a motivação e os fundamentos da estatística fra- cionária de exclusão (EFE) de Haldane. Esta proposta foi formulada por F. D. M. Hal- dane em 1991, e concerne uma generalização do princípio de Pauli para sistemas de muitas partículas. Essa estatística é baseada na contagem de estados quânticos e é válida em qualquer dimensão espacial. Além disso, verificamos que a EFE se mostra efetiva para ma- pear sistemas de bósons ou férmions interagentes em um sistema de quasipartículas com estatística governada por uma matriz g, com aspectos físico-matemáticos bem definidos. Em seguida, descrevemos o exemplo de Wu, isto é, o gás ideal composto dessas quasi- partículas ou espécies, denominadas exclusons, permitindo a derivação de propriedades como número de ocupação e energia total. Ressaltamos, nesse contexto, a nossa proposta de uma demonstração alternativa do teorema abaixo: "Em duas dimensões, o calor es- pecífico a volume constante é independente de g". Após a introdução dos métodos de estatística fracionária, nós os utilizamos para tratar o modelo de Hubbard de alcance in- finito. De fato, este modelo interagente pode ser mapeado em um gás ideal de três espécies de exclusons obedecendo à uma EFE de Haldane-Wu com uma matriz estatística g bem definida. Esta formulação foi utilizada, com sucesso, na descrição de outras variações do modelo de Hubbard. Assim, foi determinada a energia livre grã-canônica do sistema e, em seguida, usando a parte singular da energia livre, exploramos o sistema na região próxima ao ponto crítico: T = 0, μ = 0 e U = ∆. Nessa região, a energia livre é representada por uma série de potências, permitindo o cálculo dos expoentes críticos associados aos regimes quântico e quântico crítico. Salientamos que, no regime quântico crítico, os coeficientes da série são dados em termos das funções de Lerch. Por fim, derivamos resultados no contexto do modelo de Hubbard de alcance infinito no regime de spin incoerente. Em particular, derivamos a energia livre grâ canônica no limite de acoplamento forte, per- mitindo o cálculo da entropia e do calor específico. Mostramos que essas quantidades são descritas por séries de potências, cujos coeficientes são resumidos em duas tabelas, das quais podemos obter gráficos para várias dimensões (até dez), e no limite d → ∞. Para dimensões pares, as séries são finitas e definidas por funções polinomiais com ordem crescente com a dimensionalidade. Destacamos, ainda, o uso de técnicas de soma de Borel para contornar a divergência da série para dimensões ímpares.
A Estatística fracionária de exclusão (EFE) tem chamado muita atenção ao longo dos anos, particularmente em fenômenos manifestados no domínio de sistemas com elétrons fortemente correlacionados, como supercondutividade de alta Tc , férmions pesados, tran- sição metal-isolante (TMI) e efeito Hall quântico fracionário. Um modelo de destaque usado para descrever sistemas de elétrons correlacionados é o Modelo de Hubbard, que pode exibir uma transição de fase metal-isolante. Além disso, vários fenômenos físicos de interesse, como fases magnéticas, ocorrem para acoplamento coulombiano intermediário ou no limite de forte acoplamento. Recentemente, uma descrição bastante detalhada do modelo de Hubbard com interação de alcance infinito foi apresentada. Neste trabalho, foi mostrado que esse modelo é equivalente a um gás ideal de três espécies de partículas, as quais obedecem a uma EFE, e exibe uma TMI. A estatística fracionária se manifesta em várias quantidades termodinâmicas conforme nos aproximamos do ponto quântico crítico (PQC). Além disso, usando a densidade de estados na aproximação de tight-binding e a análise de escala próximo ao PQC, o comportamento da energia livre do Grande Potencial como uma função da dimensão da rede Hipercúbica d foi investigado em detalhes. Mais ainda, verificamos que, para valores pares da dimensão da rede, o Grande Potencial, geral- mente expresso por uma série de potências em termos de funções Lerch, é agora reduzido a funções polinomiais simples, com convexidade e monotonicidade específicas.
Utilizamos uma abordagem topológica para descrever as transições de fase induzidas pelo campo e frustração exibidas pelo modelo XY de alcance infinito na cadeia AB2, o qual exibe estruturas de spin colineares e não colineares. Para tal fim, calculamos o número de Morse e a característica de Euler, bem como outros invariantes topológicos, os quais se comportam de forma semelhante, em função do nível de energia, no contexto da Teoria de Morse. Em particular, baseado em uma analogia com a mecânica estatística, identificamos um método bastante viável para o cálculo da característica de Euler. Também introduzimos energias topológicas que ajudaram a esclarecer várias propriedades das transições de fase, tanto à temperatura nula quanto à temperatura finita. Além disso, estabelecemos uma conexão não trivial direta entre a termodinâmica dos sistemas, os quais foram resolvidos exatamente pelo método do ponto de sela, e a topologia do espaço de configurações. Esta conexão permite identificar a condição de não degenerescência em que a divergência da densidade dos pontos críticos do Jacobiano, jl(E), proposta por Kastner e Schnetz [Phys. Rev. Lett. 100, 160601 (2008)] como um critério de necessidade, é suprimida. Nossos resultados, e aqueles disponíveis na literatura, sugerem que a singularidade tipo cúspide exibida tanto pela característica de Euler quanto pela contribuição topológica para a entropia na energia crítica, simultaneamente com a divergência de jl(E), emergem como condições necessárias e suficientes para a ocorrência de uma transição de fase induzida por uma mudança topológica no espaço de configurações. O caráter geral da presente proposta deverá ser submetida a uma avaliação mais rigorosa e testada para outros modelos, incluindo modelos de interação de curto alcance. Finalmente, baseado na definição da integração sobre a característica de Euler, fizemos uma extensão da abordagem topológica das transições de fase para o ensemble microcanônico e a aplicamos para o caso do Modelo XY de alcance infinito na cadeia linear. Em particular, identificamos a temperatura crítica da transição de fase deste modelo através da característica de Euller.
Neste trabalho nós estudamos alguns sistemas de spins e vértices exatamente solúveis em duas dimensões. A solubilidade exata está ligada ao fato de existirem soluções não triviais das equações de fatorização, o que nos permite obter a energia livre no limite termodinâmico. Introduzimos e resolvemos pelo método de espalhamento inverso, um modelo de dez vértices assimétrico com dois e três estados nas ligações. Obtemos o diagrama de fases e mostramos que o sistema exibe uma transição de fase de primeira ordem. Analisamos um modelo de oito vértices de férmions livres e propomos uma nova relação funcional que nos permite calcular a energia livre por vértice. Mostramos que este sistema de vértices corresponde ao modelo de Ising na rede Union Jack. Apresentamos um método de solução de modelos de spin em redes triangulares a partir da solução do mesmo modelo na rede quadrada. O método se aplica sempre que o modelo de spins envolver interação de primeiros vizinhos e satisfizer a relação triângulo-estrela. Estendemos para a rede triangular, as soluções autoduais de Fateev e Zamolodchikov para a rede quadrada, de modelos de spin com simetria Z(N). Analisamos as conjecturas existentes sobre a criticalidade do modelo de Potts definido na rede de Kagomé. Baseados na simetria e nas degenerescências dessa rede conjecturamos uma expressão para a sua linha crítica.
Neste trabalho estudamos modelos teóricos que descrevem sistemas eletrônicos fortemente correlacionados, em especial o modelo t-J, e suas aplicações a compostos de óxidos de cobre, notadamente os compostos que apresentam supercondutividade de alta temperatura crítica e o composto Sr2CuO2Cl2. No primeiro capítulo do trabalho, fazemos uma exposição de três modelos que envolvem o tratamento das interações elétron-elétron, que são os modelos de Hubbard de uma banda, o modelo de Heisenberg e o modelo t-J. Na dedução deste último fazemos uma expansão canônica do hamiltoniano de Hubbard, no limite de acoplamento forte, levando-nos a obter um novo hamiltoniano que pode ser utilizado para descrever um sistema antiferromagnético bidimensional na presen- ça de lacunas, que é exatamente o que caracteriza os compostos supercondutores de alta temperatura crítica na sua fase de baixa dopagem.Após termos obtido o hamiltoniano que descreve o modelo t-J, aplicamos à este uma descrição de polarons de spin, numa representação de holons, que são férmions sem spin, e spinons, que são bósons que carregam somente os graus de liberdade de spin. Utilizando uma função de Green para descrever a propagação do polaron pela rede, obtemos uma equação para a sua autoenergia somando uma série de diagramas de Feynman, sendo que para este cálculo utilizamos a aproxima ção de Born autoconsistente[1]. Do ponto de vista numérico demonstramos que a equação integral de Dyson resultante do tratamento anterior não requer um procedimento iterativo para sua solução, e com isto conseguimos trabalhar com sistemas com grande número de partículas. Os resultados mostram, como um aspecto novo, que o tempo de vida média do holon tem um valor bastante grande no ponto (π,0 ) da rede recíproca, perto da singularidade de Van Hove mencionada na literatura[2]. Este aspecto, e suas implicações, é amplamente discutido neste capítulo. No capítulo 3 estudamos o modelo estendido t-t'-J, com tunelamento à segundos vizinhos e a incorporação dos termos de três sítios[3]. Fazemos a mesma formulação do capítulo anterior, e discutimos as aplicações dos nossos resultados ao óxido mencionado anteriormente. Finalmente, no último capítulo apresentamos uma aplicação original do modelo t-J à uma rede retangular, levemente distorcida, e demonstramos que os resultados do capítulo 3 são reproduzidos sem necessidade de introduzir termos de tunelamento adicionais no hamiltoniano. Esta aplicação pode se tornar relevante para o estudo das fases de tiras encontradas recentemente nesses materiais de óxidos de cobre.
Investigamos aqui as propriedades de baixa energia de dois modelos eletronicos fortemente
correlacionados em duas dimensoes espaciais. O primeiro deles consiste em uma versao do modelo
de Hubbard em que sao considerados apenas os graus de liberdade do sistema na vizinhanca dos
chamados hot spots, que sao definidos como a interseccao da superficie de Fermi do modelo com a
zona antiferromagnetica. Inicialmente, definimos a nossa teoria linearizando a dispersao do modelo
nos hot spots e consideramos todos os processos de interacao entre essas regioes que conservam
momento a menos de um vetor da rede reciproca. Para acessar a fisica do modelo, recorremos
entao ao metodo de grupo de renormalizacao de teoria de campos e derivamos as equacoes de
fluxo para os acoplamentos na aproximacao de dois loops. Como resultado, obtemos que a
superficie de Fermi do modelo sofre forte renormalizacao nos hot spots, ao mesmo tempo que os
acoplamentos renormalizados fluem para um ponto fixo nao trivial no limite de baixa energia.
Sugerimos entao que esse sistema pode ser visto como um exemplo de um liquido de nao-Fermi
em duas dimensoes espaciais, devido a ausencia de excitacoes fermionicas do tipo quasiparticula
bem definidas na regiao proxima aos hot spots. Alem disso, resolvemos a equacao de Callan-
Symanzik para a funcao de Green de uma particula na aproximacao de dois loops, calculamos a
densidade de estados nos hot spots, e derivamos as equacoes de grupo de renormalizacao para os
parâmetros de ordem das possiveis instabilidades que podem, eventualmente, ocorrer no sistema
em baixas energias. Verificamos que o sistema pode ser caracterizado, nesse regime, em termos de
uma simetria emergente de pseudospin [SU(2)]4, que leva ao aparecimento de ordens emaranhadas
na regiao proxima ao ponto fixo nao trivial do modelo. Mostramos tambem que as excitacoes
fermionicas nas regioes adjacentes aos hot spots adquirem um gap nos espectros de excitacao de
carga e spin. Devido a isso, argumentamos que a superficie de Fermi do modelo pode ser
reconstruida, levando assim a formacao de arcos de Fermi ou pockets eletronicos.
O segundo modelo analisado nesta tese foi o modelo de tres bandas de Emery, que descreve todos
processos de interacao entre as excitacoes fermionicas localizadas nos orbitais do cobre (Cu) e do
oxigenio (O) na celula unitaria de CuO2. Atraves de uma transformada de Hubbard-Stratonovich,
introduzimos dois parâmetros de ordem no sistema: um para a chamada fase de corrente de loop do
tipo ΘII, que viola a simetria de reversao temporal Z2, e outro para a fase emaranhada com simetria
dx
2
-y
2 envolvendo a instabilidade supercondutora do tipo singleto e a ordem de densidade de carga
quadrupolar, cujo vetor de onda aponta na direcao da diagonal da zona de Brillouin. Minimizando
a energia livre do modelo, derivamos as equacoes auto-consistentes de campo medio para esses
parâmetros de ordem. A solucao dessas equacoes para o regime de temperatura nula mostra que as
duas fases competem entre si pela mesma regiao do espaco de fase e, consequentemente, o sistema
tende a nao exibir coexistencia entre as mesmas. Argumentamos que esse efeito pode ser a
principal razao para o fato de a fase onda de densidade quadrupolar nunca ter sido observada em
experimentos realizados nos cupratos supercondutores. Em seguida, analisamos a competicao entre
as fases de corrente de loop do tipo ΘII, observada experimentalmente, e ordem de carga com
simetria dx2-y2 e vetores de onda na direcao dos eixos principais da zona de Brillouin. Como
resultado, obtemos que o sistema exibe coexistencia apenas entre as fases de corrente de loop do
tipo ΘII e ordem de carga bidirecional. Devido a existencia de uma simetria de pseudospin nesse
modelo, confirmamos tambem que a fase de corrente de loop do tipo ΘII coexiste com a fase onda
de densidade de pares bidirecional. Por fim, discutimos as implicacoes dos nossos resultados para a
fase de pseudogap dos cupratos supercondutores, que emerge no chamado regime subdopado
nesses sistemas.
Desde a descoberta de Stanley de que o modelo esférico é o limite de dimensionalidade de spin infinita do modelo de Heisenberg clássico, o modelo esférico tem atraído mais atenção do que meramente ser uma alternativa ao modelo de Ising. Como é bem conhecido, o modelo esférico clássico contradiz a terceira lei da Termodinâmica. Este defeito pode ser corrigido através de uma quantização do modelo. Nesta tese, escolhemos a proposta de Obermair que permite o controle das flutuações quânticas através do parâmetro g. Nesta tese, utilizamos o modelo esférico quântico de spin como laboratório da influência das flutuações quânticas sobre o comportamento magnético e termodinâmico da rede hipercúbica d-dimensional e das cadeias AB e AB2 antiferromagnéticas. A cadeia AB2 tem como motivações experimentais polímeros ferrimagnéticos e compostos de oxocupratos, dentre outras. Através da análise de observáveis como magnetização, susceptibilidade, comprimento de correlação e funções de correlação obtivemos no caso da rede hipercúbica que o modelo apresenta quebra espontânea de simetria a temperatura finita e para o estado fundamental (T=0). Através de cálculos detalhados dos observáveis mencionados acima pudemos obter os expoentes críticos associados às transições de fase térmica e quântica (T=0) da rede hipercúbica d-dimensional. Verificamos também que o calor específico em baixas temperaturas não viola a terceira lei da termodinâmica. Para o caso da cadeia AB, o estado fundamental antiferromagnético é obtido com a presença, e posterior anulamento, de campo magnético staggered e nas ausências de flutuações térmicas e quânticas e de campo uniforme. Por outro lado, o modelo esférico na cadeia AB3 apresenta estado fundamental ferrimagnético para g=T=h=0 mesmo na ausência de campo staggered. Entretanto, apesar das cadeias AB e AB2 não apresentarem transição de fase térmica ou quântica, os valores locais de spin da cadeia AB podem apresentar um comportamento antiferromagnético de curto alcance para flutuações térmicas e quânticas pouco intensas e baixos valores do campo magnético uniforme quando comparados com os do campo magnético staggered; no caso da cadeia AB2, destacamos comportamento ferrimagnético de curto alcance para fracas flutuações quânticas e térmicas e campo magnético baixo. Esses comportamentos antiferromagnético e ferrimagnético desaparecem com o aumento das flutuações térmicas e quânticas ou da presença do campo magnético. Tais resultados foram confirmados pelo comportamento assintótico das funções de correlação. Finalmente, obtivemos que os comportamentos em baixas temperaturas do modelo esférico quântico podem ser comparados com aquele da cadeia Heisenberg quântica XXZ, através da análise de observáveis como entropia e calor específico. A termodinâmica de altas temperaturas do modelo esférico quântico se assemelha à de um oscilador harmônico quântico, cuja freqüência depende da temperatura e do parâmetro quântico g