Nesta tese de doutorado são investigadas aplicações de códigos algébrico-geométricos na construção de códigos estabilizadores, códigos quânticos assistidos por emaranhamento e códigos convolucionais clássicos e quânticos. Uma análise comparativa dos códigos criados com os códigos presentes na literatura também é feita. O primeiro resultado mostrado é sobre a obtenção de novos códigos algébrico-geométricos a partir de considerações sobre divisores de corpos de funções. Posteriormente, para a classe de códigos estabilizadores, dois tipos de métodos de construções de códigos estabilizadores com comprimento finito, e um para análise assintótica de códigos derivados de uma torre de códigos algébrico-gemétricos, são apresentados. Essa análise assintótica é feita sobre expansão de códigos algébrico- geométricos, o que difere dos trabalhos anteriores da literatura. Partindo para os códigos quânticos assistidos por emaranhamento, é mostrado que a utilização de códigos algébrico- geométricos na construção de códigos quânticos assistidos por emaranhamento é possível através de um resultado mostrado também nesta tese. Com isso, são construídas três famílias de códigos quânticos assistidos por emaranhamento utilizando a construção euclidiana destes códigos quânticos, além de mais uma pela construção hermitiana. Também é mostrado a existência de uma família assintoticamente boa, em termos de taxa e emaranhamento relativo, de códigos quânticos assistidos por emaranhamento. Códigos cíclicos também são aplicados na construção de códigos quânticos assistidos por emaranhamento. Descrevendo códigos cíclicos via conjunto de definição é possível diminuir a complexidade de criação e descrição dos códigos quânticos criados. Duas famílias com parâmetros ótimos são construídas através da utilização de códigos cíclicos. Por fim, para a construção de códigos convolucionais clássicos via códigos de blocos, é utilizado o método de construção proposto inicialmente por Piret. Uma análise deste método é feita por meio da construção de uma matriz geradora na forma canônica controladora e pelo cálculo da identidade de MacWilliams. Aplicando códigos algébrico- geométricos ao método de Piret são criados novos códigos convolucionais com parâmetros melhores que os códigos convolucionais existentes na literatura. Também são construídos códigos convolucionais quânticos a partir de códigos algébrico-geométricos.
Nesta tese de doutorado são investigadas aplicações de códigos algébrico-geométricos na construção de códigos estabilizadores, códigos quânticos assistidos por emaranhamento e códigos convolucionais clássicos e quânticos. Uma análise comparativa dos códigos criados com os códigos presentes na literatura também é feita. O primeiro resultado mostrado é sobre a obtenção de novos códigos algébrico-geométricos a partir de considerações sobre divisores de corpos de funções. Posteriormente, para a classe de códigos estabilizadores, dois tipos de métodos de construções de códigos estabilizadores com comprimento finito, e um para análise assintótica de códigos derivados de uma torre de códigos algébrico-gemétricos, são apresentados. Essa análise assintótica é feita sobre expansão de códigos algébrico- geométricos, o que difere dos trabalhos anteriores da literatura. Partindo para os códigos quânticos assistidos por emaranhamento, é mostrado que a utilização de códigos algébrico- geométricos na construção de códigos quânticos assistidos por emaranhamento é possível através de um resultado mostrado também nesta tese. Com isso, são construídas três famílias de códigos quânticos assistidos por emaranhamento utilizando a construção euclidiana destes códigos quânticos, além de mais uma pela construção hermitiana. Também é mostrado a existência de uma família assintoticamente boa, em termos de taxa e emaranhamento relativo, de códigos quânticos assistidos por emaranhamento. Códigos cíclicos também são aplicados na construção de códigos quânticos assistidos por emaranhamento. Descrevendo códigos cíclicos via conjunto de definição é possível diminuir a complexidade de criação e descrição dos códigos quânticos criados. Duas famílias com parâmetros ótimos são construídas através da utilização de códigos cíclicos. Por fim, para a construção de códigos convolucionais clássicos via códigos de blocos, é utilizado o método de construção proposto inicialmente por Piret. Uma análise deste método é feita por meio da construção de uma matriz geradora na forma canônica controladora e pelo cálculo da identidade de MacWilliams. Aplicando códigos algébrico- geométricos ao método de Piret são criados novos códigos convolucionais com parâmetros melhores que os códigos convolucionais existentes na literatura. Também são construídos códigos convolucionais quânticos a partir de códigos algébrico-geométricos.
Em computação quântica e especificamente na modelagem de circuitos quânticos de computação, uma porta lógica quântica (ou simplesmente porta quântica) é um circuito quântico básico que opera sobre um pequeno número de qubits, que são as unidades básicas de informação constituída por um sistema quântico de dois estados. Estes são os alicerces de construção de circuitos quânticos da mesma forma que as portas lógicas clássicas são para os circuitos digitais convencionais. No presente trabalho, pretendemos investigar aplicações da mecânica quântica não linear q-deformada em computação quântica, assim como a construção de suas portas lógicas quânticas que possam descrever fenômenos de interesse da comunidade científica nas áreas de computação quântica, teoria quântica, entre outras. Para a escrita dos trabalhos, utilizamos a linguagem de programação LaTeX, e para o desenvolvimento de gráficos ou resoluções de equações diferenciais, fizemos o uso da linguagem de programação Python. Para isso, promovemos estudos sobre alguns tópicos de computação quântica, álgebras generalizadas, linguagem de programação Python, entre outros. Nesta etapa do projeto, consideramos as seguintes referências bibliográficas: computação quântica, álgebra q-deformada, mecânica quântica não linear, circuitos quânticos, fenômenos de decoerência quântica, e etc. e promover as suas aplicações na construção do projeto, a fim de obter resultados que auxiliem a outros pesquisadores destes tópicos de pesquisa. Foram criados circuitos e analisamos a sua entropia em relação ao parâmetro de deformação algébrico q, analisamos também a taxa de variação da modificação dos estados e das probabilidades de estados dos qubits presentes nos circuitos simulados, sendo estudados também as plotagens acerca das funções generalizadas presentes nos artigos que foram usados como base neste trabalho e projeto. e para uma melhor consolidação dos resultados, criamos uma biblioteca no python que nos auxiliou no trabalho. Foi percebido que usando a matemática não usual presente nos artigos acerca da álgebra q-deformada, o parâmetro q consegue ter um enorme controle de entropia e velocidade de convergência do circuito quântico deformado em alguns respectivos algoritmos quânticos. Vendo que a sua velocidade de convergência pode ser modificada, para maior ou menor do que a usual, verifica-se aqui a extrema importância do parâmetro q em simulações e convergências de resultados acerca dos temas aqui trabalhados.
Este trabalho tem como objetivo apresentar a idéia geral da teoria matemática envolvida no processo de codificação de dados utilizando estados quânticos.Para isso, apresentaremos conceitos e propriedades da Teoria Quântica, que caracterizam o novo ambiente para a construção de códigos.Definiremos o grupo de operadores de erros que podem atuar no processo de transmissão através de um canal quântico e, baseados neste grupo, estudaremos a estrutura dos códigos corretores de erros, visando encontrar condições para a eficiência destes.Entre os códigos corretores de erros quânticos e suas propriedades, destacaremos a classe de códigos estabilizadores, cuja estrutura tem correspondência com a formalização dos códigos clássicos gerados sobre GF(4). Palavras-Chave:
As assinaturas digitais são de fundamental importância para as comunicações eletrônicas no mundo todo por garantirem a integridade e autenticidade da informação. Com os avanços da ciência nas áreas da mecânica quântica e a introdução destes novos conceitos nas telecomunicações, a segurança da informação também precisou evoluir e cada vez mais se tem buscado novos sistemas de segurança que forneçam maior integridade e autenticidade que os sistemas clássicos. Dessa forma o objetivo deste trabalho é utilizar as propriedades do problema QSCDff , para a criação de um protocolo de assinatura quântica de mensagens. O problema QSCD ff possui propriedades matemáticas e computacionais para garantir a integridade e autenticidade das assinaturas geradas. O protocolo proposto faz uso de chaves descritas na forma de estados quânticos construídos a partir de permutações de um grupo simétrico e de uma função de hash para a compressão da mensagem original. Como entrada o protocolo recebe a mensagem clássica e uma chave privada. Para a geração do estado quântico da assinatura utiliza-se uma permutação como chave privada e o hash da mensagem. Gerar tal assinatura sem ter uma chave privada consiste em resolver um problema de encontrar automorfismos não triviais de grafos. A validação deste estado é feita através da aplicação do algoritmo quântico de busca de Grover. Por fim é mostrado que a probabilidade de falsificação da assinatura é negligenciável dado o número de cópias do estado da assinatura.
Nesta dissertação estudamos o emaranhamento quântico como ferramenta para a computação e informação quântica. Restringimo-nos ao emaranhamento bipartite existente entre dois qubits descritos por um hamiltoniano de Heisenberg. A escolha deste hamiltoniano devese ao fato de vá rios sistemas físicos distintos conseguirem simulá -los além de ser possível a construção de portas lógicas através dos controles de seus parâmetros por intervalos de tempos específicos. A restrição a dois qubits é motivada pelo objetivo central deste trabalho: compreender melhor o que é o emaranhamento. O escudo de casos simples favorece um posterior entendimento de situações mais complexas. Atacamos o problema por intermédio de diversos formalismos: o canônico (matricial ), o de segunda quantização e por últime através da álgebra geométrica. Os principais resultados consistem, primeiramente, na quantificação do emaranhamento de formação numa temperature arbitrária para este sistema de dois qubits, sendo uma proposta para gerar emaranhamento sob demanda para uso em computação e informative quân- tica. Conseguimos, também, um avanço na compreensão (etapa crucial ao desenvolvimento desta área) do emarmzhatrlento na linguagem de álgebra geométrica
Inicialmente, os conceitos fundamentais e a problemática básica subjacentes ao Controle de Sistemas Quânticos são apresentados, destacando-se, por exemplo, as questões físicas e dinâmicas envolvidas, os principais tipos e metodologias de controle no contexto quântico, bem como aplicações existentes e potenciais de Controle Quântico, muitas das quais situando-se na vanguarda da Ciência e da Tecnologia. Segue-se uma exposição do arcabouço teórico básico e do formalismo padrão da Mecânica Quântica, tendo em vista prover os elementos necessários à compreensão de sistemas quânticos, sua dinâmica e seu controle. O conceito de Controlabilidade é, então, apresentado no contexto de Sistemas Quânticos. Em seqüência, os fundamentos do Controle Quântico Ótimo são desenvolvidos como uma extensão da Teoria Clássica de Controle Ótimo, apresentando-se exemplos de aplicações. Ao problema da transferência de estados quânticos para um estado-alvo em tempo mínimo é devotada especial atenção, dada sua grande relevância em aplicações tecnológicas de ponta, como em Computação Quântica e Processamento de Informação Quântica. A partir de limitações físicas que são inerentes a qualquer sistema quântico, no tocante ao tempo mínimo necessário para que ocorra uma transição de estados, propõem-se Fatores de Mérito para quantificar a eficiência dos controles quânticos ótimos que minimizam o tempo de transferência de estados. Exemplos de aplicação, estudos teóricos e estudos de casos são levados a cabo para a definição dos Fatores de Mérito associados. Este trabalho termina com estudos relativos a uma possível formulação da Teoria de Controle Quântico Ótimo em termos de Integrais de Trajetória para o tratamento de sistemas quânticos contínuos, em especial, o controle espaço-temporal de partículas quânticas. Um possível emprego do Efeito Aharonov-Bohm é também discutido como estratégia de Controle Quântico.