Este trabalho tem como objetivo apresentar a idéia geral da teoria matemática envolvida no processo de codificação de dados utilizando estados quânticos.Para isso, apresentaremos conceitos e propriedades da Teoria Quântica, que caracterizam o novo ambiente para a construção de códigos.Definiremos o grupo de operadores de erros que podem atuar no processo de transmissão através de um canal quântico e, baseados neste grupo, estudaremos a estrutura dos códigos corretores de erros, visando encontrar condições para a eficiência destes.Entre os códigos corretores de erros quânticos e suas propriedades, destacaremos a classe de códigos estabilizadores, cuja estrutura tem correspondência com a formalização dos códigos clássicos gerados sobre GF(4). Palavras-Chave:
Este trabalho tem como objetivo apresentar a idéia geral da teoria matemática envolvida no processo de codificação de dados utilizando estados quânticos.Para isso, apresentaremos conceitos e propriedades da Teoria Quântica, que caracterizam o novo ambiente para a construção de códigos.Definiremos o grupo de operadores de erros que podem atuar no processo de transmissão através de um canal quântico e, baseados neste grupo, estudaremos a estrutura dos códigos corretores de erros, visando encontrar condições para a eficiência destes.Entre os códigos corretores de erros quânticos e suas propriedades, destacaremos a classe de códigos estabilizadores, cuja estrutura tem correspondência com a formalização dos códigos clássicos gerados sobre GF(4). Palavras-Chave:
Nesse trabalho, estamos interessados em explorar os fundamentos no estudo dos códigos corretores de erros, tanto no contexto clássico quanto no quântico. Para isso, buscamos contextualizar os desafios da informação quântica em relação à informação clássica e a necessidade de técnicas específicas para lidar com a fragilidade dos estados quânticos. Apresentamos os códigos quânticos coloridos, uma classe promissora de códigos quânticos que combina elementos topológicos para oferecer maior robustez e eficiência na correção de erros.
A Computação Quântica é um tópico relativamente recente e pouco conhecido, principalmente no meio da Computação.Seu estudo surgiu na tentativa de físicos simularem sistemas regidos pela Mecânica Quântica por computadores clássicos, o que se conjecturou inviável.Portanto, um novo modelo computacional que utiliza a estrutura quântica da matéria para computar foi teorizado para suprir estas deficiências.Este trabalho tem como objetivo principal estudar as influências da Computação Quântica na Teoria da Computação.Para atingir tal objetivo, primeiramente são expostos os conhecimentos básicos da Mecânica Quântica através de uma linguagem voltada para Teóricos de Computação sem conhecimento prévio na área, de forma a remover a barreira inicial sobre o tema.Em seguida, serão apresentadas inovações na área da Teoria de Computação oriundas da Computação Quântica.Começaremos com os principais Algoritmos Quânticos desenvolvidos até hoje, que foram os primeiros passos para demonstrar a possível superioridade computacional do novo modelo.Dentre estes algoritmos, apresentaremos o famoso Algoritmo de Shor, que fatora números em tempo polinomial.Adicionalmente, neste trabalho foram estudados tópicos mais avançados e atuais em Computabilidade e Complexidade Quânticas.Sobre Autômatos Quânticos, foram estudados aspectos de um modelo que mistura estados clássicos e quânticos, focando na comparação do poder computacional em relação aos Autômatos Finitos Clássicos.Do ponto de vista de Classes de Complexidade, será abordada a questão se em linguagens da classe QMA, o análogo quântico da classe NP, consegue-se atingir probabilidade de erro nulo na aceitação de instâncias positivas.
Nesta tese de doutorado são investigadas aplicações de códigos algébrico-geométricos na construção de códigos estabilizadores, códigos quânticos assistidos por emaranhamento e códigos convolucionais clássicos e quânticos. Uma análise comparativa dos códigos criados com os códigos presentes na literatura também é feita. O primeiro resultado mostrado é sobre a obtenção de novos códigos algébrico-geométricos a partir de considerações sobre divisores de corpos de funções. Posteriormente, para a classe de códigos estabilizadores, dois tipos de métodos de construções de códigos estabilizadores com comprimento finito, e um para análise assintótica de códigos derivados de uma torre de códigos algébrico-gemétricos, são apresentados. Essa análise assintótica é feita sobre expansão de códigos algébrico- geométricos, o que difere dos trabalhos anteriores da literatura. Partindo para os códigos quânticos assistidos por emaranhamento, é mostrado que a utilização de códigos algébrico- geométricos na construção de códigos quânticos assistidos por emaranhamento é possível através de um resultado mostrado também nesta tese. Com isso, são construídas três famílias de códigos quânticos assistidos por emaranhamento utilizando a construção euclidiana destes códigos quânticos, além de mais uma pela construção hermitiana. Também é mostrado a existência de uma família assintoticamente boa, em termos de taxa e emaranhamento relativo, de códigos quânticos assistidos por emaranhamento. Códigos cíclicos também são aplicados na construção de códigos quânticos assistidos por emaranhamento. Descrevendo códigos cíclicos via conjunto de definição é possível diminuir a complexidade de criação e descrição dos códigos quânticos criados. Duas famílias com parâmetros ótimos são construídas através da utilização de códigos cíclicos. Por fim, para a construção de códigos convolucionais clássicos via códigos de blocos, é utilizado o método de construção proposto inicialmente por Piret. Uma análise deste método é feita por meio da construção de uma matriz geradora na forma canônica controladora e pelo cálculo da identidade de MacWilliams. Aplicando códigos algébrico- geométricos ao método de Piret são criados novos códigos convolucionais com parâmetros melhores que os códigos convolucionais existentes na literatura. Também são construídos códigos convolucionais quânticos a partir de códigos algébrico-geométricos.
Algoritmos baseadas no controle de estados quânticos, ou simplesmentealgoritmos quânticos, oferecem um ganho exponencial de eficiência em relação àalgoritmos clássicos equivalentes. No entanto, a implementação experimental destesalgoritmos esbarra em um grande obstáculo: a descoerência. Resultante da interação dosistema de interesse com o ambiente externo, a descoerência dificulta o controle deestados quânticos e a realização das operações que compõem os algoritmos. Adescoerência leva os estados a perderem gradualmente seu caráter quântico e,consequentemente, sua utilidade em computação quântica fica comprometida. Paracompreender a descoerência, diversos modelos têm sido propostos. O mais geral requera análise da interação entre o sistema e o ambiente, mas existem outros modelos de maisfácil implementação, como os modelos de operadores-soma. Neste trabalho, utilizamoso método de operador-soma para estudar descoerência em caminhadas quânticas sobregrafos, buscando compreender os efeitos da descoerência sobre a distribuição deprobabilidade e, consequentemente, sobre a eficiência de algoritmos quânticos baseadosem caminhadas quânticas (SHENVI, 2003).Neste trabalho, o objetivo principal é analisar os efeitos da descoerência emcaminhadas quânticas sobre grafos. Com este estudo, poderemos analisar diretamente oefeito da descoerência sobre a eficiência de algoritmos quânticos baseados emcaminhadas quânticas.
As assinaturas digitais são de fundamental importância para as comunicações eletrônicas no mundo todo por garantirem a integridade e autenticidade da informação. Com os avanços da ciência nas áreas da mecânica quântica e a introdução destes novos conceitos nas telecomunicações, a segurança da informação também precisou evoluir e cada vez mais se tem buscado novos sistemas de segurança que forneçam maior integridade e autenticidade que os sistemas clássicos. Dessa forma o objetivo deste trabalho é utilizar as propriedades do problema QSCDff , para a criação de um protocolo de assinatura quântica de mensagens. O problema QSCD ff possui propriedades matemáticas e computacionais para garantir a integridade e autenticidade das assinaturas geradas. O protocolo proposto faz uso de chaves descritas na forma de estados quânticos construídos a partir de permutações de um grupo simétrico e de uma função de hash para a compressão da mensagem original. Como entrada o protocolo recebe a mensagem clássica e uma chave privada. Para a geração do estado quântico da assinatura utiliza-se uma permutação como chave privada e o hash da mensagem. Gerar tal assinatura sem ter uma chave privada consiste em resolver um problema de encontrar automorfismos não triviais de grafos. A validação deste estado é feita através da aplicação do algoritmo quântico de busca de Grover. Por fim é mostrado que a probabilidade de falsificação da assinatura é negligenciável dado o número de cópias do estado da assinatura.
A teoria dos algoritmos quânticos promete benefícios sem precedentes ao utilizar as leis da mecânica quântica para resolver certos problemas computacionais. Entretanto, alguns desafios impedem que tais vantagens se apliquem a todos os algoritmos quânticos. Entre esses desafios está o desenvolvimento de uma codificação eficiente de dados clássicos em um estado quântico. Em aplicações práticas, o custo para carregar a informação clássica em um dispositivo quân- tico pode dominar o custo computacional assintótico do algoritmo. Foram propostos diversos métodos baseados em circuitos para codificar dados clássicos nas amplitudes de probabilidade de um estado quântico. Entretanto, esses métodos produzem circuitos com complexidade que cresce linearmente com o tamanho do dado, anulando o benefício da aplicação quântica. O objetivo principal deste trabalho é reduzir a complexidade computacional dos circuitos para a inicialização de estados quânticos. As duas estratégias utilizadas para alcançar tal objetivo exploram a troca de complexidade temporal por espacial ou a transferência de complexidade computacional para um computador clássico. A primeira estratégia reinterpreta métodos al- gébricos para a decomposição de estados quânticos como caminhadas ao longo de árvores binárias. A segunda investiga o grau de emaranhamento de bipartições do estado quântico através da decomposição de Schmidt. Os métodos baseados em árvore alcançam uma redução exponencial na profundidade dos circuitos, em comparação às abordagens existentes. Os base- ados na decomposição de Schmidt produzem circuitos de complexidade variável, proporcional ao emaranhamento do estado. A perspectiva é que o resultado desta tese auxilie os profissionais da computação quântica durante a era dos dispositivos ruidosos de escala intermediária.