Este trabajo presenta una reformulación completa del Principio de Incertidumbre de Heisenberg bajo el marco del Axioma Cero, que establece que todo punto geométrico tiene dimensión asignada igual a 1 (en lugar de 0). Se desarrolla el formalismo matemático completo, derivando las ecuaciones corregidas para las relaciones de incertidumbre, estados mínimos, y el límite clásico. Se demuestra que la corrección aritmética (punto = 1) introduce un término constante µdim = 1 en todas las varianzas, resultando en una desigualdad general σ 2 Aσ 2 B ≥ | 1 2i ⟨[A, ˆ Bˆ]⟩|2 + 1. Para posición-momento específicamente: σxσp ≥ p (ℏ/2)2 + 1. El formalismo mantiene coherencia matemática mientras elimina la inconsistencia ontológica del “punto de dimensión cero”, fortaleciendo la fundamentación conceptual de la mecánica cuántica.
Este trabajo presenta una reformulación completa del Principio de Incertidumbre de Heisenberg bajo el marco del Axioma Cero, que establece que todo punto geométrico tiene dimensión asignada igual a 1 (en lugar de 0). Se desarrolla el formalismo matemático completo, derivando las ecuaciones corregidas para las relaciones de incertidumbre, estados mínimos, y el límite clásico. Se demuestra que la corrección aritmética (punto = 1) introduce un término constante µdim = 1 en todas las varianzas, resultando en una desigualdad general σ 2 Aσ 2 B ≥ | 1 2i ⟨[A, ˆ Bˆ]⟩|2 + 1. Para posición-momento específicamente: σxσp ≥ p (ℏ/2)2 + 1. El formalismo mantiene coherencia matemática mientras elimina la inconsistencia ontológica del “punto de dimensión cero”, fortaleciendo la fundamentación conceptual de la mecánica cuántica.
El principio de incertidumbre de Heisenberg constituye uno de los pilares estructurales de la mecánica cuántica y representa una ruptura definitiva con el ideal determinista de la física clásica. En este trabajo se desarrolla un análisis exhaustivo del principio de incertidumbre desde una perspectiva matemática, física y filosófica, mostrando que no se trata de una limitación instrumental o epistemológica, sino de una propiedad ontológica inherente a la estructura formal de la teoría cuántica. A partir del formalismo de espacios de Hilbert, operadores auto-adjuntos y álgebras no conmutativas, se demuestra que la incertidumbre emerge de manera necesaria como consecuencia de la incompatibilidad estructural entre observables conjugados. El estudio articula el principio de incertidumbre con la teoría del caos clásico y las ciencias de la complejidad, estableciendo una distinción fundamental entre imprevisibilidad epistemológica e indeterminación ontológica. Mientras que el caos clásico conserva trayectorias bien definidas aunque prácticamente inaccesibles, la mecánica cuántica elimina la noción misma de trayectoria como entidad fundamental. Esta ruptura se manifiesta en la granularidad del espacio de fases, en la imposibilidad de definir condiciones iniciales exactas y en la reformulación del concepto de determinismo.Asimismo, se analizan desarrollos experimentales contemporáneos que han verificado el principio de incertidumbre bajo esquemas de medición diseñados para excluir perturbaciones instrumentales, consolidando su interpretación ontológica. Finalmente, se examinan las implicaciones del principio de incertidumbre para la simulación, la predictibilidad y la complejidad cuántica, mostrando que introduce límites estructurales irreductibles a la descripción y al control de los sistemas físicos. En conjunto, el trabajo sostiene que el principio de incertidumbre no debilita la racionalidad científica, sino que redefine susalcances y profundiza nuestra comprensión de la realidad física. Palabras clave: principio de incertidumbre; mecánica cuántica; estructura matemática; operadores no conmutativos; teoría del caos; complejidad; determinismo; ontología física.
En esta tesis se consideran problemas matematicos relacionados con dos de los fenomenos mas caracteristicos y significativos de la Mecanica Cuantica: el principio de incertidumbre de Heisenberg y el entrelazamiento. El hilo conductor lo constituyen las medidas matematicas de la incertidumbre asociada a distribuciones de probabilidad, que por un lado son indispensables para formular matematicamente este principio y cuantificar la incertidumbre asociada a los distintos sistemas cuanticos y por otro lado proporcionan una herramienta util para la caracterizacion del escurridizo fenomeno del entrelazamiento, paradigma central tanto dentro de los fundamentos de la Mecanica Cuantica como en las sorprendentes aplicaciones de la Teoria de la Informacion Cuantica. En esta memoria los dos primeros capitulos se han escrito a modo de introduccion y los siguientes contienen nuestras aportaciones originales a estos problemas. En el primer capitulo presentamos como se construyen de una forma rigurosa desde un punto de vista matematico medidas de la incertidumbre y mostramos como la entropia de Shannon ocupa un lugar preferente entre ellas. En el segundo, despues de introducir los postulados y la estructura matematica basica de la Mecanica Cuantica, analizamos en detalle el principio de incertidumbre y repasamos las distintas relaciones de incertidumbre desarrolladas hasta la fecha, asi como las argumentaciones que hacen a las relaciones de incertidumbre entropicas la formulacion mas rigurosa del principio. En este capitulo se analizara tambien el fenomeno del entrelazamiento, su significado y relevancia. Aunque el problema de su caracterizacion sigue abierto (problema de la separabilidad), se presentaran los criterios previos mas relevantes para su identificacion y se mostrara que las relaciones de incertidumbre juegan un papel util en esta tarea. Por ultimo, se dara una brevisima introduccion a la teoria de las medidas de entrelazamiento y su conexion con las medidas de incertidumbre. En el capitulo 3 se abordara el problema del calculo de entropias de polinomios ortogonales, directamente relacionado con la expresion de la incertidumbre en sistemas atomicos y moleculares; se utilizaran principalmente tecnicas analiticas, en particular de la teoria de funciones especiales. El capitulo 4 se relaciona con la derivacion de desigualdades optimas para la formulacion de relaciones de incertidumbre entropicas, apoyandonos sobre todo en tecnicas de optimizacion. A continuacion nos centraremos en el entrelazamiento y el problema de la separabilidad, para lo que principalmente utilizaremos algebra lineal y analisis matricial. En el capitulo 5 se estudiara este problema utilizando una formulacion particular del principio de incertidumbre. En el capitulo 6, motivados por la estructura interna de las condiciones de separabilidad expresadas a traves de relaciones de incertidumbre, obtendremos condiciones para la presencia de entrelazamiento a traves de medidas de la correlacion. Por ultimo, en el capitulo 7 estudiaremos como utilizar las condiciones del apartado anterior y las basadas en relaciones de incertidumbre para poder obtener informacion no solo cualitativa sino tambien cuantitativa acerca del entrelazamiento.
Cualitativamente, el principio de incertidumbre de Heisenberg establece la imposibilidad de preparar un sistema cuántico en un estado en el que los valores de dos observables incompatibles estén simultáneamente determinados con precisión arbitraria. La formulación matemática usual de este principio es la llamada desigualdad de Heisenberg, ΔAΔB ≥ 1/2 [A,B]> que pone una cota inferior al producto de las desviaciones estándar de los observables A y B cuando éstos no conmutan ([A,B] <> 0). Sin embargo, en años recientes se ha puesto de manifiesto por parte de diversos autores que esta desigualdad no es capaz en general de expresar cuantitativamente de manera satisfactoria el contenido físico del principio de incertidumbre. Entre las diversas alternativas propuestas, resultan especialmente interesantes las llamadas relaciones de incertidumbre entrópicas, que son cotas inferiores a la suma de las entropías de información de Shannon correspondientes a las distribuciones de probabilidad para los posibles resultados de las medidas de A y B. Puede demostrarse que desigualdades no triviales de este tipo existen para cualquier par de observables sin estados propios comunes, y resultan siempre una expresión cuantitativa satisfactoria del principio de incertidumbre al poner una cota superior a la información (en el sentido riguroso que le da a esta palabra la teoría de Shannon) que podemos tener a la vez sobre los observables A y B.
Se formalizo la teoria de los estados coherentes y comprimidos del oscilador armonico mediante
los operadores de Weyl (relacionado con el grupo de Heisenberg – Weyl 1 ) y el
operador de compresion (relacionado con el grupo de Lie no compacto 2,1 ). Las
propiedades de estos estados de la optica cuantica se obtienen aplicando la mecanica cuantica y
la teoria de grupos, dando asi un tratamiento intermedio entre la optica cuantica y el formalismo
matematico de la teoria de grupos. Se encontro para estos grupos 1 y 2,1 una
representacion en terminos de los operadores de ascenso y descenso y del oscilador
armonico.
Se desarrollo un metodo, basado en la propiedad de traslacion del operador de Weyl y su
analogo para el operador de compresion , para calcular algunas de las propiedades de los
estados coherentes y comprimidos, verificandose que los estados coherentes son estados de
minima incertidumbre en el tiempo de acuerdo a la desigualdad de incertidumbre de Heisenberg,
y los estados comprimidos son de minima incertidumbre de acuerdo a la desigualdad
generalizada de Schrodinger.
Se calcularon las correlaciones cuanticas dependientes y no dependientes del tiempo de los
operadores no dependientes y dependientes del tiempo, de posicion y de momento de los
estados coherentes y comprimidos. Se demuestra que los estados coherentes no estan
correlacionados, mientras que los estados comprimidos si lo estan. Comparamos el producto de
las dispersiones dependientes y no dependientes del tiempo de los estados coherentes y de los
estados comprimidos. Se encontro que estos difieren en un termino adicional que aparece en los
estados comprimidos, el cual se atribuyo a la correlacion cuantica de estos.
Se generalizan los resultados obtenidos para los estados coherentes y comprimidos al estudiar los
estados coherentes y comprimidos del oscilador armonico, utilizando el metodo desarrollado en
el tratamiento de los estados coherentes y comprimidos. Se demuestra que los estados coherentes
y comprimidos de numero tambien son de minima incertidumbre en el tiempo, nuevamente de
acuerdo a las desigualdades de Heisenberg y Schrodinger, respectivamente.
El debate sobre el determinismo e indeterminismo en la física ha alcanzado una enorme expansión con el advenimiento de la mecánica cuántica, una teoría formulada en términos probabilísticos dado que su ecuación fundamental, la ecuación de Schrödinger, no determina la dinámica de las propiedades de un sistema, sino la dinámica de sus probabilidades. Al tratar exclusivamente con probabilidades, la física cuántica parece evidenciar un indeterminismo ontológico en los valores que adquieren las variables de un sistema físico (típicamente posición, velocidad, energía, etc.). Sin embargo la evolución del estado del sistema, gobernada por la ecuación de Schrödinger, es perfectamente determinista. Dado el estado a un tiempo inicial, la ecuación de Schrödinger predice de manera determinista el estado en todo tiempo posterior. Pero las probabilidades entran en juego al predecir resultados en el proceso de medición. Según la interpretación ortodoxa, a partir de ahí la evolución es indeterminista y sólo se puede recurrir a las probabilidades que permiten calcular el estado, que hasta ese momento evolucionó manera determinista. La mecánica cuántica parece incorporar así, tanto aspectos determínisticos como indetermínisticos, y la medición parece jugar un rol central en esto.Esta característica ha dado origen un sinnúmero de interpretaciones y no poca controversia entre ellas. Bajo la visión realista, se ha intentado interpretar las probabilidades en términos epistemológicos, es decir, en términos de ignorancia subjetiva del observador. De este modo, las probabilidades sólo estarían cuantificando un indeterminismo epistemológico. Sin embargo muchos de estos intentos demostraron no estar exentos de inconsistencias al punto de poner en juego hasta la misma noción de realismo. Desde una postura no realista, por el contrario, la mecánica cuántica parece imponer un indeterminismo ontológico antes no evidenciado por la mecánica clásica, principalmente porque no es posible asignar valores bien definidos a todas las variables.En las siguientes secciones indagaremos la dualidad entre determinismo e indeterminismo que exhibe la teoría cuántica. La primera sección centra su recorrido en las interpretaciones modales, para analizar desde ella algunas características relevantes de la teoría. En la segunda sección, se desarrollará la formulación Bohmiana de la mecánica cuántica, que tratándose de una formulación realista, pone de relieve la posibilidad de un indeterminismo epistemológico compatible con determinismo ontológico.
The formulation in 1927 of the so called uncertainty principle by Werner Heisenberg was originated to resolve a problem with wich it apparently did not bear any relation: the possible intuitive content of the quantum theory, whose mathematic formalism had already been constituted at the end of 1925. The work's objective consists in the detailed showing of the ideas which lead to it's obtainment, apart from all discussion relative to the determinist or indeterminist behavior of atomic systems. El principio de indeterminacion de Heisenberg con frecuencia se ha convertido en la puerta de entrada en la ciencia de todo tipo de disquisiciones sobre el caracter determinista o indeterminista de los procesos fisicos, sobre la validez universal de las leyes naturales, e incluso ha avivado el fuego de las polemicas acerca del eterno problema del libre albedrio. Sin embargo, la discusion que promovio su hallazgo en ningun momento giro en torno a este tipo de cuestiones. Lo que aqui me propongo analizar no son estos debates producidos con posterioridad a 1927, sino el problema para el que las relaciones de incertidumbre se presentaron como una solucion. Dicho problema consistia en un asunto de caracter metodologico, cuya mejor formulacion viene expresada en el propio titulo del articulo de Heisenberg en el que aparecieron publicadas estas relaciones de incertidumbre: 'Uber den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematic und Mechanik'1. Resulta sorprendente que el tema de la indeterminacion se introdujera a proposito de algo con lo que aparentemente no guardaba ninguna relacion: el posible contenido intuitivo de una teoria, la teoria cuantica, cuyo formalismo matematico estaba ya constituido a finales de 1925. Desde luego, no se trata de algo desconocido para cualquier lector de la obra de Heisenberg, pero si constituye una de esas cuestiones mas citadas que estudiadas, sobre la que no se ha llevado a cabo un