Cualitativamente, el principio de incertidumbre de Heisenberg establece la imposibilidad de preparar un sistema cuántico en un estado en el que los valores de dos observables incompatibles estén simultáneamente determinados con precisión arbitraria. La formulación matemática usual de este principio es la llamada desigualdad de Heisenberg, ΔAΔB ≥ 1/2 [A,B]> que pone una cota inferior al producto de las desviaciones estándar de los observables A y B cuando éstos no conmutan ([A,B] <> 0). Sin embargo, en años recientes se ha puesto de manifiesto por parte de diversos autores que esta desigualdad no es capaz en general de expresar cuantitativamente de manera satisfactoria el contenido físico del principio de incertidumbre. Entre las diversas alternativas propuestas, resultan especialmente interesantes las llamadas relaciones de incertidumbre entrópicas, que son cotas inferiores a la suma de las entropías de información de Shannon correspondientes a las distribuciones de probabilidad para los posibles resultados de las medidas de A y B. Puede demostrarse que desigualdades no triviales de este tipo existen para cualquier par de observables sin estados propios comunes, y resultan siempre una expresión cuantitativa satisfactoria del principio de incertidumbre al poner una cota superior a la información (en el sentido riguroso que le da a esta palabra la teoría de Shannon) que podemos tener a la vez sobre los observables A y B.
Cualitativamente, el principio de incertidumbre de Heisenberg establece la imposibilidad de preparar un sistema cuántico en un estado en el que los valores de dos observables incompatibles estén simultáneamente determinados con precisión arbitraria. La formulación matemática usual de este principio es la llamada desigualdad de Heisenberg, ΔAΔB ≥ 1/2 [A,B]> que pone una cota inferior al producto de las desviaciones estándar de los observables A y B cuando éstos no conmutan ([A,B] <> 0). Sin embargo, en años recientes se ha puesto de manifiesto por parte de diversos autores que esta desigualdad no es capaz en general de expresar cuantitativamente de manera satisfactoria el contenido físico del principio de incertidumbre. Entre las diversas alternativas propuestas, resultan especialmente interesantes las llamadas relaciones de incertidumbre entrópicas, que son cotas inferiores a la suma de las entropías de información de Shannon correspondientes a las distribuciones de probabilidad para los posibles resultados de las medidas de A y B. Puede demostrarse que desigualdades no triviales de este tipo existen para cualquier par de observables sin estados propios comunes, y resultan siempre una expresión cuantitativa satisfactoria del principio de incertidumbre al poner una cota superior a la información (en el sentido riguroso que le da a esta palabra la teoría de Shannon) que podemos tener a la vez sobre los observables A y B.
En esta Tesis desarrollamos dos formulaciones diferentes (pero vinculadas entre sí) del principio de incerteza de la mecánica cuántica para pares de observables actuando sobre un espacio de Hilbert finito, yendo más allá del alcance de las tradicionales relaciones de incerteza de Heisenberg, de Robertson y de Schröndinger. Una de las formulaciones que desarrollamos es una extensión de la desigualdad de Landau y Pollak al caso de medidas de operadores con valores positivos y estados mixtos. Para lograr esto hicimos uso de un enfoque geométrico, definiendo la incerteza asociada al resultado de la medición de un observable a partir de métricas entre estados cuánticos. Esto nos permitió mostrar, entre otros resultados, que la métrica de Wootters da la desigualdad más restrictiva a las probabilidades máximas de los observables. La otra formulación que desarrollamos se basa en un enfoque informacional. Para ello introducimos una familia de entropías generalizadas que cuantifican la incerteza asociada a un vector de probabilidad. Obtuvimos relaciones de incerteza tipo entrópicas resolviendo el problema de minimización de la suma de entropías generalizadas sujeta a la desigualdad de Landau–Pollak. De esta manera, extendimos los resultados de de Vicente y Sánchez-Ruiz que consideraban la entropía de Shannon a otras entropías, medidas cuánticas generalizadas y estados mixtos. Asimismo, realizamos un estudio comparativo entre las cotas obtenidas y otras disponibles en la literatura, obteniendo que en muchas de las situaciones consideradas nuestra cota es más fuerte. Además, consideramos el caso del qubit de manera particular y obtuvimos la cota óptima para este caso. Por último, estudiamos la conexión entre los principios de incerteza y complementariedad, en el contexto del interferómetro de Mach–Zehnder. Encontramos que las relaciones de Schrödinger y de Landau–Pollak para ciertos observables son equivalentes a la relación de dualidad onda–corpúsculo. Con respecto a las relaciones usando entropías, la equivalencia depende de la elección de los índices entrópicos. En particular, si los índices son iguales no existe tal equivalencia. Mostramos que esta situación sirve para discernir entre los diferentes estados de mínima incerteza.
En esta tesis se consideran problemas matematicos relacionados con dos de los fenomenos mas caracteristicos y significativos de la Mecanica Cuantica: el principio de incertidumbre de Heisenberg y el entrelazamiento. El hilo conductor lo constituyen las medidas matematicas de la incertidumbre asociada a distribuciones de probabilidad, que por un lado son indispensables para formular matematicamente este principio y cuantificar la incertidumbre asociada a los distintos sistemas cuanticos y por otro lado proporcionan una herramienta util para la caracterizacion del escurridizo fenomeno del entrelazamiento, paradigma central tanto dentro de los fundamentos de la Mecanica Cuantica como en las sorprendentes aplicaciones de la Teoria de la Informacion Cuantica. En esta memoria los dos primeros capitulos se han escrito a modo de introduccion y los siguientes contienen nuestras aportaciones originales a estos problemas. En el primer capitulo presentamos como se construyen de una forma rigurosa desde un punto de vista matematico medidas de la incertidumbre y mostramos como la entropia de Shannon ocupa un lugar preferente entre ellas. En el segundo, despues de introducir los postulados y la estructura matematica basica de la Mecanica Cuantica, analizamos en detalle el principio de incertidumbre y repasamos las distintas relaciones de incertidumbre desarrolladas hasta la fecha, asi como las argumentaciones que hacen a las relaciones de incertidumbre entropicas la formulacion mas rigurosa del principio. En este capitulo se analizara tambien el fenomeno del entrelazamiento, su significado y relevancia. Aunque el problema de su caracterizacion sigue abierto (problema de la separabilidad), se presentaran los criterios previos mas relevantes para su identificacion y se mostrara que las relaciones de incertidumbre juegan un papel util en esta tarea. Por ultimo, se dara una brevisima introduccion a la teoria de las medidas de entrelazamiento y su conexion con las medidas de incertidumbre. En el capitulo 3 se abordara el problema del calculo de entropias de polinomios ortogonales, directamente relacionado con la expresion de la incertidumbre en sistemas atomicos y moleculares; se utilizaran principalmente tecnicas analiticas, en particular de la teoria de funciones especiales. El capitulo 4 se relaciona con la derivacion de desigualdades optimas para la formulacion de relaciones de incertidumbre entropicas, apoyandonos sobre todo en tecnicas de optimizacion. A continuacion nos centraremos en el entrelazamiento y el problema de la separabilidad, para lo que principalmente utilizaremos algebra lineal y analisis matricial. En el capitulo 5 se estudiara este problema utilizando una formulacion particular del principio de incertidumbre. En el capitulo 6, motivados por la estructura interna de las condiciones de separabilidad expresadas a traves de relaciones de incertidumbre, obtendremos condiciones para la presencia de entrelazamiento a traves de medidas de la correlacion. Por ultimo, en el capitulo 7 estudiaremos como utilizar las condiciones del apartado anterior y las basadas en relaciones de incertidumbre para poder obtener informacion no solo cualitativa sino tambien cuantitativa acerca del entrelazamiento.
La teoria de informacion cuantica se basa en la idea de que los sistemas cuanticos pueden ser usados como ?transportadores? de informacion. Por tanto, para ser usados de este modo, se necesitan usar las leyes de la Mecanica Cuantica que describe el comportamiento de los sistemas fisicos en la escala atomica. Este comportamiento incrementa las posibilidades de procesamiento de la informacion y tareas de comunicacionPara poder usar los sistemas cuanticos para transportar informacion se necesita codificar, almacenar, procesar y extraer la informacion en estos sistemas y, en muchas situaciones, se necesitara trabajar con muchos sistemas cuanticos. Durante los ultimos 30 anos se ha producido un gran avance en la captura y control de los sistemas cuanticos de muchos cuerpos. Sin embargo, entender totalmente las fases de la materia y sus propiedades es todavia un reto para la comunidad fisica. Las propiedades de las diferentes fases de la materia dependen del modo en el que los atomos estan organizados u ordenados en los materiales. Asi, diferentes simetrias en la organizacion de un material dan lugar a diferentes fases y, por tanto, diferentes propiedades del material. En esta tesis estudiamos las restricciones que las simetrias imponen en la estructura de los estados entrelazados de muchos cuerpos. Ademas, damos aplicaciones en la teoria del entrelazamiento, en criptografia cuantica y en fisica de la materia condensada. Uno de los objetivos es estudiar los sistemas multipartitos con simetria permutacional. Estudiamos el entrelazamiento geometrico en este tipo de estados, conectando con algunos resultados clasicos de la teoria de espacios de Banach. Motivados por la necesidad criptografica de protocolos con anonimicidad perfecta, demostramos la existencia de un estado maximamente entrelazado en este contexto, y las implicaciones que esto tiene. En particular, recuperamos como corolarios algunos resultados recientes de clonacion secuencial.Posteriormente damos una caracterizacion en los tensores locales de la existencia de una simetria global en los Projected Entangled Pair States (PEPS). Esta caracterizacion nos permite relacionar algunas de las propiedades indicadoras de orden topologico y dar una version del teorema Lieb-Schultz-Mattis para PEPS entre otros.El siguiente problema de la tesis estudia la entropia de entrelazamiento genericas de los estados fundamentales de hamiltonianos locales con simetria de translacion en 1D. En particular probamos que con alta probabilidad, la matriz de densidad reducida de estos estados tiene maxima entropia. Para obtener este resultado, mejoramos las cotas previas de la funcion de Weingarten en la teoria de matrices aleatorias.Por otra parte, damos una relacion de incertidumbre cuantica con las siguientes propiedades: usa la entropia ?min? como medida de incertidumbre, garantiza incertidumbre en todas menos una de las posibles mediciones y se puede aplicar a conjuntos de mediciones generales. Como aplicacion damos un protocolo de identificacion cuantico y analizamos su seguridad.
Uno de los aspectos más importes en el contexto de información cuántica del cual hacen uso las llamadas tecnologías cuánticas, es el de correlaciones cuantías. En particular, el denominado entrelazamiento cuántico (traducción acogida para el termino Entanglement), que ha sido arduamente estudiado como una correlación intrínseca de estados cuánticos, y como recurso físico para desarrollo de protocolos de información y computación cuántica [2]. Sin embargo, desde el año 2000 los reportes sobre nuevas correlaciones cuánticas más generales que el entrelazamiento, originalmente denominada discordia cuántica [3] abrieron todo un campo de investigación. Dado que estas correlaciones son importantes, no solo desde un punto de vista teórico de su definición y propiedades, sino también desde una perspectiva de aplicación como recurso cuántico para futuras tecnologías, y que estas dependen de medidas locales realizadas sobre las partes del sistema haciendo que existan muchas formas de definir correlaciones tipo discordia cuántica, esto es gracias a que en mecánica cuántica se cuenta con diversas transformaciones locales, como por ejemplo; transformaciones unitarias, medidas de von Neumann, proyecciones, etc [4]. En este trabajo se presenta un estudio comparativo de dos cuantificadores de correlaciones tipo discordia cuántica; una definición inducida de la información mutua (a la que originalmente se le atribuye el nombre de discordia), y una definición basada en coherencia, que denominaremos potencia de interferometría. La comparación se hace sobre las definiciones y propiedades de los cuantificadores. Específicamente se realizó una comparación sistemática de la discordia original y la potencia de interfermetría sobre estados mezclados como sigue: i) estados combinados con ruido blanco, en el que uno de los componentes de la mezcla es el operador identidad, ii) mezcla de dos estados cuánticos correlacionados, y iii) mezcla de un estado correlacionado con un estado producto. Los tres casos pueden parametrizarse con un único parámetro p con 0 ≤ p ≤ 1. La variación del parámetro, modela de forma sencilla la acción de canales de ruidos que transforman un estado cuántico en otro. Sin embargo, aquí no nos interesamos por modelar un ruido en específico, sino en estudiar el comportamiento de las correlaciones en los casos establecidos, donde observamos sus definiciones, algunas de sus propiedades y la forma de calcularlas para estados cuánticos de dos qubits, los resultados ilustran el comportamiento de éstos dos cuantificadores, los cuales toman valores diferentes para estados mezclados. También, se realizó el estudio comparativo del comportamiento de los dos cuantificadores en la evolución de estados cuánticos de qubits en un entorno disipativo, los resultados ilustran el efecto sobre éstos dos cuantificadores debido a la interacción con un reservorio, cuyos parámetros son controlados dentro del régimen de Born-Markov.
Esta tesis es una contribucion multidisciplinar a la teoria de funciones especiales (ver Parte I: Funciones especiales y teoria de la informacion), a la teoria de la informacion de los sistemas cuanticos (ver Parte II: Mecanica cuantica y teoria de la informacion, Relaciones de incertidumbre), y a la fisica molecular (ver Parte III: Dimeros alcalinos en campos electricos).
En la Parte I, que esta conformada por tres capitulos, se investigan varias medidas de informacion de las soluciones de ecuaciones diferenciales de tipo hipergeometrico e hipergeometrico generalizado. Entre las citadas soluciones se encuentran un gran numero de funciones especiales de la matematica aplicada y de la fisica matematica, que aparecen de forma natural en la formulacion matematica de una gran cantidad de problemas fisicos. Se calcula la informacion de Fisher y las entropias de Shannon, Renyi y Tsallis, que cuantifican de forma complementaria el esparcimiento de estas funciones de un modo mas apropiado que la varianza. Ademas, se consideran otras medidas de informacion, como los planos y los productos de informacion, que combinan dos de las medidas de esparcimiento ya citadas.
El Capitulo 1 introduce los elementos fundamentales de la teoria de la informacion que se usaran en las dos primeras partes: las medidas teoricas de informacion, tales como e.g. la entropia de Shannon, y la informacion de Fisher. Ademas, se mencionan algunas de sus propiedades y, en particular, las relaciones de incertidumbre que satisfacen. El Capitulo 2 aborda el calculo analitico de la informacion de Fisher de las densidades de probabilidad, asociadas a las soluciones de ecuaciones diferenciales de tipo hipergeometrico e hipergeometrico generalizado, a partir de los valores esperados de los coeficientes de dichas ecuaciones diferenciales. Este estudio se hace de forma general para cualquier ecuacion y posteriormente se presentan casos concretos con el fin de ilustrar esta tecnica. El Capitulo 3 presenta dos nuevas medidas de informacion: el plano de Cramer-Rao, en el cual se representan la informacion de Fisher y la varianza, y el producto de Cramer-Rao, consistente en el producto de estas dos medidas de esparcimiento. Las tres familias de polinomios clasicas, i.e. Hermite, Laguerre y Jacobi, se estudian en el marco de estas nuevas medidas de informacion.
La Parte II de la Tesis, que consta de los capitulos 4 al 6, aborda el calculo de las distintas medidas de informacion de sistemas mecano-cuanticos realistas, encontrandose nuevas relaciones de incertidumbre y cotas a magnitudes fisicas relevantes como la propia informacion de Fisher o la energia cinetica. Ademas, en el segundo y tercer capitulo de esta parte se hace hincapie en los sistemas sometidos a potenciales centrales, entre los que se incluyen todos los sistemas de dos cuerpos cuya interaccion depende unicamente de la distancia entre los mismos, como es el caso del atomo hidrogenoide; o sistemas prototipicos clave en el desarrollo de la mecanica cuantica y con multitud de aplicaciones, como es el oscilador armonico.
El Capitulo 4 plantea el calculo de la entropia de Shannon y la informacion de Fisher de la densidad de probabilidad mecano-cuantica de una particula en un potencial central lineal monodimensional. Mientras la informacion de Fisher se calcula de forma analitica para todos los estados del sistema, para la entropia de Shannon se halla su comportamiento asintotico en el limite de los estados altamente excitados. En el Capitulo 5 se aborda el problema general del calculo de la informacion de Fisher para sistemas centrales en espacios de dimensionalidad arbitraria. Se encuentran expresiones cerradas de la informacion de Fisher en los espacios de posiciones y momentos en terminos de los valores esperados radiales de la densidad de probabilidad y se halla una relacion de incertidumbre basada en estas medidas de informacion. Esta relacion es comparable a la relacion de incertidumbre entropica de Bialynicki-Birula y Mycielski basada en la entropia de Shannon, y a la relacion de incertidumbre de Heisenberg basada en la varianza, la cual, ademas, se consigue mejorar para estos sistemas. En el Capitulo 6 se continua el estudio de los sistemas centrales de dimensionalidad arbitraria, centrandose en la acotacion de la energia cinetica de sistemas monoparticulares por medio de algunos valores esperados radiales de posicion. Finalmente, habida cuenta de la reciprocidad entre los espacios de posiciones y momentos, se pueden definir cotas similares para la susceptibilidad diamagnetica a partir de las cotas a la energia cinetica.
En la tercera y ultima parte de esta tesis, que consta de los capitulos 7 y 8, se estudia de la dinamica rotacional de las moleculas diatomicas heteronucleares bajo la accion de campos electricos externos homogeneos y variables con el tiempo. En los ultimos anos, el analisis teorico y experimental de moleculas ultrafrias, tanto de sus propiedades como de su produccion, se ha convertido en una piedra angular de la moderna fisica molecular. El tratamiento de estos sistemas en presencia de campos externos requiere una atencion especial. Estos campos permiten atrapar, enfriar y manipular el sistema, modificando simultaneamente de forma significativa su estructura interna. Este trabajo es una contribucion al analisis teorico del control de los movimientos rotacional y vibracional por medio de campos electricos dependientes del tiempo.
El Capitulo 7 es meramente descriptivo e incluye las herramientas teorico-computacionales necesarias para este trabajo. En el se deriva el Hamiltoniano que gobierna el movimiento rovibracional de un dimero polar en presencia de dichos campos electricos, y se indican las aproximaciones realizadas; en particular la de Born-Oppenheimer, que permite separar el movimiento electronico del nuclear. Ademas, se exponen las aproximaciones del rotador rigido y el rotador efectivo al Hamiltoniano que describen la accion del campo en la dinamica rotacional de aquellos sistemas que se pueden considerar como rigidos. Se concluye describiendo brevemente la tecnica computacional hibrida empleada para llevar a cabo la evolucion temporal, que combina el metodo de division del operador evolucion o metodo del split-operator, la transformada de Fourier rapida, y las representaciones de variable discreta y de base finita.
En el Capitulo 8 se discuten y analizan los resultados obtenidos para la molecula de LiCs sometida a una combinacion de campos electricos dependientes del tiempo. En primer lugar, el campo solo tiene componente en el eje z del sistema de referencia del laboratorio, y se lleva a cabo un encendido y apagado exponencial del mismo. Se realiza un detallado analisis de la dinamica rotacional en los regimenes de intensidad constante y post-pulso, al variar los tiempos caracteristicos de este proceso. En particular, se ha demostrado que es posible predecir de forma robusta el numero de estados pendulares o de ondas parciales necesarios para describir correctamente la dinamica rotacional en estos dos regimenes. Sin embargo, una vez que el campo ha sido apagado, la contribucion especifica de cada estado rotacional es muy sensible a los tiempos de encendido y apagado. El paquete de ondas final muestra una gran variedad de fenomenos de localizacion y orientacion molecular. Estos efectos son periodicos en el tiempo, y su periodo es una fraccion del periodo rotacional molecular.
En segundo lugar, tras encender la componente z del campo, este se rota hacia el eje x manteniendo siempre la intensidad constante, y finalmente se apaga. Se ha investigado la variacion de la dinamica rotacional con la duracion de la rotacion, centrando nuestra atencion en la posibilidad de transferir poblacion a estados con numero cuantico magnetico no nulo. Se ha mostrado que la contribucion de esos niveles es significativa solo si la rotacion es no-adiabatica, i.e. su duracion ha de ser inferior al periodo rotacional de la molecula. De hecho el regimen adiabatico se alcanza para giros de duracion igual o superior a un periodo rotacional. Finalmente, se ha analizado tambien el efecto de la rotacion del campo sobre los fenomenos de localizacion y orientacion del paquete de ondas final.
En un principio, la Teoría de la Información fue concebida en forma abstracta, en base a una formulación matemática. Sin embargo, la habilidad y eficiencia para procesar o transmitir información dependerá en última instancia del sistema físico elegido para codificar esa información. Es así que, al codificar la información en las propiedades físicas de sistemas cuyo comportamiento se describe por las leyes de la mecánica cuántica, se abren nuevas posibilidades que son irrealizables clásicamente. Entre ellas, la posibilidad de generar algoritmos cuánticos para ciertos cálculos que requieren un número de pasos significativamente menor que cualquier algoritmo clásico, reduciendo su complejidad. Entre las características fundamentales de la mecánica cuántica que posibilitan estos desarrollos, sobresalen el principio de superposición y el entrelazamiento cuántico. Una de las implementaciones más accesibles para la comunicación cuántica y el procesamiento cuántico de la información emplea fotones individuales como portadores de la información. Estos pueden viajar entre dos estaciones distantes siendo poco afectados por el ruido que introduce el entorno. Además, poseen varios grados de libertad en los cuales es posible codificar la información y pueden manipularse con un alto grado de control utilizando tecnología estándar. En este trabajo se describen algunas aplicaciones de la implementación fotónica, realizadas en colaboración con el Laboratorio de Procesado de Imágenes (LPI) del Depto. de Física de la UBA. En primer lugar, se describe la determinación experimental de medidas de correlaciones cuánticas en estados no puros de un par de fotones correlacionados en polarización, mediante técnicas de tomografía de estados cuánticos. Luego se describe la utilización de moduladores espaciales de luz programables para entrelazar la polarización con grados de libertad espaciales, y así poder simular los denominados estados historia de evoluciones temporales cuánticas. Se muestra que este último proveeun esquema eficientepara el cálculo de promedios temporales de observables del sistema.