Se formalizo la teoria de los estados coherentes y comprimidos del oscilador armonico mediante
los operadores de Weyl (relacionado con el grupo de Heisenberg – Weyl 1 ) y el
operador de compresion (relacionado con el grupo de Lie no compacto 2,1 ). Las
propiedades de estos estados de la optica cuantica se obtienen aplicando la mecanica cuantica y
la teoria de grupos, dando asi un tratamiento intermedio entre la optica cuantica y el formalismo
matematico de la teoria de grupos. Se encontro para estos grupos 1 y 2,1 una
representacion en terminos de los operadores de ascenso y descenso y del oscilador
armonico.
Se desarrollo un metodo, basado en la propiedad de traslacion del operador de Weyl y su
analogo para el operador de compresion , para calcular algunas de las propiedades de los
estados coherentes y comprimidos, verificandose que los estados coherentes son estados de
minima incertidumbre en el tiempo de acuerdo a la desigualdad de incertidumbre de Heisenberg,
y los estados comprimidos son de minima incertidumbre de acuerdo a la desigualdad
generalizada de Schrodinger.
Se calcularon las correlaciones cuanticas dependientes y no dependientes del tiempo de los
operadores no dependientes y dependientes del tiempo, de posicion y de momento de los
estados coherentes y comprimidos. Se demuestra que los estados coherentes no estan
correlacionados, mientras que los estados comprimidos si lo estan. Comparamos el producto de
las dispersiones dependientes y no dependientes del tiempo de los estados coherentes y de los
estados comprimidos. Se encontro que estos difieren en un termino adicional que aparece en los
estados comprimidos, el cual se atribuyo a la correlacion cuantica de estos.
Se generalizan los resultados obtenidos para los estados coherentes y comprimidos al estudiar los
estados coherentes y comprimidos del oscilador armonico, utilizando el metodo desarrollado en
el tratamiento de los estados coherentes y comprimidos. Se demuestra que los estados coherentes
y comprimidos de numero tambien son de minima incertidumbre en el tiempo, nuevamente de
acuerdo a las desigualdades de Heisenberg y Schrodinger, respectivamente.
Se formalizo la teoria de los estados coherentes y comprimidos del oscilador armonico mediante
los operadores de Weyl (relacionado con el grupo de Heisenberg – Weyl 1 ) y el
operador de compresion (relacionado con el grupo de Lie no compacto 2,1 ). Las
propiedades de estos estados de la optica cuantica se obtienen aplicando la mecanica cuantica y
la teoria de grupos, dando asi un tratamiento intermedio entre la optica cuantica y el formalismo
matematico de la teoria de grupos. Se encontro para estos grupos 1 y 2,1 una
representacion en terminos de los operadores de ascenso y descenso y del oscilador
armonico.
Se desarrollo un metodo, basado en la propiedad de traslacion del operador de Weyl y su
analogo para el operador de compresion , para calcular algunas de las propiedades de los
estados coherentes y comprimidos, verificandose que los estados coherentes son estados de
minima incertidumbre en el tiempo de acuerdo a la desigualdad de incertidumbre de Heisenberg,
y los estados comprimidos son de minima incertidumbre de acuerdo a la desigualdad
generalizada de Schrodinger.
Se calcularon las correlaciones cuanticas dependientes y no dependientes del tiempo de los
operadores no dependientes y dependientes del tiempo, de posicion y de momento de los
estados coherentes y comprimidos. Se demuestra que los estados coherentes no estan
correlacionados, mientras que los estados comprimidos si lo estan. Comparamos el producto de
las dispersiones dependientes y no dependientes del tiempo de los estados coherentes y de los
estados comprimidos. Se encontro que estos difieren en un termino adicional que aparece en los
estados comprimidos, el cual se atribuyo a la correlacion cuantica de estos.
Se generalizan los resultados obtenidos para los estados coherentes y comprimidos al estudiar los
estados coherentes y comprimidos del oscilador armonico, utilizando el metodo desarrollado en
el tratamiento de los estados coherentes y comprimidos. Se demuestra que los estados coherentes
y comprimidos de numero tambien son de minima incertidumbre en el tiempo, nuevamente de
acuerdo a las desigualdades de Heisenberg y Schrodinger, respectivamente.
Resumen.En estas notas se exponen con detalle y de manera autocontenida las herramientas básicas de la teoría de los espacios de Hilbert complejos de dimensión infinita, que son necesarias para un primer estudio, matemáticamente riguroso, de la mecánica cuántica.En la última parte incluimos una introducción axiomática a la mecánica cuántica y una breve exposición del modelo del oscilador armónico y de la teoría de estados cuánticos Gaussianos. IntroducciónLa mecánica cuántica es la rama de la física que estudia los fenómenos físicos que ocurren en escalas de longitudes muy pequeñas.El calificativo "cuántico" surge de, en contraste con la mecánica clásica, considerar algunas cantidades que toman solamente valores discretos i.e., en "paquetes" o quantum-quanta en latín.Aún cuando hay muchas nociones de la mecánica cuántica que aún suscitan controversia, esta teoría se aplica exitosamente para describir el comportamiento de sistema físicos y sus predicciones son consistentes con los experimentos.Los sistemas físicos que estudia la mecánica cuántica, exhiben propiedades ondulatorias que se pueden describir mediante una ecuación de onda, por ejemplo, la bien conocida "ecuación de Schrödinger", que describe la evolución temporal de una partícula subatómica con masa, en el contexto no relativista.En estas notas trabajamos con el formalismo de matrices de densidad, que permite describir estados que son mezclas de estados puros.En consecuencia, este enfoque resulta ser una herramienta poderosa para describir sistemas cuánticos más generales, por ejemplo, acoplamientos (ensambles) de muchos sistemas cuánticos idénticos.El material que se presenta en este trabajo está dividido en cuatro secciones compuestas de la siguiente manera: la sección 1 contiene una selección de resultados de índole geométrico y analítico de la teoría de espacios de Hilbert: ortogonalidad y descomposición ortogonal, convexidad, operadores lineales, norma de operadores y funcionales lineales.La sección 2 se concentra en la clase de los operadores compactos, particularmente en los operadores de la clase de traza y de manera especial, en los operadores de Hilbert-Schmidt.Es relevante mencionar que los estados cuánticos se representan mediante operadores positivos de traza uno.La sección 3 se dedica al estudio de operadores no acotados que pueden no estar densamente definidos en un espacio de Hilbert.Abordamos también el estudio de operadores cerrados y cerrables, el adjunto de un operador y una introducción a la teoría espectral de operadores.Una parte esencial de esta sección son los operadores simétricos e isométricos, los cuales exhiben similitudes en sus propiedades geométricas y espectrales.Cabe señalar que las observables físicas se representan por operadores simétricos típicamente no acotados.Por último, en la sección 4 se discuten brevemente postulados de la mecánica cuántica en el marco del formalismo de matrices de densidad, se revisa el modelo del oscilador armónico cuántico y se ofrece una introducción a los estados cuánticos Gaussianos.Al final de cada sección incluimos una selección de problemas que sirven para complementar estas notas.El lector interesado puede profundizar en el estudio de resultados aquí expuestos, desde los más básicos hasta los más avanzados, en la literatura clásica de operadores lineales, por ejemplo en [1,2,3,4,13,20].
La interpretación modal Hamiltoniana de la mecánica cuántica sostiene que los sistemas, en el ámbito de la realidad cuántica, son haces de propiedades posibles, sin sustancia subyacente. Las propiedades que se hacen actuales, es decir aquéllas que adquieren valor definido instante a instante, no pueden ser todas, ya que esto llevaría a inconsistencias, como lo muestra el Teorema de Kochen-Specker. Esto implica que debemos elegir un contexto de actualización, esto es, un subconjunto de todo el conjunto de propiedades posibles, cuyas propiedades adquieren valores definidos. En este sentido, la interpretación modal-Hamiltoniana elige como contexto de actualización la descomposición átomica del espacio de Hilbert en autosubespacios del Hamiltoniano y todas las composiciones de éstos. Esto permite explicar satifactoriamente varios problemas interpretativos de la mecánica cuántica: el problema de la medición, el problema de la contex- tualidad, el problema de la indistinguibilidad y el problema de la no-localidad, como también permite describir adecuadamente un conjunto de ejemplos físicos típicos de la práctica de la física. Durante el trabajo de esta tesis doctoral, se desarrolló una reformulación de la interpretación modal-Hamiltoniana de la mecánica cuántica. Para ello se aplicaron ideas de la teoría de grupos, con el fin de asegurar la invariancia del contexto de actualización ante el cambio de sistema de referencia. De modo natural, entonces, se definió el contexto de actualización como aquel identificado por los operadores de Casimir del grupo de simetría de la mecánica cuántica: el grupo de Galileo extendido centralmente. Posteriormente se estudió la posibilidad de extender estas ideas al ámbito de la teoría cuántica relativista, donde el grupo de simetría es el de Poincaré y algún otro grupo de simetría interna compacto. Finalmente, con el fin de asegurar que los observables con valores actuales en las teorías relativistas y no relativistas estuviesen correctamente relacionados a través de un límite adecuado, se empleó una contracción de Inönü-Wigner del grupo de Poincaré extendido trivialmente al grupo de Galileo extendido centralmente. De este modo, los operadores de Casimir de ambos grupos quedaron correctamente relacionados y se pudo definir la regla de actualización correspondiente al ámbito relativista
En esta Tesis desarrollamos dos formulaciones diferentes (pero vinculadas entre sí) del principio de incerteza de la mecánica cuántica para pares de observables actuando sobre un espacio de Hilbert finito, yendo más allá del alcance de las tradicionales relaciones de incerteza de Heisenberg, de Robertson y de Schröndinger. Una de las formulaciones que desarrollamos es una extensión de la desigualdad de Landau y Pollak al caso de medidas de operadores con valores positivos y estados mixtos. Para lograr esto hicimos uso de un enfoque geométrico, definiendo la incerteza asociada al resultado de la medición de un observable a partir de métricas entre estados cuánticos. Esto nos permitió mostrar, entre otros resultados, que la métrica de Wootters da la desigualdad más restrictiva a las probabilidades máximas de los observables. La otra formulación que desarrollamos se basa en un enfoque informacional. Para ello introducimos una familia de entropías generalizadas que cuantifican la incerteza asociada a un vector de probabilidad. Obtuvimos relaciones de incerteza tipo entrópicas resolviendo el problema de minimización de la suma de entropías generalizadas sujeta a la desigualdad de Landau–Pollak. De esta manera, extendimos los resultados de de Vicente y Sánchez-Ruiz que consideraban la entropía de Shannon a otras entropías, medidas cuánticas generalizadas y estados mixtos. Asimismo, realizamos un estudio comparativo entre las cotas obtenidas y otras disponibles en la literatura, obteniendo que en muchas de las situaciones consideradas nuestra cota es más fuerte. Además, consideramos el caso del qubit de manera particular y obtuvimos la cota óptima para este caso. Por último, estudiamos la conexión entre los principios de incerteza y complementariedad, en el contexto del interferómetro de Mach–Zehnder. Encontramos que las relaciones de Schrödinger y de Landau–Pollak para ciertos observables son equivalentes a la relación de dualidad onda–corpúsculo. Con respecto a las relaciones usando entropías, la equivalencia depende de la elección de los índices entrópicos. En particular, si los índices son iguales no existe tal equivalencia. Mostramos que esta situación sirve para discernir entre los diferentes estados de mínima incerteza.
En este trabajo, se analiza una teoría que es en cierto modo una extensión natural del campo de las telecomunicaciones clásicas a la mecánica cuántica. Dicha teoría se llama tomografía cuántica y es de hecho una imagen de la mecánica cuántica equivalente a las más habituales que son la imagen de Schrödinger o la de Heisenberg. Esta nueva imagen, difiere de las precedentes en que está muy ligada a la capacidad tecnológica a la hora de medir observables (momento, energía, etc.) en el campo de la óptica cuántica, ya que su objetivo primordial es el de conseguir reconstruir el estado de un sistema cuántico a partir de mediciones en el laboratorio, y dado al avance tecnológico del instrumental de laboratorio disponible como láseres y fotodetectores, cada vez está suscitando mayor interés. En el primer capítulo, veremos cómo nace esta idea de reconstruir estados cuánticos discutiendo brevemente la técnica clásica conocida como Tomografía Axial Computerizada (TAC). Esta técnica está basada en los trabajos de Johann Karl August Radon aplicando la transformada que lleva su nombre. Introduciremos la transformada de Radon de una función de probabilidad definida en el espacio de fases para ver cómo se aplica en el caso del TAC. Para aplicar esta idea para la reconstrucción de estados cuánticos, veremos, en primer lugar, que existe una extensión natural de las técnicas de demodulación de señales moduladas en amplitud (AM) en el campo de la óptica cuántica mostrando que el papel que cumple un mezclador puede ser reemplazado por una combinación de divisores de haz y fotodetectores y mostraremos explícitamente cómo reconstruir el operador densidad que describe un estado cuántico a través de un proceso reminiscente de la transformada de Radon clásica. El segundo capítulo será el corazón de este trabajo. En él, introduciremos de manera formal la descripción tomográfica de la mecánica cuántica. Presentaremos una teoría general, para ello, trataremos a los observables como elementos de un álgebra C_ y los estados serán funcionales lineales positivos que actúen en dicha algebra. Veremos que esta descripción de la mecánica cuántica puede dividirse en dos partes, una primera con el objetivo de obtener una fórmula para reconstruir el estado de un sistema cuántico a partir de una función definida sobre un conjunto llamado conjunto tomográfico, que será un conjunto de observables que tendrá que cumplir una serie de condiciones que expondremos debidamente. A esta primera parte de la teoría, la bautizaremos como Teoría de muestreo generalizada en sistemas cuánticos. La segunda parte estará relacionada con la parte puramente experimental. Lo que hace necesario tener que añadir esta segunda parte es el hecho de que la función definida anteriormente sobre el conjunto tomográfico, que llamaremos función de muestreo, en general, no puede ser medida por medio de los dispositivos con los que contamos en un laboratorio de óptica cuántica, sin embargo, a partir de las mediciones hechas con un fotodetector, podemos obtener distribuciones de probabilidad de cantidades relacionadas con los observables. Entonces, tomando esto último como motivación, esta segunda parte de la teoría consistirá en relacionar esa función de muestreo con una distribución de probabilidad que llamaremos tomograma, que será el resultado directo de un proceso de medida en el laboratorio, y la llamaremos Transformada generalizada positiva por motivos que se expondrán convenientemente. Uno de los problemas más sutiles de esta teoría consiste en hallar un conjunto tomográfico que cumpla las condiciones necesarias para permitir reconstruir el estado a partir de él. Sin embargo, veremos que de manera natural, las representaciones unitarias irreducibles de un grupo finito o de Lie compacto proporcionan conjuntos tomográficos que cumplen las condiciones requeridas, por eso, nos centraremos en el estudio de la reconstrucción de estados a partir de grupos relacionados con el sistema físico dado. Aunque también destacaremos que existen otras representaciones unitarias que nos permiten reconstruir el estado cuántico a partir de ellas, como lo es la representación unitaria irreducible del grupo de Heisenberg Weyl dada por el álgebra de Lie que forman los operadores momento y posición cuánticos que es el ejemplo con el que nace la tomografía cuántica introducido en el primer capítulo. En el tercer capítulo presentaremos un algoritmo numérico que se deriva a partir de unos estados que llamaremos estados adaptados que habremos definido en el capítulo anterior. Este algoritmo nace como un problema inverso, ya que hasta entonces nos habremos centrado en reconstruir estados a partir de un conjunto tomográfico, en especial, cuando el conjunto tomográfico está definido a partir de una representación unitaria de un grupo. Este problema inverso consiste en determinar qué información es posible obtener de una representación unitaria de un grupo si se tiene una familia de estados que describe un sistema físico relacionado con un grupo de simetría. La respuesta a esta pregunta es muy satisfactoria ya que es posible conocer la matriz de transformación de base que nos permita transformar la base, en la que está descrita la representación unitaria, en una base adaptada a los subespacios invariantes bajo la acción de todos los elementos de la representación. Este problema se conoce como descomposición de Clebsh Gordan, ya que dicha transformación aplicada a la representación unitaria la convierte en una matriz diagonal por bloques en la que cada bloque corresponde a una representación unitaria irreducible. La manera en la que resolveremos este problema es con un algoritmo numérico que sólo requiere dos estados adaptados como argumentos de entrada, que pueden ser obtenidos de manera directa si se conoce de forma explícita la representación unitaria que queremos reducir. Este algoritmo lo hemos bautizado con el nombre de SMILY. Hay que destacar que como este algoritmo se ha generado sólo aplicando ciertas transformaciones unitarias sobre matrices que representan un estado cuántico, tiene una extensión natural que podría implementarse en un ordenador cuántico. Para acabar esta tesis, generalizaremos la descripción tomográfica a campos clásicos y cuánticos. Para el caso clásico, primero realizaremos una descripción tomográfico para sistemas con finitos grados de libertad y obtendremos el equivalente tomográfico de la ecuación de Liouville para una densidad de probabilidad y tras esto, haremos el mismo análisis para sistemas con infinitos grados de libertad. Para obtener la descripción tomográfica para campos cuánticos, partiremos del concepto de segunda cuantización y mostraremos el equivalente tomográfico de los axiomas de Wightman Streater para una teoría cuántica de campos. Y para terminar, obtendremos un teorema de reconstrucción para campos escalares y calcularemos el tomograma de ciertos estados de un campo cuántico escalar libre. Comentemos esto último diciendo que es el inicio de una teoría que permitirá una descripción tomográfica de estados, por ejemplo ligados, para teorías con interacción. Para concluir este resumen, quisiera resaltar que el lector especializado, si lo considera conveniente, puede comenzar a leer a partir del segundo capítulo, ya que aunque el primer capítulo sirve como motivación de porqué desarrollar una descripción tomográfica de la mecánica cuántica, el texto puede comprenderse si previamente no se ha leído.
Un buen número de experimentos recientes han demostrado que la luz presenta muchas propiedades que no se pueden explicar de acuerdo con la teoría clásica y deben tratarse en el contexto de la óptica cuántica. Este es el objetivo básico de la presente memoria. En el artículo 1, abogamos por una simple expansión multipolar de la matriz de densidad de polarización. Los multipolos resultantes se utilizan para construir distribuciones de cuasiprobabilidad con buenas propiedades, que aparecen como una suma de momentos sucesivos de las variables de Stokes. El primer orden corresponde a la imagen clásica enla esfera de Poincaré. La cuasidistribución que más utilizaremos a lo largo de esta tesis es la función Q que aparece como la proyección en los estados que tienen la polarización más definida de acuerdo a la teoría cuántica. Al observar sus contribuciones multipolares,formulamos una jerarquía completa de medidas que evalúan adecuadamente las correlaciones de polarización de orden superior.El artículo 2 está dedicado al análisis del momento angular orbital de un campo de radiación. Dicha variable se modeliza mediante la superposición de dos osciladores armónicos independientes a lo largo de dos ejes ortogonales. Derivamos, a través de un cambio de variables consistente, un imagen física completa del momento angular orbital.En el artículo 3 profundizamos en la caracterización de las correlaciones de polarización de orden superior. Los multipolos resultantes aparecen como momentos sucesivos de las variables de Stokes y se pueden obtener a partir de mediciones realistas. Como resultado,obtenemos una jerarquía de grados de polarización que miden la información de polarización hasta un orden dado. Dichos grados se caracteriza por una distribución acumulativa que definimos en este artículo...
La tesis se divide en siete capitulos. El primer capitulo es introductorio y en el se explica como, a partir de la solucion de la ecuacion de Schrodinger dependiente del tiempo unidimensional (ESDT1D), se ha calculado numericamente la funcion de onda en la representacion de posiciones, en la representacion de momentos y en el espacio de las fases cuantico utilizando la distribucion de Wigner y la distribucion de Husimi. A partir de la ESDT1D y de la formulacion de Madelung-de Broglie-Bohm (MdBB) de la Mecanica Cuantica, se explica tambien como se ha calculado numericamente el Potencial Total (PT), la accion cuantica y las trayectorias cuanticas. Este primer capitulo muestra tambien la importancia de estudiar los sistemas cuanticos en las distintas representaciones. Como los procesos estudiados pertenecen a ladinamica cuantica, el tiempo es un factor determinante a lahora de comprender los procesos cuanticos por lo que tambien se ha incluido su definicion dentro de este capitulo. Finalmente en la introduccion se muestra una aplicacion al estudio del efecto tunel y del efecto Hartman utilizando las herramientas numericas desarrolladas. El capitulo dos esta dedicado al estudio de las resonancias en una doble barrera de potencial cualdrada, utilizando el PT de manera analoga a los diagramas de energia potencial utilizados en mecanica clasica y la representacion de posiciones. En este capitulo se demuestra que las resonancias se manifiestan como una radiacion hacia atra en el PT y que el efecto tunel y el antitunel son los mecanismos responsables de que esto suceda. En el capitulo tres, se muestra la influencia que tiene en la transmision cuantica la distancia entre el paquete gaussiano inicial y la barrera, para ciertas condiciones iniciales del problema. La transmision cuantica aumenta tanto mas cerca se encuentran el paquete gaussiano inicial y la barrera clasica. El capitulo cuatro se centra en el calculo de las trayectorias cuanticas utilizando un algoritmo sencillo desarrollado en nuestro grupo. Se muestra ademas una aplicacion a una barrera de potencial cuadrada. El capitulo cinco se dedica al estudio del efecto Hartman utilizando la representacion de posiciones y la representacion de momentos. En el capitulo se muestra que la barrera de potencial cuadrada actua como filtro de los momentos bajos del paquete gaussiano. El capitulo seis esta dedicado al estudio del origen de las resonancias en una colision de un paquete gaussiano con una barrera de potencial clasica. En el estudio se demuestra que el origen de las oscilaciones en el PT esta en la pendiente de la barrera de potencial clasica. El ultimo capitulo muestra como se ha calculado la dinamica cuantica en el espacio de las fases cuantico utilizando la funcion de distribucion de Wigner y la de Husimi. Estas funciones de distribucion permitiran estudiar la dinamica cuantica al estilo clasico utilizando el espacio de fases cuantico y el PT.