Kada i kako započeti učiti o kvantnom računarstvu?Mladen Viher 1 Zadnjih godina mnogo toga je napisano o kvantnom računarstvu, od popularnih članaka do teorijskih radova.Medutim, čini nam se kako još uvijek nedostaje tekst koji bi darovitim i zainteresiranim srednjoškolcima ukazao na mogućnost prema samoobrazovanju u ovom području.Smatramo kako im nastavni sadržaji matematike i fizike u četvrtom razredu gimnazije pružaju dobre temelje za razumijevanje koncepta kvantnog računarstva, primjenjiv u jednostavnim primjerima i komplementaran s klasičnim računarstvom za kojeg su mnogi od njih već razvili interes.Potrebna znanja matematike su linearna algebra do razine matričnog računa, kompleksni brojevi u eksponencijalnom obliku i osnove teorije vjerojatnosti.Ovaj članak nema ambiciju pružiti uvod u kvantno računarstvo, već zainteresirati, ohrabriti i uputiti čitatelja na tečajeve koji će mu to pružiti, a primjereni su razini završnih razreda gimnazije.U ovom članku željeli bismo uputiti na mogućnosti korištenja emulatora kvantnih računala za stjecanje osnovnih znanja iz kvantnog računarstva.Projekte kvantnih emulatora sponzoriraju velike informatičke tvrtke i sveučilišta upravo radi promicanja što ranijeg zanimanja za kvantno računarstvo kako bi u budućnosti osigurali dovoljan broj stručnjaka nužan za održavanje zamaha u razvoju ove tehnologije.Kvantno računarstvo je područje računarstva koje koristi principe kvantne fizike za obradu informacija.Umjesto klasičnih bitova, koji isključivo mogu imati vrijednosti 0 ili 1, kvantna računala koriste kvantne bitove, kubite, koji mogu istovremeno biti u stanju 0 i 1 zbog kvantne pojave; superpozicije.Ova značajka, zajedno s kvantnom spregnutošću i kvantnim tuneliranjem, omogućava kvantnim računalima paralelno procesiranje tamo gdje klasična računala sekvencijalno koriste grananja i petlje.Interes za kvantno računarstvo naglo se povećao sredinom devedesetih godina prošlog stoljeća nakon što je američki matematičar Peter Shor objavio algoritam za brzu faktorizaciju velikih brojeva na kojoj se temelji suvremena asimetrična kriptografija.Shorov algoritam koristi brzu Fourierovu transformaciju pri čemu se vrlo velik broj iteracija može istovremeno izvesti u tzv.supergustom kodiranju (engl.superdense coding) na kvantnom računalu.Unatoč tome što još uvijek nemamo uporabljivo kvantno računalo, postalo je izvjesno kako je asimetrična kriptografija ugrožena.O njoj danas ovisi razmjena ključeva u zaštićenoj komunikaciji, financijske transakcije kao i potvrda autentifikacije na internetu.Potaknut ovom spoznajom, američki Nacionalni institut za standarde (NIST) inicirao je još prije osam godina medunarodni natječaj za novi enkripcijski algoritam koji može odoljeti kvantnom računalu.Rezultat ovog natječaja su nedavno postavljeni novi standardi tzv.post-kvantne kriptografije (PQC) za enkripciju i digitalni potpis.Kvantno računalo je, po svom značaju, u središtu kvantnih tehnologija [1].Medutim bilo bi nepošteno tvrditi da je ono i njihovo ishodište jer su kvantni senzori, uredaji izuzetno velike osjetljivosti, postojali desetljećima ranije.Većina suvremenih autora slaže se oko podjele kvantnih tehnologija na tri glavna područja:
Kada i kako započeti učiti o kvantnom računarstvu?Mladen Viher 1 Zadnjih godina mnogo toga je napisano o kvantnom računarstvu, od popularnih članaka do teorijskih radova.Medutim, čini nam se kako još uvijek nedostaje tekst koji bi darovitim i zainteresiranim srednjoškolcima ukazao na mogućnost prema samoobrazovanju u ovom području.Smatramo kako im nastavni sadržaji matematike i fizike u četvrtom razredu gimnazije pružaju dobre temelje za razumijevanje koncepta kvantnog računarstva, primjenjiv u jednostavnim primjerima i komplementaran s klasičnim računarstvom za kojeg su mnogi od njih već razvili interes.Potrebna znanja matematike su linearna algebra do razine matričnog računa, kompleksni brojevi u eksponencijalnom obliku i osnove teorije vjerojatnosti.Ovaj članak nema ambiciju pružiti uvod u kvantno računarstvo, već zainteresirati, ohrabriti i uputiti čitatelja na tečajeve koji će mu to pružiti, a primjereni su razini završnih razreda gimnazije.U ovom članku željeli bismo uputiti na mogućnosti korištenja emulatora kvantnih računala za stjecanje osnovnih znanja iz kvantnog računarstva.Projekte kvantnih emulatora sponzoriraju velike informatičke tvrtke i sveučilišta upravo radi promicanja što ranijeg zanimanja za kvantno računarstvo kako bi u budućnosti osigurali dovoljan broj stručnjaka nužan za održavanje zamaha u razvoju ove tehnologije.Kvantno računarstvo je područje računarstva koje koristi principe kvantne fizike za obradu informacija.Umjesto klasičnih bitova, koji isključivo mogu imati vrijednosti 0 ili 1, kvantna računala koriste kvantne bitove, kubite, koji mogu istovremeno biti u stanju 0 i 1 zbog kvantne pojave; superpozicije.Ova značajka, zajedno s kvantnom spregnutošću i kvantnim tuneliranjem, omogućava kvantnim računalima paralelno procesiranje tamo gdje klasična računala sekvencijalno koriste grananja i petlje.Interes za kvantno računarstvo naglo se povećao sredinom devedesetih godina prošlog stoljeća nakon što je američki matematičar Peter Shor objavio algoritam za brzu faktorizaciju velikih brojeva na kojoj se temelji suvremena asimetrična kriptografija.Shorov algoritam koristi brzu Fourierovu transformaciju pri čemu se vrlo velik broj iteracija može istovremeno izvesti u tzv.supergustom kodiranju (engl.superdense coding) na kvantnom računalu.Unatoč tome što još uvijek nemamo uporabljivo kvantno računalo, postalo je izvjesno kako je asimetrična kriptografija ugrožena.O njoj danas ovisi razmjena ključeva u zaštićenoj komunikaciji, financijske transakcije kao i potvrda autentifikacije na internetu.Potaknut ovom spoznajom, američki Nacionalni institut za standarde (NIST) inicirao je još prije osam godina medunarodni natječaj za novi enkripcijski algoritam koji može odoljeti kvantnom računalu.Rezultat ovog natječaja su nedavno postavljeni novi standardi tzv.post-kvantne kriptografije (PQC) za enkripciju i digitalni potpis.Kvantno računalo je, po svom značaju, u središtu kvantnih tehnologija [1].Medutim bilo bi nepošteno tvrditi da je ono i njihovo ishodište jer su kvantni senzori, uredaji izuzetno velike osjetljivosti, postojali desetljećima ranije.Većina suvremenih autora slaže se oko podjele kvantnih tehnologija na tri glavna područja:
Sigurno ste se već susreli s pojmom kvantno računalo, tj.s novim tipom računala koje bi u odnosu na klasično računalo trebalo biti superiorno u obavljanju specifičnih zadataka kao što su dešifriranje kriptiranih podataka, simulacija kvantnih procesa u fizici čvrstoga stanja i kemiji, u strojnom učenju, itd.Sam koncept kvantnog računala počeo se razvijati tijekom 80-tih godina te su do danas uspješno formulirani različiti algoritmi koji se temelje na principima kvantne mehanike.Medutim, razvoj uredaja na kojima bi se ti algoritimi trebali izvršavati ne teče baš tako glatko.Za razliku od klasičnih računala koja podatke spremaju u bitove s dobro definiranim stanjima 0 i 1, kvantna računala koriste qubitove koji mogu biti i u stanju izmedu 0 i 1. Pokazalo se da je tehnički vrlo zahtjevno napraviti veliki broj qubitova i držati ih u stanjima superpozicije tijekom izvodenja algoritma.Kvantni procesor radi na vrlo niskim temperaturama, a stanja superpozicije vrlo lako mogu uništiti različiti tipovi šumova kao što su termičke vibracije, elektromagnetske smetnje, kozmičke zrake i slično.U praksi veliki broj qubitova mora biti rezerviran za ispravljanje grešaka uzrokovanih šumom, pa ih malo ostaje za same izračune, tako da jedan od sugovornika u članku iz časopisa Nature iz 2023.godine pesimistično kaže da kvantna računala trenutno nisu korisna ni za što [1].Naravno, uz odgovarajuće inovacije i tehnički napredak kvantna računala bi mogla odjednom postati vrlo korisna.Nemojte zaboraviti da kvantne algoritme već imamo.U ovom članku nećemo se baviti tehničkim detaljima rada takvog uredaja, nego ćemo se koncentrirati na principe kvante mehanike i kako iz njih slijedi ideja za kvantno računanje.Započet ćemo s osnovama linarne algebre, povezati sve s qubitovima i superpozicijom stanja te u drugom dijelu pogledati kvantna vrata koja u specijalnim slučajevima imaju analogone u klasičnim logičkim vratima i spomenuti neka koja nemaju.Pritom ćemo u nekim dijelovima slijediti udžbenik Introduction to Quantum Computing autora H. Y. Wong-a [2].
Kroz problem mjerenja Kvantna mehanika se suocava s pomirbom kolapsa složene teoretske evolucije sustava u jedinstveni eksperimentalno zamijeceni ishod. U posljednjih 75 godina razvijen je citav niz tumacenja formalizma teorije kako bi se objasnio raskorak između teoretski predviđenog i iskustveno zamijecenog, a da pri tome vrijednost same teorije nije eksperimentalno dovedena u pitanje. Pokusaji tumacenja formalizma mogu se ugrubo podijeliti u metafizicka i epistemoloska objasnjenja. Dok metafizicka postuliraju postojanje dodatne strukture na mikro-nivou (koja je u pravilu nedostupna motrenju), epistemoloska nastoje pronaci razloge za fundamentalna ogranicenja covjekove spoznajne sposobnosti na mikro-nivou. Međutim, metafizicka objasnjenja nemaju dodatnog empirijskog sadržaja u odnosu na epistemoloska. Jedno suvremeno epistemolosko tumacenje, ono C. A. Fuchsa, temelji se na novim spoznajama iz podrucja Kvantne informacijske teorije, posebice recentne pojave teleportacije. Na osnovi te i slicnih pojava Fuchs zakljucuje da kvantno stanje nije potpun niti objektivan opis zbiljnog fizickog mikro-sustava. Takvog opisa nema u formalizmu Kvantne mehanike. Kvantna stanja samo su racionalne subjektivne procjene fizicara eksperimentatora o posljedicama njezinih buducih mjernih intervencija na određenom fizickom sustavu. Pri derivaciji ovakvih zakljucaka Fuchs se koristi principnom metodologijom razvoja fizikalnih teorija, onako kako Einstein opisuje vlastite postupke pri razvoju Specijalne i Opce relativnosti. Fuchs iz temelja razvija djelomicno modificirani formalizam teorije, za koji tvrdi da nije opterecen problematicnim temeljima kao standardni formalizam. Ukratko se razmatra opca uspjesnost ovog Einsteinovog metodoloskog modela, posebno u svjetlu kritike Browna i Pooleya, te Saundersova opca kritika epistemickih interpretacija formalizma. Kao jedinu svoju metafizicku pretpostavku Fuchs navodi intrinzicnu osjetljivost zbilje na mjerne intervencije, svojstvo koje onemogucuje potpuno sigurno predviđanje buducih mjernih ishoda i stjecanje potpune informacije o sustavima na mikro nivou. Formalnu manifestaciju ove pretpostavke on nalazi u izmjeni standardne Bayesove statistike, izlucujuci, na taj nacin, iz nje novi formalizam Kvantne mehanike. Ovakav postupak, međutim, slici na uklanjanje kumulativnosti iz formalizma Bayesove statistike, koje provodi Williamson kako bi pružio formalisticku potkrjepu svojem modelu znanja kao mentalnog stanja. Uloga koju Williamson pripisuje znanju podudarna je sa pretpostavljenim stanjima Fuchsovih hipotetskih fizicara dok koriste formalizam Kvantne mehanike pri provedbi mjernih intervencija. Postavlja se pitanje je li navodna intrinzicna osjetljivost zbilje na mikro-nivou, samo formalna posljedica potrebe uklanjanja kumulativnosti iz operativne verzije Bayesove statistike, sto pak povlaci nužno odustajanje od teoretske mogucnosti potpune sigurnosti pri predviđanju buducih ishoda. Fuchsov model trenutno ne sadrži dodatne empirijske sadržaje vezane uz danu metafizicku pretpostavku.
Magistrsko delo obravnava teoreticen pristop k razumevanju kvantnega racunalnistva in opisuje kvantni algoritem kot primer uporabnosti hitro se razvijajocega podrocja. Delo je razdeljeno na stiri dele. V prvem delu je podrobneje opisana matematicna podlaga, potrebna za razumevanje kvantnega racunanja, ki obsega kompleksna stevila, vektorske prostore in razsiritve ter linearne transformacije. Drugi del opisuje fizikalne osnove in temeljne definicije ter razlage kvantne mehanike, iz katere se razvija podrocje kvantnega racunalnistva. Kvantni mehaniki sledi poglavje kvantnega racunalnistva, v katerem so predstavljeni osnovni koncepti in elementi, s katerimi je možno graditi kvantne algoritme. Predstavljen je tudi model kvantnega racunanja, katerega se poslužujejo raziskovalci in razvijalci na podrocju odkrivanja novih kvantnih algoritmov. V zadnjem delu magistrske naloge je opisan Groverjev algoritem, eden izmed prvih kvantnih algoritmov, ki prikazuje uporabnost kvantnega racunalnistva v prihodnosti.
Ideja o kvantom računalu pojavila se prije četrdesetak godina kada je u osamdesetim godinama prošlog stoljeća fizičar Richard Feynman održao seriju predavanja te objavio dva ključna članka o mogućnostima izgradnje računala temeljenog na kvantnoj mehanici. Sljedeći velik korak je objava članka Davida Deutscha 1985. godine o „univerzalnom kvantom računalu“, nakon čega je u devedesetim godinama objavljen niz članaka o algoritmima kreiranima za rad na kvantnim računalima (Shorov algoritam, Groverov algoritam pretraživanja, Loydov algoritam ...). Godine 2001. IBM i Stanford University provode prvu primjenu Shorovog algoritma na 7-qbitnom kvantom računalu. Godine 2010. bilježimo pojavu prvog komercijalnog kvantnog računala, D-Wave One. Devet godina kasnije Google proglašava postizanje „kvantne nadmoći“. Riječ je o terminu kojeg je skovao John Preskill 2012. godine i koji opisuje trenutak u kojemu kvantni sustavi mogu obavljati zadatke koji nadmašuju mogućnost klasičnih računala. Posljednjih deset godina bilježimo ubrzan razvoj kvantnih računala, kako softvera, tako i hardvera. Primjerice, posljednje konstruirano kvantno računalo radi s više od 1000 qbita. Razvoj kvantnih računala, prirodno, otvara nova područja istraživanja, kako u razvoju hardvera (dakle, samih kvantnih računala), softvera (algoritama konstruiranih za rad na kvantnim računalima), tako i u matematičkoj (logičkoj) formalizaciji rada kvantnih računala. Početkom te formalizacije smatra se von Neumannova aksiomatizacija kojom su kvantni sustavi opisani pomoću kompleksnog separabilnog Hilbertovog prostora. Unatoč ubrzanom razvoju i bogatom prostoru istraživanja, kvantno računarstvo je još uvijek relativno slabo poznato u široj javnosti, pa čak i široj akademskoj zajednici. Dok se, recimo, Booleova algebra i binarni brojevi kao temelj rada klasičnih računala smatraju općom kulturom, malo tko bi znao iznijeti osnovnu ideju rada kvantnih računala ili pak matematičkih koncepata kojima se ono služi. Smatramo da je stoga korisno na jednom mjestu dati pregled osnova rada i računanja s kvantnim računalima, što je osnovni cilj ovog članka.
Kroz problem mjerenja Kvantna mehanika se suocava s pomirbom kolapsa složene teoretske evolucije sustava u jedinstveni eksperimentalno zamijeceni ishod. U posljednjih 75 godina razvijen je citav niz tumacenja formalizma teorije kako bi se objasnio raskorak između teoretski predviđenog i iskustveno zamijecenog, a da pri tome vrijednost same teorije nije eksperimentalno dovedena u pitanje. Pokusaji tumacenja formalizma mogu se ugrubo podijeliti u metafizicka i epistemoloska objasnjenja. Dok metafizicka postuliraju postojanje dodatne strukture na mikro-nivou (koja je u pravilu nedostupna motrenju), epistemoloska nastoje pronaci razloge za fundamentalna ogranicenja covjekove spoznajne sposobnosti na mikro-nivou. Međutim, metafizicka objasnjenja nemaju dodatnog empirijskog sadržaja u odnosu na epistemoloska. Jedno suvremeno epistemolosko tumacenje, ono C. A. Fuchsa, temelji se na novim spoznajama iz podrucja Kvantne informacijske teorije, posebice recentne pojave teleportacije. Na osnovi te i slicnih pojava Fuchs zakljucuje da kvantno stanje nije potpun niti objektivan opis zbiljnog fizickog mikro-sustava. Takvog opisa nema u formalizmu Kvantne mehanike. Kvantna stanja samo su racionalne subjektivne procjene fizicara eksperimentatora o posljedicama njezinih buducih mjernih intervencija na određenom fizickom sustavu. Pri derivaciji ovakvih zakljucaka Fuchs se koristi principnom metodologijom razvoja fizikalnih teorija, onako kako Einstein opisuje vlastite postupke pri razvoju Specijalne i Opce relativnosti. Fuchs iz temelja razvija djelomicno modificirani formalizam teorije, za koji tvrdi da nije opterecen problematicnim temeljima kao standardni formalizam. Ukratko se razmatra opca uspjesnost ovog Einsteinovog metodoloskog modela, posebno u svjetlu kritike Browna i Pooleya, te Saundersova opca kritika epistemickih interpretacija formalizma. Kao jedinu svoju metafizicku pretpostavku Fuchs navodi intrinzicnu osjetljivost zbilje na mjerne intervencije, svojstvo koje onemogucuje potpuno sigurno predviđanje buducih mjernih ishoda i stjecanje potpune informacije o sustavima na mikro nivou. Formalnu manifestaciju ove pretpostavke on nalazi u izmjeni standardne Bayesove statistike, izlucujuci, na taj nacin, iz nje novi formalizam Kvantne mehanike. Ovakav postupak, međutim, slici na uklanjanje kumulativnosti iz formalizma Bayesove statistike, koje provodi Williamson kako bi pružio formalisticku potkrjepu svojem modelu znanja kao mentalnog stanja. Uloga koju Williamson pripisuje znanju podudarna je sa pretpostavljenim stanjima Fuchsovih hipotetskih fizicara dok koriste formalizam Kvantne mehanike pri provedbi mjernih intervencija. Postavlja se pitanje je li navodna intrinzicna osjetljivost zbilje na mikro-nivou, samo formalna posljedica potrebe uklanjanja kumulativnosti iz operativne verzije Bayesove statistike, sto pak povlaci nužno odustajanje od teoretske mogucnosti potpune sigurnosti pri predviđanju buducih ishoda. Fuchsov model trenutno ne sadrži dodatne empirijske sadržaje vezane uz danu metafizicku pretpostavku.
Téma této disertační práce je studium konečně aditivních měr na strukturách blízkých Booleovým algebrám. Ve formulaci přijaté v teoretické fyzice jde o vyšetřování stavů na kvantových logikách. Přínos této disertační práce je obsažen v pěti přiložených článcích. V prvním z těchto článků se autor zabývá stavy s hodnotami v obecném tělese charakteristiky nula. Cílem je zobecnit klasickou Hornovu-Tarského větu o rozšiřování stavů (HT). Autor částečně uspěl v některých speciálních případech, ale obecně se ukázalo, že přirozená reformulace věty HT pro tělesa neplatí (kromě znaménkové formulace HT, kde se podařilo původní reálně hodnotovou HT zobecnit na tělesovou formulaci). V druhém článku autor vyšetřuje ortomodulární svazy, které dovolují zavedení symetrické diference. Tyto struktury, které jsou v současné době intenzivně studovány, byly v tomtu článku obohaceny o vhodný pojem stavu. Vznikla pak otázka, kdy se dá daný stav rozšířit na větší logiku (případně i takovou, která není množinově reprezentovatelná). Autor ukázal, že stavová rozšíření jsou možná pokud je stav definován na Booleově algebře. V obecnosti ani logiky velice blízké Booleovským stavová rozšíření nedovolují. Ve třetím článku autor dále analyzoval množinově reprezentovatelné logiky. Jako hlavní výsledky lze jmenovat kritérium pro rozšiřování stavů na Gudderových logikách a příspěvek k jistým fyzikálně motivovaným otázkám pro klasickou hustotní logiku (určitý nový pohled na Banachovy limity). Ve čtvrtém článku se autor zabývá pravděpodobnostně motivovaným pojmem Jauchova-Pironova stavu. Autor nalezl nutnou a postačující podmínku pro rozšiřování stavů definovaných na Booleově algebře a zachovávající při rozšíření Jauchovu-Pironovu vlastnost. Aplikací tohoto výsledku je dokázána věta o rozšiřování Jauchových-Pironových stavů na projektorovou logiku L(H). V pátém článku je zavedeno jisté nekonečné rozšíření Gudderovy logiky. V poněkud překvapivém kontrastu s konečnou Gudderovou logikou je dokázáno, že tyto zobecněné logiky dovolují rozšiřování stavů na potenční množinu.