Kuantum dolaşıklığı uzun zamandır klasik nedenselliğe meydan okuyan yerel olmayan bağlantıların kanıtı olarak yorumlanıyor. Bununla birlikte, Dinamik Evren Matrisi (DEM) çerçevesinde, bu fenomen bağlamsal eşzamanlılık olarak yeniden tanımlanır - evrensel bilgi alanı içinde ilişkili varlıkların eşzamanlı olarak yeniden yaratılması. Bağlamsal özdeşliği iki ardışık bilgi durumu arasındaki logaritmik oran olarak tanımlayarak, ΔQ=ln (X2X1)(1) çalışma, dolaşık sistemlerin uzamsal ayrımdan bağımsız olarak aynı ΔQ değerlerini paylaştığını göstermektedir. Korelasyonları sinyal alışverişinden değil, bağlamsal sapma (ΔQ) ve bilgi entropisi (σQ) arasındaki denge tarafından yönetilen her Planck ölçeği aralığında sürekli yeniden yaratımdan kaynaklanır. Bağlamsal bir korelasyon katsayısı şu şekilde tanıtılır: CΔQσQ=cos(ΔQ1−ΔQ2)(2) olasılıksal çöküşe veya gizli değişkenlere başvurmadan dolaşıklığı ölçen. Böylece dolanıklık, kuantum, kozmolojik ve bilişsel alanları birleştiren elastik bilgi sürekliliği içindeki bağlamsal simetrinin bir tezahürü olarak yeniden çerçevelenir.
Kuantum dolaşıklığı uzun zamandır klasik nedenselliğe meydan okuyan yerel olmayan bağlantıların kanıtı olarak yorumlanıyor. Bununla birlikte, Dinamik Evren Matrisi (DEM) çerçevesinde, bu fenomen bağlamsal eşzamanlılık olarak yeniden tanımlanır - evrensel bilgi alanı içinde ilişkili varlıkların eşzamanlı olarak yeniden yaratılması. Bağlamsal özdeşliği iki ardışık bilgi durumu arasındaki logaritmik oran olarak tanımlayarak, ΔQ=ln (X2X1)(1) çalışma, dolaşık sistemlerin uzamsal ayrımdan bağımsız olarak aynı ΔQ değerlerini paylaştığını göstermektedir. Korelasyonları sinyal alışverişinden değil, bağlamsal sapma (ΔQ) ve bilgi entropisi (σQ) arasındaki denge tarafından yönetilen her Planck ölçeği aralığında sürekli yeniden yaratımdan kaynaklanır. Bağlamsal bir korelasyon katsayısı şu şekilde tanıtılır: CΔQσQ=cos(ΔQ1−ΔQ2)(2) olasılıksal çöküşe veya gizli değişkenlere başvurmadan dolaşıklığı ölçen. Böylece dolanıklık, kuantum, kozmolojik ve bilişsel alanları birleştiren elastik bilgi sürekliliği içindeki bağlamsal simetrinin bir tezahürü olarak yeniden çerçevelenir.
Dolaşıklık kavramı ilk olarak Einstein, Podolsky ve Rosen tarafından 1935'te yazılan bir makaleden ortaya çıktı. Dolaşıklık saf ve saf olmayan, iki, üç ve çoklu sistemlerden oluşabilir. Dolaşıklık, kuantum bilgi teorisinde büyük bir öneme sahiptir. Dolaşıklık dönüşümü, bir sistem arasındaki mevcut durumu tıpkı kimyasal bir reaksiyondaki katalizör gibi manipüle ederek başka bir duruma dönüştürülebilir. Bu dönüşüm için gerekli koşullar incelenmiştir.
Kuantum dolanıklıktaki eşanlı çöküş ve "yerel olmama" (non-locality) olgusu, klasik 4-boyutlu uzay-zaman sürekliliğinde rölativistik nedensellik açısından ontolojik bir gerilim yaratmaktadır [Einstein et al., 1935; Bell, 1964]. Bu çalışmada; dolanık parçacık sistemleri klasik Minkowski uzay-zamanda iki ayrışık nokta olarak değil, konfigürasyon uzayında iki eş tepe noktasına (çift tepeli) sahip tekil bir olasılık dalga paketi olarak yeniden tanımlanmıştır [Jabs, 2015]. Fiziksel uzay-zaman metriği, kuantum durumunun üzerine çöktüğü dinamik bir projeksiyon perdesi olarak ele alınmış [Van Raamsdonk, 2010; Maldacena & Susskind, 2013]; taşıyıcı dalganın faz hızı (𝑣𝑝=𝑐2/𝑣𝑔) üzerinden uzay-zamanın kuantum hızına verdiği geometrik tepki modellenmiştir [de Broglie, 1925]. Önceki durgun kütle kısıtlamaları aşılarak, model doğrudan rölativistik toplam kuantum enerjisi (𝐸) ve Stres-Enerji Tensörü (𝑇𝜇𝜈) üzerine oturtulmuş [Einstein, 1916; Misner et al., 1973]; kütleli (elektron vb.) ve kütlesiz (foton vb.) tüm kuantum sistemlerini kapsayan evrensel bir yapıya kavuşturulmuştur. Kovaryant enerji-momentum korunum şartının (𝛻𝜇𝑇eff𝜇𝜈=0) Lagrange çarpanları üzerinden kesin matematiksel ispatı sunulmuş; ayrıca modelin Planck enerjisi limitinde (𝐸≪𝐸𝑃) Standart Kuantum Mekaniği ile çelişmediğini kanıtlayan Karşılık Gelme İlkesi (Correspondence Principle) matematiksel olarak ispatlanmıştır [Bohr, 1920; Planck, 1899].
Bu tezde, iki parçalı kuantum sistemleri için kuantum dolanıklığının geometrik tasviri incelenmiştir. Kuantum sistemlerine matris operatörü yaklaşımı ve sistemin saf (pure) veya karışık (mixed) olmasını belirleyen basit bir kriterin varlığı üzerinde yoğunlaştık. Yoğunluk matrisinin karesinin izinin (trace) birim değerden sapması, karışık durumun saf duruma olan uzaklığını karakterize etmektedir. Bu uzaklık, doğrusal entropi (linear entropy) rolünü oynamaktadır. Karışık durumun bu özelliğinin, concurrence (uyuşum) adı verilen pozitif bir sayı ile ifade edilebileceğini gösterdik. Saf durumlar için concurrence sıfır olurken, karışık durumlar için sıfırdan farklıdır. Daha sonra, yoğunluk matrisi karesinin izinin doğal geometrik bir tasviri olarak Frobenius normunu kullanarak, saf ve karışık durumların bu norm aracılığıyla geometrik yorumunu elde ettik. Saf durumların, yoğunluk matrisinin özdeğerleri uzayındaki birim yarıçaplı Frobenius küresine ait olduğu gösterilmiştir. Karışık durumlar ise Frobenius yuvarının (ball) içinde yer almaktadır. Bu noktalar üzerinde, normalizasyon hiperdüzleminden ve karışıklığın (mixedness) maksimum değerinden kaynaklanan kısıtlamalar bulduk. Karışık durumların bu geometrik tasvirini, iki parçalı kuantum durumlarının indirgenmiş yoğunluk matrisine (reduced density matrix) uyguladık. Eğer matris karışık bir durumu tanımlıyorsa, orijinal iki parçalı durumun dolanık (entangled) durum olduğu gösterilmiştir. Bu sayede, saf iki parçalı kuantum durumlarının dolanıklığını geometrik bir tablo ile karakterize edebildik. Böylece, ayrılabilir (separable) durumlar Frobenius küresi üzerindeki noktalarla karakterize edilirken, dolanık durumlar Frobenius yuvarının içinde yer alır. Açıklayıcı örnekler olarak hesaplamalarımızı, kübit-kütrit (qubit-qutrit) gibi belirli iki parçalı durumlara uyguladık. Kübit-kübit durumu için concurrence değerinin yalnızca katsayı matrisinin 2x2 determinantına eşit olduğu; daha genel durumlar için ise katsayı matrisinden elde edilen 2x2 minörlerin kareleri toplamına eşit olduğu gösterilmiştir. Ardından, concurrence formüllerini, yüksek boyutlardaki alanlar için geçerli olan Pisagor teoremine benzer bir biçimde yeniden formüle ettik.
Bu tez, modern ve kuantum şifreleme yaklaşımlarını matematiksel temeller üzerinden ortak bir çerçevede birleştirerek, iki alanın güvenlik anlayışlarını karşılaştırmalı biçimde tartışmaktadır. Klasik bölümde, Sezar ve yerine koyma gibi tarihsel şemalar yalnızca giriş örnekleri olarak değil; modüler aritmetik ve grup eylemleri bağlamında incelenmiştir. Bu temel yaklaşımlardan hareketle Feistel mimarisi, sözde-rastgele permütasyon ve işlev kavramları ile indirgeme temelli ispat mantığı ele alınmış; ayrıca doğrusal olmayanlık, difüzyon ve karışıklık gibi tasarım ilkelerinin ölçülebilirliği tartışılmıştır. Veri Şifreleme Standardı özelinde S-kutuları cebirsel normal form ve diferansiyel olasılık gibi nicel ölçütlerle değerlendirilmiştir. Kuantum bölümünde, güvenliğin fiziksel yasalara dayalı çerçevesi sunulmuştur. BB84 ve E91 protokolleri yan yana ele alınmış; BB84’te taban seçimi ve ölçüm istatistikleri, E91’de ise Bell türü korelasyonlar güvenlik temeli olarak değerlendirilmiştir. Doğruluk ve gizlilik hatalarının birlikte küçük tutulması gerektiği vurgulanmış; olası sızma senaryoları, gözlenen hata oranları ve E91 için uygun Bell testleri üzerinden üstten sınırlandırılmıştır. Sonlu örneklem koşullarında ise düzgünleştirilmiş eşitsizlikler kullanılarak elde edilebilecek gizli anahtar uzunluğunun nasıl kısaltılacağı belirlenmiştir. Uygulamalı kısımda Python tabanlı bir BB84 simülasyonu geliştirilmiştir. Model; kanal kaybı, depolarizasyon, dedektör verimi, karanlık sayım, baz uyumsuzluğu ve kes-yeniden gönderme gibi dinleyici saldırılarını kapsamaktadır. Parametre tahmini, hata düzeltme sızıntısı ve gizlilik yükseltme adımlarını izleyen uçtan uca iş akışı sayesinde süzülmüş anahtar oranı ve etkin sızıntı büyüklükleri hesaplanmıştır. Yapılan hassasiyet analizleri, hata oranındaki küçük artışların anahtar üretimini orantısız şekilde azalttığını ve güvenli çalışma bölgesinin mesafe–gürültü–dedektör parametreleri arasında hızla daralan bir “işletim penceresi” oluşturduğunu göstermiştir. Sonuçlar, düşük gürültü ve orta mesafe koşullarında pozitif anahtar üretiminin sürdürülebilir olduğunu; gürültü veya mesafenin artması halinde güvenliğin hızlı bir biçimde zayıfladığını ortaya koymaktadır.
Bu calisma, parcaciklar arasindaki kuantum dolanikligi korumak amaciyla tam kuantum teorisini kullanarak, elektro-opto-mekanik veya optoelektronik donusturucu turleriyle calisan kuantum radarlarda parcaciklar arasindaki dolaniklilik halinin surdurulebilirligine odaklanmaktadir. Kuantum radar, klasik bir radarla ayni sekilde mikrodalga fotonlari kullanan bir kuantum uzaklik algilama sistemi olarak tanimlanmaktadir. Bu tezde tasarlanan kuantum radar, kuantum aydinlatma protokolu kurallarina uymaktadir. Buna gore, tasarlanan cihaz, algilamayi iyilestirmek ve tanimlamayi guclu bir sekilde gerceklestirmek amaciyla dolanik mikrodalga fotonlar kullanir. Kuantum mekanigi acisindan bakildiginda, fotonlar gibi iki kuantum parcacigi birbiriyle etkilesmek uzere uretildiginden ve ozellikleri klasik olmayan bir sekilde birbirine bagli oldugundan dolaniklik olusmaktadir. Kuantum olaniklik halindeki parcaciklar arasinda paylasilan ozellikler, aralarindaki mesafeden tamamen bagimsizdir. Ne yazik ki, parcaciklar arasindaki dolanma davranisi istikrarsizdir ve bu dogrultuda, parcaciklar arasindaki dolanma halini uretmek ve uzun sure korumak calismadaki en onemli amaclardan biridir. Ek olarak, gurultu, hizli bir bozulmaya neden olarak dolasik durumdaki yapilari kolayca etkileyebilmektedir. Bahsedilen onemli hususlarin bilgisiyle, bu calisma I. bolumde yer verildigi uzere kuantum radar operasyonlarinin her asamasinda dolaniklilik durumlarini korumayi amaclamaktadir. II. bolumde mikrodalga ve optik fotonlar arasindaki dolanikligi olusturmak icin tipik bir donusturucu kullanilmistir. Gerekli olan durumlarda dolasan mikrodalga fotonlarin yogunlastirilmasi III. bolumde anlatilmistir. Son olarak atmosfere yogunlastirilmis foton yayilimi (zayiflatma ortami) ele alinarak, hedeften foton sacilmasi olayi IV. bolumde gerceklesmektedir. Her asamada, ortam parametreleri dolasik durumlari kritik bir sekilde ortadan kaldirabilir. Bu doktora tezinde, dolasik fotonlari olusturmak icin temel bir yapi olarak iki farkli donusturucuye (elektro-opto-mekanik ve optoelektronik donusturuculer) sahip bir kuantum radar sisteminin dolaniklik davranisi ozellikle vurgulanmaktadir. Bahsedilen donusturuculer, sirasiyla L-bandinda (1.5 GHz'de mikrodalga boslugu rezonansi) ve S-bandinda (2.7 GHz'de mikrodalga boslugu rezonansi) calisacak sekilde tasarlanmis ve boylece, tutulan fotonlar ile geri donen fotonlar arasindaki dolanikligi tezin ana gorevi olarak analiz edilmistir.
Kuantum radar sisteminin tasarim asamalari su sekildedir:
I. Donusturucunun mikrodalga ve optik fotonlar arasinda dolaniklik olusturacak sekilde tasarimi; Bu tezde, ozellikle yuksek kalitede bir kuantum radar sistemi tasarlayabilmek amaciyla surdurulebilir dolasik fotonlar olusturarak uygun donusturucu tasarlamaya yogunlasilmistir. Bu adimda, donusturuculerin kritik parametreleri arasindaki denge belirlenecektir.
II. Dolanik fotonlari yukseltmek icin yogunlastirici ortamin (klasik anlamda yukseltici) tasarimi; Bu asama, genis menzil tespiti vurgulandigindan, klasik radarda birincil rol oynamaktadir.
III. Yayilma kanalinin kayipli bir ortam olarak modellenmesi ve dolanik modlar uzerindeki katkida bulunan etkilerin incelenmesi.
IV. Hedeften yansiyan dolanik fotonlarin modellenmesi ve hedef parametrelerinin dolaniklik davranislari uzerindeki etkisi.
V. Kuantum yaklasimi ile RCS'nin hesaplanmasi; bu adimda, dipol yaklasim yonteminin RCS'yi analiz etmek icin dogru ve eksiksiz bir yontem olmadigi gosterilmistir.
Bu tezde, kuantum mekaniğinde simetriye dayalı genellemeler yapmaya olanak sağlayan Dunkl diferansiyel operatörleri ele alınmıştır. Dunkl formalizmi, klasik türev kavramını yansıma (refleksiyon) operatörleri ile genelleştirerek, parite simetrisi gibi ayrık simetrilere sahip fiziksel sistemlerin daha doğru ve kapsayıcı biçimde modellenmesini mümkün kılar. Bu yapılar, özellikle simetrik potansiyellerin çözümünde hem analitik hem de sayısal anlamda önemli avantajlar sunar.Dunkl-Schrödinger denklemlerinin analitik olarak çözülebilmesi için bu çalışmada Nikiforov–Uvarov (NU) yöntemi kullanılmıştır. NU yöntemi, ikinci mertebeden diferansiyel denklemleri özel bir dönüşüm yoluyla hipergeometrik türden denklemlere indirger ve bu sayede özdeğer problemlerinin kapalı formda çözümünü mümkün kılar. Bu yöntem, hem enerji spektrumlarının elde edilmesinde hem de normalleştirilmiş dalga fonksiyonlarının çıkarılmasında yaygın olarak kullanılmaktadır.Çalışmada, model sistem olarak Woods-Saxon potansiyeli seçilmiş ve bu potansiyel altında tanımlı Dunkl-Schrödinger denklemi, Nikiforov–Uvarov yöntemiyle çözülerek sistemin enerji özdeğerleri ve dalga fonksiyonları analitik olarak elde edilmiştir. Elde edilen sonuçlar, deformasyon ve yansıma parametrelerinin fiziksel etkilerini ortaya koyacak şekilde incelenmiştir. Sonuçlar, Dunkl formalizmi ile Nikiforov–Uvarov yönteminin birlikte kullanılmasının, simetrik ve deforme edilmiş kuantum sistemlerinin çözümünde oldukça etkili olduğunu göstermiştir. Bu yaklaşım, yalnızca teorik modellerin değil, aynı zamanda fiziksel olarak anlamlı sistemlerin de incelenmesinde güçlü ve genişletilebilir bir yöntem çerçevesi sunmaktadır.