In der Arbeit werden eine Implementation der Dichtematrix-Renormierungsgruppe (DMRG) und die Ergebnisse der Anwendung dieser Methode auf verschiedene physikalische Fragestellungen vorgestellt: Es wird ein pinclustermodell für die Verbindung NaV2O5 betrachtet und als unzutreffend charakterisiert. Die Universalitätvermutung für den Zerfall von Korrelationen in ungeordneten Spinketten wird anhand von Daten widerlegt und ein Quantenphasenübergang gefunden. Skalenargumente für dimerisierte Spinketten mit langreichweitiger Wechselwirkung werden bestätigt. Die Skalenfunktion wurde dazu abgetastet und der vorhergesagte Exponent mit sehr guter Genauigkeit erhalten. Die Verschiebung und die Zerstörung von Fermipunkten in Hubbardketten mit nächstem- und übernächstem-Nachbar-Hopping wird durch Variation des Hubbard-U über einen weiten Bereich und Berechnung der Korrelationsfunktionen in diesem Modell ermittelt. Es wird eine Implementation der DMRG für die Quantenchemie vorgestellt und die große Genauigkeit des Verfahrens gezeigt. Darüberhinaus werden Untersuchungen zum numerischen Aufwand bzw. zu dessen Reduktion angestellt. Hierzu wird neben einer algebraischen Manipulation des Hamiltonians eine Approximation vorgestellt, die es gestattet, die Anzahl der Operatoren deutlich zu reduzieren. Hinzu kommen Betrachtungen zur Verbesserung des Algorithmus, seiner Parallelisierung und zum Konvergenzverhalten.
In der Arbeit werden eine Implementation der Dichtematrix-Renormierungsgruppe (DMRG) und die Ergebnisse der Anwendung dieser Methode auf verschiedene physikalische Fragestellungen vorgestellt: Es wird ein pinclustermodell für die Verbindung NaV2O5 betrachtet und als unzutreffend charakterisiert. Die Universalitätvermutung für den Zerfall von Korrelationen in ungeordneten Spinketten wird anhand von Daten widerlegt und ein Quantenphasenübergang gefunden. Skalenargumente für dimerisierte Spinketten mit langreichweitiger Wechselwirkung werden bestätigt. Die Skalenfunktion wurde dazu abgetastet und der vorhergesagte Exponent mit sehr guter Genauigkeit erhalten. Die Verschiebung und die Zerstörung von Fermipunkten in Hubbardketten mit nächstem- und übernächstem-Nachbar-Hopping wird durch Variation des Hubbard-U über einen weiten Bereich und Berechnung der Korrelationsfunktionen in diesem Modell ermittelt. Es wird eine Implementation der DMRG für die Quantenchemie vorgestellt und die große Genauigkeit des Verfahrens gezeigt. Darüberhinaus werden Untersuchungen zum numerischen Aufwand bzw. zu dessen Reduktion angestellt. Hierzu wird neben einer algebraischen Manipulation des Hamiltonians eine Approximation vorgestellt, die es gestattet, die Anzahl der Operatoren deutlich zu reduzieren. Hinzu kommen Betrachtungen zur Verbesserung des Algorithmus, seiner Parallelisierung und zum Konvergenzverhalten.
Die Dichtematrix-Renormierung ist eine neue numerische Methode, die es erlaubt, die Grundzustandseigenschaften (sowohl die Energien als auch die Eigenfunktionen) von eindimensionalen Quantenspinsystemen großer Länge (einhundert Plätze und mehr) mit herausragender Genauigkeit (bis zu zehn Dezimalstellen) zu berechnen. Dabei verwendet man die reduzierte Dichtematrix eines Teils des Systems zur Konstruktion eines eingeschränkten Hilbert-Raumes. Die Methode wurde bisher hauptsächlich auf echte Quantensysteme, d.h. Systeme, die durch hermitesche Zeitentwicklungsoperatoren beschrieben werden, angewandt. In der vorliegenden Arbeit wurden mit ihrer Hilfe nichthermitesche Probleme untersucht und die Anwendbarkeit der Methode gezeigt. Es konnten erstmalig die verallgemeinertern Korrelationsfunktionen einer nichthermitschen Erweiterung der antiferromagnetischen Heisenberg-Kette für große Kettenlängen und daraus die kritischen Exponenten bestimmt werden. Darüber hinaus wurde die Dichtematrix-Renormierung auf Hüpfmodelle mit stochastischen Zeitentwicklungsoperatoren angewandt und speziell der Zusammenhang des Eigenwertspektrums der reduzierten Dichtematrix mit der Struktur des Grundzustandes diskutiert. Ein weiterer Aspekt, auf den eingegangen wird, ist der Ursprung des Eigenwertspektrums der Dichtematrix, das für die Genauigkeit des Verfahrens entscheidend ist.
Die Numerische-Renormierungsgruppe (NRG) hat sich zu einem Standardwerkzeug zur Simulation von Quantenstörtstellensystemen bei tiefen Temperaturen entwickelt. Für solche Simulationen sind drei Schritte notwendig: das Bad wird logarithmisch diskretisiert, auf eine Wilson Kette abgebildet und diese wird iterativ diagonalisiert. Für die NRG existieren zahlreiche Erweiterungen, von denen zwei für diese Arbeit relevant sind: zum einen die Behandlung bosonischer Systeme und zum anderen die Untersuchung von zeitabhängingen Prozessen. Wir stellen fest, dass die bosonische NRG falsche kritische Exponenten für den Phasenübergang des Spin-Bose-Modells (SBM) liefert und dass bei Nicht-Gleichgewichtsrechnungen Diskrepanzen zwischen den Ergebnissen eines kontinuierlichen und eines diskretisierten Bades bestehen. Durch die iterative Diagonalisierung der Wilson-Kette wird auf jeder Iterationsstufe eine Restkette vernachlässigt. Bei bosonischen Systemen führt dies zu einer iterationsabhängigen Renormierung der kritischen Kopplung. Anhand des Spin-Bose-Modells im sub-ohmischen Regime zeigen wir, dass dieser Effekt zu falschen kritischen Exponenten führt. Mit Dichtematrix-Renormierungsgruppe (DMRG) Rechnungen zeigen wir, dass man, unter Berücksichtigung der Restkette, die korrekten kritischen Exponenten bestimmen kann. Dies setzt eine optimierte bosonische Basis voraus, die wir während der DMRG variationell bestimmen. Anhand von Nicht-Gleichgewichtsberechnungen für das Resonant-Level-Model (RLM) zeigen wir, dass die logarithmische Baddiskretisierung zu unphysikalischen Ergebnissen der Störstellenbesetzung führt. Die Ursache hierfür führen wir auf interne Reflektionen einer Ladungswelle in der Wilson-Kette zurück. Um diese zu vermeiden, schlagen wir einen optimierten aus zwei aneinandergehängten Wilson-Ketten Kettenaufbau vor. Da es bei diesen Systemen keine klare Trennung der Energieskalen mehr gibt, ist die NRG nicht für die Berechnung solcher Systeme geeignet. Daher entwickeln wir eine neue Hybrid-Methode, bei der die NRG einen effektiven Niederenergie-Hamiltonoperator erzeugt, der anschließend mit der zeitabhängigen Dichtematrix-Renormierungsgruppe (TD-DMRG) simuliert wird. Durch dieses Schema erreicht man Zeitskalen, die sonst mit der TD-DMRG unerreichbar bleiben. Die neue Methode wird am RLM getestet. Als erste Anwendung der neuen Methode wird diese auf das wechselwirkende Resonant-Level-Modell (IRLM) angewendet. Bei diesem Modell beobachten wir durch die Wechselwirkung hervorgerufene Oszillationen und neue Zeitskalen, die keine thermodynamische Entsprechung haben. Die Ergebnisse der neuen Hybrid-Methode reproduzieren analytische Vorhersagen basierend auf einer 1/U Entwicklung. Die neue Hybrid-Methode liefert nicht nur in den Grenzwerten U gegen 0 und U gegen unendlich korrekte Ergebnisse, sondern ist im vollständigen Parameterregime anwendbar.
Die
Numerische-Renormierungsgruppe (NRG) hat sich zu einem
Standardwerkzeug zur Simulation von Quantenstortstellensystemen bei
tiefen Temperaturen entwickelt. Fur solche Simulationen sind drei
Schritte notwendig: das Bad wird logarithmisch diskretisiert, auf
eine Wilson Kette abgebildet und diese wird iterativ
diagonalisiert. Fur die NRG existieren zahlreiche Erweiterungen,
von denen zwei fur diese Arbeit relevant sind: zum einen die
Behandlung bosonischer Systeme und zum anderen die Untersuchung von
zeitabhangingen Prozessen. Wir stellen fest, dass die bosonische
NRG falsche kritische Exponenten fur den Phasenubergang des
Spin-Bose-Modells (SBM) liefert und dass bei
Nicht-Gleichgewichtsrechnungen Diskrepanzen zwischen den
Ergebnissen eines kontinuierlichen und eines diskretisierten Bades
bestehen. Durch die iterative Diagonalisierung der Wilson-Kette
wird auf jeder Iterationsstufe eine Restkette vernachlassigt. Bei
bosonischen Systemen fuhrt dies zu einer iterationsabhangigen
Renormierung der kritischen Kopplung. Anhand des Spin-Bose-Modells
im sub-ohmischen Regime zeigen wir, dass dieser Effekt zu falschen
kritischen Exponenten fuhrt. Mit Dichtematrix-Renormierungsgruppe
(DMRG) Rechnungen zeigen wir, dass man, unter Berucksichtigung der
Restkette, die korrekten kritischen Exponenten bestimmen kann. Dies
setzt eine optimierte bosonische Basis voraus, die wir wahrend der
DMRG variationell bestimmen. Anhand von
Nicht-Gleichgewichtsberechnungen fur das Resonant-Level-Model (RLM)
zeigen wir, dass die logarithmische Baddiskretisierung zu
unphysikalischen Ergebnissen der Storstellenbesetzung fuhrt. Die
Ursache hierfur fuhren wir auf interne Reflektionen einer
Ladungswelle in der Wilson-Kette zuruck. Um diese zu vermeiden,
schlagen wir einen optimierten aus zwei aneinandergehangten
Wilson-Ketten Kettenaufbau vor. Da es bei diesen Systemen keine
klare Trennung der Energieskalen mehr gibt, ist die NRG nicht fur
die Berechnung solcher Systeme geeignet. Daher entwickeln wir eine
neue Hybrid-Methode, bei der die NRG einen effektiven
Niederenergie-Hamiltonoperator erzeugt, der anschliesend mit der
zeitabhangigen Dichtematrix-Renormierungsgruppe (TD-DMRG) simuliert
wird. Durch dieses Schema erreicht man Zeitskalen, die sonst mit
der TD-DMRG unerreichbar bleiben. Die neue Methode wird am RLM
getestet. Als erste Anwendung der neuen Methode wird diese auf das
wechselwirkende Resonant-Level-Modell (IRLM) angewendet. Bei diesem
Modell beobachten wir durch die Wechselwirkung hervorgerufene
Oszillationen und neue Zeitskalen, die keine thermodynamische
Entsprechung haben. Die Ergebnisse der neuen Hybrid-Methode
reproduzieren analytische Vorhersagen basierend auf einer 1/U
Entwicklung. Die neue Hybrid-Methode liefert nicht nur in den
Grenzwerten U gegen 0 und U gegen unendlich korrekte Ergebnisse,
sondern ist im vollstandigen Parameterregime anwendbar.%%%%Since
its proposal in 1975 the numerical renormalization group (NRG) has
developed to a widely used standard tool to simulate quantum
impurity system (QISs) at low temperatures. The…
In der vorliegenden Arbeit werden mehrere Klassen quantenmechanischer Vielteilchensysteme im Formalismus der zweiten Quantisierung aus dem Blickpunkt von Symmetrien sowohl numerisch als auch analytisch untersucht. Um die numerischen Berechnungen durchführen zu können, wurde ein Computerprogramm mit Namen "ArbModel" mit den entsprechenden Fähigkeiten entwickelt. Hierbei wurde großen Wert auf Allgemeinheit gelegt, so dass Hamiltonians zu einer sehr großen Anzahl unterschiedlichster Modelle aufgestellt und diagonalisiert werden können. Alle Ideen, die für die Programmierung eines derartigen Programms notwendig sind, wurden erklärt und in dem numerischen Code verwirklicht. Mit diesem Programm zur Verfügung wurden Vielteilchensysteme, welche lediglich aus identischen Teilchen bestehen, im Allgemeinen untersucht. Es wurden allgemeine Bedingungen für das Vorhandensein einer dynamischen Symmetrie hergeleitet. Bedingungen für die schwächere Forderung nach der Erhaltung der sog. Senioritätsquantenzahl wurden ebenfalls im Detail untersucht. Obwohl derartige Untersuchungen in der Vergangenheit bereits stattgefunden haben, konnten neue Fälle gefunden und neue Bedingungen aufgestellt werden. Als überraschendes Ergebnis wurden Beispiele entdeckt, für welche die Seniorität im Allgemeinen gebrochen, für ein paar spezifische Zustände jedoch erhalten ist. Diese Zustände sind lösbar und entsprechende Formeln für ihre Anregungsenergien wurden angegeben. Alle analytischen Ergebnisse wurden mit "ArbModel" überprüft. Als weitere Anwendungen für den numerischen Code wurden die Vorhersagen einer sehr neuen Theorie, welche Quantenphasenübergänge mit sog. Verzweigungspunkten in Verbindung bringt, verifiziert. Hierfür wurde das sd-Interacting-Boson-Model 1 (sd-IBM1) mit einer sehr hohen Teilchenzahl verwendet. Außerdem wurde eine bestimmte dynamische Symmetrie des Interacting-Boson-Fermion-Models untersucht. Verzweigungsregeln für diese Bose-Fermi-Symmetrie wurden aufgestellt, sowie Auswahlregeln für M1-Übergänge abgeleitet. Auch hier verifiziert der numerische Code alle analytischen Ergebnisse. Da "ArbModel" alle analytischen Ergebnisse dieser Arbeit reproduziert, wurde somit auch der Beweis für Korrektheit dieses Programms gegeben.
Die vorliegende Arbeit beschreibt die numerische Untersuchung der Erzeugung ultrakalter Teilchen-Ensembles und die Manipulation von Wolken aus Bose-Einstein-kondensierten Teilchen (BEK). Ultrakalte Teilchen-Ensembles werden gewöhnlich in mehreren Kühlungsschritten erzeugt, von denen der letzte und effektivste die Verdampfung von Teilchen aus der Falle ist. Unter besonderer Berücksichtigung der Eigenheiten und Probleme, die sich bei den magnetischen Auffang- und Kühlungsprozessen molekularen Sauerstoffs ergeben, wurde ein Simulationsprogramm für den Verdampfungskühlungsprozeß entwickelt. Zusätzlich wurde mit den Mitteln der Quantenchemie eine Potenzialenergiefläche (PES) für den molekularen O2-O2 Kollisionsprozeß berechnet, um verbesserte Daten für die Bestimmung elastischer und inelastischer Kollisionsparameter zu gewinnen. In den quantenchemischen Berechnungen werden die einzelnen Moleküle als starre Rotatoren behandelt und es wird ein ab initio Ansatz gemacht, um die PES numerisch als Funktion des totalen molekularen Spins, des intermolekularen Abstands und der relativen Molekülorientierung zu bestimmen. Für die Implementierung des Programms zur Simulation der Verdampfungskühlung mussten etliche Algorithmen angepaßt und verbessert werden, um das zu untersuchende physikalische Problem korrekt zu simulieren. Insbesondere müssen ein großer anteiliger Teilchenverlust aus der Magnetfalle, sehr starke Dichteinhomogenitäten und ein weites Teilchenenergiespektrum konsistent beschrieben werden. Das Programm wird benutzt, um den Verdampfungskühlungsprozeß in harmonischen und in linearen Quadrupolmagnetfallen zu untersuchen. Zwecks der Simulation topologischer Anregungen wie Wirbel (Vortices) und Solitonen in Bose-Einstein Kondensatwolken nahe der absoluten Temperatur wurde ein Simulationsprogramm entwickelt, das die dreidimensionale numerische zeitliche Entwicklung der quantenmechanischen makroskopischen Materiewellenfunktion auf modernen Arbeitsplatzrechnern erlaubt. Die physikalische Beschreibung des Bose-Einstein Kondensats ist dabei gegeben durch die nichtlineare Gross-Pitaevskii Gleichung. In Zusammenarbeit mit zwei Experimentalphysikgruppen in Oxford/UK und Konstanz wurde eine Anzahl verschiedener Fragestellungen modelliert und bearbeitet. Eine Anwendung ist die Simulation der Reaktion eines Zentralvortexzustands eines Bose-Einstein Kondensats auf äußerliche Störungen. Die Abhängigkeit der kollektiven Anregungsenergien der Kondensatwolke von der Präsenz von Wirbeln wird untersucht, und die resonante Anregung von Kelvin Moden eines zentralen Vortexkerns wird gezeigt. Zusätzlich wird die Abhängigkeit der Expansion einer BEK Wolke in einer räumlichen Richtung besonderer Fallenstärke von der Abbaugeschwindigkeit eines residualen optischen oder magnetischen Fallenfeldes aufgezeigt. Dies ist insofern von praktischer Bedeutung, als die Expansion von BEK Wolken besonders häufig als Standardmethode experimenteller destruktiver Beobachtungstechniken eingesetzt wird. Eine weitere Anwendung unseres BEK Simulationsprogramms ist die Modellierung und Untersuchung der Solitonenbildung in BEK Wolken in periodischen optischen Gitterpotenzialen. In solchen durch stehende Laser-Lichtwellen erzeugten Potenzialen können helle Bandkantensolitonen experimentell präpariert werden. Der Solitonenbildungsprozeß ist grundsätzlich eindimensional, er kann allerdings im dreidimensionalen Raum näherungsweise nachgebildet werden wenn die überzähligen Dimensionen durch ein besonders starkes Fallenpotenzial eingezwängt werden. Die kleinskaligen Details der Solitonenprozesse erfordern eine Abänderung des BEK Simulationsprogramms zur Ausnutzung der radialen Wolkensymmetrie zwecks einer Reduktion der numerischen Komplexität. Diese Entwicklungen erlauben eine quantitative Untersuchung und Modellierung der Experimente, in denen solche Solitonen realisiert werden.
Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit den thermodynamischen Eigenschaften von Spinleitern. Spinleitern bestehen aus zwei über Sprossenverbindungen miteinander wechselwirkenden Spinketten, die als topologische Struktur in komplexen Übergangsmetallverbindungen auftreten und die relevante Tieftemperaturphysik bestimmen. Die Tatsache, dass für eindimensionale Systeme eine ganze Reihe hochentwickelter analytischer und numerischer Methoden zur Verfügung stehen, macht Spinleitern zu einem attraktiven Forschungsgebiet im Bereich stark korrelierter Elektronensysteme. In jüngerer Zeit wurde entdeckt, dass zahlreiche experimentell realisierte Substanzen nur verlässlich durch die Einbeziehung eines zyklischen Vier-Spin-Wechselwirkungsterms (Ringaustausch) theoretisch modelliert werden können. In der vorliegenden Arbeit wurden thermodynamische Größen für Spinleitern mit beliebigem Ringaustausch numerisch mit Hilfe der Transfermatrix-Dichtematrix-Renormierungsgruppe (TMRG) berechnet. In der TMRG-Methode wird ein eindimensionales Quantensystem mit kurzreichweitiger Wechselwirkung auf ein zweidimensionales klassisches Gittermodell abgebildet. Die freie Energie des zugrundeliegenden Systems wird durch den höchsten Eigenwert einer geeigneten Transfermatrix codiert, welche durch eine iterative Prozedur vergrößert wird. Unwichtige Freiheitsgrade werden dabei durch Dichtematrixprojektion verworfen. Eine Weiterentwicklung der TMRG-Methode wird in dieser Arbeit vorgestellt, die die Idee der so genannten Corner-Transfermatrix-Methode für die zweidimensionale Trotterzerlegung anwendet. In dieser Methode fehlt die zeitaufwändige Berechnung von Eigenwerten großer Systeme. Im Prinzip ist daher ein hoher Geschwindigkeitsvorteil gegenüber der TMRG in der Berechnung von thermischen Eigenschaften von eindimensionalen Quantensystemen zu erwarten. Testberechnungen am klassischen Ising-Modell und am Heisenbergmodell zeigen jedoch zwei bis lang ungelöste inhärente Schwierigkeiten, die mit der Struktur der zweidimensionalen Trotterzerlegung zusammenhängen. Im Rahmen der vorliegenden Arbeit ist ein TMRG-Programm entstanden, das sowohl die Methoden der objektorientierten Programmierung als auch hohe numerische Effizienz in den relevanten Routinen umsetzt. Verläßliche numerische Daten konnten so bis in einen Temperaturbereich von 0,02 in Einheiten der Kopplungskonstanten mit hoher Genauigkeit erzielt werden. Mit dieser Methode wurden spezifische Wärmekapazität, verallgemeinerte Suszeptibilitäten und thermische Erwartungwerte berechnet. Wir fanden damit eine Reihe von Hinweisen, welche das reichhaltige Phasenverhalten des vorhergesagten Phasendiagramms für verschwindende Temperatur bestätigen. In der Nähe eines Quantenphasenübergangs erster Ordnung sahen wir bei endlichen Temperaturen die Karikatur eines Phasenübergangs, das heißt ein scharfes Tieftemperaturmaximum in der spezifischen Wärme, dessen Position über ein Potenzgesetz vom Abstand zum Punkt des Phasenübergangs abhängt. Darüberhinaus ermittelten wir in den Phasen mit gebrochener diskreter Symmetrie eine charakteristische Struktur mit zwei Maxima in der spezifischen Wärme. Die gebrochenen Symmetrien konnten wir als Divergenzen in entsprechenden verallgemeinerten Suszeptibilitäten klar erkennen.