In der vorliegenden Arbeit werden mehrere Klassen quantenmechanischer Vielteilchensysteme im Formalismus der zweiten Quantisierung aus dem Blickpunkt von Symmetrien sowohl numerisch als auch analytisch untersucht. Um die numerischen Berechnungen durchführen zu können, wurde ein Computerprogramm mit Namen "ArbModel" mit den entsprechenden Fähigkeiten entwickelt. Hierbei wurde großen Wert auf Allgemeinheit gelegt, so dass Hamiltonians zu einer sehr großen Anzahl unterschiedlichster Modelle aufgestellt und diagonalisiert werden können. Alle Ideen, die für die Programmierung eines derartigen Programms notwendig sind, wurden erklärt und in dem numerischen Code verwirklicht. Mit diesem Programm zur Verfügung wurden Vielteilchensysteme, welche lediglich aus identischen Teilchen bestehen, im Allgemeinen untersucht. Es wurden allgemeine Bedingungen für das Vorhandensein einer dynamischen Symmetrie hergeleitet. Bedingungen für die schwächere Forderung nach der Erhaltung der sog. Senioritätsquantenzahl wurden ebenfalls im Detail untersucht. Obwohl derartige Untersuchungen in der Vergangenheit bereits stattgefunden haben, konnten neue Fälle gefunden und neue Bedingungen aufgestellt werden. Als überraschendes Ergebnis wurden Beispiele entdeckt, für welche die Seniorität im Allgemeinen gebrochen, für ein paar spezifische Zustände jedoch erhalten ist. Diese Zustände sind lösbar und entsprechende Formeln für ihre Anregungsenergien wurden angegeben. Alle analytischen Ergebnisse wurden mit "ArbModel" überprüft. Als weitere Anwendungen für den numerischen Code wurden die Vorhersagen einer sehr neuen Theorie, welche Quantenphasenübergänge mit sog. Verzweigungspunkten in Verbindung bringt, verifiziert. Hierfür wurde das sd-Interacting-Boson-Model 1 (sd-IBM1) mit einer sehr hohen Teilchenzahl verwendet. Außerdem wurde eine bestimmte dynamische Symmetrie des Interacting-Boson-Fermion-Models untersucht. Verzweigungsregeln für diese Bose-Fermi-Symmetrie wurden aufgestellt, sowie Auswahlregeln für M1-Übergänge abgeleitet. Auch hier verifiziert der numerische Code alle analytischen Ergebnisse. Da "ArbModel" alle analytischen Ergebnisse dieser Arbeit reproduziert, wurde somit auch der Beweis für Korrektheit dieses Programms gegeben.
In der vorliegenden Arbeit werden mehrere Klassen quantenmechanischer Vielteilchensysteme im Formalismus der zweiten Quantisierung aus dem Blickpunkt von Symmetrien sowohl numerisch als auch analytisch untersucht. Um die numerischen Berechnungen durchführen zu können, wurde ein Computerprogramm mit Namen "ArbModel" mit den entsprechenden Fähigkeiten entwickelt. Hierbei wurde großen Wert auf Allgemeinheit gelegt, so dass Hamiltonians zu einer sehr großen Anzahl unterschiedlichster Modelle aufgestellt und diagonalisiert werden können. Alle Ideen, die für die Programmierung eines derartigen Programms notwendig sind, wurden erklärt und in dem numerischen Code verwirklicht. Mit diesem Programm zur Verfügung wurden Vielteilchensysteme, welche lediglich aus identischen Teilchen bestehen, im Allgemeinen untersucht. Es wurden allgemeine Bedingungen für das Vorhandensein einer dynamischen Symmetrie hergeleitet. Bedingungen für die schwächere Forderung nach der Erhaltung der sog. Senioritätsquantenzahl wurden ebenfalls im Detail untersucht. Obwohl derartige Untersuchungen in der Vergangenheit bereits stattgefunden haben, konnten neue Fälle gefunden und neue Bedingungen aufgestellt werden. Als überraschendes Ergebnis wurden Beispiele entdeckt, für welche die Seniorität im Allgemeinen gebrochen, für ein paar spezifische Zustände jedoch erhalten ist. Diese Zustände sind lösbar und entsprechende Formeln für ihre Anregungsenergien wurden angegeben. Alle analytischen Ergebnisse wurden mit "ArbModel" überprüft. Als weitere Anwendungen für den numerischen Code wurden die Vorhersagen einer sehr neuen Theorie, welche Quantenphasenübergänge mit sog. Verzweigungspunkten in Verbindung bringt, verifiziert. Hierfür wurde das sd-Interacting-Boson-Model 1 (sd-IBM1) mit einer sehr hohen Teilchenzahl verwendet. Außerdem wurde eine bestimmte dynamische Symmetrie des Interacting-Boson-Fermion-Models untersucht. Verzweigungsregeln für diese Bose-Fermi-Symmetrie wurden aufgestellt, sowie Auswahlregeln für M1-Übergänge abgeleitet. Auch hier verifiziert der numerische Code alle analytischen Ergebnisse. Da "ArbModel" alle analytischen Ergebnisse dieser Arbeit reproduziert, wurde somit auch der Beweis für Korrektheit dieses Programms gegeben.
Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich zunächst mit dem Ausbau der Hartree-Fock-Bogoliubov Theorie (HFB-Theorie), bzw. mit der Frage nach deren Exaktheit. Es werden sowohl fermionische als auch bosonische Vielteilchensysteme betrachtet, wobei auf eine möglichst analoge Behandlung der beiden Statistiken Wert gelegt wurde. Eine zentrale Rolle für die jeweiligen Variationsprinzipien spielen in beiden Fällen die sogenannten quasi-freien Zustände, die durch das Verschwinden ihrer höheren trunkierten Korrelationen charakterisiert sind. Dieses letzte Phänomen untersuchen wir im bosonischen Fall im Detail. Durch die Übertragung des von Bach, Lieb und Solovej erbrachten Beweises der 1:1-Relation zwischen verallgemeinerten Dichtematrizen und quasi-freien Zuständen vom fermionischen in den bosonischen Kontext, können wir die Variationsprinzipien auf den konvexen Mengen der verallgemeinerten Dichtematrizen formulieren. Wir erhalten auf diese Weise einen deutlich einfacheren und konstruktiveren Beweis als beispielsweise den bereits bekannten Beweis der 1:1-Relation von Araki. Außerdem verallgemeinern wir auf den Fall nichtverschwindender Einpunktsfunktionen. Parallel entwickeln wir für beide Statistiken die mächtige Methode der kohärenten Zustände, wobei auch hier auf eine möglichst analoge Behandlung der beiden Fälle Wert gelegt wird. Dieser Teil der Arbeit kulminiert in der Berechnung des generierenden Funktionals von Gibbszuständen allgemeiner quadratischer Operatoren, die die Teilchenzahl möglicherweise nicht erhalten. Im bosonischen Fall können wir dieses Resultat benutzen, um die Quasi-Freiheit dieser Zustände zu zeigen. Wir beschäftigen uns dann mit der Behandlung wechselwirkender Vielteilchensysteme mit periodischen Randbedingungen. Hierbei betrachten wir Wechselwirkungen, die ähnlich wie das Coulomb Potential, als gewichtetes Mittel eines Produktes von lokalisierten Funktionen geschrieben werden können. Anders als etwa Fefferman und de la Llave oder Hainzel und Seiringer, nehmen wir als Lokalisierungsfunktionen periodifizierte Gaußfunktionen. Schließlich beschäftigen wir uns mit der Frage, wie der Approximationsfehler der HFB-Theorie zu kontrollieren sei. Eine wichtige Rolle spielen hierbei die sogenannten Korrelationsungleichungen, die es erlauben Erwartungswerte in quartischen Ausdrücken in den Teilchenvernichtern und Erzeugern möglichst ausschließlich durch quadratische solche abzuschätzen. Im fermionischen Fall stellt sich heraus, dass insbesondere normalgeordnete quartische Ausdrücke zu kontrollieren sind. Wir leiten eine entsprechende Korrelationsungleichung her, die allgemeiner als die von Bach sowie von Graf und Solovej verwendete ist, und benützen diese um die Grundzustandsenergie des fermionischen Jellium Modells nach unten abzuschätzen. Wir erhalten hierbei ein ähnliches Resultat wie das bereits bekannte. Im bosonischen Fall gelingt es lediglich eine Korrelationsungleichung herzuleiten, auf deren rechter Seite auch quartische Erwartungswerte des Typs des Quadrates des Teilchenzahloperators vorkommen. Dies überrascht jedoch nicht.
Im ersten Abschnitt dieser Arbeit versuchen wir, die algebraische Struktur, welche im Rahmen der dissipativen Quantenmechanik unter Verwendung des Influenzfunktionals auftritt, herauszuarbeiten. Dies erlaubt uns einen tieferen Einblick in ansonsten unübersichtliche und langwierige Rechenschritte, speziell im Realzeitformalismus, und ermöglicht uns eine leichtere Identifikation der dabei auftretenden Terme und deren Ursprung aus dem zugrunde liegenden Modell als auch deren physikalische Bedeutung. Die verwendeten Methoden haben wir soweit als möglich in konsistenter und anschaulicher Form eingeführt, so dass diese Arbeit ohne spezielle Kenntnis des Gebietes der dissipativen Quantenmechanik gelesen werden kann. Besonderen Wert haben wir auf den Übergang von der quantenmechanischen auf die klassische Beschreibung von dissipativen Vorgängen gelegt, da ein Verständnis dieses Übergangs eine tiefere Einsicht in den Messprozess liefert. In der selben Weise ist damit auch der Übergang von der mikroskopischen - durch die Quantenmechanik beschriebenen - Welt in die makroskopische Welt verbunden, welche den Gesetzen der klassischen Mechanik folgt. Zusätzlich zeigen wir, wie die Resultate der Influenzfunktionalmethode stochastisch interpretiert werden können, was einen leichteren Vergleich mit der bekannten quantenmechanischen Zeitentwicklung durch die Schrödingergleichung erlaubt. Im weiteren betrachten wir die sogenannte Tight-Binding Näherung von Modellen, bei welchen sich der Hamiltonraum für die Systembeschreibung im wesentlichen durch diskrete Eigenzustände des Ortsoperators ausdrücken lässt und Übergänge zwischen diesen Zuständen unterdrückt sind, wodurch eine Propagation entweder durch ein Tunneln oder durch thermische Anregung erfolgt. Im Rahmen der dissipativen Quantenmechanik bringt diese Methode eine immense Vereinfachung in der effektiven Beschreibung des Systems, da Anstelle einer ganzen Historie von Systempfaden nur noch die Übergangszeiten mit den entsprechenden Übergängen berücksichtigt werden müssen. Im Bild des Pfadintegralformalismus bedeutet dies, dass Anstelle des Integrals über alle Systempfade ein Produkt von Integrationen über alle möglichen Sprungzeiten mit Sprunggewichten entsprechend des Übergangs rückt, welches analytisch als auch numerisch wesentlich einfacher handzuhaben ist. Innerhalb dieser Näherung wurden dadurch in der Vergangenheit viele beeindruckende analytische Resultate abgeleitet. Darüber hinaus beschäftigen wir uns mit der Abbildung und dem Zusammenhang von dissipativen Modellen mit Feldmodellen aus der Quantenfeldtheorie und im besonderen der Feldtheorie statistischer Systeme. Der Reiz dieser Abbildungen liegt besonders darin, dass in den letztgenannten Gebieten schon seit Jahrzehnten sehr intensiv die grundlegenden Modelle bearbeitet wurden und vor allem auch nach neuen Methoden gesucht und Forschung dafür betrieben wurde und noch immer Gegenstand der aktuellen Forschung darstellt. Als Beispiel sei in zwei Dimensionen die Invarianz unter konformen Abbildungen genannt, welche immer dann Anwendung findet, wenn Systeme nur lokal wechselwirken und eine Invarianz unter lokaler Umskalierung der Felder zeigen. Bei statistischen Systemen mit lokaler Wechselwirkung zeigt sich dieses Verhalten immer beim Erreichen eines kritischen Punktes, da hier per Definition keine Längenskala ausgezeichnet ist. In zwei Dimensionen führt dies zu einer immensen Einschränkung der möglichen Form von Korrelationsfunktionen und hat zu dem eigenständigen Gebiet der Konformen Feldtheorie geführt, da konforme Abbildungen per Definition die lokale Struktur erhalten (Winkeltreue) und lokal nur zu einer Unskalierung führen. Während in D>2 Dimensionen nur endlich viele Generatoren für konforme Abbildungen existieren, ist deren Anzahl in 2 Dimensionen unendlich. Dies resultiert in einer unendlichen Anzahl von lokalen Erhaltungsgrößen mit den entsprechenden Folgen. Während solche Techniken sehr schnell unanschaulich werden, erlaubt die Abbildung auf dissipative Modelle hier oftmals eine sehr anschauliche Interpretation.
Die vorliegende Arbeit befasst sich mit dem Einfluss der Wechselwirkung zwischen extrem kalten Bosonen, die in einem optischem Gitter gehalten werden, auf des Streusignal eines Teilchens, welches als Sonde fungiert. Die Bosonen im Gitter werden durch das Bose-Hubbard-Modell beschrieben. Ausgangspunkt für unsere Untersuchungen ist ein allgemeiner Ausdruck für den Streuquerschnitt des Teilchens, der für beliebige Wechselwirkungsstärken gültig ist. Generell erfordert die Bestimmung der Streueigenschaften die numerische Diagonalisierung des Hamilton- Operators, welcher die Bosonen beschreibt. Um eine analytische Beschreibung des Problems zu erhalten, machen wir von verschiedenen Näherungen Gebrauch, die für unterschiedliche Stärken der Wechselwirkung gültig sind. Numerische Simulationen zeigen, daß sich die Wechselwirkungsstärke im inelastischen Streuquerschnitt offenbart, welcher mit zunehmender Wechselwirkungsenergie abnimmt. Im Regime schwacher Wechselwirkungen können die Bosonen im Gitter durch eine makroskopisch besetzte Wellenfunktion – dem sogenannten Kondensat – beschrieben werden, vorausgesetzt die Zahl der Bosonen, die sich nicht im Kondensat befinden, ist klein im Vergleich zu ihrer Gesamtzahl. In der Bogoliubov-Näherung wird der Hamilton-Operator der Bosonen im Gitter durch eine klassische Hamilton-Funktion ersetzt, und Quantenfluktuationen um das klassische Feld (welches das Kondensat beschreibt) werden als Störung betrachtet. Dies erlaubt die analytische Bestimmung des Streuquerschnitts, der aufgrund der Anregung von Dichtefluktuationen einen nichtverschwindenden inelastischen Anteil aufweist. Wir zeigen, daß dieser für kleine Werte der Wechselwirkung linear abnimmt. Dieser lineare Zerfall ist universell insofern, als seine Steigung unabhängig von der bosonischen Dichte und der Größe des Gitters ist. Im Falle starker repulsiver Wechselwirkungen wird ein Quantenphasenübergang der Bosonen von einem superfluiden in einen isolierenden Zustand erwartet. In diesem Regime lässt sich das System störungstheoretisch behandeln, wobei der Wechselwirkungsterm im Hamilton-Operator der Bosonen im Gitter als Operator des ungestörten Systems betrachtet wird, und die kinetische Energie in Form des quantenmechanischen Tunnelns der Teilchen als Störung. Große Wechselwirkungsstärken führen zu einer Unterdrückung von Dichtefluktuationen – aufgrund der Abstoßung, welche die Lokalisierung der Atome energetisch favorisiert – und damit zur Abnahme des inelastischen Streusignals. Wir leiten eine Näherung für den inelastischen Streuquerschnitt in niedrigster Ordnung in der Tunnelstärke her. Im Gegensatz zum schwach wechselwirkenden Regime zerfällt das Streusignal hier quadratisch als Funktion der Wechselwirkung. Insbesondere ist in dieser Ordnung der Näherung keine qualitative änderung des Zerfalls am erwarteten Punkt des Quantenphasenübergangs zu beobachten. Um die Genauigkeit unserer Näherungen zu prüfen und ihre Aussagekraft zu untermauern, führen wir in sämtlichen Fällen numerische Simulationen des exakten Streuproblems durch und vergleichen die erhaltenen Daten mit den Näherungsformeln. So können wir zeigen, daß die von uns hergeleitete analytische Beschreibung innerhalb der jeweiligen Grenzen ihrer Gültigkeit die numerisch erhaltenen Daten zu reproduzieren vermag. Entsprechend diskutieren und erläutern wir Abweichungen, die auftreten, wenn diese Grenzen überschritten werden.
Verschränkung ist nicht nur notwendig für die Beschreibung des Verhaltens von quantenmechanischen Systemen, sondern ist auch essentiell für einige vielversprechende Anwendungen der Quantenmechanik. Motiviert durch die Bedeutung von Verschränkung werden in dieser Arbeit Themen aus der Vielteilchenverschränkungstheorie behandelt. Der erste Teil der Arbeit besteht aus zwei Unterteilen. Im ersten Unterteil werden separable Kanäle (SEP) betrachtet, d.h., Kanäle, die mittels separabler Krausoperatoren dargestellt werden können. SEP bildet eine strikte übermenge der Menge der Quantenoperationen, die mittels lokaler Operationen und klassischer Kommunikation implementiert werden können (LOCC). Dabei ist LOCC genau die Menge von Quantenoperationen, mittels welcher keine Verschränkung erzeugt werden kann. Separable Transformationen erlauben es notwendige Bedingung für LOCC-Transformationen herzuleiten. Wir zeigen, dass es nicht hinreichend ist nur Kanäle zu betrachten, die mittels separabler und invertierbarer Krausoperatoren dargestellt werden können (SEP1), um zu entscheiden ob zwei reine Zustände mit SEP ineinander transformiert werden können. Dieses Resultat wirft die Frage auf, ob Transformationen mittels SEP1 notwendig sind für LOCC-Transformationen. Während die Relation von SEP1 und LOCC nicht abschließend geklärt werden konnte, wird im Folgenden gezeigt, dass SEP1-Transformationen notwendig sind für Transformationen mittels LOCC-Protokollen, die nur aus endlich vielen Runden klassischer Kommunikation bestehen (LOCCN), also solche LOCC-Protokolle, die physikalisch relevant sind. Darüber hinaus werden notwendige und hinreichende Bedingungen dafür hergeleitet, wann eine Transformation zwischen zwei reinen Zuständen mittels SEP möglich ist (siehe auch [Gour et al. New Journal of Physics 13(7), 073013 (2011)]). Im zweiten Unterteil wird die Verschränkung von Stabilizerzuständen untersucht, da diese Zustände viele Anwendungen in der Quanteninformationstheorie besitzen. Dazu werden lokale Transformationen dieser Zustände betrachtet. Als Voraussetzung dafür werden zunächst alle lokalen Symmetrien von Stabilizerzuständen charakterisiert. Zudem wird ein Algorithmus hergeleitet, um diese für einen gegebenen Zustand zu bestimmen. Diese Ergebnisse werden dann verwendet um LOCCN-Transformatio- nen innerhalb der äquivalenzklasse zu analysieren, die von einem Stabilizerzustand und allen Zuständen, die unter probabilistischen LOCC-Transformationen von diesem erreicht werden können, gebildet wird (SLOCC). Zudem werden Anwendungen von Stabilizerzuständen diskutiert, die aus den Eigenschaften ihrer lokalen Symmetriegruppe abgeleitet werden können. Um einen vergröberten Blick auf die Verschränkung von Stabilizerzuständen zu erhalten, werden dann Cliffordtransformationen zwischen diesen Zuständen untersucht, die lokal bezüglich einer fixierten Menge von Parteien wirken (PLC). Eine solche Partei kann dabei aus mehr als einem Qubit bestehen. Zunächst wird gezeigt, dass PLC Transformationen zwischen Graphenzuständen durch eine verallgemeinerte Form von lokaler Komplementierung beschrieben werden kann. Letztere beschreibt Transformationen zwischen Graphenzuständen mittels lokaler Cliffordoperatoren. Um die entstehenden Äquivalenzklassen zu charakterisieren wird die so genannte verschränkung-generierende Menge (EGS) verwendet [Bravyi et al., J. Math. Phys. 47, 062106 (2006)]. Diese Menge enthält für bis zu drei Parteien nur endlich viele Zustände [Bravyi et al., J. Math. Phys. 47, 062106 (2006)]. Im Folgenden wird gezeigt, dass das EGS für vier und mehr Parteien unendlich viele Elemente enthält. Im zweiten Teil der Arbeit wird die partielle Unterscheidbarkeit von identischen Teilchen in Interferenzexperimenten untersucht, in welchen einige Freiheitsgrade der Teilchen nicht verändert und nicht detektiert werden. Dabei werden insbesondere Bosonen betrachtet. Anwendungen solcher Interferenzexperimente benötigen meist ununterscheidbare Teilchen. Deshalb spielt die Charakterisierung von partieller Unterscheidbarkeit sowie deren Quantifizierung eine wichtige Rolle. Zunächst wird in diesem Teil der Arbeit Literatur zusammengefasst, die für die weiteren Kapitel besonders relevant ist. Diese Literatur beschäftigt sich hauptsächlich mit bestimmten Teilmengen von Zuständen, die relevant sind für Experimente. Ausgehend von dieser Zusammenfassung wird dann eine Definition von Ununterscheidbarkeit und Unterscheidbarkeit für Teilchen formuliert, die durch allgemeine Zustände beschrieben werden. Diese basiert alleinig auf den Informationen über die Teilchen, welche auch in den betrachteten Experimenten zugänglich sind. Die zugehörigen Mengen von Zuständen werden mittels Darstellungstheorie charakterisiert. Darüber hinaus wird eine effiziente Methode hergeleitet um eine obere und eine untere Schranke an ein Ununterscheidbarkeitsmaß mittels Interferenzexperimenten zu bestimmen, welches sich von der Definition von Ununterscheidbarkeit ableitet.
Gegenstand der vorliegenden Arbeit sind Untersuchungen zu den quantenmechanischen Zuständen pilzförmiger Billardsysteme sowie zu den Streueigenschaften klassischer und quantenmechanischer offener Billards. Basierend auf einer Analogie zwischen Quantenbillards und flachen elektromagnetischen Kavitäten wurden hierzu Experimente mit Mikrowellenresonatoren durchgeführt. Pilzbillards sind Systeme mit gemischter Dynamik mit der besonderen Eigenschaft, dass ihr klassischer Phasenraum klar in einen regulären und einen chaotischen Bereich getrennt ist. Daher stellen sie ideale Systeme zum Studium der Wechselwirkung von Regularität und Chaos dar. In dieser Arbeit wurden erstmals die Eigenschaften von pilzförmigen Quantenbillards untersucht. Hierzu wurden Resonanzspektren supraleitender Mikrowellenbillards sowie Intensitätsverteilungen des elektrischen Feldes bei Raumtemperatur gemessen. Die Eigenwertspektren wurden mit statistischen Methoden untersucht. Es wurden zwei wesentliche Punkte herausgearbeitet: Erstens wurde deutlich, dass in klassischen Quantenpilzbillards dominante, kurze periodische Bahnen existieren können, die eine Superschalenstruktur in der Niveaudichte des entsprechenden Quantenbillards verursachen. Die Einflüsse dieser Bahnen manifestieren sich sogar in der Verteilung der Abstände benachbarter Eigenwerte. Dieses Ergebnis ist verwunderlich, da typischerweise nur langreichweitige Korrelationen der Spektren durch kurze Bahnen beeinflusst werden. Zweitens wurden in den untersuchten Größen Signaturen des in der klassischen Mechanik verbotenen dynamischen Tunnelns erkannt. Pilzbillards erscheinen als ideale Systeme, um diesen komplizierten Effekt, der in allen Systemen mit gemischter Dynamik gegenwärtig ist und zur Zeit auf großes Interesse im Quantenchaos stößt, näher zu untersuchen. Andererseits konnten, trotz der Wechselwirkung vermöge des Tunneleffektes, fast alle Eigenwerte des Systems einem chaotischen bzw. regulären Teilspektrum zugeordnet werden. Dies ist auf die scharfe Trennung des klassischen Phasenraums zurückzuführen. In den gemessenen Intensitätsverteilungen macht sich diese Trennung ebenfalls bemerkbar. Durch eine überlagerung der Verteilungen der chaotischen Zustände wurde die mittlere Aufenthaltswahrscheinlichkeit für ein quantenmechanisches Teilchen im Billard bestimmt, sie folgt ihrem klassischen Analogon bis auf Quanteneffekte in der Größenordnung der Wellenlänge. Weiterhin wurden klassische Pilzbillards mit einer öffnung am Rand in numerischen Simulationen untersucht. Sie stellen ein Streusystem dar, bei dem von außen eingebrachte Teilchen eine gewisse Zeit lang reguläres Verhalten zeigen, bevor sie wieder austreten. Die Verweildauer im Billard kann nicht jeden beliebigen Wert annehmen. Die erlaubten Zeiten sind sehr selektiv, und die ersten von ihnen zeigen eine Systematik ähnlich der in Fibonacci-Folgen. Durch eine Analyse der möglichen Teilchenbahnen konnte sie verstanden werden. Die Ergebnisse erscheinen z.B. für Nanostrukturen relevant. Auch ohne eine echte öffnung stellt ein Mikrowellenbillard ein offenes Streusystem dar, bei dem Energie über Antennen durch den Resonator transportiert wird. Dieser Prozess ist mit einer Compoundkernreaktion vergleichbar, bei der ein Targetkern mit einem Teilchen oder einem Quant beschossen wird und einen Compoundkern bildet, der schließlich zerfällt. Die offenen Reaktionskanäle entsprechen im Resonator den Antennen und den Ohmschen Verlusten in den Wänden. Für eine Beschreibung im Rahmen der Zufallsmatrixtheorie wird für Atomkerne wie auch Resonatoren der selbe Ansatz für die Streumatrix benutzt. Während in der Kernphysik nur der Wirkungsquerschnitt experimentell zugänglich ist, können in Mikrowellenbillards Amplitude und Phasen der Streumatrixelemente bestimmt werden. Daher ist es möglich, theoretische Vorhersagen von Verbaarschot, Weidenmüller und Zirnbauer (VWZ) für die Autokorrelationsfunktion der Streumatrixelemente unter Verwendung großer Datensätze zu testen. Von besonderem Interesse ist hierbei der übergangsbereich zwischen isolierten Resonanzen und dem Bereich der Ericson-Fluktuationen, in dem die Resonanzen stark überlappen. Im Rahmen dieser Arbeit wurden die Streumatrixelemente eines chaotischen Billardsystems gemessen. Es wurde gezeigt, dass das Modell die gemessenen Daten gut beschreibt. Hierfür wurde die theoretische Vorhersage an die Fourierkoeffizienten des gemessenen Spektrums angepasst. Deren Fehler sind nicht korreliert. Ein Fahrplan für ein ausstehendes, statistisch fundiertes Testverfahren der Vorhersagen von VWZ konnte erarbeitet werden.
In der vorliegenden Dissertation werden die experimentellen Untersuchungen von Eigenschaften der Eigenenergiespektren und Wellenfunktionen von Quantenbillards mit flachen Mikrowellenresonatoren, sog. Mikrowellenbillards, vorgestellt. Es werden im Wesentlichen zwei Fragestellungen verfolgt. Erstens wird die Lokalisierung der Wellenfunktionen in pseudointegrablen Billards, sog. Superscars, untersucht, und zweitens werden die Eigenschaften von Knotengebieten der Wellenfunktionen dieser Billards betrachtet. Um diese Untersuchungen zu ermöglichen wurde eine Messapparatur zur Messung von Intensitätsverteilungen des elektischen Feldes entwickelt. Die Messungen basieren auf der ursprünglich aus der Radartechnik stammenden und später in der Beschleunigerphysik eingesetzten Störkörpermethode. Mit diesem Aufbau konnten bisher experimentell nicht zugängliche Feldintensitätsverteilungen von hoch angeregten Resonanzen gemessen werden. Mit einem im Rahmen dieser Dissertation entwickelten Rekonstruktionsverfahren wurden aus den gemessenen Feldintensit ätsverteilungen die elektrischen Feldamplituden selbst, und damit die zu einen Quantenbillard analogen Wellenfunktionen, bestimmt. Insbesondere wurden mit dieser Messapparatur die Lokalisierungseigenschaften der Wellenfunktionen pseudointegrabler Billards am Beispiel des symmetrischen Barrierenbillards untersucht. Dies ist ein Rechteckbillard mit einer infinitesimal schmalen Barriere entlang einer Symmetrieachse. Das Barrierenbillard wurde für die Untersuchungen ausgewählt, weil es eine einfache Struktur der klassischen periodischen Bahnen besitzt, welche die semiklassische Konstruktion von lokalisierten Zustände ermöglicht. Auf Grund der Symmetrie des Billards existieren zwei Klassen von Eigenzuständen, die einen sind symmetrisch, die anderen antisymmetrisch. Mit Hilfe der gemessenen Feldintensitätsverteilungen war eine Zerlegung des Spektrums der Eigenfrequenzen in zwei Teilspektren mit jeweils nur symmetrischen bzw. antisymmetrischen Zuständen möglich. Die spektralen Eigenschaften beider Teilspektren wurden untersucht. Aus den Intensitätsverteilungen der symmetrischen Zustände wurden mit dem Rekonstruktionsverfahren die entsprechenden Wellenfunktionen ermittelt. Es wurden viele Wellenfunktionen mit einer ausgeprägten Lokalisierung der Intensität um eine Familie periodischer Bahnen beobachtet. Eine qualitative Identifizierung der Superscars erfolgte durch die Berechnung eines überlappintegrals zwischen den experimentellen Wellenfunktionen und je einem analytisch konstruierten Superscar-Zustand. Eine ausgesprochen gute Übereinstimmung mit der Theorie wurde gefunden, fast bei jeder semiklassisch vorhergesagten Frequenz wurde eine experimentelle Wellenfunktion mit starker Lokalisierung gefunden. Vor kurzem wurde in einigen theoretischen und experimentellen Arbeiten festgestellt, dass sich die Eigenschaften der Knotengebiete der Wellenfunktionen chaotischer und regulärer Systeme prinzipiell voneinander unterscheiden. Deshalb wurden in der vorliegenden Arbeit auch statistische Eigenschaften der Knotengebiete für das Barrierenbillard untersucht. Bisher gibt es hierzu aber noch keine theoretischen Vorhersagen.