文 献1 ) L A.T a k h t a d z h a na n dL D.F a d d e e v ,R u s s i a nMa t h .S u r v e y s3 4( 1 9 7 9 )l l .K･S o g o ,M･U c h i n a mi ,A･Na k a mu r aa n dM.Wa d a t i , F r o g .T h e o r .P h y s .6 6( 1 9 8 1 )1 2 8 4 .2 ) K.S o g oa n dM.Wa d a t i ,P r o g .T h e o r .P h y s .6 8( 1 9 8 2 )8 5 .A･B .Z a mo l o d c h i k o va n dV.A.F a t e e v ,S o y .∫.N u c l .P h y s .32( 1 9 8 0 )2 9 8 .K.S o g oa n dY.A k u t s u ,p r e p r i n t .また本号 の阿久津氏 による報告 も参照 ｡3 ) M･S a t o ,T .Mi waa n dM.J i mb o , P u b l .R I MS 1 6( 1 9 8 0 )5 3 1 .神保 ･ 三輪, ｢ 数学｣5 2( 1 9 8 0 )2 8 9 .4 ) B .M.Mc C o y a n dT .T .Wu ,N u c l .P h y s .B 1 8 0( 1 9 8 1 )8 9 .B .M.Mc C o y ,T .T .Wu ,C .A.T r a c ya n dE .B a r u c h ,P h y s .R e v .B 1 3( 1 9 7 6 )3 1 6 .B .M.Mc C o y ,C .A.T r a c ya n dT .T .Wu ,P h y s .R e v .L e t t .38( 1 9 7 7 )7 9 3 .5 ) R .Z .B a r i e v ,P h y s .L e t t .5 5 A ( 1 9 7 6 )4 5 6 .6 ) C ･ ､ I t z y k s o n ,N u c l ･P h y s ･B 2 1 0( 1 9 8 2 )4 4 8 ･ 7 ) H.B .T h a c k e r ,L e c t u r eNo t e si nP h y s i c s1 5 1( S p r i n g e r ) K.S o g oa n dM.Wa d a t i ,F r o g .T h e o r .P h y s .6 9( 1 9 8 3 ) .Be t heAn s a t zとSo l i t o n 北大 ･ 工 飛 田 和 男 §1 .序古典一次元系 では,逆散 乱法等 によって,い くつかの完全可積分系 が知 られ,その多 くで ソ リ トンが存 在す る｡一方,量子一次元系 につい ては,古 くか らBe t h eAn s a t zで解 け る例 が知 られ ていた｡近年, この Be t h eAn s a t zは逆散 乱法 の量子化 に他 な らない こ とが明 らか に され てきた｡ ここでは,量子系 にお ける ソ リ トンに焦点 をあ て,Be t h eAn s a t z 及 び, それ を用 いた統計力学 を紹介 し, あわせ て,量子 サイ ン ･ゴル ドン系 -適 用 した結 果 を紹介す る｡ §2 .Be t h eAn s a t z この節及 び次節 におい では,最 も簡単 で, ソリ トンをもっ例 として, ♂ -関数 形 の 2体力 で相互作用 してい る一次元 ボーズ系1 )を考 える｡ノ ､ミル トニア ンは ( i --1) H-I[ a x ￠ * ∂ 転 + C￠ * ￠ * 掴 ]d x -8 8 -( い
文 献1 ) L A.T a k h t a d z h a na n dL D.F a d d e e v ,R u s s i a nMa t h .S u r v e y s3 4( 1 9 7 9 )l l .K･S o g o ,M･U c h i n a mi ,A･Na k a mu r aa n dM.Wa d a t i , F r o g .T h e o r .P h y s .6 6( 1 9 8 1 )1 2 8 4 .2 ) K.S o g oa n dM.Wa d a t i ,P r o g .T h e o r .P h y s .6 8( 1 9 8 2 )8 5 .A･B .Z a mo l o d c h i k o va n dV.A.F a t e e v ,S o y .∫.N u c l .P h y s .32( 1 9 8 0 )2 9 8 .K.S o g oa n dY.A k u t s u ,p r e p r i n t .また本号 の阿久津氏 による報告 も参照 ｡3 ) M･S a t o ,T .Mi waa n dM.J i mb o , P u b l .R I MS 1 6( 1 9 8 0 )5 3 1 .神保 ･ 三輪, ｢ 数学｣5 2( 1 9 8 0 )2 8 9 .4 ) B .M.Mc C o y a n dT .T .Wu ,N u c l .P h y s .B 1 8 0( 1 9 8 1 )8 9 .B .M.Mc C o y ,T .T .Wu ,C .A.T r a c ya n dE .B a r u c h ,P h y s .R e v .B 1 3( 1 9 7 6 )3 1 6 .B .M.Mc C o y ,C .A.T r a c ya n dT .T .Wu ,P h y s .R e v .L e t t .38( 1 9 7 7 )7 9 3 .5 ) R .Z .B a r i e v ,P h y s .L e t t .5 5 A ( 1 9 7 6 )4 5 6 .6 ) C ･ ､ I t z y k s o n ,N u c l ･P h y s ･B 2 1 0( 1 9 8 2 )4 4 8 ･ 7 ) H.B .T h a c k e r ,L e c t u r eNo t e si nP h y s i c s1 5 1( S p r i n g e r ) K.S o g oa n dM.Wa d a t i ,F r o g .T h e o r .P h y s .6 9( 1 9 8 3 ) .Be t heAn s a t zとSo l i t o n 北大 ･ 工 飛 田 和 男 §1 .序古典一次元系 では,逆散 乱法等 によって,い くつかの完全可積分系 が知 られ,その多 くで ソ リ トンが存 在す る｡一方,量子一次元系 につい ては,古 くか らBe t h eAn s a t zで解 け る例 が知 られ ていた｡近年, この Be t h eAn s a t zは逆散 乱法 の量子化 に他 な らない こ とが明 らか に され てきた｡ ここでは,量子系 にお ける ソ リ トンに焦点 をあ て,Be t h eAn s a t z 及 び, それ を用 いた統計力学 を紹介 し, あわせ て,量子 サイ ン ･ゴル ドン系 -適 用 した結 果 を紹介す る｡ §2 .Be t h eAn s a t z この節及 び次節 におい では,最 も簡単 で, ソリ トンをもっ例 として, ♂ -関数 形 の 2体力 で相互作用 してい る一次元 ボーズ系1 )を考 える｡ノ ､ミル トニア ンは ( i --1) H-I[ a x ￠ * ∂ 転 + C￠ * ￠ * 掴 ]d x -8 8 -( い
じめに 量子逆散 乱法 の発展 に伴 い, 1 +1次元の場の量子論, 2次元の統計力学, 1次元量子 ス ピ ン系, における解 けるモデルの共通性 が明 らかになって きた.1)量子逆散 乱法 には,連続 型 の 理論 ( T h a c k e re ta l .)2)と離散型の理論 ( F a d e e ve ta l .) 3)が あ る.特 に, 離 散 型 の理 論 は, Ya n g ･ B a x t e r 関係式 を軸 と して,転送行列 の方法, B e t h e仮説法, S行列の因子化理論,等 の量 子完全可積分系の解法 の統一的理解 を与 える.ここでは,従 来 の B e t h e 仮説 法 ( c o o r d i n a t e B e t h ea n s a t z )4)の一般的 な形 を,離散型 の量子逆散乱法から導 く.これは同時 に B e t h e仮 説 の証 明 を与えることになる.以下では,特に任意ス ピンのHe i s e n b e r g モデル 5 ,6)を例 に挙 げて説 明 す る.§2 Ya n g -B a x t e r 関係式 量子逆散乱法の基礎 となるのは,次のYa n g ･ B a x t e r 関係式 ( YBR ) 5 ) であ る.a t ev e r t e x mo d e l 7) ぉ よび,それ と等価 なHe i s e n b e r gXXX 5 ) ,ⅩⅩZ6) mo de l , 8) l a t t i c en o n li n e a rS c h r 6 d i n g e rmo d e l 8) , l a t t i c eS i n e ･ Go r d o n mo d e l8)等 が含 まれ る. 例 )He i s e n b e r gXXX mo d e l( 任意 ス ピン) 5 ) o s RO n ( i)-王二払 z o ㊥In+ 7 0 ㊥ ?n 2 亡± f i s ( 玉 ㊨ 柔 ト -i j = Ok =11 + kl Z 書写 x , ･ x ∠ -3 2-2 ∫ ノ s s RO n( i)--Z : 〈ロ ( 2 ,2) ( 2 ,3)
微視的な運動方程式か ら出発 してマスター方程式や確率微分方程式な どの巨視的な方程式を導 出す る際,時間 と空間の粗視化が重要である ( 以下では,時間の粗視化のみを扱 う) ｡ただ し,確 率微分方程式 とはランジュバ ン方程式 と確率 L i o u v i l l e 方程式を意味す るもの とす る｡量子系でも He i s e n b e r g 方程式か ら量子マスター方程式や量子確率微分方程式 ( QS DE) を導出す る際に,同様 の事情が存在す る｡ 量子マスター方程式は,通常,熱浴 と相互作用ハ ミル トニアンHl-∑ k ( a b と +aaとL e g g e t t 【 1 2 , 1 3 】によ り摩擦が速度 に比例す るオーム 的散逸の条件 として提出 されている.I-X型 のハ ミル トニアンは回転波近似 によ り線形散逸結合 の相互作用ハ ミル トニアンに帰着す る｡ QS DEをミクロな視点か ら導出す る試みが数多 くなされている｡その多 くは,He i s e n b e r g方程 式をL a n g e v i n方程式型 に書 き換 えるもので 【 1 4 , 1 5 ] ,通常の微分方程式が どのよ うに して確率微 分方程式に変化す るのかは明 らかではない｡ この論文では,確率的時間発展演算子 を得 る際に適切な時間の粗視化 を行 うことにより,量子 研 究会報告 Kr a me r s 方程式に対応す るQS DEを導出す る｡導出にあたっては,量子マスター方程式 とQS DE に対す る適切 な枠組み を提供す る [ 1 6 日2 6 】系統的な正準演算子形式である非平衡 Th e r moF i e l d Dy n a mi c s( NE TF D) [ 2 7 日3 1 ]を用いることにす る｡ 2 微視的モデル 熱浴 と相互作用す る調和振動子 を考 える｡系のハ ミル トニアンは Ht o t-Ho +入Hl , Ho -Hs+HR , ( 1 ) と与えられ る｡ただ し,Hs お よびHR はそれぞれ注 目す る振動子お よび熱浴の 自由ハ ミル トニア ンで,( 8 ) を満たす｡ NE TF Dでは,演算子 a , a I , b k, b tの他 にテ イル ド付き演算子丘 , a t , 5 k 湖 を考える.ただし, テイル ド 共役-は次のよ うに定義 され る｡ ( AI A2) --AI A2, -36 2-( 9 ) ｢ 第 6回 『 非平衡系の統計物理』 シンポジウム｣ ( c I Al +C 2 A2 ) --C ; Al +C 芸 Å 2 , ( A) --A, ( AI) --A t .Al , A 2お よび Aは演算子, c l お よびC2はC 一 数である.以下では,( a , a I , a , a I ) の表現空間を7 t sと 記 し,( b k , 舶 k , b i ) の表現空間を砧 と記す ことにす る.
クイーンズラン ド大物理 1 は じめに 量子系における微視的なハ ミル トニアンで記述 され るモデルか らL a n g e v i n方程式を導出 す る試みは,古 くか ら行われてきた.特に,射影演算子法によるL a n g e v i n方程式の導出 は,森 【 1 ] によ り始め られ,多 くの研究者によって調べ られてきた.柴 田 ･ 橋爪 [ 2 】 は,熱浴 と相互作用す るスピン系に対 して射影演算子法を適用す ること により,ス ピン緩和に対す る量子 L a n g e v i n方程式を導出 した･その際,注 目す 卑系甲演 算子に対す るHe i ' s e n b e r g方程式か ら出発 し,通常の解析関数 に対す る規則 に したがって 計算を進めている, したがって,導出された量子 L a n g e v i n方程式は,通常の計算規則 に したが うS t r a t o n o v i c h型の確率微分方程式であると理解すべきであろ う. 一方,散逸現象を正準形式の場の理論 として取 り扱 うNo n -E q u i l i b r i u m Th e r moF i e l d Dy n a mi c s ( NE TF D) 【 3 日7 Jの一貫 した体系か ら見 ると,柴 田 ･ 橋爪のL a n g e v i n方程式は I t o 型の確率微分方程式 と理解すべきとい う結論が得 られる.これは先ほどの結果 と矛盾 してお り,微視的に導出されたL a n g e v i n方程式に対 して,その計算則をきちん と定める 必要があるとい う問題が現れた.本論文では,ス ピン緩和 と減衰調和振動子の例 を用いて,射影演算子法によ り導出さ れた量子 L a n g e v i n方程式の確率過程 としての計算則がI t o 型である事を,保存量の微分を 計算す る事によ り具体的に示す [ 8 】 .次章では,NETF DにおけるL a n g e v i n方程式を導出 す る.NE TF Dの体系では,いくつかの公理か らL a n g e v i n方程式の形が決定する.第3 章 では,柴 田 ･ 橋爪の方法に沿って L a ng e v in方程式を導出す る.第 4章では,ス ピン緩和 に対する柴 田 ･ 橋爪のL a n g e v i n方程式に対 して,その計算則がI t o 型になっている事を, 保存量の微分を計算す る事によって示す.また,減衰調和振動子のモデルに対しても,柴 田 ･ 橋爪のL a n g e v i n方程式が I t o 型になっている事を示す･ -8 7 0-｢ 第 5回 『 非平衡系の統計物理』.シンポジウム｣ 2 NETFDにおけるL a n g e v i n方程式 柴田･ 橋爪のL a n g e v i n方程式 と比較 しうる,NE TF DにおけるL 弧g e V i n方程式を導出する･ 乱雑力 と相互作用する系を考える･NE TF Dでは,状態 l O f ( i ) ) は確率 L i o u v il l e 方程式, d l O f ( i ) ) --m f , t d tl O f ( i ) ) , に従って時間発展す る.( 1 ) 式の積は,I t o 型の積である.無限小時間発展演算子であるハ ッ ト･ ハ ミル トニアン T t f , t d t は, ( i 7 i f , t d t ) --i 7 1 J , 刺 を満たす.ここで,テイル ド共役-は,任意の演算子 A, Al , A 2 に対 して, ( AI A 2 ) --AI A 2 , ( c I A l +C 2 A2 ) --C ; A l +C ; A 2 , ( A) --A, ( A t ) --( A ) I , で定義 され る.ただ し, c l ,C 2 はc 数である.ハ ッ ト･ ハ ミル トニアン 7 t f , t d l は,注 目す る系に関 して確率の保存を表す式,) ( d F I Z d F 1 7 ) -( d F l f d F I Z ) -6 6 ( i -t ′ ) d t d t ′ , を持つ定常 Wi e n e r 過程 を仮定す る.Wi e n e r 過程の演算子は, ( I d F t '-( l d 育 , ( l d F t z-( I d F t z , を満たす.ハ ッ ト･ ハ ミル トニアン 7 i f , t d t に対 して, ･S 土 , s z , d F t j = , d F t z及びそのテ イル ダ共役 に関 して 2次まで･ .大局的位相変換S -S e i O , d F t -d F re i Oの下で不変.の要請 を仮す.但 し, S 土は S 土-s x士i s yで定義 され る. この要請 の下で得 られ るI t o 型のハ ッ ト･ ハ ミル トニアン 7 tf , t d t は, 7 1 f j d ths d t +i( h R +H D ) d t +d ht , ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) h s -u ( s z -S -X ) +△ 1 ( ( s Z ) 2 -( S -Z ) 2 ) +A2 ( S + S 一一S -+ S --) , ( 2 7 ) h R-芸 ( 7 0 1 -7 1 0 ) ( ( S +-S --) ( p s -+ " 5 ' ) +七 ･ C ･ ) , ( 2 8 )
Q s ( a , i)-Tm e x p(4i q2t+ 主 oo)s e c h(2甲 ∬) が出て くる.但 し4 万 -l K l (n+1)とおいた.さらに, ￠をは さむ状 態 を ガ リレイ変換 す れ ば, mo v i n gソリ トンも得 られ る.即 ち,量子論 で束縛状 態 をっ くる粒子数 nを無限大にす ると そ の状 態 に関す る ￠( α)の形状 因子 が古典 ソリ トン解 にな る. これ は Go l d s t o n eとJ a c k i w の予 憩 l o ) の一端 と思 われ る. nが有 限 の時の波形 をグラフにす る と, n-5-6く らい です で に s e c hに近 く, n一 大 につれ,古典的波形 に近づ く様子 がわ か る. 参考文献 1 ) M. Wa d a t ie ta l .,J o u r n a lo rP h y s ･S o c .J p nt oa p p e a r ･ 2 ) V. E .Z a k h a r o ve ta l .,S o v .P h y s .J E T P3 4( 1 9 7 2 )6 2 .3 ) V. E .Z a k h a r o ve ta l .,S o v .P h y s .J E T P 3 7( 1 9 7 3 )8 2 3 ･ 4 ) Ⅰ .B .Mc G u l i e ,∫ .Ma t h .P h y s .6( 1 9 6 5 )4 3 2 .E .H. L i e fa n dW.L i n i g e r ,P h y s .Re v .1 3 0( 1 9 6 3 )1 6 0 5 .5 ) H. B .T h a c k e r ,Re v .Mo d .P h y s .5 3( 1 9 8 1 )2 5 3 .