As fases geométricas são um conceito que surge com o efeito de mudança de fase em uma função de onda aparentemente causado pelo potencial vetor magnético, sendo observadas pela primeira vez por Aharonov e Bohm em 1959, desde então, esta fase tem sido observada nas mais diversas descrições de sistemas quânticos em especial na descrição de defeitos topológicos de sólidos. Neste artigo, veremos como modelos de dimensões extras como o de Kaluza-Klein podem oferecer um novo ferramental para a caracterização de tais defeitos topológicos. Será demonstrado como este conceito oferece uma modelagem física para o comportamento de férmions que interagem com os defeitos topológicos cônicos existentes em alótropos do carbono (grafeno, fulereno...). Por fim serão demonstradas as fases de Aharonov-Anandan que podem ser encontradas ao realizar o transporte paralelo de forma adiabática em torno dos defeitos, além de uma breve discussão sobre a implementação da descrição do fulereno na computação quântica holonômica.
As fases geométricas são um conceito que surge com o efeito de mudança de fase em uma função de onda aparentemente causado pelo potencial vetor magnético, sendo observadas pela primeira vez por Aharonov e Bohm em 1959, desde então, esta fase tem sido observada nas mais diversas descrições de sistemas quânticos em especial na descrição de defeitos topológicos de sólidos. Neste artigo, veremos como modelos de dimensões extras como o de Kaluza-Klein podem oferecer um novo ferramental para a caracterização de tais defeitos topológicos. Será demonstrado como este conceito oferece uma modelagem física para o comportamento de férmions que interagem com os defeitos topológicos cônicos existentes em alótropos do carbono (grafeno, fulereno...). Por fim serão demonstradas as fases de Aharonov-Anandan que podem ser encontradas ao realizar o transporte paralelo de forma adiabática em torno dos defeitos, além de uma breve discussão sobre a implementação da descrição do fulereno na computação quântica holonômica.
Com o trabalho de Aharonov e Bohm em 1959, a história viu um constante crescimento no número de trabalhos que focavam seus esforços na pesquisa do conceito de fases geométricas, em especial, a área da física da matéria condensada e suas aplicações deu grandes contribuições para a compreensão de causa e efeitos de tal abstração, tão profunda foram as pesquisas que por se só formaram um ramo completamente novo. Transpassando pela concepção de processos holonômicos na mecânica quântica, o teorema adiabático, a fase de Berry e sua categorização como independente do tempo e o efeito Aharonov-Bohm, é possível ter uma compreensão abrangente sobre a ocorrência e o uso das fases geométricas, onde, por fim podemos referenciar aplicações da contemporaneidade, especificamente na área da computação quântica onde tais conceitos podem ser aplicados afim de criar sistemas estáveis e tolerante a falhas.
Neste trabalho estudamos inicialmente o surgimento de fases geometricas nas dinâmicas quânticas relativistica e nao-relativistica de uma particula neutra que possui momento de
dipolo magnetico e eletrico permanente interagindo com campos eletricos e magneticos externos
na presenca de defeitos topologicos lineares. Para descrevermos defeitos topologicos
lineares usamos a aproximacao proposta por Katanaev e Volovich, onde defeitos lineares em solidos sao descritos por elementos de linha que sao solucoes das equacoes de Einstein
no contexto da relatividade geral. Analisamos tambem a
inuencia de efeitos nao-inerciais na dinâmica quântica de uma particula neutra em dois tipos distintos de referenciais para
os observadores: um e o referencial de Fermi-Walker e outro e um referencial girante.
Vemos que a diferenca entre dois referenciais esta na presenca/ausencia de efeitos de arrasto
do espaco-tempo que ira influenciar diretamente na mudanca de fase na funcaao de
onda da particula neutra. Em seguida, usamos nosso estudo de fases geometricas para
fazer aplicacoes na Computacao Quântica Holonomica onde mostramos uma nova maneira de implementar a Computacao Quântica Holonomica atraves da interacao entre momentos
de dipolo e campos externos e pela presenca de defeitos topologicos lineares. Outra
aplicacao para a Computacao Quântica Holonomica esta baseada na estrutura de defeitos
topologicos em um material chamado grafeno. Na presenca de defeitos topologicos lineares,
esse material apresenta duas fases quânticas de origens distintas: uma da mistura
dos pontos de Fermi e outra da topologia do defeito. Para dar uma descricao geometrica para a origem de cada fase no grafeno usamos a Teoria de Kaluza-Klein, onde a dimensao extra sugerida por esta teoria descreve os pontos de Fermi no grafeno. Portanto, a implementacao da Computacao Quântica Holonomica no grafeno esta baseada na possibilidade
de construir cones e anticones de grafite de tal maneira que se possa controlar os fluxos
quânticos no grafeno. Na ultima parte deste trabalho estudamos a quantizacao de Landau
para particulas neutras tanto na dinâmica nao-relativistica quanto na dinâmica relativistica. Na dinâmica nao-relativitica, estudamos a quantizacao de Landau na presenca
de defeitos em um referecial inercial e, em seguida, em um referencial naoo-inercial. Na
dinâmica relativistica, estudamos inicialmente a quantizacao de Landau no espaco-tempo
plano em duas configuracoes de campos diferentes. Por fim, estudamos a quantizacao de
Landau relativistica para particulas neutras no espaco-tempo da deslocacao cosmica.
Como é bem sabido, quando uma partícula de spin 1/2 realiza uma evolução cíclica, devido à interação com um campo magnético, o estado quântico ganha, além da fase dinâmica, uma fase de origem geométrica. Este interessante fenômeno foi inicialmente apontado por Michael Berry, sendo um comportamento geral para sistemas de N níveis que evoluem segundo a variação adiabática dos parâmetros externos. Posteriormente, a geração de uma fase geométrica, invariante de calibre e por reparametrizações, foi estendida a situações onde o estado realiza uma evolução não necessariamente adiabática, nem cíclica. Sabemos ainda que, no caso de spin 1/2, ou em sistemas de dois níveis em geral, a fase geométrica pode ser interpretada como a área encerrada pelo caminho que o vetor de estado - ou vetor de Bloch - percorre sobre a esfera de Bloch, e que o efeito pode ser associado à presença de um monopolo. Nesta tese, procuramos generalizar estes aspectos para um sistema de N níveis, buscando compreender que objetos fariam um papel análogo ao vetor de Bloch. Para tal fim, a utilização de conceitos próprios das teorias de calibre não-abelianas foi fundamental. Em suma, a solução foi a seguinte: os análogos do vetor de Bloch são gerados por meio de uma transformada dos geradores de Cartan correspondentes ao subgrupo de evoluções SU(N) do sistema, enquanto que a fase geométrica pode ser representada por monopolos que atuam sobre o espaço projetivo de estados
Conforme se continua investindo em ciência, novas tecnologias são desenvolvidas, e, com os estudos em nanotecnologias, muitas empresas estão investindo em computadores quânticos. Neste trabalho, apresentaremos um possível método de utilização do grafeno na computação quântica. Discutiremos brevemente sobre o grafeno, desde a sua utilização para estudos teóricos até a descoberta experimental, evidenciando as principais características e propriedades singulares que fazem dele um material fascinante e que é amplamente estudado por pesquisadores ao redor do globo. Na sequência, uma introdução sobre a computação quântica é dada, fornecendo uma comparação importante entre os computadores clássicos e quânticos. Em seguida, a formação de cones de grafeno e os defeitos topológicos surgidos de desclinações são estudados. Trataremos ainda dos conceitos de conexões diferenciais e spinoriais e de fases de holonomia, fundamentais para a computação quântica holonômica. Por fim, mostraremos que a computação quântica pode ser implementada na folha de grafeno.
O modelo de dois níveis, na aproximação de onda girante, é um modelo quântico simples e tem sido utilizado como um candidato para modelar gates de fase geométricas entre ionsqubits na magnético externo. Estes modelos de dois níveis podem ser obtidos experimentalmente através da interação de um campo magnético externo com uma particula de spin-1̸ 2 ou acoplando a matéria a um campo elétrico externo, na aproximação de dipolo elétrico. A hamiltoniana na aproximação de ondas girantes tem sido usada em computação quântica. Os principais objetivos desse trabalho foram obter os autoestados e autovalores do modelo de dois niveis para o caso geral, ou seja, sem a implementação da onda girante e posteriormente obter a dinâmica exata do modelo para a aproximação de onda girante aplicada ao campo eletrico. Foram obtidos os autoestados e autovalores do modelo para o caso geral. Para obter a dinâmica exata do modelo fermionico de dois níveis, usamos a representação do vetor físico escrito na base dos autoestados instantâneos da hamiltonia. A partir, daí, usamos a equação de Schrödinger para obter a evolução dinâmica, na forma das equações diferenciais acopladas para cada coeficiente do vetor físico. Os coeficientes obtidos para o caso de um campo elético uniforme demonstraram ser independentes do tempo, não gerando as fases de Aharonov-Anandan.
Investigamos aqui as propriedades de baixa energia de dois modelos eletronicos fortemente
correlacionados em duas dimensoes espaciais. O primeiro deles consiste em uma versao do modelo
de Hubbard em que sao considerados apenas os graus de liberdade do sistema na vizinhanca dos
chamados hot spots, que sao definidos como a interseccao da superficie de Fermi do modelo com a
zona antiferromagnetica. Inicialmente, definimos a nossa teoria linearizando a dispersao do modelo
nos hot spots e consideramos todos os processos de interacao entre essas regioes que conservam
momento a menos de um vetor da rede reciproca. Para acessar a fisica do modelo, recorremos
entao ao metodo de grupo de renormalizacao de teoria de campos e derivamos as equacoes de
fluxo para os acoplamentos na aproximacao de dois loops. Como resultado, obtemos que a
superficie de Fermi do modelo sofre forte renormalizacao nos hot spots, ao mesmo tempo que os
acoplamentos renormalizados fluem para um ponto fixo nao trivial no limite de baixa energia.
Sugerimos entao que esse sistema pode ser visto como um exemplo de um liquido de nao-Fermi
em duas dimensoes espaciais, devido a ausencia de excitacoes fermionicas do tipo quasiparticula
bem definidas na regiao proxima aos hot spots. Alem disso, resolvemos a equacao de Callan-
Symanzik para a funcao de Green de uma particula na aproximacao de dois loops, calculamos a
densidade de estados nos hot spots, e derivamos as equacoes de grupo de renormalizacao para os
parâmetros de ordem das possiveis instabilidades que podem, eventualmente, ocorrer no sistema
em baixas energias. Verificamos que o sistema pode ser caracterizado, nesse regime, em termos de
uma simetria emergente de pseudospin [SU(2)]4, que leva ao aparecimento de ordens emaranhadas
na regiao proxima ao ponto fixo nao trivial do modelo. Mostramos tambem que as excitacoes
fermionicas nas regioes adjacentes aos hot spots adquirem um gap nos espectros de excitacao de
carga e spin. Devido a isso, argumentamos que a superficie de Fermi do modelo pode ser
reconstruida, levando assim a formacao de arcos de Fermi ou pockets eletronicos.
O segundo modelo analisado nesta tese foi o modelo de tres bandas de Emery, que descreve todos
processos de interacao entre as excitacoes fermionicas localizadas nos orbitais do cobre (Cu) e do
oxigenio (O) na celula unitaria de CuO2. Atraves de uma transformada de Hubbard-Stratonovich,
introduzimos dois parâmetros de ordem no sistema: um para a chamada fase de corrente de loop do
tipo ΘII, que viola a simetria de reversao temporal Z2, e outro para a fase emaranhada com simetria
dx
2
-y
2 envolvendo a instabilidade supercondutora do tipo singleto e a ordem de densidade de carga
quadrupolar, cujo vetor de onda aponta na direcao da diagonal da zona de Brillouin. Minimizando
a energia livre do modelo, derivamos as equacoes auto-consistentes de campo medio para esses
parâmetros de ordem. A solucao dessas equacoes para o regime de temperatura nula mostra que as
duas fases competem entre si pela mesma regiao do espaco de fase e, consequentemente, o sistema
tende a nao exibir coexistencia entre as mesmas. Argumentamos que esse efeito pode ser a
principal razao para o fato de a fase onda de densidade quadrupolar nunca ter sido observada em
experimentos realizados nos cupratos supercondutores. Em seguida, analisamos a competicao entre
as fases de corrente de loop do tipo ΘII, observada experimentalmente, e ordem de carga com
simetria dx2-y2 e vetores de onda na direcao dos eixos principais da zona de Brillouin. Como
resultado, obtemos que o sistema exibe coexistencia apenas entre as fases de corrente de loop do
tipo ΘII e ordem de carga bidirecional. Devido a existencia de uma simetria de pseudospin nesse
modelo, confirmamos tambem que a fase de corrente de loop do tipo ΘII coexiste com a fase onda
de densidade de pares bidirecional. Por fim, discutimos as implicacoes dos nossos resultados para a
fase de pseudogap dos cupratos supercondutores, que emerge no chamado regime subdopado
nesses sistemas.