Neste trabalho estudamos inicialmente o surgimento de fases geometricas nas dinâmicas quânticas relativistica e nao-relativistica de uma particula neutra que possui momento de
dipolo magnetico e eletrico permanente interagindo com campos eletricos e magneticos externos
na presenca de defeitos topologicos lineares. Para descrevermos defeitos topologicos
lineares usamos a aproximacao proposta por Katanaev e Volovich, onde defeitos lineares em solidos sao descritos por elementos de linha que sao solucoes das equacoes de Einstein
no contexto da relatividade geral. Analisamos tambem a
inuencia de efeitos nao-inerciais na dinâmica quântica de uma particula neutra em dois tipos distintos de referenciais para
os observadores: um e o referencial de Fermi-Walker e outro e um referencial girante.
Vemos que a diferenca entre dois referenciais esta na presenca/ausencia de efeitos de arrasto
do espaco-tempo que ira influenciar diretamente na mudanca de fase na funcaao de
onda da particula neutra. Em seguida, usamos nosso estudo de fases geometricas para
fazer aplicacoes na Computacao Quântica Holonomica onde mostramos uma nova maneira de implementar a Computacao Quântica Holonomica atraves da interacao entre momentos
de dipolo e campos externos e pela presenca de defeitos topologicos lineares. Outra
aplicacao para a Computacao Quântica Holonomica esta baseada na estrutura de defeitos
topologicos em um material chamado grafeno. Na presenca de defeitos topologicos lineares,
esse material apresenta duas fases quânticas de origens distintas: uma da mistura
dos pontos de Fermi e outra da topologia do defeito. Para dar uma descricao geometrica para a origem de cada fase no grafeno usamos a Teoria de Kaluza-Klein, onde a dimensao extra sugerida por esta teoria descreve os pontos de Fermi no grafeno. Portanto, a implementacao da Computacao Quântica Holonomica no grafeno esta baseada na possibilidade
de construir cones e anticones de grafite de tal maneira que se possa controlar os fluxos
quânticos no grafeno. Na ultima parte deste trabalho estudamos a quantizacao de Landau
para particulas neutras tanto na dinâmica nao-relativistica quanto na dinâmica relativistica. Na dinâmica nao-relativitica, estudamos a quantizacao de Landau na presenca
de defeitos em um referecial inercial e, em seguida, em um referencial naoo-inercial. Na
dinâmica relativistica, estudamos inicialmente a quantizacao de Landau no espaco-tempo
plano em duas configuracoes de campos diferentes. Por fim, estudamos a quantizacao de
Landau relativistica para particulas neutras no espaco-tempo da deslocacao cosmica.
Neste trabalho estudamos inicialmente o surgimento de fases geometricas nas dinâmicas quânticas relativistica e nao-relativistica de uma particula neutra que possui momento de
dipolo magnetico e eletrico permanente interagindo com campos eletricos e magneticos externos
na presenca de defeitos topologicos lineares. Para descrevermos defeitos topologicos
lineares usamos a aproximacao proposta por Katanaev e Volovich, onde defeitos lineares em solidos sao descritos por elementos de linha que sao solucoes das equacoes de Einstein
no contexto da relatividade geral. Analisamos tambem a
inuencia de efeitos nao-inerciais na dinâmica quântica de uma particula neutra em dois tipos distintos de referenciais para
os observadores: um e o referencial de Fermi-Walker e outro e um referencial girante.
Vemos que a diferenca entre dois referenciais esta na presenca/ausencia de efeitos de arrasto
do espaco-tempo que ira influenciar diretamente na mudanca de fase na funcaao de
onda da particula neutra. Em seguida, usamos nosso estudo de fases geometricas para
fazer aplicacoes na Computacao Quântica Holonomica onde mostramos uma nova maneira de implementar a Computacao Quântica Holonomica atraves da interacao entre momentos
de dipolo e campos externos e pela presenca de defeitos topologicos lineares. Outra
aplicacao para a Computacao Quântica Holonomica esta baseada na estrutura de defeitos
topologicos em um material chamado grafeno. Na presenca de defeitos topologicos lineares,
esse material apresenta duas fases quânticas de origens distintas: uma da mistura
dos pontos de Fermi e outra da topologia do defeito. Para dar uma descricao geometrica para a origem de cada fase no grafeno usamos a Teoria de Kaluza-Klein, onde a dimensao extra sugerida por esta teoria descreve os pontos de Fermi no grafeno. Portanto, a implementacao da Computacao Quântica Holonomica no grafeno esta baseada na possibilidade
de construir cones e anticones de grafite de tal maneira que se possa controlar os fluxos
quânticos no grafeno. Na ultima parte deste trabalho estudamos a quantizacao de Landau
para particulas neutras tanto na dinâmica nao-relativistica quanto na dinâmica relativistica. Na dinâmica nao-relativitica, estudamos a quantizacao de Landau na presenca
de defeitos em um referecial inercial e, em seguida, em um referencial naoo-inercial. Na
dinâmica relativistica, estudamos inicialmente a quantizacao de Landau no espaco-tempo
plano em duas configuracoes de campos diferentes. Por fim, estudamos a quantizacao de
Landau relativistica para particulas neutras no espaco-tempo da deslocacao cosmica.
O modelo de dois níveis, na aproximação de onda girante, é um modelo quântico simples e tem sido utilizado como um candidato para modelar gates de fase geométricas entre ionsqubits na magnético externo. Estes modelos de dois níveis podem ser obtidos experimentalmente através da interação de um campo magnético externo com uma particula de spin-1̸ 2 ou acoplando a matéria a um campo elétrico externo, na aproximação de dipolo elétrico. A hamiltoniana na aproximação de ondas girantes tem sido usada em computação quântica. Os principais objetivos desse trabalho foram obter os autoestados e autovalores do modelo de dois niveis para o caso geral, ou seja, sem a implementação da onda girante e posteriormente obter a dinâmica exata do modelo para a aproximação de onda girante aplicada ao campo eletrico. Foram obtidos os autoestados e autovalores do modelo para o caso geral. Para obter a dinâmica exata do modelo fermionico de dois níveis, usamos a representação do vetor físico escrito na base dos autoestados instantâneos da hamiltonia. A partir, daí, usamos a equação de Schrödinger para obter a evolução dinâmica, na forma das equações diferenciais acopladas para cada coeficiente do vetor físico. Os coeficientes obtidos para o caso de um campo elético uniforme demonstraram ser independentes do tempo, não gerando as fases de Aharonov-Anandan.
Na presente tese, estudamos o oscilador harmonico generalizado com massa e frequencia
dependentes do tempo e submetido a uma forca de friccao linear na velocidade cujo coeficiente de friccao depende do tempo, do ponto de vista classico e quântico. Obtivemos as
solucoes da equacao de movimento classica deste sistema para alguns casos particulares e
derivamos uma equacao de movimento que descreve simultaneamente tres sistemas diferentes.
Em seguida, com a ajuda dos operadores invariantes quadraticos e a luz do metodo
de invariantes dinâmicos encontramos as solucoes exatas da equacao de Schrodinger para
este sistema. Tambem derivamos as fases geometrica, dinâmica e de Berry para este
sistema nao-estacionario e as avaliamos para tres casos especiais. Ainda construimos estados
coerentes para este sistema quantizado e os empregamos para investigar algumas
propriedades quânticas tais como
utuacoes quânticas da coordenada e momento bem
como do produto das incertezas. Em seguida, utilizamos um operador invariante linear
e usamos o metodo de invariantes dinâmicos para encontrar solucoes exatas da equacao
de Schrodinger para um oscilador harmonico amortecido e forcado dependente do tempo.
Com as solucoes desta equacao, construimos solucoes na forma de pacotes de onda Gaussianos
assim como calculamos as
utuacoes quânticas das coordenadas e momentos, bem
como as correlacoes entre ambos. Finalmente, mostramos que a largura das
utuacoes e
correlacoes do pacote Gaussiano nao dependem da forca externa.
Neste trabalho apresentamos um estudo da dinâmica de subsistemas quânticos dando ênfase ao fenômeno da decoerência. Em particular, estudamos os efeitos da decoerência num sistema de dois níveis acoplado a um outro sistema cujo espectro de energia é um contínuo no contexto do fenômeno quântico de tunelamento. Investigamos também aspectos da relação entre a descrição do sistema de dois níveis e a descrição do modelo linear na aproximação de onda girante em termos de uma equação mestra na aproximação de Born-Markov e a dinâmica exata destes dois subsistemas. Estudamos também o experimento proposto por L. Davidovich e colaboradores para medir a decoerência de superposições mesoscópicas de estados coerentes dentro do contexto da computação quântica. Este experimento pode ser re interpretado como um computador quântico capaz de solucionar o problema de Deutsch. O grande problema deste experimento, do ponto de vista da computação quântica, é a presença da decoerência. Esta decoerência provoca o aparecimento de erros no resultado final. Assim, nós mostramos uma maneira de reduzi-la, diminuindo assim os eventuais erros que possam aparecer. Finalmente, mostramos através de dois exemplos a relação entre o efeito Zeno e a decoerência.
Conforme se continua investindo em ciência, novas tecnologias são desenvolvidas, e, com os estudos em nanotecnologias, muitas empresas estão investindo em computadores quânticos. Neste trabalho, apresentaremos um possível método de utilização do grafeno na computação quântica. Discutiremos brevemente sobre o grafeno, desde a sua utilização para estudos teóricos até a descoberta experimental, evidenciando as principais características e propriedades singulares que fazem dele um material fascinante e que é amplamente estudado por pesquisadores ao redor do globo. Na sequência, uma introdução sobre a computação quântica é dada, fornecendo uma comparação importante entre os computadores clássicos e quânticos. Em seguida, a formação de cones de grafeno e os defeitos topológicos surgidos de desclinações são estudados. Trataremos ainda dos conceitos de conexões diferenciais e spinoriais e de fases de holonomia, fundamentais para a computação quântica holonômica. Por fim, mostraremos que a computação quântica pode ser implementada na folha de grafeno.
Este trabalho está dedicado a estudar a consistência global da dinâmica quântica de sistemas não-comutativos. Nosso ponto de partida é a teoria de sistemas vinculados, dado que esta provê uma descrição uni cada da dinâmica clássica e quântica para os modelos a serem investigados. Analisamos o problema relacionado com a existência da série de Born e unitariedade e focamos, na seqüência, na formulação funcional da dinâmica quântica dos sistemas não-comutativos. A compatibilidade entre as abordagens funcional e operatorial é substanciada de forma geral. Subseqüentemente, a transformada de Weyl generalizada de índice α é usada para implementar a de nição "via time-slicing" da integral de caminho no espaço de fase, o que nos permite calcular o correspondente propagador de Feynman. Como esperado, esta representação para o propagador de Feynman não é única, mas rotulada pelo parâmetro real α. Provamos que as contribuições dependentes de α desaparecem no limite quando o "slice" de tempo tende a zero, tal qual é requerido pela consistência da formulação. Esta prova é intrincada pois o Hamiltoniano envolve, necessariamente, produtos de operadores não comutantes. A anti-simetria da matriz que parametriza a não-comutatividade joga um papel fundamental no mecanismo de cancelamento dos termos dependentes de α. Por m, estudamos a implementação do processo formulado por Batalin, Fradkin e Tyutin (BFT), o qual permite transformar esses sistemas em uma teoria de calibre Abeliana exibindo apenas vínculos de primeira classe. A adequação da imersão BFT, como aplicada neste trabalho, é veri cada demonstrando que existe um mapeamento isomór co que conecta o modelo de segunda classe com o setor invariante de calibre da teoria de calibre. Como é sabido, a quantização funcional de uma teoria de calibre exige a eliminação da liberdade de calibre. Então, temos a nossa disposição um conjunto in nito de descrições alternativas para a mecânica quântica não-comutativa, uma para cada calibre. Estudamos as características relevantes deste in nito conjunto de correspondências. A quantização funcional da teoria de calibre é explicitamente realizada para dois calibres diferentes e os resultados comparados com o correspondente ao sistema de segunda classe. Dentro do quadro operatorial, a teoria de calibre é quantizada utilizando-se o método de Dirac.
Propomos um estudo sistemático das categorias relacionais como modelos da computação quântica através da abordagem categórica de Coecke-Abramsky. As categorias relacionais são aquelas que os objetos ou os morfismos são relações. Esses modelos são importantes para o desenvolvimento da ciência da computação quântica porque nos fornecem uma linguagem abstrata para descrever processos quânticos. Isso nos dá um alto nível de compreensão de como a teoria quântica funciona e o que podemos fazer com ela. Além disso, é interessante explorar modelos que generalizem a teoria quântica e a relacionem com outras teorias. As categorias compacta dagger foram aplicadas com sucesso nos fundamentos da mecânica quântica em geral. Investigamos as propriedades categóricas dos espaços de Chu como um modelo para a mecânica quântica categórica e, especificamente, como modelos para a computação quântica. Definimos duas categorias com base nos espaços de Chu, ChuRel e RelChu, e provamos que elas são modelos categóricos robustos para computação quântica. Mais precisamente, mostramos que a categoria ChuRel é uma categoria compacta dagger e possui duas estruturas de base complementares, semelhantes à conhecida categoria de conjuntos e relações finitos, FRel, utilizada na literatura. Mostra-se também que a categoria dos espaços de Chu é uma categoria regular, portanto é possível obter a categoria RelChu, por meio da construção geral de Heunen e Tull, e explorar suas propriedades quânticas. Além disso, essa tese revisa quatro categorias de relações L-fuzzy, cada uma modelando áreas onde a teoria dos conjuntos fuzzy pode ser aplicada. Uma relação L-fuzzy é uma relação valorada em um reticulado completo L com uma estrutura monoidal. Revisamos as noções dessas relações binárias multi-valoradas e apresentamos algumas propriedades básicas das categorias correspondentes visando aplicações em áreas como ciência da computação, lógica linear e mecânica quântica. A ênfase está nos aspectos monoidais das categorias. As categorias monoidais são um dos tipos de categorias mais aplicadas, uma vez que todas as categorias com uso em física, topologia, computação e lógica, são monoidais. Uma visão monoidal das relações fuzzy pode ampliar o espectro de aplicações da teoria dos conjuntos fuzzy.