Apresentamos neste trabalho uma abordagem pedagógica da descrição do núcleo atômico a partir do modelo de camadas. A análise proposta está alicerçada na equação de Schrödinger. Neste sentido, analisamos dois sistemas, ambos baseadas na teoria de campo médio, em que as interações nucleares e eletromagnéticas são modeladas por osciladores harmônicos, mas que em um deles a interação entre os spins dos núcleons é considerada. Como resultado, alguns aspectos do núcleo foram explicados, onde merece destaque a obtenção dos números mágicos nucleares. Assim, a abordagem proposta pode ser utilizada em cursos de mecânica quântica, como aplicação da equação de Schrödinger, bem como em disciplinas de física e engenharia nuclear.
Apresentamos neste trabalho uma abordagem pedagógica da descrição do núcleo atômico a partir do modelo de camadas. A análise proposta está alicerçada na equação de Schrödinger. Neste sentido, analisamos dois sistemas, ambos baseadas na teoria de campo médio, em que as interações nucleares e eletromagnéticas são modeladas por osciladores harmônicos, mas que em um deles a interação entre os spins dos núcleons é considerada. Como resultado, alguns aspectos do núcleo foram explicados, onde merece destaque a obtenção dos números mágicos nucleares. Assim, a abordagem proposta pode ser utilizada em cursos de mecânica quântica, como aplicação da equação de Schrödinger, bem como em disciplinas de física e engenharia nuclear.
Um seculo apos a sua descoberta, o eletron continua a ser um estranho dentro do eletromagnetismo classico. Varios foram os modelos propostos para descreve-lo. Pode-se dizer que a teoria mais bem sucedida foi formulada por Dirac em 1938, muito embora apresentando problemas tais como as pre-aceleracoes e solucoes auto-acelerantes. Uma alternativa a esta teoria foi proposta na decada de 50 pelo fisico italiano P. Caldirola, tendo por hipotese basica a existencia de um intervalo fundamental de tempo, o cronon. Com base nesta hipotese Caldirola propos uma descricao baseada em equacoes a diferencas finitas equivalentes a de Dirac mas livre dos problemas por ela apresentados. A extensao da hipotese do cronon a mecânica quântica nao-relativistica, resultando em formulacoes discretizadas da equacao de Schrodinger, produziu resultados relevantes como a derivacao da massa do muon e do tau a partir da massa do eletron.
Neste trabalho, analisamos as equacoes discretas com base no formalismo de Feynman e estudamos algumas de suas solucoes. Partindo dos operadores de evolucao associados as equacoes discretas, estendemos o procedimento a representacao de Heisenberg e encontramos uma representacao que, como no caso continuo, e equivalente a de Schrodinger .
Fazemos uma analise de compatibilidade entre as varias representacoes: Schrodinger, Heisenberg e operadores de densidade. Sao estudados alguns exemplos tipicos como, por exemplo, o oscilador harmonico simples. O formalismo de operadores de densidade e utilizado para analisar o problema da medida na mecânica quântica.
Finalmente, fazemos uma abordagem da equivalencia entre o formalismo discreto e a introducao de operadores nao-hermitianos na equacao de Schrodinger continua
Abstract
Em um curso tradicional de Química Quântica, os modelos estudados para ilustrar algumas das ferramentas da Mecânica Quântica relevantes para a compreensão da estrutura da matéria no nível atômico e molecular são apresentados no que se convencionou chamar, numa apresentação mais formal, de representação da posição. Nesta representação, o estado do sistema é descrito por uma função de onda dependente das posições das partículas que o constituem. Isso leva o estudante de química a uma concepção distorcida de que na natureza os estados dos sistemas devem ser obrigatoriamente descritos em termos das posições de suas partículas. Aqui mostramos que essa não é a única forma de abordar quanticamente a descrição de um sistema físico. Uma outra forma é servir-se da representação do momento, onde a função de estado depende do momento de cada uma das partículas. Existem dois caminhos para se obter as funções de estado na representação do momento. Uma delas é fazer-se a transformada de Fourier das funções de estado na representação da posição, e a outra é buscar resolver a equação de Schrödinger diretamente na representação do momento. Neste trabalho, foram discutidas essas duas abordagens para os modelos mais comuns estudados num curso de Química Quântica, sendo eles: a partícula na caixa, o oscilador harmônico, o átomo de hidrogênio, o átomo de hélio, o íon-molécula de hidrogênio (H2 +) e a molécula de hidrogênio (H2). Buscou-se mostrar uma perspectiva diferente na descrição desses sistemas bem como uma abordagem matemática distinta da usual e, também, as dificuldades, principalmente matemáticas, de sua aplicação e ensino num curso de Química Quântica.
RESUMOEm um curso tradicional de Química Quântica, os modelos estudados para ilustrar algumas das ferramentas da Mecânica Quântica relevantes para a compreensão da estrutura da matéria no nível atômico e molecular são apresentados no que se convencionou chamar, numa apresentação mais formal, de representação da posição.Nesta representação, o estado do sistema é descrito por uma função de onda dependente das posições das partículas que o constituem.Isso leva o estudante de química a uma concepção distorcida de que na natureza os estados dos sistemas devem ser obrigatoriamente descritos em termos das posições de suas partículas.Aqui mostramos que essa não é a única forma de abordar quanticamente a descrição de um sistema físico.Uma outra forma é servir-se da representação do momento, onde a função de estado depende do momento de cada uma das partículas.Existem dois caminhos para se obter as funções de estado na representação do momento.Uma delas é fazer-se a transformada de Fourier das funções de estado na representação da posição, e a outra é buscar resolver a equação de Schrödinger diretamente na representação do momento.Neste trabalho, foram discutidas essas duas abordagens para os modelos mais comuns estudados num curso de Química Quântica, sendo eles: a partícula na caixa, o oscilador harmônico, o átomo de hidrogênio, o átomo de hélio, o íon-molécula de hidrogênio (H 2 + ) e a molécula de hidrogênio (H 2 ).Buscou-se mostrar uma perspectiva diferente na descrição desses sistemas bem como uma abordagem matemática distinta da usual e, também, as dificuldades, principalmente matemáticas, de sua aplicação e ensino num curso de Química Quântica.
A equação de ondas paraxial emerge na descrição de diversos problemas em física e engenharia. Por exemplo, na mecânica quântica a equação de Schrödinger é uma aproximação paraxial da teoria relativística. Ela aparece também no estudo da propagação de ondas eletromagnéticas, nas mais variadas situações. Na presente contribuição apresentamos uma revisão geral da equação paraxial e sua obtenção em diversas situações importantes para a física e a engenharia. Analogias entre a equação paraxial no estudo de ondas eletromagnéticas e a equação de Schrödinger da mecânica quântica são discutidas, bem como a relação entre paraxialidade e transversalidade das ondas eletromagnéticas. Por fim, alguns exemplos interessantes de propagação de ondas no limite de paraxialidade são considerados.
Neste trabalho, apresentamos a analogia óptico-mecânica de Hamilton, que foi utilizada por Schrodinger para obter a famosa equação da mecânica quântica que leva seu nome. A partir desta analogia, mostramos passo a passo como obter a equacão de Schr?dinger (independente e dependente do tempo). Em seguida, discutimos o significado da função de onda e as interpretações propostas durante o desenvolvimento da teoria quântica. Tambem apresentamos solucâes não difrativas para a equacão de Schrodinger baseadas em solucoes ja conhecidas em areas como óptica e acústica. E por fim, damos alguns exemplos de outras analogias que existem entre a óptica e a mecanica quântica.
introduçãoCálculos de estrutura eletrônica representam um desafio e um dos primeiros sucessos no estabelecimento da mecânica quântica.A solução do espectro eletrônico do átomo de hidrogênio por Bohr foi um dos marcos da ciência do século XX.Apesar do modelo equivocado, a utilização das hipóteses de quantização da energia e do momento angular, desenvolvidas por Planck 2 e Einstein, 3 indicava que o universo deveria ser representado por uma nova visão mecânica.A teoria capaz de descrever rigorosamente todos os fenômenos vem confirmando a formulação de Schrödinger/Heisenberg 4 como a representação fundamental a ser utilizada para representar, por exemplo, a distribuição eletrônica.Em resumo, a natureza do universo deve ser resolvida a partir da equação de Schrödinger, independente ou dependentemente do tempo.Especificamente em relação aos problemas de estrutura eletrônica, o que se pretende é encontrar uma função de onda que represente da melhor maneira possível o sistema físico em questão e por meio da qual serão determinadas suas propriedades estacionárias e/ou dinâmicas.De acordo com os postulados da mecânica quântica, as exigências fundamentais para que se tenha uma função de onda aceitável são que seja bem comportada e que satisfaça a equação de Schrödinger.5 Usualmente, analisa-se o problema físico em questão, constrói-se a equação de Schrödinger apropriada ao sistema, definem-se as condições de contorno apropriadas e procuram-se as soluções bem comportadas.No tratamento de elétrons, é necessário, ainda, que a função de onda represente um estado que caracterize uma distribuição de férmions.Matematicamente, essa restrição determina que a função 2 Planck (1901).3 Einstein (1905).4 Heisenberg (1925), Schrödinger (1926a).5 Levine (2008), McQuarrie (1997), Pilar (2001).Aplicações de química teórica no estudo de materiais 66 de onda troque de sinal quando dois elétrons quaisquer tenham suas coordenadas trocadas.Quando se considera mais de um estado eletrônico, ou seja, mais de uma função de onda para representar cada um desses estados, essas funções de onda devem ainda ser ortogonais entre si.Tais condições são sempre consideradas para se desenhar a função de onda ideal ou aproximada a fim de representar um sistema eletrônico qualquer.Não existe um único caminho para o desenvolvimento de uma função de onda ideal.Em alguns casos, busca-se a solução por meio da equação diferencial de Schrödinger ou considera-se o uso do princípio variacional, que determina que qualquer função de onda tentativa produzirá uma energia maior do que a energia exata do sistema e, na melhor das hipóteses, reproduzirá a energia exata.Grande parte dos métodos matemáticos utilizados para descrever estados eletrônicos teve seu desenvolvimento inicial nos primeiros 15 anos após as formulações de Heisenberg, em 1925, 6 e de Schrödinger, em 1926, 7 sobre a mecânica quântica.Essa afirmação pode ser verificada na literatura nos trabalhos seminais da teoria do funcional de densidade desenvolvidos por Thomas 8 e Fermi, 9 o método autoconsistente de Hartree, 10 o modelo de ligação de valência de Heitler 11 e a teoria de orbitais moleculares por meio da combinação linear de orbitais atômicos por Mulliken, em 1927, 12 e Hückel, em 1930, 13 a formulação relativística de Dirac, em 1928, 14 o método de interação de configurações por Hylleraas, em 1929, 15 a teoria de perturbação desenvolvida por Schrödinger 16 e Møller e Plesset, 17 o método multiconfiguracional de Hartree, em 1939, 18 etc.Muitos dos desenvolvimentos que ocorreram na tentativa de resolver a equação de Schrödinger estão associados com a evolução dos recursos computacionais.Pode-se dizer que a escala de evolução dos métodos de solução teve um avanço considerável a partir do desenvolvimento de computadores.Diferente do método Hartree-Fock, 19 algumas alternativas numéricas ficaram esquecidas por falta de recursos computacionais para sua solução.Uma dessas alternativas foi indicada pelo próprio Schrödinger, que observou uma enorme semelhança entre sua equação dependente do tempo e a equação de difusão definida pelas leis de Fick.20 Essa percepção levou Schrödinger a considerar a possibilidade de tratar sistemas quânticos 6 Heisenberg (1925).7 Schrödinger (1926a).8 Thomas (2008).9 Fermi (1927, 1928).10 Hartree (1927a, 1927b).11 Heitler e London (1927), Heitler (1931).12 Mulliken (1927, 1928).13 Hückel (1930, 1931).14 Dirac (1928).15 Hylleraas (1928).16 Schrödinger (1926b).17 Møller e Plesset (1934).18