L’intrication quantique est un des phénomènes les plus intéressants et intriguant en Mécanique Quantique, et de surcroît en Théorie de l’Information Quantique. Ressource fondamentale pour le calcul quantique, son rôle dans l’efficacité et la fiabilité des protocoles ou algorithmes quantiques n’est toujours pas totalement compris. Dans cette thèse, nous étudions l’intrication quantique des états multipartites, et notamment la nature de sa présence dans les algorithmes quantiques. L’étude de l’intrication se fait d’un point de vue théorique, en utilisant principalement des outils issus de la géométrie algébrique.Nous nous intéressons alors aux algorithmes de Grover et de Shor et déterminons quelles sont les classes d’intrication présentes (ou non) dans ces algorithmes, et ceci constitue donc une étude qualitative de l’intrication. De plus, nous mesurerons l’intrication quantitativement, à l’aide de mesures algébriques et géométriques, et étudions son évolution tout au long des différentes étapes de ces algorithmes. Nous proposons également des interprétations géométriques originales de ces résultats numériques.D’autre part, nous cherchons également à développer et exploiter de nouveaux outils pour mesurer, caractériser et classifier l’intrication quantique. Ceci se fait dans un premier temps d’un point de vue mathématique en étudiant les singularités des hypersurfaces liées aux systèmes quantiques pour caractériser différentes classes d’intrication. Dans un second temps, nous proposons des candidats pour les états maximalement intriqués, notamment pour les états symétriques et fermioniques, en utilisant des polynômes invariants et une mesure géométrique de l’intrication pour quantifier l’intrication. Enfin, nous avons également adopté une approche de type Machine Learning, notamment en entraînant des réseaux de neurones artificiels de manière supervisée, afin de reconnaitre certaines variétés algébriques modélisant certains types d’intrication précis.
L’intrication quantique est un des phénomènes les plus intéressants et intriguant en Mécanique Quantique, et de surcroît en Théorie de l’Information Quantique. Ressource fondamentale pour le calcul quantique, son rôle dans l’efficacité et la fiabilité des protocoles ou algorithmes quantiques n’est toujours pas totalement compris. Dans cette thèse, nous étudions l’intrication quantique des états multipartites, et notamment la nature de sa présence dans les algorithmes quantiques. L’étude de l’intrication se fait d’un point de vue théorique, en utilisant principalement des outils issus de la géométrie algébrique.Nous nous intéressons alors aux algorithmes de Grover et de Shor et déterminons quelles sont les classes d’intrication présentes (ou non) dans ces algorithmes, et ceci constitue donc une étude qualitative de l’intrication. De plus, nous mesurerons l’intrication quantitativement, à l’aide de mesures algébriques et géométriques, et étudions son évolution tout au long des différentes étapes de ces algorithmes. Nous proposons également des interprétations géométriques originales de ces résultats numériques.D’autre part, nous cherchons également à développer et exploiter de nouveaux outils pour mesurer, caractériser et classifier l’intrication quantique. Ceci se fait dans un premier temps d’un point de vue mathématique en étudiant les singularités des hypersurfaces liées aux systèmes quantiques pour caractériser différentes classes d’intrication. Dans un second temps, nous proposons des candidats pour les états maximalement intriqués, notamment pour les états symétriques et fermioniques, en utilisant des polynômes invariants et une mesure géométrique de l’intrication pour quantifier l’intrication. Enfin, nous avons également adopté une approche de type Machine Learning, notamment en entraînant des réseaux de neurones artificiels de manière supervisée, afin de reconnaitre certaines variétés algébriques modélisant certains types d’intrication précis.
L’intrication quantique est un des phénomènes les plus intéressants et intriguant en Mécanique Quantique, et de surcroît en Théorie de l’Information Quantique. Ressource fondamentale pour le calcul quantique, son rôle dans l’efficacité et la fiabilité des protocoles ou algorithmes quantiques n’est toujours pas totalement compris. Dans cette thèse, nous étudions l’intrication quantique des états multipartites, et notamment la nature de sa présence dans les algorithmes quantiques. L’étude de l’intrication se fait d’un point de vue théorique, en utilisant principalement des outils issus de la géométrie algébrique.Nous nous intéressons alors aux algorithmes de Grover et de Shor et déterminons quelles sont les classes d’intrication présentes (ou non) dans ces algorithmes, et ceci constitue donc une étude qualitative de l’intrication. De plus, nous mesurerons l’intrication quantitativement, à l’aide de mesures algébriques et géométriques, et étudions son évolution tout au long des différentes étapes de ces algorithmes. Nous proposons également des interprétations géométriques originales de ces résultats numériques.D’autre part, nous cherchons également à développer et exploiter de nouveaux outils pour mesurer, caractériser et classifier l’intrication quantique. Ceci se fait dans un premier temps d’un point de vue mathématique en étudiant les singularités des hypersurfaces liées aux systèmes quantiques pour caractériser différentes classes d’intrication. Dans un second temps, nous proposons des candidats pour les états maximalement intriqués, notamment pour les états symétriques et fermioniques, en utilisant des polynômes invariants et une mesure géométrique de l’intrication pour quantifier l’intrication. Enfin, nous avons également adopté une approche de type Machine Learning, notamment en entraînant des réseaux de neurones artificiels de manière supervisée, afin de reconnaitre certaines variétés algébriques modélisant certains types d’intrication précis.
Intrication quantique et quanticité - Nouvelles approches numériques - Le thème central de cette thèse cumulative est l’étude de l’intrication multi-partite quantique pour des systèmes de dimension finie. Nous avons developpé un algorithme numérique basé sur un problème d’optimisation semi-définie, qui permet de décider si un état est intriqué ou pas en un nombre fini d’itérations. Cet algorithme est une extension d’algorithmes déjà connus qui ne permettent pas de conclure lorsque l’état en question est séparable. Dans notre cas, si l’état est séparable, l’algorithme permet d’obtenir une décomposition de l’état en une mixture d’états séparables. Ces résultats ont été obtenus en exploitant la correspondance entre le problème de l’intrication et le problème des moments tronqués (truncated moment problem). Nous avons aussi développé une nouvelle manière d’exprimer l’état partiellement transposé d’un état symétrique de plusieurs qubits, simplifiant par la-même nombre de résultats bien connus en théorie de l’intrication.Cette nouvelle manière d’écrire le critère de transposée partielle unifie différentes interprétations et formulations alternatives dudit critère, et fait partie intégrante de notre algorithme d’optimisation semi-définie.Nous avons aussi étudié en détails les propriétés géométriques des états intriqués de deux qubits : nous avons pu répondre à la question de savoir à quelle distance un état pur est de l’enveloppe convexe des états symétriques et séparables, en donnant une formule explicite de l’état symétrique et séparable le plus proche — la distance étant celle de Hilbert-Schmidt. Pour les états mixtes nous avons pu obtenir et une borne supérieure numérique et une borne inférieure analytique pour cette distance. Pour un plus grand6nombre de qubits, nous nous sommes intéressés à la boule des états absolument classique,c’est à dire des états symétriques de plusieurs qubits qui restent séparables sous n’importe quelle transformation unitaire. Nous avons trouvé une borne inférieure analytique pour le rayon de cette boule autour de l’état maximallement mixte ainsi qu’une borne supérieure numérique, cette dernière ayant été obtenue en cherchant un état intriqué aussi proche que possible de l’état maximallement mixte.La représentation tensorielle d’un état symétrique de plusieurs qubits, autrement dit de l’état d’un spin j, nous a permis d’étudier des propriétés de l’intrication en nous basant sur le spectre du tenseur (valeurs propres du tenseur). Le caractère défini du tenseur est relié à l’intrication de l’état qu’il représente, donnant la possibilité de détecter la présence d’intrication à l’aide de la valeur propre minimale du tenseur. Toutefois, les valeurs propres du tenseur sont autrement plus compliquée à calculer que les valeurs propres matricielle, rendant l’analyse numérique plus délicate. La relation entre la valeur propre minimale du tenseur et la quantité d’intrication présente dans l’état a aussi été étudiée.Il en ressort que les deux quantités sont étroitement corrélées pour des systèmes de petite taille, c’est à dire jusqu’à six qubits. L’étude de ces corrélations a nécessité une méthode indépendante pour jauger de la quantité d’intrication présente dans un état. Pour cela nous avons amélioré des méthodes numériques pour déterminer la distance entre un état et l’ensemble composé des états symétriques et séparables, en utilisant une combinaison d’algorithmes d’optimisation quadratique et d’optimisation linéaire. La représentation tensorielle des états symétriques de plusieurs qubits a aussi été utilisée pour définir formellement une nouvelle classe de tenseurs, appellés "regularly decomposable tensors",qui correspond à l’ensemble des états symétriques et séparables de plusieurs qubits.
Caractérisation et détection de phénomènes d’intrication hybride et de contextualité L’intrication et la contextualité font partie des propriétés les plus profondes et les plus déroutantes de la mécanique quantique. L’intrication se rapporte aux états : c’est un phénomène par lequel la connaissance de l’ensemble des sous-parties d’un système ne suffit pas à le caractériser dans son intégralité. La contextualité concerne les observables : il s’agit de leur propension à donner des résultats différents en fonction des autres observables avec lesquels ils sont mesurés. A la faveur de la « seconde révolution quantique », qui vit l’attitude des physiciens envers ces deux propriétés passer d’un questionnement sur leur raison d’être à l’étude des avantages qu’il est possible d’en tirer, elles se retrouvèrent toutes deux au coeur de nombreux travaux de recherche. Dans cette thèse, on présente des protocoles pour détecter et caractériser l’intrication et la contextualité dans des montages expérimentaux particuliers. Ce travail se conçoit donc comme un chaînon entre l’étude théorique générale et la réalisation expérimentale. L’intrication est étudiée dans le cadre des variables hybrides photoniques, une approche récente qui combine les avantages des variables discrètes et continues pour coder de l’information. Les applications concernent la communication quantique et le calcul quantique. Nous étudions dans un premier chapitre le formalisme des matrices de moments, que nous adaptons au cas hybride, et nous l’appliquons à plusieurs états hybrides intriqués.De multiples améliorations de la détection sont implémentées, notamment à l’aide de fonctions PnCPs. Dans un second chapitre, nous définissons un témoin d’intrication, implémentable et adapté à un montage particulier. Ce témoin reste efficace en cas de pertes expérimentales typiques et se fonde sur des mesures d’observables hybrides. Enfin, nous étudions la contextualité dans une dernière partie. Nous passons en revue l’histoire du concept, depuis les questionnements philosophiques qui l’engendrèrent jusqu’aux premières preuves mathématiques de l’inscription de cette propriété dans le formalisme de la physique quantique. Nous présentons ensuite les quatre théories majeures portant sur la contextualité. Nous utilisons leurs différentes approches pour comprendre et analyser les échappatoires qui apparaissent dès lors que l’on essaie de mettre en évidence expérimentalement la présence de contextualité. Nous donnons finalement un protocole pour une expérience classique de contextualité, celle qui est dite « du carré de Peres-Mermin ».
Contextualité quantique, géométries finies & informatique quantique Le développement de machines quantiques de tailles modestes accessibles en ligne permet aujourd'hui de réaliser des expériences sur des calculateurs à distance. L'avantage de l'informatique quantique repose sur des phénomènes strictement non classiques, tels que la superposition et l'intrication, qui sont des ressources maintenant bien connues. Le phénomène non-classique de la contextualité est peut-être moins bien établi bien qu'il ouvre aussi des perspectives très intéressntes à travers de nombreuses applications telles que la cryptographie quantique, les codes d'accès aléatoires, les codes correcteurs d'erreurs et l'avantage du coût de la mémoire pour la simulation des mesures quantiques. L'objectif de cette thèse est triple : développer de nouveaux tests résistants au bruit pour démontrer la contextualité avec des ordinateurs quantiques bruités d'échelle intermédiaire ; concevoir des algorithmes quantiques pour calculer les limites classiques de ces tests, avec une meilleure complexité par rapport aux algorithmes existants ; interpreter les invariants algébriques, utilisés pour distinguer les classes d'intrication, en termes d'observables à base d'opérateurs de Pauli. À ces fins, l'utilisation de configurations géométriques telles que les espaces polaires symplectiques et leurs sous-géométries est largement exploitée, permettant d'établir un lien solide entre le domaine, relativement ancien des géométries finies, et les concepts plus récents de la théorie de l'information quantique. Pour le premier objectif, nous utilisons l'apport de la géométrie pour fournir des tests de contextualité qui violent largement les limites classiques sur tous les ordinateurs quantiques IBM. Ces tests démontrent empiriquement l'absence de modèles à variables cachées non contextuelles décrivant le système sous-jacent. C'est un résultat d'intérêt ontologique. Plus précisément, il s'agit de la première violation connue du jeu de pseudotélépathie de Mermin sur de telles machines, et des plus grandes violations du test de Rio Negro. Concernant le deuxième objectif, nous nous appuyons sur les symétries de nos géométries pour construire un algorithme quantique basé sur l'algorithme de recherche de Grover. Cet algorithme identifie une affectation optimale de variables cachées classiques avec une complexité comparable à l'algorithme de Grover. Un tel avantage algorithmique est intéressant dans une grande famille de problèmes, connus sous le nom de Max Lin 2, où plusieurs contraintes sur un ensemble de données ne peuvent pas être satisfaites simultanément. Ainsi, l'étude de la contextualité - qui peut être vue comme une limitation de la satisfaction logique pour décrire les systèmes physiques - peut apporter de nouvelles perspectives à des problèmes où la satisfaction d'instruction logique simultanée n'est pas viable. Enfin, pour le troisième objectif, nous proposons de nombreuses connexions entre les géométries finies et les invariants algébriques, en commençant par des liens entre les quadrangles généralisés et les invariants cubiques de Cartan, puis en montrant comment les géométries maximalement mixtes permettent de reconstruire les polynômes de Mermin, et finalement en décrivant les sous-ensembles minimaux d'opérateurs de Pauli qui permettent de calculer les hyperdéterminants. On peut ainsi, grâce à ces invariants, identifier la classe d'intrication de systèmes de qubits N=2,3,4 par des mesures sans avoir besoin d'une tomographie complète du système. En résumé dans cette thèse, nous abordons une grande variété de questions à l'intersection de la géométrie finie et de l'informatique quantique - de la conception de tests de contextualité à l'étude de la non-localité à travers des invariants algébriques en passant par le calcul quantique de bornes classiques. Les idées proposées dans ce travail pourront être utiles à la fois pour l'étude des fondements de la mécanique quantique et pour son application à l'informatique quantique.
Algorithmes quantiques pour les équations aux dérivées partielles : circuits quantiques et applications physiques Les simulations classiques actuelles des phénomènes physiques présentent de nombreuses limitations, en particulier lorsqu'il s'agit de systèmes complexes tels que les fluides turbulents, les plasmas ou les matériaux quantiques fortement corrélés. Ces simulations rencontrent souvent des difficultés liées à des coûts de calculs élevés, une mise à l'échelle limitée à travers plusieurs dimensions ou échelles temporelles, ainsi qu'à la complexité de capturer des dynamiques intrinsèquement non-linéaires ou chaotiques. Même avec l'accès à des ressources de calcul haute performance (HPC), la résolution précise des dynamiques à fine échelle ou des évolutions sur de longues périodes reste un défi majeur. Le développement de nouvelles méthodes numériques est donc essentiel, tant pour la recherche académique que pour les applications industrielles. Les ordinateurs quantiques émergent comme de nouveaux outils numériques pour l'étude de tels systèmes et la résolution des équations aux dérivées partielles qui les modélisent. Grâce aux propriétés de superposition et d'intrication des qubits, les calculs numériques peuvent être réalisés de manière inédite, offrant des avantages théoriques prometteurs pour certains problèmes. Dans ce contexte, cette thèse contribue au développement et à la compréhension des algorithmes quantiques, allant de la conception de circuits quantiques à la résolution numérique d'équations différentielles partielles et ordinaires. Dans une première partie, des circuits quantiques efficaces sont présentés pour l'implémentation de routines couramment utilisées dans les algorithmes quantiques (opérations multi-contrôlées, préparation d'états quantiques, opérations diagonales), ainsi que pour une nouvelle routine : la transformée de Laplace quantique. Ces routines limitaient l'efficacité des algorithmes quantiques en raison d'implémentations génériques dont la complexité croissait de manière exponentielle avec le nombre de qubits. Désormais, ces tâches peuvent être réalisées à l'aide de circuits quantiques adaptés qui exploitent la structure des problèmes physiques. Dans une seconde partie, des schémas numériques quantiques sont introduits pour résoudre des équations de transport anisotropes et des équations différentielles ordinaires hamiltoniennes non linéaires. Ces schémas se composent de trois étapes (initialisation, évolution et mesure) et reposent sur des approximations en différences finies d'ordre élevé et des formules de Trotterisation. Des protocoles efficaces pour mesurer des grandeurs d'intérêt sont présentés, et une nouvelle analyse numérique, basée sur la norme vectorielle plutôt que sur la norme d'opérateur générique, est introduite. Cette approche permet d'atteindre une précision donnée tout en réduisant le nombre de pas de temps par un facteur qui croît de manière exponentielle avec le nombre de qubits. De plus, une étude de différentes transformations de Madelung non linéaires est présentée afin de résoudre certaines équations fluides sur ordinateur quantique. Les différents résultats de cette thèse sont illustrés par des simulations classiques des algorithmes quantiques ainsi que par des simulations sur des processeurs quantiques actuels. Ce travail pose les bases de la simulation pratique de systèmes physiques classiques, aussi bien sur les dispositifs quantiques actuels de type NISQ (noisy intermediate-scale quantum) que sur les futurs ordinateurs quantiques tolérants aux erreurs.
Sonder l'intrication sur des plateformes quantiques à l'aide de mesures aléatoires La technologie quantique a fait des progrès significatifs dans la réalisation de diverses plateformes de calcul et de simulation quantiques. L'objectif de cette thèse est de développer des approches théoriques pour comprendre le rôle de l'intrication dans les systèmes quantiques, et de proposer des protocoles de mesure pour sonder expérimentalement ces concepts dans ces plateformes technologiques quantiques courantes. Ces dernières années, des protocoles appartenant aux "mesures aléatoires" (randomized measurement toolbox ou RM toolbox) ont montré leur capacité à mesurer l'intrication bipartite (intrication entre deux parties d'un système quantique). Ces protocoles ont été mis en œuvre dans plusieurs plateformes expérimentales composées de simulateurs et d'ordinateurs quantiques.Ce manuscrit rapporte principalement le développement de nouvelles approches basées sur cette toolbox afin de fournir aux groupes expérimentaux des outils avancés de mesure de l'intrication en mesurant des nouvelles quantités fondamentales d'intérêt liées à l'intrication préparée dans les platformes quantiques.Le premier objectif de cette thèse est de fournir un nouveau protocole pour optimiser le protocole RM existant en réduisant les erreurs statistiques dans l'estimation des quantités. Ceci est fait avec deux approches : (i) via l'échantillonnage préférentiel des unitaires aléatoires locales et (ii) en mettant en œuvre des mesures aléatoires communes (common randomized measurements). Ces techniques nous permettent d'implémenter automatiquement la boîte à outils RM (RM toolbox) pour estimer les propriétés associées à l'intrication sur de plus grandes plateformes expérimentales.Ensuite, une partie centrale de ce travail propose un protocole alternatif efficace pour mesurer une quantité fondamentale en métrologie quantique connue comme "information quantique de Fisher" (quantum Fisher information) qui nous permet de caractériser le contenu de l'intrication multipartite de l'état quantique.Ce protocole est basé sur l'estimation de l'information quantique de Fisher via la boîte à outils RM, en tant qu'une série convergente de polynômes de la matrice de densité.En outre, le manuscrit se concentre également sur la résolution d'un problème pratique de la boîte à outils RM actuelle, causé par le coût classique excessif du post-traitement des données RM expérimentales afin d'évaluer des estimations non biaisées des quantités d'intérêt. Cela motive l'introduction du "formalisme de batch shadows" et fournit une technique de traitement des données efficace avec des garanties de performance rigoureuses pour obtenir des estimations des quantités accessibles à partir des données RM expérimentales. Enfin, en raison de ces développements de la boîte à outils RM, le manuscrit discute également des quantités qui ont été accessibles pour la première fois par la mise en œuvre expérimentale de cette boîte à outils sur deux architectures différentes de plateforme quantique composée de qubits supraconducteurs et d'ions piégés.