Esse artigo traz uma revisão do formalismo da Mecânica Quântica Supersimétrica e mostra sua aplicação para solucionar um potencial exponencial que, com uma escolha apropriada de parâmetros, é identificado como o potencial de Morse. A solução da equação de Schrödinger para esse potencial é encontrada via fatorização e construção de uma hierarquia de Hamiltonianos, e com o uso dessas ferramentas são encontrados os autovalores de energia e suas respectivas autofunções. A partir do resultado encontrado, fixamos valores de parâmetros com intuito de resgatar os resultados para estados ligados presentes na literatura.
Esse artigo traz uma revisão do formalismo da Mecânica Quântica Supersimétrica e mostra sua aplicação para solucionar um potencial exponencial que, com uma escolha apropriada de parâmetros, é identificado como o potencial de Morse. A solução da equação de Schrödinger para esse potencial é encontrada via fatorização e construção de uma hierarquia de Hamiltonianos, e com o uso dessas ferramentas são encontrados os autovalores de energia e suas respectivas autofunções. A partir do resultado encontrado, fixamos valores de parâmetros com intuito de resgatar os resultados para estados ligados presentes na literatura.
Este artigo aborda a equação de Schrödinger relacionada a função de onda , com foco em sua aplicação a dois sistemas físicos específicos: poços quadrados infinitos e partículas livres. O objetivo geral consiste em compreender os fundamentos matemáticos e físicos e explorar como a solução da equação descreve o comportamento quântico de partículas em diferentes potenciais elétricos. Os métodos utilizados são teóricos e analíticos, baseados em uma revisão da literatura pertinente a mecânica quântica. O caso unidimensional da equação transitória e sua forma estacionária são analisados para um poço quadrado infinito com enfase na quantização da energia e a determinação das condições de contorno para os estados estacionários permitidos. Para partículas livres, examina-se como uma superposição de ondas planas associadas a um espectro de energia contínuo. Os resultados mostram que em poços infinitos as soluções apresentam quantização de energia e estados discretos, enquanto para partículas livres as soluções apresentam graus de liberdade de movimento com energia contínua. A conclusão é que a equação de Schrödinger é crucial para descrever fenômenos quânticos, fornecendo uma base matemática sólida para a compreensão de sistemas confinados e livres destacando a partir de exemplos, a importância das funções de onda na previsão e explicação do comportamento das partículas em sistemas quânticos, contribuindo para o avanço da física moderna.
Neste trabalho foram resolvidos, através da Equação de Schrödinger Independente do tempo, o potencial biestável para um sistema de dois níveis do Poço Duplo Quadrado Unidimensional Simétrico, de forma exata e por métodos aproximativos. Também é apresentada a solução da equação radial para o potencial coulombiano usando um formalismo de operadores escada, através dos conceitos de supersimetria em mecânica quântica e shape invariance. O tunelamento em um potencial biestável é proporcional à diferença entre os dois níveis de energia mais baixos. O presente estudo mostra os resultados dessa diferença obtida para três abordagens distintas para o poço quadrado biestável analisado. Os primeiros resultados são obtidos por uma solução analítica para a Equação de Schrödinger Independente do tempo. Uma combinação linear das autofunções do estado fundamental dos poços individuais é usada também é usada, juntamente com o método variacional em uma segunda abordagem. Outra abordagem usada é a aproximação WKB. A solução radial do problema coulombiano quântico é determinada de forma exata/analítica através dos operadores de criação e destruição.
Resumo Este artigo explora a Teoria das Perturbações no contexto de operadores espectrais, com foco em suas ramificações para a análise da estabilidade de sistemas quânticos complexos. Através de uma abordagem rigorosa da análise funcional, investigamos como pequenas modificações nos operadores (Hamiltonianos) que governam um sistema podem alterar suas propriedades espectrais, ou seja, seus autovalores (níveis de energia) e autovetores (estados quânticos). Começamos com uma revisão dos fundamentos de espaços de Hilbert e operadores auto-adjuntos ilimitados, essenciais para a formulação da mecânica quântica. Em seguida, detalhamos os principais teoremas da teoria de perturbação, incluindo perturbações limitadas, relativamente limitadas e analíticas, discutindo as condições sob as quais a auto-adjuntura e a estrutura espectral de um operador são preservadas ou alteradas de maneira controlável. A metodologia adotada é puramente teórica e analítica, baseada na dedução formal de resultados e na exploração das condições de validade dos teoremas clássicos de Kato e Rellich. Os resultados demonstram a robustez de certas características espectrais sob perturbações específicas e fornecem ferramentas indispensáveis para a compreensão da física de sistemas onde interações não podem ser tratadas exatamente. Concluímos com uma discussão sobre as implicações práticas e teóricas da teoria, bem como as direções para pesquisas futuras em sistemas quânticos abertos e de muitos corpos.
A formulacao da mecânica quântica por integrais de caminho de Feynman surge como uma terceira representacao da teoria quântica, analoga as outras duas representacoes, de Schrodinger e de Heisenberg, de forma que sao matematicamente equivalentes. Entretanto, na representacao de Feynman o formalismo hamiltoniano e substituido pelo formalismo lagrangiano como ferramenta matematica utilizada na construcao da teoria quântica. Na integracao funcional da mecânica quântica, os operadores deixam de ser os principais objetos de estudo, tal como sao nas outras duas representacoes, dando lugar aos propagadores, que tem uma relacao intrinseca com o operador de evolucao temporal, sendo responsavel direto pela evolucao do estado quântico. Este estudo inicia-se com uma analise matematica do formalismo lagrangiano, fundamental para o desenvolvimento da teoria quântica por integrais de caminho de Feynman. Segue-se com a introducao do propagador quântico a partir da definicao do operador de evolucao temporal para uma hamiltoniana independente do tempo (sistema autonomo isolado). A partir desses conceitos, introduz-se a ideia da integral de caminho, onde agora tem-se que todos os caminhos sao possiveis, ao contrario da acao classica na qual o unico caminho possivel seria aquele em que a acao e um minimo. O estudo continua com a integral de trajetoria e sua analogia com a integral de Riemann. Em seguida, investiga-se as regras para dois eventos sucessivos, e tambem, as regras para varios eventos sucessivos. Por um, utiliza-se os conhecimentos obtidos da Integral de Caminho de Feynman para resolver o Oscilador Harmonico Simples e o Oscilador Harmonico Forcado, calculando-se suas autofuncoes e autovalores atraves do propagador quântico, obtendo-se resultados semelhantes aos encontrados por Schrodinger e Heisenberg, comprovando-se a equivalencia dessa representacao com as outras duas representacoes da mecânica quântica.
Nesta tese, obtemos estados quânticos que satisfazem a equação de Schrödinger, para Hamiltonianos quadráticos de forma geral e, ao mesmo tempo, permitem de maneira natural obter a correspondência com a descrição clássica. Usamos o método de integrais de movimento para construir operadores de criação e aniquilação, que satisfazem a álgebra de Weyl-Heisenberg. Dessa forma, construímos os estados de número generalizados (ENG) de maneira análoga ao que é feito para os estados de Fock. Obtemos diferentes famílias de estados coerentes (EC), através de uma superposição dos ENG, que chamamos de estados coerentes generalizados (ECG). Esses estados são rotulados pela constante complexa z escrita em termos do valor esperado inicial da coordenada e do momento. Escrevemos os ECG em função do desvio padrão inicial na coordenada, sigmaq, de modo a minimizar a relação de incerteza de Heisenberg no instante de tempo inicial. Obtemos, de forma pioneira, os ECG para partícula livre e discutimos em detalhes suas propriedades, tal como a relação de completeza, a minimização das relações de incerteza e a evolução da correspondente densidade de probabilidade. Mostramos que o valor esperado da coordenada e do momento segue ao longo da trajetória clássica no espaço de fase. Mostramos que, quando o comprimento de onda da partícula livre é muito menor que sigmaq, os EC se comportam como estados semiclássicos. Além da partícula livre, construímos pela primeira vez, os ECG para o oscilador invertido e discutimos em detalhes suas propriedades. Mostramos que os ECG de sistemas diferentes podem ser relacionados, impondo condições sobre os parâmetros do Hamiltoniano. Por fim, consideramos Hamiltonianos dependentes do tempo, em particular, construímos os ECG, de forma exata, para um oscilador harmônico cuja frequência varia explicitamente no tempo. Mostramos ainda modelos úteis para obter solução exata de sistemas dependentes do tempo, fazendo analogia com a equação de spin ou equação de Schrödinger unidimensional independente do tempo. Além disso, desenvolvemos um método próprio, que fixa a solução e em seguida determinamos a forma da frequência.
Na presente dissertação, serão estudados e construídos estados semiclássicos de sistemas em movimento infinito, apresentando e discutindo diferentes abordagens para sua construção. Dentre essas abordagens, no caso de partículas massivas, analisaremos a evolução temporal de uma solução particular da equação de Schrödinger. Essa solução corresponde a um pacote de onda que se propaga com uma velocidade, e cujo valor esperado da posição é equivalente ao seu análogo clássico. Para a construção desses pacotes de onda, adotaremos o método de Malkin, Man\'ko e Dodonov. Com base nesse arcabouço matemático, estudaremos os estados semiclássicos no caso de uma partícula livre e, como estudo original, construiremos os estados semiclássicos de uma partícula com aceleração, representando dois sistemas com movimento infinito. A partir dessa fundamentação, interpretaremos como a condição de semiclassicalidade pode ser útil para a análise física do sistema. Como exemplo, construiremos estados semiclássicos para uma partícula sujeita a uma força de atrito e para uma partícula sujeita a uma força de atrito e uma força constante, com modelos do tipo Caldirola-Kanai, com o objetivo de compará-los com as condições semiclássicas da partícula livre e partícula acelerada, assim, permitindo oferecer uma possível interpretação física do Hamiltoniano que incorpora forças dissipativas em modelos tipo Caldirola-Kanai. Será construído também os estados semiclássicos para o oscilador harmônico invertido. Além disso, no contexto de sistemas não massivos, estudaremos as autofunções do operador potencial vetor como estados semiclássicos, e suas diferenças em relação aos estados semiclássicos do campo eletromagnético, que são autofunções da parte positiva do operador do campo elétrico, estes, já bem consolidados na literatura.