We show that a harmonic oscillator subject to a sudden change of mas s produces squeezed states. Our study is based on an approximate analytic solution to the time-dependent harmonic oscillator equation with a subperiod function parameter. This continuous treatment differs from former studies that involve the matching of two time-independent solutions at the discontinuity. This formalism requires an ad hoc transformation of the original differential equation and isalso applicable for rapid, although not necessarily instantaneous, mass variations. Ke.ywords: Solutions in closed form; quantum mechanics; exact invariants. Mostramos que un oscilador armónico sujeto a un cambio repentino de masa produce estados comprimidos. Nuestro estudio está basado en una solución analítica aproximada para el oscilador armónico dependiente del tiempo. El tratamiento continuo que estudiamos difiere de estudios anteriores en los cuales se igualan las soluciones en la discontinuidad. Nuestro formalismo requiere una transformación ad hoc de la ecuación diferencial original y es aplicable también para variaciones de masa rápidas, no solo instantáneas. Descriptores: Soluciones analíticas; mecánica cuántica; invariantes exactos. PACS: 03.65.La; 03.65.Ge; 02.30.Ik 1. Introduction ing another transforrnation that produces a monotonic time-dependent parameter. The transformed equation can then be sol ved with the continuum approach, leading to squeezing of the momentum variables at certain times. An interesting ad-vantage of this method is that the change of mass need not be a step function in the strict mathematical sense. The require-ment, which is physically more plausible, is that the change in mass should take place in a time span much shorter than the characteristic period of the oscillator. The plan of the manuscript is the following: in Seco 2, we write the quadratic and linear invariants for a time-dependent mass and exhibit their relation with the Hamiltonian. In Seco 3, we discuss two transforrnations that translate the clas-sical time-dependent mass equation into the time dependent trequency problem. The analytic solution for a rapid varia-tion of the time dependent mass using the appropriate trans-formation is then presented. In Seco 4, we exhibit how a sudden change of mas s in the quantum oscillator produces squeezing. Section 5 is left for conclusions. 2. Time dependent mass
We show that a harmonic oscillator subject to a sudden change of mas s produces squeezed states. Our study is based on an approximate analytic solution to the time-dependent harmonic oscillator equation with a subperiod function parameter. This continuous treatment differs from former studies that involve the matching of two time-independent solutions at the discontinuity. This formalism requires an ad hoc transformation of the original differential equation and isalso applicable for rapid, although not necessarily instantaneous, mass variations. Ke.ywords: Solutions in closed form; quantum mechanics; exact invariants. Mostramos que un oscilador armónico sujeto a un cambio repentino de masa produce estados comprimidos. Nuestro estudio está basado en una solución analítica aproximada para el oscilador armónico dependiente del tiempo. El tratamiento continuo que estudiamos difiere de estudios anteriores en los cuales se igualan las soluciones en la discontinuidad. Nuestro formalismo requiere una transformación ad hoc de la ecuación diferencial original y es aplicable también para variaciones de masa rápidas, no solo instantáneas. Descriptores: Soluciones analíticas; mecánica cuántica; invariantes exactos. PACS: 03.65.La; 03.65.Ge; 02.30.Ik 1. Introduction ing another transforrnation that produces a monotonic time-dependent parameter. The transformed equation can then be sol ved with the continuum approach, leading to squeezing of the momentum variables at certain times. An interesting ad-vantage of this method is that the change of mass need not be a step function in the strict mathematical sense. The require-ment, which is physically more plausible, is that the change in mass should take place in a time span much shorter than the characteristic period of the oscillator. The plan of the manuscript is the following: in Seco 2, we write the quadratic and linear invariants for a time-dependent mass and exhibit their relation with the Hamiltonian. In Seco 3, we discuss two transforrnations that translate the clas-sical time-dependent mass equation into the time dependent trequency problem. The analytic solution for a rapid varia-tion of the time dependent mass using the appropriate trans-formation is then presented. In Seco 4, we exhibit how a sudden change of mas s in the quantum oscillator produces squeezing. Section 5 is left for conclusions. 2. Time dependent mass
We show that a harmonic oscillator subject to a sudden change of mass produces squeezed states. Our study is based on an approximate analytic solution to the time-dependent harmonic oscillator equation with a subperiod function parameter. This continuous treatment differs from former studies that involve the matching of two time-independent solutions at the discontinuity. This formalism requires an ad hoc transformation of the original differential equation and is also applicable for rapid, although not necessarily instantaneous, mass variations.
Se formalizo la teoria de los estados coherentes y comprimidos del oscilador armonico mediante
los operadores de Weyl (relacionado con el grupo de Heisenberg – Weyl 1 ) y el
operador de compresion (relacionado con el grupo de Lie no compacto 2,1 ). Las
propiedades de estos estados de la optica cuantica se obtienen aplicando la mecanica cuantica y
la teoria de grupos, dando asi un tratamiento intermedio entre la optica cuantica y el formalismo
matematico de la teoria de grupos. Se encontro para estos grupos 1 y 2,1 una
representacion en terminos de los operadores de ascenso y descenso y del oscilador
armonico.
Se desarrollo un metodo, basado en la propiedad de traslacion del operador de Weyl y su
analogo para el operador de compresion , para calcular algunas de las propiedades de los
estados coherentes y comprimidos, verificandose que los estados coherentes son estados de
minima incertidumbre en el tiempo de acuerdo a la desigualdad de incertidumbre de Heisenberg,
y los estados comprimidos son de minima incertidumbre de acuerdo a la desigualdad
generalizada de Schrodinger.
Se calcularon las correlaciones cuanticas dependientes y no dependientes del tiempo de los
operadores no dependientes y dependientes del tiempo, de posicion y de momento de los
estados coherentes y comprimidos. Se demuestra que los estados coherentes no estan
correlacionados, mientras que los estados comprimidos si lo estan. Comparamos el producto de
las dispersiones dependientes y no dependientes del tiempo de los estados coherentes y de los
estados comprimidos. Se encontro que estos difieren en un termino adicional que aparece en los
estados comprimidos, el cual se atribuyo a la correlacion cuantica de estos.
Se generalizan los resultados obtenidos para los estados coherentes y comprimidos al estudiar los
estados coherentes y comprimidos del oscilador armonico, utilizando el metodo desarrollado en
el tratamiento de los estados coherentes y comprimidos. Se demuestra que los estados coherentes
y comprimidos de numero tambien son de minima incertidumbre en el tiempo, nuevamente de
acuerdo a las desigualdades de Heisenberg y Schrodinger, respectivamente.
Quantum Brownian motion represents a paradigmatic model of open quantum system, namely a system which cannot be treated as an isolated one, because of the unavoidable interaction with the surrounding environment. In this case the central system is constituted by a quantum particle, while the bath is made up by a large set of uncoupled harmonic oscillators. In the original model, the interaction between the system and the environment shows a linear dependence on the particle position. Such a particular form corresponds to a homogeneous environment, inducing a damping and diffusion which depends on the state. This is not the most general situation: often the environment shows an inhomogeneous character given by a space-dependent density, involving a non-linearity in the coupling with the central system. One of the main motivations of the thesis is the study of quantum Brownian motion in presence of this non-linear coupling. In particular we focus on the case in which the bath-particle interaction depends quadratically on the position of the latter. There exist several techniques aimed to treat the physics of the model. For instance one could consider the master equation, namely an equation ruling the temporal evolution of the state of the Brownian particle, here represented by its reduced density matrix. We derive such an equation in the Born-Markov regime and look into its stationary solution, studying its configuration in the phase space. For a non-linear quadratic coupling the stationary state may be approximated by means of a Gaussian Wigner function, that experiences genuine position squeezing (i.e. the position variance of the particle takes a value smaller than that associated to the Heisenberg principle, although this is fulfilled) at low temperature and as the coupling with the bath grows. However, the Born-Markov master equation is not the most appropriate tool to investigate the regime in which squeezing occurs, since the underlying hypothesis in general fail at strong coupling and low temperature, leading to violations of the Heisenberg principle. To overcome this problem we recall alternative methods, such as a Lindblad equation, namely a master equation constructed to preserve the positivity of the state at any time, and Heisenberg equations. In particular we employ the Heisenberg equation formalism to explore the behavior of the Bose polaron, i.e. an impurity embedded in a Bose-Einstein condensate. This experimentally feasible system attracted a lot of attention in the last years. We derive the equation of motion of the impurity position showing that it shows the same form of the famous equation derived by Langevin in 1909 in the context of classical Brownian motion. The main difference lies in the fact that the impurity Langevin-like equation for the impurity carries a certain amount of memory effects, while the original one was purely Markovian. An important part of the work is devoted to the solution of the motion equation for the impurity, in order to calculate the position variance that can be measured in experiments. For this goal we distinguish the case in which the impurity is trapped in a harmonic potential and that where it is free of any trap. In the latter case the impurity the position variance exhibits a quadratic dependence on time (i.e. ballistic diffusion), as a consequence of memory effects. When the impurity is trapped in a harmonic potential it approaches an equilibrium state localized in average in the middle of the trap. Here, at low temperature and for certain values of the coupling strength we detect genuine position squeezing. When we consider a gas with a Thomas-Fermi profile we find that such an effect is improved if we make the gas trap tighter. Genuine squeezing plays an important role in the context of quantum metrology and opens a wide range of possibility to design new protocols, such as the quantum thermometer El movimiento Browniano cuántico es uno de los principales modelos de sistema abierto, es decir un sistema cuyo comportamiento no se puede tratar de manera separada de su entorno. Este modelo describe la física de una partícula acoplada a un entorno de osciladores. En la versión original del modelo la interacción entre la partícula y el entorno manifiesta una dependencia lineal de la posición de ambos los sistemas. Esta forma analítica del acoplamiento corresponde a un entorno homogeneo, asociado a una fricción y una difusión que dependen del estado del sistema. En todo caso, esta no es la situación más general: a menudo el enorno es inhomogeneo, ya que la densidad no es constante, y esto produce una interacción cuya dependencia de la posición de la partícula no es lineal. Una de las motivaciones principales de esta tesis es el estudio del movimiento Browniano cuántico en presencia de acoplamiento non-lineal. En particular, estudiamos el caso de dependencia cuadrática en la posición de la partícula. Existen muchas técnicas para abordar el modelo. Por ejemplo, se puede emplear la master equation, o sea un ecuación que gobierna la evolución en el tiempo del estado de la partícula, representado por el operador densidad reducido. Derivamos esta ecuación en el régimen de Born-Markov, y estudiamos la forma del estado estacionario en el espacio de las fases. Cuando el acoplamiento es cuadrático, este estado se puede aproximar por medio de una función de Wigner de forma Gausiana, cuya peculiaridad es la emergencia de genuine position squeezing (la varianza de la posición adquiere un valor más bajo de el asociado a la cota de Heisenberg) a temperaturas bajas y cuando el acoplamiento crece. Sin embargo, la ecuación de Born-Markov no es la herramienta más adecuada para tratar el régimen en el que detectamos squeezing, porque las hipótesis subyacentes en general no valen a temperaturas bajas e interacción fuerte, llevando a violaciones del principio de Heisenberg. Para superar este obstáculo es posible emplear métodos alternativos, por ejemplo la ecuación de Lindblad, es decir una ecuación cuya forma sirve para preservar la positividad del estado en cualquier instante, y las ecuaciones de Heisenberg. En particular, aplicamos el formalismo de las ecuaciones de Heisenberg para investigar el comportamiento del Bose polaron, o sea una impureza en un condensado de Bose-Einstein. Es un sistema realista experimentalmente que ha atraido mucha atención recientemente. Derivamos la ecuación del movimiento de la impureza y mostramos que su forma analítica es la misma que la de la ecuación de Langevin para el movimiento Browniano clásico. La diferencia principal es que en este caso la dinámica acarrea efectos de memoria. Una parte importante del trabajo consiste en solucionar esta ecuación del movimiento para evaluar la varianza de la posición, que se puede medir en experimentos. Aquí diferenciamos dos casos: cuando la impureza está atrapada en un potencial armónico, y cuando no hay trampa armónica. En el segundo caso la varianza es proporcional al cuadrado del tiempo (difusión balística), como consecuencia de los efectos de memoria. Cuando la impureza está atrapada alcanza un estado de equilibrio localizado en el medio de la trampa. En este estado, bajando la temperatura y considerando valores del coupling más fuertes detectamos otra vez squeezing. Si consideramos un gas con una densidad de Thomas-Fermi se puede comprobar que este efecto se puede optimizar aprietando la trampa del gas. El estudio del squeezing es muy importante en el marco de la metrología cuántica porque permite el desarrollo de nuevo protocolos como el termometro cuántico.
Abstract In this work, we give a quantitative answer to the question: how sudden or how adiabatic is a frequency change in a quantum harmonic oscillator (HO)? We do that by studying the time evolution of a HO which is initially in its fundamental state and whose time-dependent frequency is controlled by a parameter (denoted by ϵ ) that can continuously tune from a totally slow process to a completely abrupt one. We extend a solution based on algebraic methods introduced recently in the literature that is very suited for numerical implementations, from the basis that diagonalizes the initial Hamiltonian to the one that diagonalizes the instantaneous Hamiltonian. Our results are in agreement with the adiabatic theorem and the comparison of the descriptions using the different bases together with the proper interpretation of this theorem allows us to clarify a common inaccuracy present in the literature. More importantly, we obtain a simple expression that relates squeezing to the transition rate and the initial and final frequencies, from which we calculate the adiabatic limit of the transition. Analysis of these results reveals a significant difference in squeezing production between enhancing or diminishing the frequency of a HO in a non-sudden way.
El estudio del relajamiento térmico de sistemas 'que interaccionan con un baño de calor, h a sido un tema de g r a n interés en l a mecánica estadística en los últimos anos (!-go) P a r a la descripci6n matemática de l a evolución de dichos sistemas, se utilizan en ocasiones ecuaciones diferenciales estocdsticas ,donde l o s términos propiamente estocdsticos representan, junto con un término de friccidn, el efecto del baEo sobre el sistema.En la mayoria de \ o s c a s o s estas ecuaciones se h a n establecido de manera fenomenológica.y en algunos casos d e sistemas sencillos, se h a n hecho derivaciones a partir de modelos microscópicos, Las primeras ecuaciones fenomenologicas propuestas son las llamadas ecuaciones de Lanqevin q u e describen el movimiento browniano de u n a partícula pesada en u n fluido.P a r a el-caso de u n a partícula browniana en u n a dimensión se plantea como ecuaci6n estoc5stica donde m es la masa de la particula, u su velocidad y Y u n coeficiente de fricción.E l primer termin9 del l a d o derecho representa l a fuerza de fricci6n que experimenta l a particula y f(t) es u n a fuerza Ford.Kac y lciazur ( 5 ) derlvan l a ecuación de Langevin para un oscilador armónico que interacclona bilinealmente con u n bazo de osciladores armónicos.En este trabajo obtienen l a s condiciones sobre los parimetros del baño y coeficientes de acoplamiento.b a j o 13s cuales se obtiene p a r a la evoluclon del sistema un comportamiento narkoviano Recientemente hanos derivado la ecuación de Langevin en el límite de acoplamiento d é b i l para un oscilador armónico en un baño de osciladores armónicos.en e1 caso en el que la interacci6n es lineal en la coordenada del sistema y cujdr/atica en I a s coordenadas del baño (24).En el rggrmen cuántico nos encontramos con varios trabajos en los que,se derivan ecuaciones estocdsticas a partir de modelos microscópicos (25-28,b).Sin embargo aún f a l t a mucho por e n t e n d e r s o b r e l o s p r o c e s o s d e r e l a j a c i d n d e s i s t e m a s c u á n t i c o s e n b a ñ o s t é r m i c o s , l o s q u e e n rigor, t a m b i é n d e b e n s e r d e s c r i t o s e n f o r m a c u b n t i c a .El g r a n intere's e n l o s s i s t e m a s c u á n t i c o s , a d e m á s d e l a s p e c t o f o r m a l que e n c i e r r a n , esta' e n l o g r a r i n t e r p r e t a r e x p e r i m e n t o s e n d i v e r s a s a'reas c o m o s o n l a r e l a j a c i 6 n v i b r a c i o n a l d e m o l é c u l a s pol i a t j m l c a s (17-20) y t r a n s p o r t e d e e x c i t o n e s a t e m p e r a t u r a s b a j a s ( 2 9 ) .OBJETIVOS Nuestro propbsito en e t presente trabajo es el tratar de derivar ecuaciones d e Langevin generalizadas, a partir de hamiltonianos microscÓpicos, para distintos modelos de interacción entre slsterna y baiio térmico Para el caso de interacción billneal se han hecho este tipo de derivaciones.en los regímenes cla'sico y cua'ntico, y se han obtenido las ecuaciones estocdsticas, así como 13 reiacidn de fluctuación disipación en forma exacta Con la idea de cxplorsr 13 posible generalización de este resultado a Ordenes mas altos en la interacción, derivaremos ecuaciones estocásticas p a r a un sistema que interacciona con u n bañc a distintos Órd?nas Sn las variables del b a ñ o .Estas derivaciones las haremos dentro de los regímenes Cl6siCo.ycuántico.Aunque en e !c a s o mas general de I n t e r a c c i Ó n que a n a !i z a m o s las ecuaciones se d e r l v a n en forma aproximada m e d i a n t e des3rroiIos perturbativos, en el caso clislco podrerncls i d e n t i f i c a r dentro de la expresion aproximdda.una relación de fluctuaclórl dis1paciÓn de forma idgntica a la del caso b i l i n e a !(exacto).En eI c a s o cua'ntico en cambio I?O se encuentra e s t e tipo de r-esu!tado general: en general se encuentran dificultades a u e obscurecen la interpretaciijn de ecuaclones de Lanqevin cuárrt icas.Aunaue este anilisis s o b r e 13 derivaci6n de ecuaciones estocásticas deba r e s t r ~n g ~r s e a slsternas s i m p l e s , es separado.