El estudio del relajamiento térmico de sistemas 'que interaccionan con un baño de calor, h a sido un tema de g r a n interés en l a mecánica estadística en los últimos anos (!-go) P a r a la descripci6n matemática de l a evolución de dichos sistemas, se utilizan en ocasiones ecuaciones diferenciales estocdsticas ,donde l o s términos propiamente estocdsticos representan, junto con un término de friccidn, el efecto del baEo sobre el sistema.En la mayoria de \ o s c a s o s estas ecuaciones se h a n establecido de manera fenomenológica.y en algunos casos d e sistemas sencillos, se h a n hecho derivaciones a partir de modelos microscópicos, Las primeras ecuaciones fenomenologicas propuestas son las llamadas ecuaciones de Lanqevin q u e describen el movimiento browniano de u n a partícula pesada en u n fluido.P a r a el-caso de u n a partícula browniana en u n a dimensión se plantea como ecuaci6n estoc5stica donde m es la masa de la particula, u su velocidad y Y u n coeficiente de fricción.E l primer termin9 del l a d o derecho representa l a fuerza de fricci6n que experimenta l a particula y f(t) es u n a fuerza Ford.Kac y lciazur ( 5 ) derlvan l a ecuación de Langevin para un oscilador armónico que interacclona bilinealmente con u n bazo de osciladores armónicos.En este trabajo obtienen l a s condiciones sobre los parimetros del baño y coeficientes de acoplamiento.b a j o 13s cuales se obtiene p a r a la evoluclon del sistema un comportamiento narkoviano Recientemente hanos derivado la ecuación de Langevin en el límite de acoplamiento d é b i l para un oscilador armónico en un baño de osciladores armónicos.en e1 caso en el que la interacci6n es lineal en la coordenada del sistema y cujdr/atica en I a s coordenadas del baño (24).En el rggrmen cuántico nos encontramos con varios trabajos en los que,se derivan ecuaciones estocdsticas a partir de modelos microscópicos (25-28,b).Sin embargo aún f a l t a mucho por e n t e n d e r s o b r e l o s p r o c e s o s d e r e l a j a c i d n d e s i s t e m a s c u á n t i c o s e n b a ñ o s t é r m i c o s , l o s q u e e n rigor, t a m b i é n d e b e n s e r d e s c r i t o s e n f o r m a c u b n t i c a .El g r a n intere's e n l o s s i s t e m a s c u á n t i c o s , a d e m á s d e l a s p e c t o f o r m a l que e n c i e r r a n , esta' e n l o g r a r i n t e r p r e t a r e x p e r i m e n t o s e n d i v e r s a s a'reas c o m o s o n l a r e l a j a c i 6 n v i b r a c i o n a l d e m o l é c u l a s pol i a t j m l c a s (17-20) y t r a n s p o r t e d e e x c i t o n e s a t e m p e r a t u r a s b a j a s ( 2 9 ) .OBJETIVOS Nuestro propbsito en e t presente trabajo es el tratar de derivar ecuaciones d e Langevin generalizadas, a partir de hamiltonianos microscÓpicos, para distintos modelos de interacción entre slsterna y baiio térmico Para el caso de interacción billneal se han hecho este tipo de derivaciones.en los regímenes cla'sico y cua'ntico, y se han obtenido las ecuaciones estocdsticas, así como 13 reiacidn de fluctuación disipación en forma exacta Con la idea de cxplorsr 13 posible generalización de este resultado a Ordenes mas altos en la interacción, derivaremos ecuaciones estocásticas p a r a un sistema que interacciona con u n bañc a distintos Órd?nas Sn las variables del b a ñ o .Estas derivaciones las haremos dentro de los regímenes Cl6siCo.ycuántico.Aunque en e !c a s o mas general de I n t e r a c c i Ó n que a n a !i z a m o s las ecuaciones se d e r l v a n en forma aproximada m e d i a n t e des3rroiIos perturbativos, en el caso clislco podrerncls i d e n t i f i c a r dentro de la expresion aproximdda.una relación de fluctuaclórl dis1paciÓn de forma idgntica a la del caso b i l i n e a !(exacto).En eI c a s o cua'ntico en cambio I?O se encuentra e s t e tipo de r-esu!tado general: en general se encuentran dificultades a u e obscurecen la interpretaciijn de ecuaclones de Lanqevin cuárrt icas.Aunaue este anilisis s o b r e 13 derivaci6n de ecuaciones estocásticas deba r e s t r ~n g ~r s e a slsternas s i m p l e s , es separado.
El estudio del relajamiento térmico de sistemas 'que interaccionan con un baño de calor, h a sido un tema de g r a n interés en l a mecánica estadística en los últimos anos (!-go) P a r a la descripci6n matemática de l a evolución de dichos sistemas, se utilizan en ocasiones ecuaciones diferenciales estocdsticas ,donde l o s términos propiamente estocdsticos representan, junto con un término de friccidn, el efecto del baEo sobre el sistema.En la mayoria de \ o s c a s o s estas ecuaciones se h a n establecido de manera fenomenológica.y en algunos casos d e sistemas sencillos, se h a n hecho derivaciones a partir de modelos microscópicos, Las primeras ecuaciones fenomenologicas propuestas son las llamadas ecuaciones de Lanqevin q u e describen el movimiento browniano de u n a partícula pesada en u n fluido.P a r a el-caso de u n a partícula browniana en u n a dimensión se plantea como ecuaci6n estoc5stica donde m es la masa de la particula, u su velocidad y Y u n coeficiente de fricción.E l primer termin9 del l a d o derecho representa l a fuerza de fricci6n que experimenta l a particula y f(t) es u n a fuerza Ford.Kac y lciazur ( 5 ) derlvan l a ecuación de Langevin para un oscilador armónico que interacclona bilinealmente con u n bazo de osciladores armónicos.En este trabajo obtienen l a s condiciones sobre los parimetros del baño y coeficientes de acoplamiento.b a j o 13s cuales se obtiene p a r a la evoluclon del sistema un comportamiento narkoviano Recientemente hanos derivado la ecuación de Langevin en el límite de acoplamiento d é b i l para un oscilador armónico en un baño de osciladores armónicos.en e1 caso en el que la interacci6n es lineal en la coordenada del sistema y cujdr/atica en I a s coordenadas del baño (24).En el rggrmen cuántico nos encontramos con varios trabajos en los que,se derivan ecuaciones estocdsticas a partir de modelos microscópicos (25-28,b).Sin embargo aún f a l t a mucho por e n t e n d e r s o b r e l o s p r o c e s o s d e r e l a j a c i d n d e s i s t e m a s c u á n t i c o s e n b a ñ o s t é r m i c o s , l o s q u e e n rigor, t a m b i é n d e b e n s e r d e s c r i t o s e n f o r m a c u b n t i c a .El g r a n intere's e n l o s s i s t e m a s c u á n t i c o s , a d e m á s d e l a s p e c t o f o r m a l que e n c i e r r a n , esta' e n l o g r a r i n t e r p r e t a r e x p e r i m e n t o s e n d i v e r s a s a'reas c o m o s o n l a r e l a j a c i 6 n v i b r a c i o n a l d e m o l é c u l a s pol i a t j m l c a s (17-20) y t r a n s p o r t e d e e x c i t o n e s a t e m p e r a t u r a s b a j a s ( 2 9 ) .OBJETIVOS Nuestro propbsito en e t presente trabajo es el tratar de derivar ecuaciones d e Langevin generalizadas, a partir de hamiltonianos microscÓpicos, para distintos modelos de interacción entre slsterna y baiio térmico Para el caso de interacción billneal se han hecho este tipo de derivaciones.en los regímenes cla'sico y cua'ntico, y se han obtenido las ecuaciones estocdsticas, así como 13 reiacidn de fluctuación disipación en forma exacta Con la idea de cxplorsr 13 posible generalización de este resultado a Ordenes mas altos en la interacción, derivaremos ecuaciones estocásticas p a r a un sistema que interacciona con u n bañc a distintos Órd?nas Sn las variables del b a ñ o .Estas derivaciones las haremos dentro de los regímenes Cl6siCo.ycuántico.Aunque en e !c a s o mas general de I n t e r a c c i Ó n que a n a !i z a m o s las ecuaciones se d e r l v a n en forma aproximada m e d i a n t e des3rroiIos perturbativos, en el caso clislco podrerncls i d e n t i f i c a r dentro de la expresion aproximdda.una relación de fluctuaclórl dis1paciÓn de forma idgntica a la del caso b i l i n e a !(exacto).En eI c a s o cua'ntico en cambio I?O se encuentra e s t e tipo de r-esu!tado general: en general se encuentran dificultades a u e obscurecen la interpretaciijn de ecuaclones de Lanqevin cuárrt icas.Aunaue este anilisis s o b r e 13 derivaci6n de ecuaciones estocásticas deba r e s t r ~n g ~r s e a slsternas s i m p l e s , es separado.
Desde su origen, la teoria de la informacion ha tenido fuertes conexiones con la mecanica estadistica. El mismo termino entropia de la informacion fue elegido por Shannon a partir del termino usado en termodinamica, bajo sugerencia de Von Neumann. La misma relacion se ha desarrollado recientemente entre las correspondientes generalizaciones cuanticas de ambas teorias, que son la informacion cuantica, que estudia el almacenamiento y la manipulacion de la informacion en sistemas cuanticos, y la fisica de muchos cuerpos. Las conexiones entre los dos campos aumentan cada dia y van en las dos direcciones. Las herramientas e ideas de la informacion cuantica ayudan a solucionar problemas abiertos en teoria de la materia condensada, y nuevos modelos de muchos cuerpos se desarrollan para aplicaciones de la informacion cuantica. Al mismo tiempo la implementacion y el control experimental de pequenos sistemas cuanticos ha mejorado de forma espectacular, aumentando la posibilidad de que estos experimentos se puedan llevar a cabo a escala mas grande, abriendo la posibilidad de aplicaciones practicas.
Es reciente el interes de la comunidad de investigadores en informacion cuantica por estos modelos, y se ha empezado a ver este tipo de evoluciones no solamente como un problema que resolver, sino como un recurso que explotar. Este fundamental cambio de perspectiva ha abierto una nueva linea de investigacion en el campo, incorporando ideas sobre como construir evoluciones artificiales en las cuales la disipacion trabaja en nuestro favor en vez de en nuestra contra, incluso protegiendo el sistema de otros ruidos incontrolados. De esta manera se han planteado nuevos problemas interesantes, como cual es el poder computacional de estos modelos y que condiciones pueden garantizar la resistencia contra el ruido externo.
Esta tesis es parte del esfuerzo para mejorar nuestro conocimiento de estos modelos.
Nos hemos centrado en el estudio de las propiedades de evoluciones disipativas de sistemas cuanticos de espines en un reticulo, bajo una hipotesis que llamamos equilibracion rapida. Consideramos evoluciones disipativas con un unico punto fijo, y que comprimen todo el espacios de estados iniciales en un entorno decreciente del punto fijo. La escala temporal a la cual se tiene esta compresion, es decir el tiempo que tenemos que esperar para que cualquier estado inicial se encuentre arbitrariamente cercano al punto fijo, se llama tiempo de equilibracion del proceso. La condicion de equilibracion rapida pide que este tiempo sea logaritmico en el tamano del sistema.
La contribucion principal de esta tesis es demostrar que la equilibracion rapida tiene importantes consecuencias en las propiedades del sistema. Este sera estable bajo perturbaciones externas y sus puntos fijos satisfaran una ley de area para la informacion mutua.
La parte mas tecnica de este trabajo se basa en las llamadas cotas de Lieb Robinson. Muy conocidas en el caso de sistemas cerrados, pero igualmente validas para sistemas abiertos, las cotas de Lieb Robinson formalizan la idea que la informacion en un sistema de muchos cuerpos solo puede moverse con una velocidad finita, dado que su propagacion esta mediada por las interacciones locales. Por lo tanto, controlar la escala temporal con la cual la evolucion converge permite a su vez controlar la escala espacial a la cual se pueden crear correlaciones.
El trabajo se estructura en 6 capitulos. El capitulo 1 posee fundamentalmente un caracter de introduccion teorica a las herramientas de campo medio que se usan en los diferentes modelos que se presentan, ademas de introducirse otros conceptos que apareceran a lo largo del trabajo. El capitulo 2 tambien constituye una introduccion teorica en la que se realiza un breve analisis del concepto de la decoherencia y sus implicaciones en la Mecanica Cuantica, poniendo especial enfasis en el problema de la medida y como la introduccion del ambiente permite una posible solucion a dicho problema. En este capitulo se presentara la matriz densidad como herramienta basica de trabajo para estudiar el factor de decoherencia.El capitulo 3 se puede dividir en dos bloques. Un primer bloque dedicado la modelo vibronico U(4) y un segundo bloque dedicado a su limite 2D, el modelo U(3). En ambos bloques se expondran las propiedades algebraicas de los dos modelos asi como las diferentes cadenas de simetria que se obtienen. Estos modelos presentan una QPT y usando el formalismo de estados intrinsecos se estudiara la transicion de fase entre la fase simetrica y la fase no simetrica. Sin embargo, se sabe que este metodo es correcto unicamente en el orden mas alto en el desarrollo en potencias de N, donde N es el numero de bosones. Nosotros nos basaremos en el metodo desarrollado en [15] para ir mas alla de este orden y calcular correcciones de tamano finito a varios observables espectroscopicos. Para ello, se introducira la transformacion de Holstein-Primako_ que proporcionara un hamiltoniano en serie de potencias de N donde unicamente se consideraran los terminos en orden mas alto: N, N1/2 y N0. Despues, mediante el uso de una transformacion de Bogoliubov se conseguira la diagonalizacion del hamiltoniano, con lo que se obtendran expresiones analiticas para el estudio del sistema tanto en la fase simetrica como en la no simetrica. Dichas expresiones analiticas se compararan posteriormente con los calculos numericos obtenidos de resolver el problema exactamente en una base adecuada. Ademas, se llevara a cabo un estudio de escalado del sistema por tamano finito que nos permitira extraer los exponentes criticos de los observables espectroscopicos analizados.El capitulo 4 esta dedicado a otro sistema de dos niveles, el modelo de Lipkin. Este modelo guarda una estrecha relacion con el modelo vibronico tal y como se vera en el capitulo 3. Dicha relacion quedara mas patente con la eleccion que se realizara del estado intrinseco para estudiar el diagrama de fases del modelo vibronico. De hecho podemos afirmar que un modelo vibronico con simetria axial se comporta como un modelo de Lipkin. Por este motivo, todo el estudio que se realice en campo medio para el modelo vibronico sera aplicable al modelo de Lipkin, ya que las expresiones que se obtendran son formalmente analogas. Asi pues, en este capitulo nos centraremos en la influencia que tiene una transicion de fase cuantica sobre el fenomeno de la decoherencia. Ahora bien, se sabe que el citado modelo presenta tanto una QPT como una ESQPT, y dependiendo del valor de los parametros concretos del sistema, la ESQPT puede ser de primer o segundo orden. De modo que el analisis se realizara para ambos tipos de transicion. Para tal proposito, se presenta un sistema constituido por un qubit interactuando con un bano bosonico que vendra descrito por el modelo de Lipkin. El estudio de la decoherencia se realizara tanto empleando las tecnicas mas alla de campo medio desarrolladas en el modelo vibronico, como usando la aproximacion de Tamm-Dancoff (TDA) [28] y TDA a segundo orden. Todos los resultados se compararan una vez mas con la solucion exacta del problema y se analizara la relacion entre la transicion de fase que experimenta dicho sistema con la decoherencia. Ademas se incluira un estudio de escalado por tamano finito del factor de decoherencia.En el capitulo 5 se estudiaran tres modelos que describen un campo bosonico de un unico modo interactuando con un subsistema algebraico basado o bien en el algebra SU(1; 1) o en el SU(2). El modelo SU(1; 1) es un modelo de juguete util para la descripcion de la formacion y disociacion de moleculas diatomicas y atomos independientes [16]. El hamiltoniano SU(2) representa al modelo de Dicke [27] o al modelo de Jaynes-Cummings (JC) [17] (tambien conocido como modelo de Tavis-Cummings [29]). Estos dos ultimos modelos poseen interes en Optica Cuantica y describen a un sistema de atomos susceptibles a ocupar dos niveles interactuando con un campo de radiacion. Mientras que el modelo SU(1; 1) y el modelo de Jaynes-Cummings son integrables, el modelo de Dicke no lo es. Todos ellos son sistemas de dos niveles que presentan tanto una QPT como una ESQPT. Asi pues, en primer lugar se analizaran las transiciones de fase con una aproximacion semiclasica, en particular las relacionadas con las transiciones de fase de estados excitados. Despues se introducira el concepto de quantum quench, analizandose la influencia que tiene una ESQPT sobre este. Por ultimo, relacionaremos la presencia de caos cuantico en el modelo no integrable de Dicke con los precursores de la ESQPT en el mismo.En el ultimo capitulo se presentara un resumen y las conclusiones de los principales resultados de este trabajo.
Se propone un desarrollo analítico para determinar la solución de las ecuaciones de movimiento de una partícula cargada bajo la influencia de un campo eléctrico. En la propuesta se utilizan las ventajas y propiedades de la transformación de Laplace, para mapear un sistema de ecuaciones diferenciales no homogéneas de segundo orden en un sistema compuesto por ecuaciones lineales. A partir de la solución más general para la dinámica del sistema, se estudian algunos casos particulares para recuperar, de manera sencilla, los resultados presentes en la literatura. Para motivar el estudio, se utiliza el teorema de Ehrenfest y se discute como los resultados clásicos pueden ser interpretados en su versión cuántica.Se propone un desarrollo analítico para determinar la solución de las ecuaciones de movimiento de una partícula cargada bajo la influencia de un campo eléctrico. En la propuesta se utilizan las ventajas y propiedades de la transformación de Laplace, para mapear un sistema de ecuaciones diferenciales no homogéneas de segundo orden en un sistema compuesto por ecuaciones lineales. A partir de la solución más general para la dinámica del sistema, se estudian algunos casos particulares para recuperar, de manera sencilla, los resultados presentes en la literatura. Para motivar el estudio, se utiliza el teorema de Ehrenfest y se discute como los resultados clásicos pueden ser interpretados en su versión cuántica.
Se pretende que el alumno desarrolle un proyecto de investigación asociado a la simulación numérica de la dinámica y control de sistemas estocásticos con potenciales aplicaciones en el novedoso campo de las tecnologías cuánticas. Objetivo 1) Utilizar software adaptado al análisis y simulación numérica de ecuaciones diferenciales estocásticas. Objetivo 2) Modelización y simulación de sistemas lineales estocásticos análogos a sistemas cuánticos lineales. Objetivo 3) Planteamiento de protocolos de control óptimo sobre estos sistemas. Objetivo 4) Simulación de la dinámica y control óptimo de un sistema cuántico lineal. \nEl control es una rama interdisciplinar de la ingeniería y las matemáticas, aplicada al comportamiento de los sistemas dinámicos. Un controlador manipula la entrada o estado inicial del sistema para lograr un efecto deseado en un estado posterior o salida. Hoy en día, prácticamente todo sistema mecánico y electrónico posee un sistema de control asociado, por sencillo que sea. Un sistema de control simple consiste en una acción sobre el sistema y la obtención del resultado esperado sobre el mismo. Sin embargo, para evitar un final abierto, los sistemas realizan, por lo regular, mediciones intermedias sobre sus salidas y con esa información el sistema es retroalimentado para modificar la acción de control reiniciando el ciclo de entrada-salida. Por otra parte, el desarrollo de nuevas tecnologías basadas en dispositivos cuyas leyes vienen dictadas por la mecánica cuántica se ha convertido en una prioridad para el desarrollo tecnológico actual y diversas aplicaciones tales como las comunicaciones, sensores y computadores cuánticos esperan a su desarrollo para ser implementadas. Esto exige que la rama del control cuántico se desarrolle. Sin embargo, algunas cualidades de la mecánica cuántica no permiten pasar fácilmente el esquema del control clásico al ámbito cuántico. Clásicamente, es posible adquirir toda la información necesaria y emplearla de manera eficiente para retroalimentar el sistema y especializar la acción de control al estado actual. Por el contrario, en un sistema cuántico no toda la información es asequible mediante una medición y, además, todo intento de medir el sistema lo perturba de manera notable. Técnicamente, las ecuaciones dinámicas en un proceso tal, son ecuaciones diferenciales estocásticas no lineales en lugar de las ecuaciones diferenciales deterministas de los sistemas clásicos. En este proyecto, el alumno implementará un software de simulación de sistemas estocásticos adaptado a las peculiaridades de sistemas cuánticos lineales para a continuación, ensayar la validez de diversos protocolos de control óptimo propuestos para estos sistemas
En esta Tesis se estudian los efectos de la frustracion en varios sistemas de Mecanica Estadistica y de Teorias de Campos con Fermiones Dinamicos. En primer lugar se estudia la aparicion de caos ante perturbaciones en la realizacion de los acoplamientos en varios modelos de vidrios de espin, tanto en la aproximacion de campo medio, donde obtuvimos resultados analiticos y numericos, como en modelos en dimension cuatro, donde nuestros resultados se obtuvieron por metodos de simulacion numerica. Obtuvimos evidencias que muestran que cuatro es la dimension critica superior para el fenomeno del caos. En segundo lugar se estudiaron los efectos de la frustracion dinamica sobre un sistema de Ising cinetico, el modelo 1-facilitado. En dicho modelo, identificamos la existencia de un tiempo critico que diverge con la temperatura siguiendo una ley de Arrhenius, y que separa un regimen de tiempo donde la relajacion en el equilibrio tiene caracter exponencial y no aparecen efectos de envejecimiento fuera del equilibrio, de un regimen donde la relajacion en el equilibrio presenta un caracter mucho mas lento, y aparecen los efectos de envejecimiento en la dinamica del sistema fuera del equilibrio. Tambien investigamos el comportamiento de un modelo frustrado de teoria gauge abeliana, motivados por la frustraciion existente en QED regularizada en la red, debido a la existencia de variables fermionicas en dicha teoria. Mostramos la existencia de una fase antiferromagnetico separada por una linea de transicion de primer orden de la fase confinante usual. Por ultimo, estudiamos el efecto de la frustracion en el modelo de Gross- Neveu regularizado en la red, en especial la aparicion de gran cantidad de minimos locales en la accion efectiva del modelo. Obtuvimos algunos resultados analiticos, que completamos con un estudio numerico de las ecuaciones de minimo.
El objetivo de la tesis es el estudio de fenomenos disipativos en el ambito de la Mecanica Cuantica mediante modelos basados en Ecuaciones en Derivadas Parciales. Nos centramos en la formulacion de onda adaptada a este tipo de mecanismos, estudiando que terminos no lineales pueden tener cabida en una ecuacion de Schrodinger disipativa y analizando el buen planteamiento del problema de Cauchy asociado a algunas ecuaciones de Schrodinger que contienen dichos terminos. Prestamos especial atencion a los efectos de friccion y difusion, estudiando generalizaciones cuanticas de la ecuacion de Langevin para el movimiento browniano clasico. Este analisis esta estrechamente relacionado con el problema de la existencia de un argumento suficientemente regular para una funcion de onda dada, al que prestamos atencion especifica.
El modelado de este tipo de procesos es un campo de gran interes en Fisica y en Ingenieria. A escalas en las que los efectos cuanticos son esenciales, el analisis de fenomenos disipativos constituye una cuestion de interes creciente por su gran aplicabilidad en multiples ramas como dinamica browniana, dispersion de iones pesados, optica cuantica, estudio del efecto tunel cuantico o diseno de dispositivos semiconductores.