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Calcul et intrication quantiques: repr´esentation unitaire du groupe de Coxeter/Weyl W(E8)

Michel R. P. Planat

Published Jun 11, 2009• 0 citations
OpenAlex

Abstract

Dans un premier temps, je pr´esenterais bri`evement comment David Mermin rend compte des aspects paradoxaux de la r´ealit´e quantique, `a partir de la non-compatibilit´e alg´ebrique des r`egles pour les valeurs propres (mesures quantiques) et pour les vecteurs propres (´etats quantiques) d'ensembles d'observables qui ne commutent pas tous. Je montrerai alors comment on peut transf´erer un tel questionnement `a un groupe `a sym´etrie octahedrale et `a ses invariants. Ensuite, j'introduirais au calcul quantique, o`u les portes unitaires sont les ´el´ements d'un groupe ad´equat. On cherche `a contenir les erreurs du calcul, repr´esent´ees par les produits tensoriels des matrices de Pauli, dans un sous-groupe fini de portes quantiques, ´el´ements du groupe unitaire complexe U(2n) `a n qubits, et `a repr´esenter au mieux toute matrice unitaire (universalit´e du calcul), d'o`u le groupe de Clifford et sa relation au groupe symplectique Sp(2n, 2). La d´ecomposition de Sp(2n, 2) en ses sous-groupes orthogonaux (extrasp´eciaux) se refl`ete en une d´ecomposition du groupe de Clifford en deux dipoles, dont les ´el´ements rel`event de plusieurs concepts int´eressants: les groupes de r´eflections complexes, les designs unitaires, ainsi que l'intrication quantique. Je les introduirai en d´etail dans le s´eminaire. Puis je montrerai que le groupe de Coxeter/Weyl fini le plus grand W(E8), d'ordre 696 729 600, peux-ˆetre repr´esent´e par des portes quantiques r´eelles `a trois qubits, dont l'une au moins, la porte de Toffoli, est ´etrang`ere au groupe de Clifford. La structure de W(E8), ainsi repr´esent´ee, est intimement li´ee au ´etats GHZ, et sa d´ecomposition en sous-groupes maximaux est li´ee aux ´etats bipartites W ou aux ´etats `a intrication en chaˆıne. Quelques perspectives pour le calcul quantique et l'unification de la physique seront discut´ees. Bibliographie Clifford group dipoles and the enactment of Weyl/Coxeter group W(E8) by entangling gates. Preprint 0904.3691

Related papers

Groupes de r´eflections pour le calcul quantique

Michel R. P. Planat

On d´efend la th`ese que les groupes de r´eflections unitaires (les transformations unitaires qui conservent un hyperplan d'un espace vectoriel) assurent les corrections d'erreurs issues du groupe de Pauli Pn `a n qubits, constitu´e des produits tensoriels des matrices de Pauli i, i = 0..3, avec les phases ±1 ou ±i. Le groupe de Clifford Cn = nU 2 U(2n)|UPnU−1 = Pno normalise le groupe de Pauli dans le groupe unitaire. Ce groupe est apparu dans le contexte de certains codes correcteurs d'erreurs autoduaux (E Bannai 99, G Nebe 00), et il est bien connu que C1 et C2 rel`event de la s´equence de Shephard-Todd des groupes de r´eflections complexes. G¨ottesman `a montr´e en 1997 que trois portes suffisent `a g´en´erer Cn: les portes de Hadamard et de phase /4 (`a un qubit) et la porte CNOT (`a deux qubits). Dans ce travail [1] on met aussi en avant certains groupes cristallographiques de r´eflexions sur l'espace euclidien r´eel (groupes de Coxeter), ainsi que les groupes de r´eflections complexes imprimitifs G(2l, 2, 5). Les groupes imprimitifs sont li´es aux bases mutuellement d´ecorr´el´ees de Pn. Les groupes de Coxeter du type B3 et G2 correspondent aux automorphismes de P1 et les syst`emes de Coxeter du type D5 et E6 apparaˆıssent comme une composante d'intrication topologique de C2 et C3. La g´eom´etrie tient donc de la surface cubique de Clebsch r´egl´ee par 27 lignes droites. On montre ´egalement que le groupe C3 contient les symm´etries des octonions via ses uniques sous-groupes d'ordre 168, 6048 et 12096, isomorphes aux groupes de Lie PSL(2, 7), SU(3, 3) et G2(2), dont on donne une nouvelle repr´esentation.

•Oct 6, 2008•0 citations

Aspects algébriques des circuits quantiques de portes de Clifford. Application à l'optimisation des circuits et à l'intrication

Marc Bataille

Nous étudions sous l'angle de l'algèbre différents types de circuits quantiques composés de portes quantiques bien connues appelées portes de Clifford. Les outils algébriques utilisés sont principalement issus de la théorie des groupes, de la théorie des invariants et de la géométrie algébrique. Cette étude est reliée à deux problématiques importantes dans la phase actuelle du développement de l'informatique quantique : l'optimisation des circuits quantiques afin de limiter les effets indésirables du bruit dans ces circuits et la production d'états intriqués considérés comme des ressources fondamentales dans divers protocoles de communication.Nous nous intéressons d'abord aux structures de groupe sous-jacentes à ces circuits. Dans certains cas, cette étude nous permet de développer des algorithmes de réduction de circuits, généralement des heuristiques. Ainsi, nous montrons que le groupe engendré par les portes CZ et SWAP est le quotient d'un groupe de Coxeter et nous en déduisons une heuristique de réduction de circuit utilisant l'algorithme de Dehn. Nous donnons également une écriture des états de graphes en O(n^2/ln n) portes quantiques agissant sur deux qubits. Enfin, nous construisons une nouvelle forme pseudo-normale pour les circuits de Clifford, reliée à une décomposition originale des matrices du groupe symplectique Sp(2n, F) où F est le corps à deux éléments.Dans un second temps, nous étudions l'apparition de l'intrication dans les circuits de portes CZ d'une part, et de portes CNOT d'autre part. Dans le cas d'un petit nombre de qubits, nous montrons que ces circuits sont capables de produire des états intriqués utiles que nous classifions en orbites sous l'action du groupe SLOCC. Nous nous intéressons également à la possibilité de créer des états génériquement intriqués, c'est à dire des états qui n'annulent pas l'hyperdéterminant de Cayley. En particulier, nous proposons une construction d'un état de 4 qubits qui rend maximal le module de l'hyperdéterminant en utilisant des portes CNOT agissant sur un état factorisé.

•Jun 13, 2023•0 citations

Algebraic aspects of Clifford gate quantum circuits. Application to circuit optimization and entanglement

Bataille, Marc

Nous étudions sous l'angle de l'algèbre différents types de circuits quantiques composés de portes quantiques bien connues appelées portes de Clifford. Les outils algébriques utilisés sont principalement issus de la théorie des groupes, de la théorie des invariants et de la géométrie algébrique. Cette étude est reliée à deux problématiques importantes dans la phase actuelle du développement de l'informatique quantique : l'optimisation des circuits quantiques afin de limiter les effets indésirables du bruit dans ces circuits et la production d'états intriqués considérés comme des ressources fondamentales dans divers protocoles de communication.Nous nous intéressons d'abord aux structures de groupe sous-jacentes à ces circuits. Dans certains cas, cette étude nous permet de développer des algorithmes de réduction de circuits, généralement des heuristiques. Ainsi, nous montrons que le groupe engendré par les portes CZ et SWAP est le quotient d'un groupe de Coxeter et nous en déduisons une heuristique de réduction de circuit utilisant l'algorithme de Dehn. Nous donnons également une écriture des états de graphes en O(n^2/ln n) portes quantiques agissant sur deux qubits. Enfin, nous construisons une nouvelle forme pseudo-normale pour les circuits de Clifford, reliée à une décomposition originale des matrices du groupe symplectique Sp(2n, F) où F est le corps à deux éléments.Dans un second temps, nous étudions l'apparition de l'intrication dans les circuits de portes CZ d'une part, et de portes CNOT d'autre part. Dans le cas d'un petit nombre de qubits, nous montrons que ces circuits sont capables de produire des états intriqués utiles que nous classifions en orbites sous l'action du groupe SLOCC. Nous nous intéressons également à la possibilité de créer des états génériquement intriqués, c'est à dire des états qui n'annulent pas l'hyperdéterminant de Cayley. En particulier, nous proposons une construction d'un état de 4 qubits qui rend maximal le module de l'hyperdéterminant en utilisant des portes CNOT agissant sur un état factorisé.

•Jun 13, 2023•0 citations

Étude de quelques aspects de l'information quantique pour un système galiléen stochastique.

Juba Messamah

Le formalisme de la mécanique quantique sur l'espace des phases est utilisé dans une étude restreinte de la mesure quantique et de l'intrication, et d'une manière plus étendue du protocole de la téléportation à variables continues. Le but est d'explorer partiellement la relation mutuelle entre ce formalisme et l'information quantique. Au lieu des quasi-distributions de Wigner utilisées actuellement dans le cas des variables continues, nous utilisons de vraies densités de probabilité qui sont définies positives et qui rendent compte des mesures quantiques non précises au moyen d'une fonction d'onde propre représentant un appareil de mesure quantique non idéal. Ceci peut être réalisé sur un espace des phases non relativiste (ou relativiste). La formule obtenue est semblable à une formule connue en optique quantique mais contient l'effet de l'instrument de mesure. Elle a été appliquée à trois cas. Dans le premier cas, les deux appareils de mesure, correspondant aux deux parties intriquées et partagées par Alice et Bob, ne sont pas intriqués et sont décrits par deux fonctions d'ondes propres gaussiennes identiques, relatives au groupe de Weyl-Heisenberg. Elles conduisent à une densité de probabilité identique à la fonction de Husimi qui est analysée et comparée à la fonction de Wigner. Une nouvelle expression de la fidélité de la téléportation d'un état cohérent est obtenue en fonction des variances des quadratures. Dans le deuxième cas, les deux appareils de mesure sont intriqués dans un état comprimé du vide à deux modes. Dans le troisième cas, les appareils de mesure sont dans un état intriqué comprimé, obtenu par la combinaison de deux états gaussiens. L'observation générale est que les états des appareils de mesure partagés par Alice et Bob influencent la fidélité de la téléportation à travers leur imprécision et leur intrication.

•Dec 1, 2016•0 citations

Quelques aspects du chaos quantique dans les systèmes de N-corps en interaction : chaînes de spins quantiques et matrices aléatoires

Y. Y. Atas

Mon travail de thèse est consacré à l’étude de quelques aspects de la physique quantique des systèmes quantiques à N corps en interaction. Il est orienté vers l’étude des chaînes de spins quantiques. Je me suis intéressé à plusieurs questions relatives aux chaînes de spins quantiques, du point de vue numérique et analytique à la fois. J'aborde en particulier les questions relatives à la structure des fonctions d'onde, la forme de la densité d'états et les propriétés spectrales des Hamiltoniens de chaînes de spins. Dans un premier temps, je présenterais très rapidement les techniques numériques de base pour le calcul des vecteurs et valeurs propres des Hamiltonien de chaînes de spins. Les densités d’états des modèles quantiques constituent des quantités importantes et très simples qui permettent de caractériser les propriétés spectrales des systèmes avec un grand nombre de degrés de liberté. Alors que dans la limite thermodynamique, les densités d'états de la plupart des modèles intégrables sont bien décrites par une loi gaussienne, dans certaines limites de couplage de la chaîne de spins au champ magnétique et pour un nombre de spins N fini sur la chaîne, on observe l’apparition de pics dans la densité d’états. Je montrerais que la connaissance des deux premiers moments du Hamiltonien dans le sous-espace dégénéré associé à chaque pics donne une bonne approximation de la densité d’états. Dans un deuxième temps je m'intéresserais aux propriétés spectrales des Hamiltoniens de chaînes de spins quantiques. L’un des principal résultats sur la statistique spectrale des systèmes quantiques concerne le comportement universel des fluctuations des mesures telles que l’espacement entre valeurs propres consécutives. Ces fluctuations sont bien décrites par la théorie des matrices aléatoires mais la comparaison avec les prédictions de cette théorie nécessite généralement une opération sur le spectre du Hamiltonien appelée unfolding. Dans les problèmes quantiques de N corps, la taille de l’espace de Hilbert croît généralement exponentiellement avec le nombre de particules, entraînant un manque de données pour pouvoir faire une statistique. Ces limitations ont amené l’introduction d’une nouvelle mesure se passant de la procédure d’unfolding basée sur le rapport d’espacements successifs plutôt que les espacements. En suivant l’idée du “surmise” de Wigner pour le calcul de la distribution de l’espacement, je montre comment calculer une approximation de la distribution du rapport d’espacements dans les trois ensembles gaussiens invariants en faisant le calcul pour des matrices 3x3. Les résultats obtenus pour les différents ensembles de matrices aléatoires se sont révélés être en excellent accord avec les résultats numériques. Enfin je m’intéresserais à la structure des fonctions d’ondes fondamentales des modèles de chaînes de spins quantiques. Les fonctions d’onde constituent, avec le spectre en énergie, les objets fondamentaux des systèmes quantiques : leur structure est assez compliquée et n’est pas très bien comprise pour la plupart des systèmes à N corps. En raison de la croissance exponentielle de la taille de l’espace de Hilbert avec le nombre de particules, l’étude des vecteurs propres est une tâche très difficile, non seulement du point de vue analytique mais aussi du point de vue numérique. Je démontrerais en particulier que l’état fondamental de tous les modèles que nous avons étudiés est multifractal avec en général une dimension fractale non triviale.

•Sep 24, 2014•1 citation

Methode du probleme inverse, groupes quantiques et fonctions de correlation des modeles integrables quantiques

V. Terras

L'OBJET DE CETTE THESE EST DE DEFINIR LES BASES D'UNE NOUVELLE METHODE DE CALCUL DES FONCTIONS DE CORRELATION DES MODELES INTEGRABLES QUANTIQUES. UTILISANT LE FORMALISME DE L'ANSATZ DE BETHE ALGEBRIQUE, ELLE EST FONDEE SUR LA RESOLUTION DU PROBLEME INVERSE DE LA DIFFUSION QUANTIQUE, C'EST-A-DIRE LA RECONSTRUCTION DES OPERATEURS LOCAUX EN FONCTION DES ELEMENTS DE LA MATRICE DE MONODROMIE : NOUS AVONS MONTRE QU'IL EST POSSIBLE DE RESOUDRE EXPLICITEMENT CE PROBLEME INVERSE POUR TOUTE UNE CLASSE DE MODELES INTEGRABLES QUANTIQUES SUR RESEAU. LES OPERATEURS LOCAUX DONT ON VEUT CALCULER LES FONCTIONS DE CORRELATION SONT AINSI PLONGES DANS LA MEME STRUCTURE ALGEBRIQUE (L'ALGEBRE DE YANG-BAXTER) QUE LES OPERATEURS DE CREATION ET D'ANNIHILATION DES ETATS PROPRES DU HAMILTONIEN, SI BIEN QU'IL EST POSSIBLE DE DETERMINER LEUR ACTION SUR CES ETATS EN UTILISANT UNIQUEMENT LES RELATIONS DE COMMUTATION QUADRATIQUES DONNEES PAR LA MATRICE-R SOLUTION DE L'EQUATION DE YANG-BAXTER. CECI RAMENE EN GENERAL LE PROBLEME DE L'EVALUATION DES FONCTIONS DE CORRELATION AU CALCUL DES PRODUITS SCALAIRES DE DEUX ETATS DONT L'UN EST UN ETAT DE BETHE. L'UTILISATION DE LA NOTION DE TWIST, INSPIREE DE LA THEORIE DES GROUPES QUANTIQUES, PERMET ALORS DE DEFINIR UNE NOUVELLE BASE DE L'ESPACE DES ETATS DANS LAQUELLE LA COMBINATOIRE DES OPERATEURS CREATION ET ANNIHILATION SE SIMPLIFIE CONSIDERABLEMENT, ET QUI PERMET LE CALCUL DE CES PRODUITS SCALAIRES SOUS FORME DE DETERMINANTS. SUR L'EXEMPLE REPRESENTATIF DE LA CHAINE DE HEISENBERG XXZ DE SPINS 1/2 AVEC ANISOTROPIE > 1, LA METHODE QUE NOUS AVONS PROPOSEE ABOUTIT A DES RESULTATS EXPLICITES, EN PARTICULIER A LA LIMITE THERMODYNAMIQUE : NOUS RETROUVONS LA FORMULE DE BAXTER POUR LA MAGNETISATION SPONTANEE (REGIME MASSIF > 1), ET LES FONCTIONS DE CORRELATION GENERALES A TEMPERATURE NULLE ET EN CHAMP MAGNETIQUE SONT OBTENUES SOUS LA FORME D'INTEGRALES MULTIPLES DE FONCTIONS USUELLES ( > 1).

•Jan 1, 2000•0 citations
Dans un premier temps, je pr´esenterais brievement comment David Mermin rend compte des aspects paradoxaux de la r´ealit´e quantique, a partir de la non-compatibilit´e alg´ebrique des regles pour les valeurs propres (mesures quantiques) et pour les vecteurs propres (´etats quantiques) d'ensembles d'observables qui ne commutent pas tous. Je montrerai alors comment on peut transf´erer un tel questionnement a un groupe a sym´etrie octahedrale et a ses invariants. Ensuite, j'introduirais au calcul quantique, ou les portes unitaires sont les ´el´ements d'un groupe ad´equat. On cherche a contenir les erreurs du calcul, repr´esent´ees par les produits tensoriels des matrices de Pauli, dans un sous-groupe fini de portes quantiques, ´el´ements du groupe unitaire complexe U(2n) a n qubits, et a repr´esenter au mieux toute matrice unitaire (universalit´e du calcul), d'ou le groupe de Clifford et sa relation au groupe symplectique Sp(2n, 2). La d´ecomposition de Sp(2n, 2) en ses sous-groupes orthogonaux (extrasp´eciaux) se reflete en une d´ecomposition du groupe de Clifford en deux dipoles, dont les ´el´ements relevent de plusieurs concepts int´eressants: les groupes de r´eflections complexes, les designs unitaires, ainsi que l'intrication quantique. Je les introduirai en d´etail dans le s´eminaire. Puis je montrerai que le groupe de Coxeter/Weyl fini le plus grand W(E8), d'ordre 696 729 600, peux-ˆetre repr´esent´e par des portes quantiques r´eelles a trois qubits, dont l'une au moins, la porte de Toffoli, est ´etrangere au groupe de Clifford. La structure de W(E8), ainsi repr´esent´ee, est intimement li´ee au ´etats GHZ, et sa d´ecomposition en sous-groupes maximaux est li´ee aux ´etats bipartites W ou aux ´etats a intrication en chaˆıne. Quelques perspectives pour le calcul quantique et l'unification de la physique seront discut´ees. Bibliographie Clifford group dipoles and the enactment of Weyl/Coxeter group W(E8) by entangling gates. Preprint 0904.3691
On d´efend la th`ese que les groupes de r´eflections unitaires (les transformations unitaires qui conservent un hyperplan d'un espace vectoriel) assurent les corrections d'erreurs issues du groupe de Pauli Pn `a n qubits, constitu´e des produits tensoriels des matrices de Pauli i, i = 0..3, avec les phases ±1 ou ±i. Le groupe de Clifford Cn = nU 2 U(2n)|UPnU−1 = Pno normalise le groupe de Pauli dans le groupe unitaire. Ce groupe est apparu dans le contexte de certains codes correcteurs d'erreurs autoduaux (E Bannai 99, G Nebe 00), et il est bien connu que C1 et C2 rel`event de la s´equence de Shephard-Todd des groupes de r´eflections complexes. G¨ottesman `a montr´e en 1997 que trois portes suffisent `a g´en´erer Cn: les portes de Hadamard et de phase /4 (`a un qubit) et la porte CNOT (`a deux qubits). Dans ce travail [1] on met aussi en avant certains groupes cristallographiques de r´eflexions sur l'espace euclidien r´eel (groupes de Coxeter), ainsi que les groupes de r´eflections complexes imprimitifs G(2l, 2, 5). Les groupes imprimitifs sont li´es aux bases mutuellement d´ecorr´el´ees de Pn. Les groupes de Coxeter du type B3 et G2 correspondent aux automorphismes de P1 et les syst`emes de Coxeter du type D5 et E6 apparaˆıssent comme une composante d'intrication topologique de C2 et C3. La g´eom´etrie tient donc de la surface cubique de Clebsch r´egl´ee par 27 lignes droites. On montre ´egalement que le groupe C3 contient les symm´etries des octonions via ses uniques sous-groupes d'ordre 168, 6048 et 12096, isomorphes aux groupes de Lie PSL(2, 7), SU(3, 3) et G2(2), dont on donne une nouvelle repr´esentation.
Nous étudions sous l'angle de l'algèbre différents types de circuits quantiques composés de portes quantiques bien connues appelées portes de Clifford. Les outils algébriques utilisés sont principalement issus de la théorie des groupes, de la théorie des invariants et de la géométrie algébrique. Cette étude est reliée à deux problématiques importantes dans la phase actuelle du développement de l'informatique quantique : l'optimisation des circuits quantiques afin de limiter les effets indésirables du bruit dans ces circuits et la production d'états intriqués considérés comme des ressources fondamentales dans divers protocoles de communication.Nous nous intéressons d'abord aux structures de groupe sous-jacentes à ces circuits. Dans certains cas, cette étude nous permet de développer des algorithmes de réduction de circuits, généralement des heuristiques. Ainsi, nous montrons que le groupe engendré par les portes CZ et SWAP est le quotient d'un groupe de Coxeter et nous en déduisons une heuristique de réduction de circuit utilisant l'algorithme de Dehn. Nous donnons également une écriture des états de graphes en O(n^2/ln n) portes quantiques agissant sur deux qubits. Enfin, nous construisons une nouvelle forme pseudo-normale pour les circuits de Clifford, reliée à une décomposition originale des matrices du groupe symplectique Sp(2n, F) où F est le corps à deux éléments.Dans un second temps, nous étudions l'apparition de l'intrication dans les circuits de portes CZ d'une part, et de portes CNOT d'autre part. Dans le cas d'un petit nombre de qubits, nous montrons que ces circuits sont capables de produire des états intriqués utiles que nous classifions en orbites sous l'action du groupe SLOCC. Nous nous intéressons également à la possibilité de créer des états génériquement intriqués, c'est à dire des états qui n'annulent pas l'hyperdéterminant de Cayley. En particulier, nous proposons une construction d'un état de 4 qubits qui rend maximal le module de l'hyperdéterminant en utilisant des portes CNOT agissant sur un état factorisé.
Nous étudions sous l'angle de l'algèbre différents types de circuits quantiques composés de portes quantiques bien connues appelées portes de Clifford. Les outils algébriques utilisés sont principalement issus de la théorie des groupes, de la théorie des invariants et de la géométrie algébrique. Cette étude est reliée à deux problématiques importantes dans la phase actuelle du développement de l'informatique quantique : l'optimisation des circuits quantiques afin de limiter les effets indésirables du bruit dans ces circuits et la production d'états intriqués considérés comme des ressources fondamentales dans divers protocoles de communication.Nous nous intéressons d'abord aux structures de groupe sous-jacentes à ces circuits. Dans certains cas, cette étude nous permet de développer des algorithmes de réduction de circuits, généralement des heuristiques. Ainsi, nous montrons que le groupe engendré par les portes CZ et SWAP est le quotient d'un groupe de Coxeter et nous en déduisons une heuristique de réduction de circuit utilisant l'algorithme de Dehn. Nous donnons également une écriture des états de graphes en O(n^2/ln n) portes quantiques agissant sur deux qubits. Enfin, nous construisons une nouvelle forme pseudo-normale pour les circuits de Clifford, reliée à une décomposition originale des matrices du groupe symplectique Sp(2n, F) où F est le corps à deux éléments.Dans un second temps, nous étudions l'apparition de l'intrication dans les circuits de portes CZ d'une part, et de portes CNOT d'autre part. Dans le cas d'un petit nombre de qubits, nous montrons que ces circuits sont capables de produire des états intriqués utiles que nous classifions en orbites sous l'action du groupe SLOCC. Nous nous intéressons également à la possibilité de créer des états génériquement intriqués, c'est à dire des états qui n'annulent pas l'hyperdéterminant de Cayley. En particulier, nous proposons une construction d'un état de 4 qubits qui rend maximal le module de l'hyperdéterminant en utilisant des portes CNOT agissant sur un état factorisé.
Le formalisme de la mécanique quantique sur l'espace des phases est utilisé dans une étude restreinte de la mesure quantique et de l'intrication, et d'une manière plus étendue du protocole de la téléportation à variables continues. Le but est d'explorer partiellement la relation mutuelle entre ce formalisme et l'information quantique. Au lieu des quasi-distributions de Wigner utilisées actuellement dans le cas des variables continues, nous utilisons de vraies densités de probabilité qui sont définies positives et qui rendent compte des mesures quantiques non précises au moyen d'une fonction d'onde propre représentant un appareil de mesure quantique non idéal. Ceci peut être réalisé sur un espace des phases non relativiste (ou relativiste). La formule obtenue est semblable à une formule connue en optique quantique mais contient l'effet de l'instrument de mesure. Elle a été appliquée à trois cas. Dans le premier cas, les deux appareils de mesure, correspondant aux deux parties intriquées et partagées par Alice et Bob, ne sont pas intriqués et sont décrits par deux fonctions d'ondes propres gaussiennes identiques, relatives au groupe de Weyl-Heisenberg. Elles conduisent à une densité de probabilité identique à la fonction de Husimi qui est analysée et comparée à la fonction de Wigner. Une nouvelle expression de la fidélité de la téléportation d'un état cohérent est obtenue en fonction des variances des quadratures. Dans le deuxième cas, les deux appareils de mesure sont intriqués dans un état comprimé du vide à deux modes. Dans le troisième cas, les appareils de mesure sont dans un état intriqué comprimé, obtenu par la combinaison de deux états gaussiens. L'observation générale est que les états des appareils de mesure partagés par Alice et Bob influencent la fidélité de la téléportation à travers leur imprécision et leur intrication.
Mon travail de thèse est consacré à l’étude de quelques aspects de la physique quantique des systèmes quantiques à N corps en interaction. Il est orienté vers l’étude des chaînes de spins quantiques. Je me suis intéressé à plusieurs questions relatives aux chaînes de spins quantiques, du point de vue numérique et analytique à la fois. J'aborde en particulier les questions relatives à la structure des fonctions d'onde, la forme de la densité d'états et les propriétés spectrales des Hamiltoniens de chaînes de spins. Dans un premier temps, je présenterais très rapidement les techniques numériques de base pour le calcul des vecteurs et valeurs propres des Hamiltonien de chaînes de spins. Les densités d’états des modèles quantiques constituent des quantités importantes et très simples qui permettent de caractériser les propriétés spectrales des systèmes avec un grand nombre de degrés de liberté. Alors que dans la limite thermodynamique, les densités d'états de la plupart des modèles intégrables sont bien décrites par une loi gaussienne, dans certaines limites de couplage de la chaîne de spins au champ magnétique et pour un nombre de spins N fini sur la chaîne, on observe l’apparition de pics dans la densité d’états. Je montrerais que la connaissance des deux premiers moments du Hamiltonien dans le sous-espace dégénéré associé à chaque pics donne une bonne approximation de la densité d’états. Dans un deuxième temps je m'intéresserais aux propriétés spectrales des Hamiltoniens de chaînes de spins quantiques. L’un des principal résultats sur la statistique spectrale des systèmes quantiques concerne le comportement universel des fluctuations des mesures telles que l’espacement entre valeurs propres consécutives. Ces fluctuations sont bien décrites par la théorie des matrices aléatoires mais la comparaison avec les prédictions de cette théorie nécessite généralement une opération sur le spectre du Hamiltonien appelée unfolding. Dans les problèmes quantiques de N corps, la taille de l’espace de Hilbert croît généralement exponentiellement avec le nombre de particules, entraînant un manque de données pour pouvoir faire une statistique. Ces limitations ont amené l’introduction d’une nouvelle mesure se passant de la procédure d’unfolding basée sur le rapport d’espacements successifs plutôt que les espacements. En suivant l’idée du “surmise” de Wigner pour le calcul de la distribution de l’espacement, je montre comment calculer une approximation de la distribution du rapport d’espacements dans les trois ensembles gaussiens invariants en faisant le calcul pour des matrices 3x3. Les résultats obtenus pour les différents ensembles de matrices aléatoires se sont révélés être en excellent accord avec les résultats numériques. Enfin je m’intéresserais à la structure des fonctions d’ondes fondamentales des modèles de chaînes de spins quantiques. Les fonctions d’onde constituent, avec le spectre en énergie, les objets fondamentaux des systèmes quantiques : leur structure est assez compliquée et n’est pas très bien comprise pour la plupart des systèmes à N corps. En raison de la croissance exponentielle de la taille de l’espace de Hilbert avec le nombre de particules, l’étude des vecteurs propres est une tâche très difficile, non seulement du point de vue analytique mais aussi du point de vue numérique. Je démontrerais en particulier que l’état fondamental de tous les modèles que nous avons étudiés est multifractal avec en général une dimension fractale non triviale.
L'OBJET DE CETTE THESE EST DE DEFINIR LES BASES D'UNE NOUVELLE METHODE DE CALCUL DES FONCTIONS DE CORRELATION DES MODELES INTEGRABLES QUANTIQUES. UTILISANT LE FORMALISME DE L'ANSATZ DE BETHE ALGEBRIQUE, ELLE EST FONDEE SUR LA RESOLUTION DU PROBLEME INVERSE DE LA DIFFUSION QUANTIQUE, C'EST-A-DIRE LA RECONSTRUCTION DES OPERATEURS LOCAUX EN FONCTION DES ELEMENTS DE LA MATRICE DE MONODROMIE : NOUS AVONS MONTRE QU'IL EST POSSIBLE DE RESOUDRE EXPLICITEMENT CE PROBLEME INVERSE POUR TOUTE UNE CLASSE DE MODELES INTEGRABLES QUANTIQUES SUR RESEAU. LES OPERATEURS LOCAUX DONT ON VEUT CALCULER LES FONCTIONS DE CORRELATION SONT AINSI PLONGES DANS LA MEME STRUCTURE ALGEBRIQUE (L'ALGEBRE DE YANG-BAXTER) QUE LES OPERATEURS DE CREATION ET D'ANNIHILATION DES ETATS PROPRES DU HAMILTONIEN, SI BIEN QU'IL EST POSSIBLE DE DETERMINER LEUR ACTION SUR CES ETATS EN UTILISANT UNIQUEMENT LES RELATIONS DE COMMUTATION QUADRATIQUES DONNEES PAR LA MATRICE-R SOLUTION DE L'EQUATION DE YANG-BAXTER. CECI RAMENE EN GENERAL LE PROBLEME DE L'EVALUATION DES FONCTIONS DE CORRELATION AU CALCUL DES PRODUITS SCALAIRES DE DEUX ETATS DONT L'UN EST UN ETAT DE BETHE. L'UTILISATION DE LA NOTION DE TWIST, INSPIREE DE LA THEORIE DES GROUPES QUANTIQUES, PERMET ALORS DE DEFINIR UNE NOUVELLE BASE DE L'ESPACE DES ETATS DANS LAQUELLE LA COMBINATOIRE DES OPERATEURS CREATION ET ANNIHILATION SE SIMPLIFIE CONSIDERABLEMENT, ET QUI PERMET LE CALCUL DE CES PRODUITS SCALAIRES SOUS FORME DE DETERMINANTS. SUR L'EXEMPLE REPRESENTATIF DE LA CHAINE DE HEISENBERG XXZ DE SPINS 1/2 AVEC ANISOTROPIE > 1, LA METHODE QUE NOUS AVONS PROPOSEE ABOUTIT A DES RESULTATS EXPLICITES, EN PARTICULIER A LA LIMITE THERMODYNAMIQUE : NOUS RETROUVONS LA FORMULE DE BAXTER POUR LA MAGNETISATION SPONTANEE (REGIME MASSIF > 1), ET LES FONCTIONS DE CORRELATION GENERALES A TEMPERATURE NULLE ET EN CHAMP MAGNETIQUE SONT OBTENUES SOUS LA FORME D'INTEGRALES MULTIPLES DE FONCTIONS USUELLES ( > 1).