On d´efend la th`ese que les groupes de r´eflections unitaires (les transformations unitaires qui conservent un hyperplan d'un espace vectoriel) assurent les corrections d'erreurs issues du groupe de Pauli Pn `a n qubits, constitu´e des produits tensoriels des matrices de Pauli i, i = 0..3, avec les phases ±1 ou ±i. Le groupe de Clifford Cn = nU 2 U(2n)|UPnU−1 = Pno normalise le groupe de Pauli dans le groupe unitaire. Ce groupe est apparu dans le contexte de certains codes correcteurs d'erreurs autoduaux (E Bannai 99, G Nebe 00), et il est bien connu que C1 et C2 rel`event de la s´equence de Shephard-Todd des groupes de r´eflections complexes. G¨ottesman `a montr´e en 1997 que trois portes suffisent `a g´en´erer Cn: les portes de Hadamard et de phase /4 (`a un qubit) et la porte CNOT (`a deux qubits). Dans ce travail [1] on met aussi en avant certains groupes cristallographiques de r´eflexions sur l'espace euclidien r´eel (groupes de Coxeter), ainsi que les groupes de r´eflections complexes imprimitifs G(2l, 2, 5). Les groupes imprimitifs sont li´es aux bases mutuellement d´ecorr´el´ees de Pn. Les groupes de Coxeter du type B3 et G2 correspondent aux automorphismes de P1 et les syst`emes de Coxeter du type D5 et E6 apparaˆıssent comme une composante d'intrication topologique de C2 et C3. La g´eom´etrie tient donc de la surface cubique de Clebsch r´egl´ee par 27 lignes droites. On montre ´egalement que le groupe C3 contient les symm´etries des octonions via ses uniques sous-groupes d'ordre 168, 6048 et 12096, isomorphes aux groupes de Lie PSL(2, 7), SU(3, 3) et G2(2), dont on donne une nouvelle repr´esentation.
On d´efend la these que les groupes de r´eflections unitaires (les transformations unitaires qui conservent un hyperplan d'un espace vectoriel) assurent les corrections d'erreurs issues du groupe de Pauli Pn a n qubits, constitu´e des produits tensoriels des matrices de Pauli i, i = 0..3, avec les phases ±1 ou ±i. Le groupe de Clifford Cn = nU 2 U(2n)|UPnU−1 = Pno normalise le groupe de Pauli dans le groupe unitaire. Ce groupe est apparu dans le contexte de certains codes correcteurs d'erreurs autoduaux (E Bannai 99, G Nebe 00), et il est bien connu que C1 et C2 relevent de la s´equence de Shephard-Todd des groupes de r´eflections complexes. G¨ottesman a montr´e en 1997 que trois portes suffisent a g´en´erer Cn: les portes de Hadamard et de phase /4 (a un qubit) et la porte CNOT (a deux qubits). Dans ce travail [1] on met aussi en avant certains groupes cristallographiques de r´eflexions sur l'espace euclidien r´eel (groupes de Coxeter), ainsi que les groupes de r´eflections complexes imprimitifs G(2l, 2, 5). Les groupes imprimitifs sont li´es aux bases mutuellement d´ecorr´el´ees de Pn. Les groupes de Coxeter du type B3 et G2 correspondent aux automorphismes de P1 et les systemes de Coxeter du type D5 et E6 apparaˆıssent comme une composante d'intrication topologique de C2 et C3. La g´eom´etrie tient donc de la surface cubique de Clebsch r´egl´ee par 27 lignes droites. On montre ´egalement que le groupe C3 contient les symm´etries des octonions via ses uniques sous-groupes d'ordre 168, 6048 et 12096, isomorphes aux groupes de Lie PSL(2, 7), SU(3, 3) et G2(2), dont on donne une nouvelle repr´esentation.
Dans un premier temps, je pr´esenterais bri`evement comment David Mermin rend compte des aspects paradoxaux de la r´ealit´e quantique, `a partir de la non-compatibilit´e alg´ebrique des r`egles pour les valeurs propres (mesures quantiques) et pour les vecteurs propres (´etats quantiques) d'ensembles d'observables qui ne commutent pas tous. Je montrerai alors comment on peut transf´erer un tel questionnement `a un groupe `a sym´etrie octahedrale et `a ses invariants. Ensuite, j'introduirais au calcul quantique, o`u les portes unitaires sont les ´el´ements d'un groupe ad´equat. On cherche `a contenir les erreurs du calcul, repr´esent´ees par les produits tensoriels des matrices de Pauli, dans un sous-groupe fini de portes quantiques, ´el´ements du groupe unitaire complexe U(2n) `a n qubits, et `a repr´esenter au mieux toute matrice unitaire (universalit´e du calcul), d'o`u le groupe de Clifford et sa relation au groupe symplectique Sp(2n, 2). La d´ecomposition de Sp(2n, 2) en ses sous-groupes orthogonaux (extrasp´eciaux) se refl`ete en une d´ecomposition du groupe de Clifford en deux dipoles, dont les ´el´ements rel`event de plusieurs concepts int´eressants: les groupes de r´eflections complexes, les designs unitaires, ainsi que l'intrication quantique. Je les introduirai en d´etail dans le s´eminaire. Puis je montrerai que le groupe de Coxeter/Weyl fini le plus grand W(E8), d'ordre 696 729 600, peux-ˆetre repr´esent´e par des portes quantiques r´eelles `a trois qubits, dont l'une au moins, la porte de Toffoli, est ´etrang`ere au groupe de Clifford. La structure de W(E8), ainsi repr´esent´ee, est intimement li´ee au ´etats GHZ, et sa d´ecomposition en sous-groupes maximaux est li´ee aux ´etats bipartites W ou aux ´etats `a intrication en chaˆıne. Quelques perspectives pour le calcul quantique et l'unification de la physique seront discut´ees. Bibliographie Clifford group dipoles and the enactment of Weyl/Coxeter group W(E8) by entangling gates. Preprint 0904.3691
Nous étudions sous l'angle de l'algèbre différents types de circuits quantiques composés de portes quantiques bien connues appelées portes de Clifford. Les outils algébriques utilisés sont principalement issus de la théorie des groupes, de la théorie des invariants et de la géométrie algébrique. Cette étude est reliée à deux problématiques importantes dans la phase actuelle du développement de l'informatique quantique : l'optimisation des circuits quantiques afin de limiter les effets indésirables du bruit dans ces circuits et la production d'états intriqués considérés comme des ressources fondamentales dans divers protocoles de communication.Nous nous intéressons d'abord aux structures de groupe sous-jacentes à ces circuits. Dans certains cas, cette étude nous permet de développer des algorithmes de réduction de circuits, généralement des heuristiques. Ainsi, nous montrons que le groupe engendré par les portes CZ et SWAP est le quotient d'un groupe de Coxeter et nous en déduisons une heuristique de réduction de circuit utilisant l'algorithme de Dehn. Nous donnons également une écriture des états de graphes en O(n^2/ln n) portes quantiques agissant sur deux qubits. Enfin, nous construisons une nouvelle forme pseudo-normale pour les circuits de Clifford, reliée à une décomposition originale des matrices du groupe symplectique Sp(2n, F) où F est le corps à deux éléments.Dans un second temps, nous étudions l'apparition de l'intrication dans les circuits de portes CZ d'une part, et de portes CNOT d'autre part. Dans le cas d'un petit nombre de qubits, nous montrons que ces circuits sont capables de produire des états intriqués utiles que nous classifions en orbites sous l'action du groupe SLOCC. Nous nous intéressons également à la possibilité de créer des états génériquement intriqués, c'est à dire des états qui n'annulent pas l'hyperdéterminant de Cayley. En particulier, nous proposons une construction d'un état de 4 qubits qui rend maximal le module de l'hyperdéterminant en utilisant des portes CNOT agissant sur un état factorisé.
Nous étudions sous l'angle de l'algèbre différents types de circuits quantiques composés de portes quantiques bien connues appelées portes de Clifford. Les outils algébriques utilisés sont principalement issus de la théorie des groupes, de la théorie des invariants et de la géométrie algébrique. Cette étude est reliée à deux problématiques importantes dans la phase actuelle du développement de l'informatique quantique : l'optimisation des circuits quantiques afin de limiter les effets indésirables du bruit dans ces circuits et la production d'états intriqués considérés comme des ressources fondamentales dans divers protocoles de communication.Nous nous intéressons d'abord aux structures de groupe sous-jacentes à ces circuits. Dans certains cas, cette étude nous permet de développer des algorithmes de réduction de circuits, généralement des heuristiques. Ainsi, nous montrons que le groupe engendré par les portes CZ et SWAP est le quotient d'un groupe de Coxeter et nous en déduisons une heuristique de réduction de circuit utilisant l'algorithme de Dehn. Nous donnons également une écriture des états de graphes en O(n^2/ln n) portes quantiques agissant sur deux qubits. Enfin, nous construisons une nouvelle forme pseudo-normale pour les circuits de Clifford, reliée à une décomposition originale des matrices du groupe symplectique Sp(2n, F) où F est le corps à deux éléments.Dans un second temps, nous étudions l'apparition de l'intrication dans les circuits de portes CZ d'une part, et de portes CNOT d'autre part. Dans le cas d'un petit nombre de qubits, nous montrons que ces circuits sont capables de produire des états intriqués utiles que nous classifions en orbites sous l'action du groupe SLOCC. Nous nous intéressons également à la possibilité de créer des états génériquement intriqués, c'est à dire des états qui n'annulent pas l'hyperdéterminant de Cayley. En particulier, nous proposons une construction d'un état de 4 qubits qui rend maximal le module de l'hyperdéterminant en utilisant des portes CNOT agissant sur un état factorisé.
Algèbre et géométrie discrètes appliquées au groupe de Pauli et aux bases décorrélées en théorie de l’information quantique Pour d non puissance d’un nombre premier, le nombre maximal de bases deux à deux décorrélées d’un espace de Hilbert de dimension d n’est pas encore connu. Dans ce mémoire, nous commençons par donner une construction de bases décorrélées en lien avec une famille de représentations irréductibles de l'algèbre de Lie su(2) et faisant appel aux sommes de Gauss.Puis nous étudions de façon systématique la possibilité de construire de telle bases au moyen des opérateurs de Pauli. 1) L’étude de la droite projective sur Zdm montre que, pour obtenir des ensembles maximaux de bases décorrélées à l’aide d'opérateurs de Pauli, il est nécessaire de considérer des produits tensoriels de ces opérateurs. 2) Les sous-modules lagrangiens de Zd2n, dont nous donnons une classification complète, rendent compte des ensembles maximalement commutant d'opérateurs de Pauli. Cette classification permet de savoir lesquels de ces ensembles sont susceptibles de donner des bases décorrélées : ils correspondent aux demi-modules lagrangiens, qui s'interprètent encore comme les points isotropes de la droite projective (P(Mat(n, Zd)²),ω). Nous explicitons alors un isomorphisme entre les bases décorrélées ainsi obtenues et les demi-modules lagrangiens distants, ce qui précise aussi la correspondance entre sommes de Gauss et bases décorrélées. 3) Des corollaires sur le groupe de Clifford et l’espace des phases discret sont alors développés.Enfin, nous présentons quelques outils inspirés de l’étude précédente. Nous traitons ainsi du rapport anharmonique sur la sphère de Bloch, de géométrie projective en dimension supérieure, des opérateurs de Pauli continus et nous comparons l'entropie de von Neumann à une mesure de l'intrication par calcul d'un déterminant.
Codes Polaires Quantiques Dans la théorie de l'information classique, les codes polaires sont la première construction explicite d'une famille de codes correcteurs d’erreurs qui atteignent la capacité de n'importe quel canal classique, discret sans mémoire. Dans cette thèse, nous nous intéressons aux généralisations des codes polaires au cas des canaux quantiques. Nous commençons par passer en revue une construction de type Calderbank-Shor-Steane (CSS) des codes polaires pour les canaux quantiques opérant sur des systèmes de dimension 2 (qubits). Cette construction exploite le phénomène de polarisation classique à la fois en base de phase et en base d’amplitude. Nous proposons ensuite une approche différente, qui s’intéresse à un phénomène de polarisation quantique. Ainsi, le premier théorème important de cette thèse prouve une « polarisation purement quantique » des canaux quantiques opérant sur des systèmes de dimension supérieure ou égale à 2 (qudits). Ce phénomène de polarisation permet de synthétiser des canaux dits « virtuels », qui ont tendance à être soit complètement débruités, soit complètement bruités, en tant que canaux quantiques, et pas seulement en une base. Il utilise une opération dite de « combinaison » de deux canaux quantiques, définie par une opération à deux qudits, opérant sur les entrées des deux canaux, et choisie de manière aléatoire dans un ensemble fini d’opérations. Profitant de ce phénomène de polarisation, nous construisons un code quantique efficace assisté par enchevêtrement, où les canaux complètement bruités sont figés en prenant en entrée la moitié d'une paire EPR pré-partagée entre l'encodeur et le décodeur. Nous montrons que la construction proposée permet d’atteindre un taux de communication d’information quantique égal à la capacité symétrique du canal quantique pour communication assistée par enchevêtrement. De plus, en enchaînant plusieurs codes polaires quantiques, nous proposons un schéma de codage qui utilise les paires EPR pré-partagées comme catalyseur, de sorte que le taux d'enchevêtrement pré-partagé s'annule asymptotiquement.Par la suite, nous nous concentrons sur une importante famille de canaux quantiques appelés canaux de Pauli, opérant sur des qubits. Etant donné un canal Pauli, nous lui associons un canal classique à alphabet quaternaire, et nous montrons que le premier se polarise quantiquement si et seulement si ce dernier se polarise classiquement. Sur la base du canal classique associé, nous fournissons une preuve alternative de la polarisation quantique pour les canaux de Pauli. De manière plus importante, nous fournissons également un moyen efficace de décoder les canaux de Pauli, en décodant le code polaire sur le canal classique associé. Nous considérons également une polarisation multiniveau des canaux de Pauli, où la polarisation se produit à plusieurs niveaux, de sorte que les canaux virtuels synthétisés peuvent également être « semi-bruités », au lieu d'être complètement débruités ou complètement bruités. Cette construction n'utilise pas la randomisation de l'opération de combinaison de canaux. Nous montrons ensuite que les canaux semi-bruités peuvent être figés soit en base de phase, soit en base d’amplitude. Par conséquent, la polarisation à plusieurs niveaux peut être utilisée efficacement pour construire un schéma de codage quantique.Enfin, nous exposons nos travaux en cours sur les codes polaires quantiques CSS, dans le contexte du calcul quantique tolérant aux fautes. Nous fournissons des procédures tolérantes aux fautes pour la préparation d’états quantiques logiques et pour l'extraction du syndrome d'erreur. Ainsi, nous pouvons protéger un état logique pendant un temps arbitrairement long, dans la limite d’un bruit suffisamment faible. De plus, pour le traitement de l'information quantique, nous fournissons des procédures tolérantes aux fautes pour mettre en œuvre les portes logiques de Pauli, Hadamard et CNOT.
L'objet de ce travail est le modèle de q-Haldane-Shastry. Introduit dans les années 1990, il s'inspire de la chaine de spins dite de Heisenberg XXZ qui décrit le magnétisme dans certains matériaux. Comme toute chaîne de spins, le modèle de q-Haldane-Shastry décrit un alignement de spins figés sur le plan, mais contrairement aux modèles de Heisenberg, il y est supposé que chaque spin interagit avec chaque autre. En raison de sa structure mathématique rigide, le modèle est remarquablement intégrable. En effet, pour des valeurs génériques de son paramètre q, il peut être explicitement diagonalisé, en termes de polynômes de Macdonald. Son spectre est extrêmement dégénéré du fait de la présence d'une large algèbre de symétrie, le groupe quantique affine, même en dehors de la limite thermodynamique. Le volet physique de cette thèse propose un nouveau modèle fermionique sur réseau dérivé du modèle de q-Haldane-Shastry. Le modèle, qui hérite de la symétrie quantique affine de son parent, décrit des interactions longues-distances entre certains fermions non-unitaires, émergents de la transformation de Jordan-Wigner via une certaine représentation de l'algèbre de Temperley-Lieb. Une analyse de la structure fermionique, couplée aux propriétés connues de la chaine de q-Haldane-Shastry, mène à une description approfondie des propriétés de ce modèle non-unitaire. Le comportement observé dépend fortement de la parité du nombre de particules. Dans le cas où ce dernier est impair, le modèle s'avère PT-symétrique avec des énergies réelles malgré sa nature non-unitaire. Il est en outre naturellement reformulé en termes de certains modes fermioniques, qui sont définis par transformée de Fourier sur la base d'une certaine quasipériodicité du modèle. Le Hamiltonien, dont on prouve la structure quartique en les fermions, décrit une répulsion statistique entre les modes fermioniques et affiche une relation de dispersion linéaire. Par des moyens numériques, nous reconnaissons dans cette répulsion la structure de "motifs" bien connue dans la chaine de q-Haldane-Shastry. A contrario, lorsque le nombre de particules est pair, le modèle est bien moins régulier, avec un Hamiltonien nilpotent. Bien que nos résultats soient moins aboutis dans ce cas, ils portent à croire que ce régime devrait mener à une nouvelle théorie des champs conforme logarithmique dans la limite thermodynamique, et que cette dernière jouirait d'une symétrie quantique affine. Dans la partie mathématique de cette thèse, les énoncés liés à l'intégrabilité de la chaine de q-Haldane-Shastry sont démontrés. Bien qu'aucun résultat fondamentalement nouveau ne soit introduit, certains arguments calculatoires éparpillés dans la littérature sont systématisés et confirmés. Le modèle de Ruijsenaars-Schneider à spins, à partir duquel la chaine de q-Haldane-Shastry est dérivée par "l'astuce de refroidissement" de Polychronakos, est réobtenu dans un cadre légèrement plus général. On l'exprime en termes de l'algèbre de Hecke affine double de Cherednik en suivant les lignes de Lamers, Serban, Pasquier. Plus précisément, il est proposé d'adapter la théorie des modules induits de Cherednik et d'associer fonctoriellement à des modules sur l'algèbre de Hecke finie un certain espace de "polynômes à valeurs vectorielles" sur lesquels une version matricielle des opérateurs de Macdonald sont bien définis. Les propriétés physiques de la chaîne de q-Haldane-Shastry sont réobtenus des propriétés naturelles de notre construction, comme la diagonalisation du modèle de spin Ruijsenaars-Schneider en termes de polynômes de Macdonald, la structure de l'espace des états comme module pour le groupe quantique affine et le succès du "refroidissement" de Polychronakos.