Gegen Ende des 19. Jh. machten drei grundlegende Beobachtungen deutlich, daß die klassische Mechanik bei Anwendung auf molekulare oder atomare Phänomene keine korrekten Resultate liefern kann. Diese Experimente beruhten auf Beobachtungen der Atomspektren, der Strahlung des schwarzen Körpers und des lichtelektrischen Effekts. Im folgenden Abschnitt wird jedes dieser Experimente diskutiert und gezeigt, wie die grundlegenden Annahmen der klassischen Mechanik modifiziert werden müssen10). Unter diesem Aspekt wird die Quantenmechanik mit einer Reihe von Postulaten eingeführt. Diese Postulate werden dann auf die Berechnung einiger einfacher Systeme angewandt.
Gegen Ende des 19. Jh. machten drei grundlegende Beobachtungen deutlich, daß die klassische Mechanik bei Anwendung auf molekulare oder atomare Phänomene keine korrekten Resultate liefern kann. Diese Experimente beruhten auf Beobachtungen der Atomspektren, der Strahlung des schwarzen Körpers und des lichtelektrischen Effekts. Im folgenden Abschnitt wird jedes dieser Experimente diskutiert und gezeigt, wie die grundlegenden Annahmen der klassischen Mechanik modifiziert werden müssen10). Unter diesem Aspekt wird die Quantenmechanik mit einer Reihe von Postulaten eingeführt. Diese Postulate werden dann auf die Berechnung einiger einfacher Systeme angewandt.
Es ist bemerkenswert, daß die Grundpfeiler sowohl der Quantenmechanik als auch der speziellen Relativitätstheorie in den ersten fünf Jahren dieses Jahrhunderts gelegt wurden, und interessant die Entwicklung der beiden zu vergleichen. Während die spezielle Relativitätstheorie als Ganzes (1905) ein Geniestreich Einsteins war, entwickelte sich die Quantenmechanik in einer Reihe von kleinen Schritten während eines Vierteljahrhunderts (1900–1925). Eine Erklärung dafür ist, daß es, während in der speziellen Relativitätstheorie das Verhalten von Raum und Zeit einzig und allein aus zwei Prinzipien folgt, in der Quantentheorie keine solch einfachen Prinzipien gab, von denen ausgehend alle Quantenphänomene abgeleitet werden konnten. Vielmehr war jeder Schritt eine weitere Hypothese, die entweder auf einem neuen experimentellen Ergebnis beruhte oder ein solches vorhersagte, was nicht unbedingt in einer logischen Reihenfolge geschah und schon gar nicht in Folge eines oder zweier Prinzipen. Die Quantenmechanik entstand also abwechselnd aus Hypothesen und Experimenten, in etwa fünfundzwanzig Jahren. Wie die Überschriften der folgenden Abschnitte zeigen, können die meisten Schritte auf diesem Weg eng mit einer Person in Verbindung gebracht werden; die Beschäftigung mit ihnen wird uns hier als Einführung in die Quantenmechanik dienen.
Die Quantenmechanik ist eine der wichtigsten Theorien der modernen Physik.Mit ihr lassen sich nicht nur grundlegende Phänomene wie z.B. das Emissionsspektrum von Atomen oder die Stabilität von Materie erklären, sondern sie steckt auch in vielen technischen Anwendungen vom MP3-Player bis zum Tunnelmikroskop, und in Zukunft werden wir vermutlich Technologien wie Quantenkryptographie oder Quantencomputer mit großer Selbstverständlichkeit einsetzen.Die Kenntnis der Quantenmechanik ist daher nicht nur ein Schlüssel für das Verständnis unserer Welt, sondern unabdingbar für die Entwicklung moderner Technologien.Folgerichtig wird die Quantenmechanik heute oft schon in der Schule gelehrt; in jedem Fall jedoch an Universitäten, wo sie in den meisten Naturwissenschaften und auch in vielen Ingenieurwissenschaften zum Curriculum gehört.Eine große Hürde bei der Vermittlung und damit auch auf dem Weg zum Verständnis der Quantenmechanik ist nun nicht, wie man etwa vermuten könnte, die Mathematik, auch wenn diese an der einen oder anderen Stelle sicherlich einige Herausforderungen beinhaltet, sondern die Sprache.Der Grund dafür liegt darin, dass Sprache kein gegebenes Konstrukt ist, welches unabhängig vom Menschen und dessen Wissen über die Welt existiert, sondern sich vielmehr im Laufe der Menschheitsgeschichte durch die Auseinandersetzung des Menschen mit seiner Umwelt entwickelt hat.Sprache ist damit auch immer ein Abbild der Welt, so wie sie der Mensch wahrnimmt.Und dass diese Wahrnehmung gelegentlich trügt, wissen wir spätestens seit Einstein, der uns gezeigt hat, dass unsere Vorstellung von Raum und Zeit nicht der physikalischen Wirklichkeit entspricht.Die Quantenmechanik führt uns nun, mehr noch als die Relativitätstheorie, weg von den uns vertrauten Vorstellungen von der physikalischen Wirklichkeit.Damit verliert aber auch die Sprache ihre Legitimation als ein Werkzeug zur Beschreibung der Quantenmechanik.Streng genommen verbleibt als einzig legitimer Zugang zur Quantenmechanik daher die Mathematik.Mit ihr lassen sich, aufbauend auf einer Handvoll Axiome, alle Gesetze der Quantenmechanik ableiten und damit alle physikalischen Beobachtungen korrekt und widerspruchsfrei beschreiben.Allerdings sind diese Axiome, im Gegensatz zu z.B. denen der Newton'schen Mechanik, alles andere als unmittelbar einsichtig.Um daher auch solchen Leserinnen und Lesern den Zugang zur Quantenmechanik zu ermöglichen, welche die Quantenmechanik nicht als Teildisziplin der Mathematik oder der theoretischen Physik betreiben wollen, werden wir in diesem Buch trotz aller Gefahren den Weg der Sprache und der Bilder beschreiten.Dabei gehen wir von wenigen einfachen Schlüsselexperimenten aus, mit denen sich die Grundgleichungen der Quantenmechanik anschaulich begründen lassen.Im Gegensatz zu vielen anderen Lehrbüchern greifen wir jedoch nicht auf das berühmte Doppelspaltexperiment mit Elektronen oder das Experiment von Stern-Gerlach zurück, sondern wir arbeiten in den ersten Kapiteln ausschließlich mit einem Interferometer und Polarisationsfiltern
Das erste Viertel des 20. Jahrhunderts sah zwei große wissenschaftliche Revolutionen. Zuerst die Relativitätstheorie, die unsere Sicht von Raum und Zeit stark wandelte, und dann die Quantenmechanik, die unser Denken über Materie und Energie zutiefst veränderte. Die Quantenmechanik führte zu einer grundlegend neuen Denkweise über Materie und sorgte für ein tiefes Verständnis einer großen Anzahl Phänomene, von den fundamentalsten Eigenschaften der Elementarteilchen bis zu diversen Aspekten der Chemie. Die Quantenmechanik öffnete die Tür zum Mikrokosmos und erklärte dabei viele der Eigenschaften äußerst unterschiedlicher Materialtypen wie Isolatoren, Metalle, Halbleiter und Supraleiter. Die moderne Physik ist immer noch verbissen in die weitere Untersuchung der stets überraschenden Welt von Quanten-Festkörpern, -Flüssigkeiten und -Gasen.
Stark korrelierte Elektronensysteme zeigen eine Vielzahl faszinierender Phänomene: magnetische und/oder Ladungsordnung, wechselwirkungsgetriebene Metall-Isolator-Übergänge, Hochtemperatur-Supraleitung, die Pseudogap-Phase und seltsames metallisches strange metal Verhalten. Die starke Korrelation, die dabei im Spiel ist, macht die Berechnung dieser physikalischen Phänomene jedoch zu einer außerordentlichen Herausforderung, selbst mit den fortschrittlichsten numerischen Methoden. Insbesondere die Forschung des letzten Jahrzehnts hat mehrere Hinweise darauf geliefert, dass selbstkonsistente Standard-Vielteilchen-Methoden, die sich auf die perturbative Skeleton-Reihe stützen, prinzipiell nicht in der Lage sind, diese Parameterregime zu erreichen. Der zugrundeliegende mathematische Ursprung für diesen Zusammenbruch der Skeleton-Reihe liegt in der unerwarteten Mehrwertigkeit des Luttinger-Ward-Funktionals und der damit eng verbundenen Divergenz des irreduziblen Zweiteilchen-Vertex. Beide Aspekte sind bereits in vielen grundlegenden Modellen stark korrelierter Elektronensysteme beobachtet worden. Diese Arbeit versucht, die zugrunde liegenden physikalischen Prozesse zu beleuchten, welche die verschiedenen spannenden Phänomene auf der Ein- und Zweiteilchen-Ebene steuern, die direkt mit dem Zusammenbruch der Skeleton-Reihe in Verbindung gebracht werden können. Zu diesem Zweck wird zunächst ein Überblick über den benötigten mathematischen Ein- und Zweiteilchen-Formalismus der Quanten-Vielteilchen-Physik gegeben. Dann wird ein kurzer historischer Überblick in Bezug auf den Zusammenbruch der Skeleton-Reihe gegeben, gefolgt von einem Diskurs, der eine spezifische funktionale Form für die Selbstenergie bei starker Kopplung propagiert. Die damit verbundenen Phänomene, die Mehrwertigkeit des Luttinger-Ward-Funktionals, die Divergenz des Zweiteilchen-Vertex und die wohl damit zusammenhängende Verletzung des Luttinger-Theorems werden dann anhand eines analytisch lösbaren Models veranschaulicht. Im Folgenden werden die Divergenzen des Zweiteilchen-Vertex dann genauer betrachtet. Als erstes Beispiel eines nicht-perturbativen Phänomens in dieser Arbeit, wird dann das Auftreten von Fermi-Bögen erörtert, welches sich im Einteilchen-Spektrum manifestiert. Tatsächlich kann dies mithilfe eines effektiven, analytisch lösbaren Modells eindeutig mit dem Zusammenbruch der Skeleton-Reihe in Verbindung gebracht werden. Danach werden negative Eigenwerte der statischen verallgemeinerten Suszeptibilitäten von Zweiteilchen-Systemen -- die aus Divergenzen des Zweiteilchen-Vertex resultieren -- direkt mit thermodynamischen Phaseninstabilitäten in stark korrelierten Systemen in Zusammenhang gebracht. Es wird gezeigt, dass diese Instabilitäten ein topologisch geschütztes Phänomen sind, welches auf intrinsische nicht-hermitesche Matrixsymmetrien der zugehörigen Zweiteilchen-Größen zurückzuführen ist. Im Folgenden -- in Erweiterung früherer Untersuchungen auf die Symmetrie gebrochene Phase -- werden die Divergenzen des Zweiteilchen-Vertex im antiferromagnetischen Hubbard-Modell untersucht, das mittels der dynamischen Molekularfeldtheorie gelöst wird. Dabei wird die Verstärkung lokaler Ladungsfluktuationen im stark koppelnden Heisenberg-Regime ebenfalls auf diese negativen Eigenwerte zurückgeführt, wodurch die Heisenberg-Physik mit Prozessen, die über die Skeleton-Reihe hinausgehen, in Verbindung gebracht wird. Abschließend wird ein Ausblick auf zukünftige Forschungsrichtungen, inspiriert durch die Untersuchungen dieser Arbeit, gegeben.
Die Quantenmechanik wird oft als revolutionärer Bruch mit der klassischen Physik dargestellt – eine mysteriöse Theorie, die nur durch abstrakte Postulate und philosophische Interpretationen verständlich wird. Doch diese Darstellung übersieht, dass ihre mathematischen Grundlagen in der klassischen Elektrotechnik verankert sind. Ausgehend von der Telegraphengleichung, die Lord Kelvin bereits 1855 für transatlantische Kupferkabel formulierte, zeigen diese Überlegungen, wie die Quantenmechanik nicht als Bruch, sondern als logische Weiter-entwicklung bekannter Konzepte verstanden werden kann. Die Telegraphengleichung vereint in sich bereits alle Elemente der nichtrelativistischen Quantenmechanik: Im Grenzfall verlustfreier Leitungen wird sie zur Wellengleichung, bei starker Dämpfung zur Diffusionsgleichung und mit einer rein imaginären Dämpfungskonstante – einer Wick-Rotation – zur Schrödinger-Gleichung. Die zugrundeliegende mathematische Struktur dieser Gleichung, die universelle Theorie der Eigenfunktionen und Eigenwerte, wurde bereits von Sturm und Liouville im 19. Jahrhundert ausgearbeitet. Die dabei auftretenden speziellen Funktionen, wie Hermite-, Legendre- oder Laguerre-Polynome, waren lange vor der Quanten-mechanik bekannt und wurden für klassische Anwendungen entwickelt. Was die Schrödinger-Gleichung liefert, lässt sich statt als abstrakte Wahrscheinlichkeit pragmatisch als statische Ladungsverteilung interpretieren, hier also auf ihren didaktischen Kern reduziert, gleich ob für ein einzelnes Atom oder über das Bloch-Theorem, für ein periodisches Kristallgitter. Die vier scheinbar getrennten Begegnungen mit der Quantenmechanik im Elektrotechnik-Studium – Dotierung, Bipolartransistor, MOS-Transistor und Nanoelektronik – sind keine neuen Prinzipien, sondern Anwendungen derselben Ladungsverteilungs-Logik. Die Quantenmechanik, die ein Elektrotechniker benötigt, ist somit keine neue Physik, sondern die konsequente Anwendung bekannter Mathematik auf atomare Dimensionen. Sie ist kein Mysterium, sondern angewandte Leitungstheorie.