O método variacional com Monte Carlo é ilustrado em uma aplicação simples da mecânica quântica: o oscilador harmônico unidimensional. Pormenores tanto do método de Monte Carlo como do variacional são discutidos. Além disto, um simulador gráfico do problema está disponível no endereço http://www.ifi.unicamp.br/~mreis/oh/oh.html da rede de computadores de tal forma a permitir ao leitor variar diversos parâmetros do cálculo e acompanhar nossas discussões dos resultados de forma a ganhar uma maior familiaridade com o material apresentado.
O oscilador harmônico quântico é um dos problemas mais importantes da mecânica quântica, devido à a partir dele ser possível resolver uma grande gama de problemas desta teoria. Dentre os métodos matemáticos que possibilitam a solução do problema do oscilador harmônico na mecânica quântica, o método analítico é uma dos que mais se destaca, pois não é um método muito complexo e permite a resolução total do problema, desde a determinação da equação de onda até a energia do oscilador. Neste artigo estaremos aplicando o método analítico na resolução do problema do oscilador harmônico quântico. Como resultado obtemos os níveis quânticos de energia e as funções de onda para cada nível quantizado
O oscilador harmonico quântico e um dos problemas mais importantes da mecânica quântica, devido a a partir dele ser possivel resolver uma grande gama de problemas desta teoria. Dentre os metodos matematicos que possibilitam a solucao do problema do oscilador harmonico na mecânica quântica, o metodo analitico e uma dos que mais se destaca, pois nao e um metodo muito complexo e permite a resolucao total do problema, desde a determinacao da equacao de onda ate a energia do oscilador. Neste artigo estaremos aplicando o metodo analitico na resolucao do problema do oscilador harmonico quântico. Como resultado obtemos os niveis quânticos de energia e as funcoes de onda para cada nivel quantizado
Nesta monografia, foram calculadas propriedades de bósons interagentes e aprisionados em uma armadilha harmônica utilizando o método variacional de Monte Carlo. O algoritmo é baseado no princípio variacional, o qual fornece um limite superior para a energia do estado fundamental, e o método de Monte Carlo está relacionado com o cálculo das integrais multidimensionais necessárias. Foram propostas funções de onda variacionais dadas pelo produtório de funções de um corpo, as quais capturam o efeito da armadilha, e funções de pares que reproduzem o espalhamento de esferas duras no limite de baixas energias da equação de Schrödinger. Tais funções capturam as propriedades físicas do estado fundamental desse sistema de muitos-corpos, e foram usadas para determinar propriedades de interesse, como a energia por partícula e as distribuições espaciais para diferentes números de bósons e comprimentos de espalhamento (que coincidem com o diâmetro de esfera dura dos átomos, pois as interações são repulsivas). Os resultados puderam ser comparados com a teoria de campo médio nos limites forte e fracamente interagentes, de onde foi possível observar que o método de Monte Carlo variacional permite estudar regimes além dos empregados na teoria de Gross-Pitaevskii.
Esta tese explorou diferentes objetivos envolvendo o metodo Monte Carlo Quântico, dos quais se destacam: avaliacao do metodo convencional em propriedades eletronicas; formalizacao das relacoes existentes entre a teoria de matriz densidade e os metodos Monte Carlo Quântico Variacional e de Difusao; estudo da correlacao eletronica com diferentes funcoes correlacionadas e tambem atraves de metodo misto envolvendo a teoria de perturbacao e o Monte Carlo Quântico Variacional; aplicacoes para atomos do primeiro e segundo periodo da tabela periodica e moleculas diatomicas. Experimentos computacionais com o metodo Monte Carlo Quântico e separacao de spins foram realizados produzindo excelentes resultados para calculos de potenciais de ionizacao sucessivos para atomos, ionizacao atomica e molecular e construcao de curvas de potencial para moleculas simples. Foram ainda obtidas duas formulacoes analiticas que descrevem exatamente o vinculo formal entre a matriz densidade e o Monte Carlo Quântico. Esta associacao proporcionou otimos resultados para os metodos Variacional e de Difusao, apresentando semelhancas e significativas diferencas quando comparado ao tratamento convencional com respeito a estrutura nodal para cada estado eletronico estudado. Alem disso, a matriz densidade aliada as funcoes correlacionadas e capaz de recuperar parte da correlacao eletronica e torna possivel a correcao de funcoes de onda dentro da associacao do Monte Carlo Quântico e teoria de perturbacao.
Abstract