Dans cette these, nous generalisons la capacite a zero-erreur de Shannon. Nous definissons la capacite a zero-erreur quantique (CZEQ) comme etant le supremum des taux dans lesquels l’information classique peut etre transmise a travers un canal quantique avec probabilite d’erreur egale a zero. Le protocole de communication restreint les mots de code a des produits tensoriels d’etats quantiques d’entree, tandis que des mesures collectives entre plusieurs sorties du canal sont permises. Le probleme de calculer la CZEQ est formule en utilisant des outils de la theorie des graphes. Nous demontrons que la capacite a zero-erreur d'un canal quantique dans un espace de Hilbert de dimension D peut toujours etre atteinte par des ensembles d’etats quantiques purs. Par rapport aux mesures, nous avons montre que des mesures de von Neumann collectives sont necessaires et suffisantes pour atteindre la capacite. Nous analysons si la CZEQ est une generalisation non-triviale de la capacite a zero-erreur de Shannon. Le terme “non-triviale” veut dire qu’il y a des canaux quantiques pour lesquels la capacite ne peut etre atteinte qu’avec deux ou plus utilisations du canal, et que la capacite ne peut etre atteinte que par des ensembles S contenants des etats non-orthogonaux. Nous calculons la CZEQ de plusieurs canaux quantiques. En particulier, nous presentons un canal quantique pour lequel nous conjecturons que la CZEQ ne peut etre atteinte que par un ensemble d’etats quantiques non-orthogonaux et par un code de longueur deux ou plus. Finalement, nous demontrons que la CZEQ est bornee superieurement par la capacite d’Holevo-Schumacher-Westmoreland.
Dans cette these, nous generalisons la capacite a zero-erreur de Shannon. Nous definissons la capacite a zero-erreur quantique (CZEQ) comme etant le supremum des taux dans lesquels l’information classique peut etre transmise a travers un canal quantique avec probabilite d’erreur egale a zero. Le protocole de communication restreint les mots de code a des produits tensoriels d’etats quantiques d’entree, tandis que des mesures collectives entre plusieurs sorties du canal sont permises. Le probleme de calculer la CZEQ est formule en utilisant des outils de la theorie des graphes. Nous demontrons que la capacite a zero-erreur d'un canal quantique dans un espace de Hilbert de dimension D peut toujours etre atteinte par des ensembles d’etats quantiques purs. Par rapport aux mesures, nous avons montre que des mesures de von Neumann collectives sont necessaires et suffisantes pour atteindre la capacite. Nous analysons si la CZEQ est une generalisation non-triviale de la capacite a zero-erreur de Shannon. Le terme “non-triviale” veut dire qu’il y a des canaux quantiques pour lesquels la capacite ne peut etre atteinte qu’avec deux ou plus utilisations du canal, et que la capacite ne peut etre atteinte que par des ensembles S contenants des etats non-orthogonaux. Nous calculons la CZEQ de plusieurs canaux quantiques. En particulier, nous presentons un canal quantique pour lequel nous conjecturons que la CZEQ ne peut etre atteinte que par un ensemble d’etats quantiques non-orthogonaux et par un code de longueur deux ou plus. Finalement, nous demontrons que la CZEQ est bornee superieurement par la capacite d’Holevo-Schumacher-Westmoreland.
Dans cette thèse, nous généralisons la capacité à zéro-erreur de Shannon. Nous proposons une nouvelle capacité pour la transmission d'information classique à travers les canaux quantiques. La capacité à zéro-erreur quantique (CZEQ) a été définie comme étant le supremum des taux dans lesquels l'information classique peut être transmise à travers un canal quantique avec probabilité d'erreur égale à zéro. Le protocole de communication restreint les mots de code à des produits tensoriels d'états quantiques d'entrée, tandis que des mesures collectives entre plusieurs sorties du canal sont permises. Ainsi, le protocole employé est similaire au protocole d'Holevo-Schumacher-Westmoreland. Le problème de calculer la CZEQ est formulé en utilisant des outils de la théorie des graphes. Cette définition équivalente est utilisée pour démontrer des propriétés d'états quantiques et des mesures qui atteignent la CZEQ. Nous démontrons que la capacité à zéro-erreur d'un canal quantique dans un espace de Hilbert de dimension d peut toujours être atteinte par des ensembles d'états quantiques purs. Par rapport aux mesures, nous avons montré que des mesures de von Neumann collectives sont nécessaires et suffisantes pour atteindre la capacité. Nous analysons si la CZEQ est une généralisation non-triviale de la capacité à zéro-erreur de Shannon. Le terme ``non-triviale'' veut dire qu'il y a des canaux quantiques pour lesquels la capacité ne peut être atteinte qu'avec deux ou plus utilisations du canal, et que la capacité ne peut être atteinte que par des ensembles $\mcs$ contenants des états non-orthogonaux. Nous calculons la CZEQ de plusieurs canaux quantiques. En particulier, nous présentons un canal quantique pour lequel nous conjecturons que la CZEQ ne peut être atteinte que par un ensemble d'états quantiques non-orthogonaux et par un code de longueur deux ou plus. Finalement, nous démontrons que la CZEQ est bornée supérieurement par la capacité d'Holevo-Schumacher-Westmoreland.
Le calcul quantique est nouveau paradigme qui sera peut-être en capacité de résoudre certains problèmes intéressants et très spécifiques plus vite qu'un ordinateur classique. Mais pour atteindre le régime dans lequel les ordinateurs quantiques seront plus efficaces que leurs équivalents classiques, plusieurs étapes cruciales doivent être atteintes. Les taux d'erreur des puces quantiques actuelles doivent être drastiquement améliorés, tout comme leur nombre de qubits, les algorithmes doivent évoluer pour prendre en compte le taux d'erreur élevé des puces, les compilateurs et implémentations doivent être adaptés à la puce quantique qui sera utilisée pour l'exécution et les façons d'analyser des états ou programmes quantiques nécessitent des améliorations.Dans cette thèse, nous nous concentrons sur certaines de ces étapes et améliorons l'état de l'art en essayant de se rapprocher le plus possible du régime où les ordinateurs quantiques auront un avantage sur les ordinateurs classiques. Nous commençons par montrer comment nous avons implémenté un algorithme quantique non trivial et analysé son comportement ainsi que les ressources nécessaires à son exécution.Cette analyse a confirmé que les puces quantiques actuelles étaient incapables d'exécuter ce genre d'implémentation, même après avoir pris en compte les subtilités dues au matériel et optimisé grandement le programme. Cet effort d'optimisation a donné lieu à l'implémentation de l'outil qprof, un profileur de programme quantique capable d'analyser des implémentations et de générer un rapport textuel et lisible résumant la hiérarchie des appels et leur coût approximatif.Nous présentons aussi un algorithme classique pour résoudre le problème du routage de qubit, une des étapes les plus coûteuse en terme de porte quantique additionnelle dans les compilateurs de programme quantiques. Cet algorithme permet de prendre en compte les calibrations les plus récentes de la puce quantique visée afin d'adapter le programme quantique compilé aux différents taux d'erreurs de la puce. Nous décrivons comment l'algorithme fonctionne et montrons qu'il apporte une amélioration substantielle de la fidélité de l'état quantique créé par le programme compilé par rapport à l'état de l'art.Nous avons aussi implémenté un algorithme variationnel permettant de résoudre des systèmes linéaires et analysé son comportement sur des puces quantiques actuelles ainsi que les besoins en ressources quantiques afin d'exécuter cet algorithme avec différents systèmes linéaires. Finalement, nous avons effectué une étude sur les erreurs présentes sur des qubits isolés et introduit une nouvelle visualisation permettant de mettre en avant des erreurs systématiques et non mitigées par les calibrations automatiques réalisées à intervalles réguliers sur les puces quantiques.
La correction d'erreur est l'ensemble des techniques utilisees pour stocker, processer et transmettre de l'information de facon fiable dans un environnement bruite. La theorie de la correction d'erreur classique est fondee sur l'encodage redondant de l'information. L'un des buts principaux de cette theorie est de trouver des compromis optimaux entre la redondance, qu'on essaie de minimiser, et la tolerance au bruit, qu'on essaie de maximiser.
La theorie quantique de la correction d'erreur ne peut pas directement imiter les schemas redondants de la theorie classique parce qu'elle doit faire avec le theoreme de non-clonage: l'information quantique ne peut pas etre copiee. La correction d'erreur quantique est neanmoins possible en repartissant l'information sur un plus grand nombre d'elements de memoire quantique que necessaire. Dans la theorie de l'information quantique, la dilution de l'information remplace la redondance parce que la copie est interdite par les lois de la mecanique quantique.
Au dela de cette difference conceptuelle, la correction d'erreur quantique a beaucoup herite de son equivalent classique. Dans cette these nous nous interessons a une classe de codes correcteurs quantiques dont l'equivalent classique a ete definie en 1961 par Gallager. A cette epoque l'information quantique n'etait meme pas encore un domaine de recherche. Cette classe est la famille des codes LDPC (low density parity check). De facon informelle un code est dit LDPC si les contraintes imposees pour assurer la redondance dans le cas classique ou la dilution dans le cas quantique sont locales.
Plus precisement cette these se concentre sur un sous-ensemble des codes correcteurs quantiques LDPC: les codes correcteurs quantiques homologiques. Ces codes tiennent leur nom du domaine mathematique de l'homologie, dont les objets d'etude sont des suites d'applications lineaires telles que le noyau d'une application contienne l'image de son voisin de gauche. Initialement introduite pour etudier la topologie de formes geometriques, la theorie de l'homologie comprend maintenant egalement des branches plus algebriques, dont le centre d'interet est plus abstrait et combinatoire. Les codes homologiques ont suivi la meme trajectoire: ils ont ete introduits en 1996 par Kitaev avec un code quantique qui a la forme d'un tore. Ils forment maintenant une vaste famille de codes quantiques LDPC, certains plus inspires de formes geometriques que d'autres. Des codes quantiques homologiques ont ete construits a partir de geometries spheriques, euclidiennes et hyperboliques, a partir d'objets de dimension 2 et de dimension 4, a partir d'objets de dimension croissante et non bornee et a partir de produits d'hypergraphes et homologiques.
Apres avoir introduit des concepts generaux de l'information quantique dans le premier chapitre de cette these, nous nous concentrons dans les deux chapitres suivants sur des familles de code quantique fondee sur des objets hyperboliques de dimension 4. Nous insistons sur l'interconnexion entre leur cote geometrique, donne par des varietes, et leur cote cote combinatoire, donne par des polytopes abstraits. Nous utilisons ces deux aspects pour analyser les codes quantiques correspondants. Dans le quatrieme et dernier chapitre nous analysons une famille de codes quantiques fondee sur des objets spheriques de dimension quelconque. Pour avoir plus de flexibilite dans la construction de codes quantiques, nous utilisons des objets combinatoires qui realisent cette geometrie spherique: des hypercubes. Ce contexte nous permet d'introduire un nouveau lien entre corrections d'erreur classique et quantique ou des codes classiques sont utilises pour introduire de l'homologie dans les hypercubes.
La recherche en informatique quantique a pris de l’ampleur dans les deux dernières décennies, notamment grâce aux financements massifs des gouvernements et de l’industrie dans les technologies quantiques. L’ordinateur quantique promet de résoudre des problèmes qui jusqu’à présent restaient insurmontables à cause du temps déraisonnable qu’il faudrait pour les résoudre sur les ordinateurs classiques les plus puissants. L’idée de l’ordinateur quantique consiste à utiliser des propriétés quantiques de la matière, telles que l’intrication et la superposition quantique des états, pour effectuer des calculs d’une nouvelle manière. L’informatique quantique requiert un nouveau type d’ordinateur où les bits d’information classique, généralement représentés par la présence ou non de courant à l’entrée d’un transistor, sont remplacés par des bits quantiques aussi appelés qubits, et qui sont représentés par l’état d’un système quantique. De plus, il est nécessaire de développer de nouveaux algorithmes capables d’être implémentés sur un ordinateur quantique et capables de tirer parti de l’avantage quantique. Cette thèse porte sur ces deux composantes complémentaires : la construction de portes logiques, un bloc fondamental de tout ordinateur, et la création de meilleurs algorithmes pour résoudre des problèmes pertinents sur ces machines. Parmi les plateformes les plus avancées pour l’ordinateur quantique, on trouve les circuits supraconducteurs, qui sont la plateforme sur laquelle ont misé Google, IBM, Alice&Bob, Nord Quantique et bien d’autres compagnies. Malgré les avancées des dernières décennies, de nombreux défis restent à être relevés pour que les machines existantes soient en mesure de résoudre des problèmes pertinents et surpassent les ordinateurs classiques. L’un des défis auquel cette thèse s’attaque est la réalisation de portes logiques à deux qubits rapides et à haute fidélité. La rapidité est cruciale pour pouvoir réaliser le plus d’opérations possible avant que les qubits ne perdent leur cohérence quantique, et une haute fidélité est requise pour minimiser les erreurs de calcul et permettre d’implémenter de la correction d’erreurs quantiques. De plus, certains qubits supraconducteurs sont connus pour être affectés par une interaction indésirable, l’interaction ZZ qui, même si relativement faible, affecte la fidélité des portes logiques quantiques, empêchant d’atteindre des fidélités supérieures à 99.9% nécessaires à la correction d’erreurs. En parallèle avec l’amélioration des composantes de l’ordinateur quantique, il est important de développer des applications pour ce nouveau type de machine. Parmi les approches étudiées, les algorithmes quantiques variationnels (VQA) sont ceux qui sont les plus susceptibles d’être déployés sur les ordinateurs quantiques de petites tailles existants. Ce sont des algorithmes hybrides qui nécessitent à la fois de la puissance de calcul classique et quantique. Ces algorithmes semblent prometteurs pour résoudre de nombreux problèmes concrets d’intérêt industriel, comme obtenir les propriétés de molécules ou trouver les solutions de problèmes d’optimisation combinatoire. En effet, ces problèmes peuvent être formulés sous forme d’un Hamiltonien et résolus en déterminant son état fondamental. Dans ce but, les VQAs utilisent un circuit quantique paramétré appelé ansatz, dont les paramètres sont optimisés pour s’approcher de l’état fondamental. Un premier défi consiste à trouver un ansatz qui permette, pour un problème donné, de converger le plus efficacement possible vers la solution. Un deuxième défi est de trouver un circuit fait de portes logiques facilement implémentables sur les plateformes physiques actuelles. Les travaux effectués dans cette thèse apportent des contributions à ces deux défis. Dans la première partie de la thèse, nous introduisons le dispositif que nous avons conçu et qui permet de réaliser des portes d’intrication paramétrique entre deux qubits supraconducteurs. Cette approche a permis à nos collaborateurs du groupe d’Andrew Houck de l’Université de Princeton de réaliser expérimentalement une opération de type √iSWAP en 15 ns avec une fidélité de 98.8%, et ce dans un dispositif où l’interaction ZZ est supprimée. Dans la seconde partie de la thèse, nous avons développé un ansatz pour les VQAs permettant de résoudre le modèle de Fermi Hubbard. Ce nouvel ansatz utilise les avantages de deux ansätze préexistants, et permet d’obtenir l’énergie et l’état fondamental du FHM avec une précision de plusieurs ordres de grandeur supérieure aux ansätze standards, et ce en réduisant significativement le nombre de portes d’intrication CNOT qui sont généralement imparfaites et longues à implémenter.
La question de recherche qui a motivé ce travail est la suivante.Peut-on approcher les limites théoriques associées aux codes correcteurs d'erreur dans des canaux symétriques à l'aide des conditions de double orthogonalité des codes convolutionnels ?Pour cette thèse, les canaux symétriques étudiés sont : le canal à bruit additif blanc et gaussien, et le canal binaire à effacement.Pour répondre à notre question de recherche, nous avons effectué un lien entre le graphe biparti de Tanner des codes convolutionnels doublement orthogonaux et le graphe de Tanner des codes LDPC.À partir de cette correspondance, nous avons utilisé un algorithme appelé, évolution de la densité de probabilité, qui nous a permis d'obtenir par des simulations à l'ordinateur, les seuils de convergence théorique qui correspondent aux codes RCDO qui s'approchent le plus près des limites théoriques.À partir des meilleurs graphes bipartis adaptés aux codes RCDO, nous avons ainsi généré des codes RCDO à l'aide d'heuristiques de recherche.Ces programmes nous ont permis d'obtenir des codes RCDO qui possèdent des seuils de convergence qui s'approchent de la capacité des canaux étudiés.Les résultats présentés dans cette thèse sont fort encourageants et nous permettent donc de répondre par l'affirmative à notre question de recherche, car les performances d'erreur obtenues par les codes RCDO présentés ne se situent qu'à quelques dixièmes de décibels de la limite de Shannon pour le canal additif à bruit blanc et gaussien.Les résultats obtenus avec les codes RCDO dépassent largement les performances d'erreur des codes convolutionnels non récursifs doublement orthogonaux (CDO) déjà existants, et se comparent aux codes LDPC convolutionnels générés de façon aléatoire que l'on retrouve dans la littérature.Toutefois, à la différence avec ces derniers, la structure des codes RCDO permet de réduire le nombre d'itérations nécessaires lors du décodage tout en facilitant l'encodage.Mentionnons que les codes RCDO sont définis par des conditions de double orthogonalité bien spécifiques tandis que la plupart des codes LDPC convolutionnels sont générés de façon aléatoire.De plus, il s'avère même qu'il existe des codes RCDO qui offrent un gain de codage additionnel d'environ deux décibels par rapport aux codes CDO, et ce, tout en ayant un décodeur qui nécessite moins de calculs à effectuer par symbole d'information décodé.Cependant, le décodeur itératif d'un code RCDO nécessite, dans son ensemble, un nombre supérieur de décodeurs à seuil en comparaison avec un décodeur itératif CDO.De plus, nous présentons aussi un sous-ensemble de codes RCDO qui permet d'atteindre plusieurs taux de codage simultanément à partir d'un code RCDO mère.Ceci représente un vii grand avantage pour les systèmes de communications, car en présence d'un canal de communication médiocre il est possible de diminuer facilement le taux de codage du code RCDO mère.À l'inverse en présence d'un canal de communication de bonne qualité il est possible d'augmenter le taux de codage.Les codes proposés pourraient très bien être utilisés au sein de disques durs électroniques qui nécessitent de bonnes performances d'erreur.Nous pourrions aussi envisager l'utilisation des codes RCDO dans un canal satellitaire permettant ainsi l'échange de l'information tout en minimisant la puissance de transmission nécessaire par les satellites.Ceci aurait pour impact d'allonger la durée de vie des batteries à bord des satellites.Nous pourrions aussi envisager l'utilisation des codes RCDO au sein de terminaux mobiles.En utilisant les codes RCDO, les terminaux mobiles pourraient tirer profit du faible nombre de calculs nécessaires pour encoder et décoder les symboles d'information transmis, et comme pour les satellites, ceci aurait pour impact d'allonger l'autonomie des terminaux mobiles.De plus, les terminaux mobiles sont assujettis à des canaux qui varient continuellement dans le temps.Par conséquent, ces derniers pourraient utiliser des codes RCDO multi taux de codage ce qui permettrait de changer facilement le taux de codage en fonction de la qualité du canal.
Cette thèse s’inscrit dans le cadre de l’information quantique avec des variables continues, en utilisant des états quantiques du champ électromagnétique. En combinant les outils propres aux variables discrètes, o`u la lumière est décrite en termes de photons, avec les outils des variables continues, où la lumière est décrite en termes de quadratures, nous pouvons étudier théoriquement et produire expérimentalement des états non-classiques, ainsi que des protocoles élémentaires d’information quantique. Ainsi, nous avons produit expérimentalement un état «chat de Schrödinger», superposition quantique de deux états lumineux quasi-classiques, sur lequel nous avons appliqué une porte quantique introduisant une phase dans la superposition. Nous avons ensuite analysé la qualité de cette porte en utilisant un modèle simple de notre expérience. Nous nous sommes ensuite intéressés aux corrélations quantiques, mesurées par la discorde quantique, pour une classe d’états particulièrement importants en information quantique. Nous avons quantifié la précision de nos mesures en les comparant aux bornes de Cramér-Rao classique et quantique. Enfin, nous avons étudié théoriquement l’utilisation d’un amplificateur quantique non-déterministe en cryptographie quantique. Cet amplificateur possède la propriété de pouvoir amplifier des états quantiques sans en amplifier le bruit quantique associé. Ainsi, nous avons montré qu’il permet une amélioration de la distance maximale de transmission d’une clé secrète, ainsi qu’une amélioration de la résistance au bruit introduit par le canal quantique.