La question de recherche qui a motivé ce travail est la suivante.Peut-on approcher les limites théoriques associées aux codes correcteurs d'erreur dans des canaux symétriques à l'aide des conditions de double orthogonalité des codes convolutionnels ?Pour cette thèse, les canaux symétriques étudiés sont : le canal à bruit additif blanc et gaussien, et le canal binaire à effacement.Pour répondre à notre question de recherche, nous avons effectué un lien entre le graphe biparti de Tanner des codes convolutionnels doublement orthogonaux et le graphe de Tanner des codes LDPC.À partir de cette correspondance, nous avons utilisé un algorithme appelé, évolution de la densité de probabilité, qui nous a permis d'obtenir par des simulations à l'ordinateur, les seuils de convergence théorique qui correspondent aux codes RCDO qui s'approchent le plus près des limites théoriques.À partir des meilleurs graphes bipartis adaptés aux codes RCDO, nous avons ainsi généré des codes RCDO à l'aide d'heuristiques de recherche.Ces programmes nous ont permis d'obtenir des codes RCDO qui possèdent des seuils de convergence qui s'approchent de la capacité des canaux étudiés.Les résultats présentés dans cette thèse sont fort encourageants et nous permettent donc de répondre par l'affirmative à notre question de recherche, car les performances d'erreur obtenues par les codes RCDO présentés ne se situent qu'à quelques dixièmes de décibels de la limite de Shannon pour le canal additif à bruit blanc et gaussien.Les résultats obtenus avec les codes RCDO dépassent largement les performances d'erreur des codes convolutionnels non récursifs doublement orthogonaux (CDO) déjà existants, et se comparent aux codes LDPC convolutionnels générés de façon aléatoire que l'on retrouve dans la littérature.Toutefois, à la différence avec ces derniers, la structure des codes RCDO permet de réduire le nombre d'itérations nécessaires lors du décodage tout en facilitant l'encodage.Mentionnons que les codes RCDO sont définis par des conditions de double orthogonalité bien spécifiques tandis que la plupart des codes LDPC convolutionnels sont générés de façon aléatoire.De plus, il s'avère même qu'il existe des codes RCDO qui offrent un gain de codage additionnel d'environ deux décibels par rapport aux codes CDO, et ce, tout en ayant un décodeur qui nécessite moins de calculs à effectuer par symbole d'information décodé.Cependant, le décodeur itératif d'un code RCDO nécessite, dans son ensemble, un nombre supérieur de décodeurs à seuil en comparaison avec un décodeur itératif CDO.De plus, nous présentons aussi un sous-ensemble de codes RCDO qui permet d'atteindre plusieurs taux de codage simultanément à partir d'un code RCDO mère.Ceci représente un vii grand avantage pour les systèmes de communications, car en présence d'un canal de communication médiocre il est possible de diminuer facilement le taux de codage du code RCDO mère.À l'inverse en présence d'un canal de communication de bonne qualité il est possible d'augmenter le taux de codage.Les codes proposés pourraient très bien être utilisés au sein de disques durs électroniques qui nécessitent de bonnes performances d'erreur.Nous pourrions aussi envisager l'utilisation des codes RCDO dans un canal satellitaire permettant ainsi l'échange de l'information tout en minimisant la puissance de transmission nécessaire par les satellites.Ceci aurait pour impact d'allonger la durée de vie des batteries à bord des satellites.Nous pourrions aussi envisager l'utilisation des codes RCDO au sein de terminaux mobiles.En utilisant les codes RCDO, les terminaux mobiles pourraient tirer profit du faible nombre de calculs nécessaires pour encoder et décoder les symboles d'information transmis, et comme pour les satellites, ceci aurait pour impact d'allonger l'autonomie des terminaux mobiles.De plus, les terminaux mobiles sont assujettis à des canaux qui varient continuellement dans le temps.Par conséquent, ces derniers pourraient utiliser des codes RCDO multi taux de codage ce qui permettrait de changer facilement le taux de codage en fonction de la qualité du canal.
La question de recherche qui a motivé ce travail est la suivante.Peut-on approcher les limites théoriques associées aux codes correcteurs d'erreur dans des canaux symétriques à l'aide des conditions de double orthogonalité des codes convolutionnels ?Pour cette thèse, les canaux symétriques étudiés sont : le canal à bruit additif blanc et gaussien, et le canal binaire à effacement.Pour répondre à notre question de recherche, nous avons effectué un lien entre le graphe biparti de Tanner des codes convolutionnels doublement orthogonaux et le graphe de Tanner des codes LDPC.À partir de cette correspondance, nous avons utilisé un algorithme appelé, évolution de la densité de probabilité, qui nous a permis d'obtenir par des simulations à l'ordinateur, les seuils de convergence théorique qui correspondent aux codes RCDO qui s'approchent le plus près des limites théoriques.À partir des meilleurs graphes bipartis adaptés aux codes RCDO, nous avons ainsi généré des codes RCDO à l'aide d'heuristiques de recherche.Ces programmes nous ont permis d'obtenir des codes RCDO qui possèdent des seuils de convergence qui s'approchent de la capacité des canaux étudiés.Les résultats présentés dans cette thèse sont fort encourageants et nous permettent donc de répondre par l'affirmative à notre question de recherche, car les performances d'erreur obtenues par les codes RCDO présentés ne se situent qu'à quelques dixièmes de décibels de la limite de Shannon pour le canal additif à bruit blanc et gaussien.Les résultats obtenus avec les codes RCDO dépassent largement les performances d'erreur des codes convolutionnels non récursifs doublement orthogonaux (CDO) déjà existants, et se comparent aux codes LDPC convolutionnels générés de façon aléatoire que l'on retrouve dans la littérature.Toutefois, à la différence avec ces derniers, la structure des codes RCDO permet de réduire le nombre d'itérations nécessaires lors du décodage tout en facilitant l'encodage.Mentionnons que les codes RCDO sont définis par des conditions de double orthogonalité bien spécifiques tandis que la plupart des codes LDPC convolutionnels sont générés de façon aléatoire.De plus, il s'avère même qu'il existe des codes RCDO qui offrent un gain de codage additionnel d'environ deux décibels par rapport aux codes CDO, et ce, tout en ayant un décodeur qui nécessite moins de calculs à effectuer par symbole d'information décodé.Cependant, le décodeur itératif d'un code RCDO nécessite, dans son ensemble, un nombre supérieur de décodeurs à seuil en comparaison avec un décodeur itératif CDO.De plus, nous présentons aussi un sous-ensemble de codes RCDO qui permet d'atteindre plusieurs taux de codage simultanément à partir d'un code RCDO mère.Ceci représente un vii grand avantage pour les systèmes de communications, car en présence d'un canal de communication médiocre il est possible de diminuer facilement le taux de codage du code RCDO mère.À l'inverse en présence d'un canal de communication de bonne qualité il est possible d'augmenter le taux de codage.Les codes proposés pourraient très bien être utilisés au sein de disques durs électroniques qui nécessitent de bonnes performances d'erreur.Nous pourrions aussi envisager l'utilisation des codes RCDO dans un canal satellitaire permettant ainsi l'échange de l'information tout en minimisant la puissance de transmission nécessaire par les satellites.Ceci aurait pour impact d'allonger la durée de vie des batteries à bord des satellites.Nous pourrions aussi envisager l'utilisation des codes RCDO au sein de terminaux mobiles.En utilisant les codes RCDO, les terminaux mobiles pourraient tirer profit du faible nombre de calculs nécessaires pour encoder et décoder les symboles d'information transmis, et comme pour les satellites, ceci aurait pour impact d'allonger l'autonomie des terminaux mobiles.De plus, les terminaux mobiles sont assujettis à des canaux qui varient continuellement dans le temps.Par conséquent, ces derniers pourraient utiliser des codes RCDO multi taux de codage ce qui permettrait de changer facilement le taux de codage en fonction de la qualité du canal.
Au cours des 15 dernières années, des progrès spectaculaires dans l'analyse et la conception des codes définis par des graphes bipartites et décodables par des algorithmes itératifs ont permis le développement de systèmes de correction d'erreurs, avec des performances de plus en plus proches la limite théorique de Shannon. Dans ce contexte, un rôle déterminant a été joué par la famille des codes à matrice de parité creuse, appelés codes LDPC (pour " Low-Density Parity-Check ", en anglais), introduit par Gallager au début des années 60 et décrits plus tard en termes de graphes bipartites. Négligés pendant de longues années, ces codes ont été redécouverts à la fin des années 90, après que la puissance du décodage itératif a été mise en évidence grâce à l'invention des Turbo-codes. Ce n'est qu'au début des années 2000 que les techniques nécessaires à l'analyse et l'optimisation des codes LDPC ont été développées, techniques qui ont permis ensuite la construction des codes avec des performances asymptotiques proches de la limite de Shannon. Cette remarquable avancée a motivé l'intérêt croissant de la communauté scientifique et soutenu le transfert rapide de cette technologie vers le secteur industriel. Plus récemment, un intérêt tout particulier a été porté aux codes LDPC définis sur des alphabets non-binaires, grâce notamment à leur meilleure capacité de correction en " longueur finie ". Bien que Gallager ait déjà proposé l'utilisation des alphabets non-binaires, en utilisant l'arithmétique modulaire, les codes LDPC non-binaires définis sur les corps finis n'ont étés étudiés qu'à partir de la fin des années 90. Il a été montré que ces codes offrent de meilleures performances que leurs équivalents binaires lorsque le bloc codé est de longueur faible à modérée, ou lorsque les symboles transmis sur le canal sont eux-mêmes des symboles non- binaires, comme par exemple dans le cas des modulations d'ordre supérieur ou des canaux à antennes multiples. Cependant, ce gain en performance implique un coût non négligeable en termes de complexité de décodage, qui peut entraver l'utilisation des codes LDPC non binaires dans des systèmes réels, surtout lorsque le prix à payer en complexité est plus important que le gain en performance. Cette thèse traite de l'analyse et de la conception des codes LDPC non binaires pour des canaux à évanouissements. L'objectif principal de la thèse est de démontrer que, outre le gain en performance en termes de capacité de correction, l'emploi des codes LDPC non binaires peut apporter des bénéfices supplémentaires, qui peuvent compenser l'augmentation de la complexité du décodeur. La " flexibilité " et la " diversité " représentent les deux bénéfices qui seront démontrées dans cette thèse. La " flexibilité " est la capacité d'un système de codage de pouvoir s'adapter à des débits (rendements) variables tout en utilisant le même encodeur et le même décodeur. La " diversité " se rapporte à sa capacité d'exploiter pleinement l'hétérogénéité du canal de communication. La première contribution de cette thèse consiste à développer une méthode d'approximation de l'évolution de densité des codes LDPC non-binaires, basée sur la simulation Monte-Carlo d'un code " infini ". Nous montrons que la méthode proposée fournit des estimations très fines des performances asymptotiques des codes LDPC non-binaires et rend possible l'optimisation de ces codes pour une large gamme d'applications et de modèles de canaux. La deuxième contribution de la thèse porte sur l'analyse et la conception de système de codage flexible, utilisant des techniques de poinçonnage. Nous montrons que les codes LDPC non binaires sont plus robustes au poinçonnage que les codes binaires, grâce au fait que les symboles non-binaires peuvent être partialement poinçonnés. Pour les codes réguliers, nous montrons que le poinçonnage des codes non-binaires obéit à des règles différentes, selon que l'on poinçonne des symboles de degré 2 ou des symboles de degré plus élevé. Pour les codes irréguliers, nous proposons une procédure d'optimisation de la " distribution de poinçonnage ", qui spécifie la fraction de bits poinçonnés par symbole non-binaire, en fonction du degré du symbole. Nous présentons ensuite des distributions de poinçonnage optimisées pour les codes LDPC non binaires, avec des performances à seulement 0,2 - 0,5 dB de la capacité, pour des rendements poinçonnés variant de 0,5 à 0,9. La troisième contribution de la thèse concerne les codes LDPC non binaires transmis sur un canal de Rayleigh à évanouissements rapides, pour lequel chaque symbole modulé est affecté par un coefficient d'évanouissement différent. Dans le cas d'une correspondance biunivoque entre les symboles codés et les symboles modulés (c.-à-d. lorsque le code est définit sur un corps fini de même cardinalité que la constellation utilisée), certains symboles codés peuvent être complètement noyés dans le bruit, dû aux évanouissements profonds du canal. Afin d'éviter ce phénomène, nous utilisons un module d'entrelacement au niveau bit, placé entre l'encodeur et le modulateur. Au récepteur, le module de désentrelacement apporte de la diversité binaire en entrée du décodeur, en atténuant les effets des différents coefficients de fading. Nous proposons un algorithme d'entrelacement optimisé, inspirée de l'algorithme " Progressive Edge-Growth " (PEG). Ainsi, le graphe bipartite du code est élargi par un nouvel ensemble de nœuds représentant les symboles modulés, et l'algorithme proposé établit des connections entre les nœuds représentant les symboles modulés et ceux représentant les symboles codés, de manière à obtenir un graphe élargi de maille maximale. Nous montrons que l'entrelaceur optimisé permet d'obtenir un gain de performance par rapport à un entrelaceur aléatoire, aussi bien en termes de capacité de correction que de détection d'erreurs. Enfin, la quatrième contribution de la thèse consiste en un schéma de codage flexible, permettant d'atteindre la diversité maximale d'un canal à évanouissements par blocs. La particularité de notre approche est d'utiliser des codes Root-LDPC non binaires couplés avec des codes multiplicatifs non binaires, de manière à ce que le rendement de codage puisse facilement s'adapter au nombre de blocs d'évanouissement. Au niveau du récepteur, une simple technique de combinaison de diversité est utilisée en entrée du décodeur. Comme conséquence, la complexité du décodage reste inchangée quel que soit le nombre de blocs d'évanouissement et le rendement du code utilisé, tandis que la technique proposée apporte un réel bénéfice en termes de capacité de correction.
Au cours des 15 dernières années, des progrès spectaculaires dans l'analyse et la conception des codes définis par des graphes bipartites et dé-codables par des algorithmes itératifs ont permis le développement de systèmes de correction d'erreurs, avec des performances de plus en plus proches la limite théorique de Shannon. Dans ce contexte, un rôle déterminant a été joué par la famille des codes à matrice de parité creuse, appelés codes LDPC (pour « Low-Density Parity-Check », en anglais), introduit par Gallager au début des années 60 et décrits plus tard en termes de graphes bipartites. Négligés pendant de longues années, ces codes ont été redécouverts à la fin des années 90, après que la puissance du décodage itératif a été mise en évidence grâce à l'invention des Turbo-codes. Ce n'est qu'au début des années 2000 que les techniques nécessaires à l'analyse et l'optimisation des codes LDPC ont été développées, techniques qui ont permis ensuite la construction des codes avec des performances asymptotiques proches de la limite de Shannon. Cette remarquable avancée a motivé l'intérêt croissant de la communauté scientifique et soutenu le transfert rapide de cette technologie vers le secteur industriel. Plus récemment, un intérêt tout particulier a été porté aux codes LDPC définis sur des alphabets non-binaires, grâce notamment à leur meilleure capacité de correction en « longueur finie ». Bien que Gallager ait déjà proposé l'utilisation des alphabets non-binaires, en utilisant l'arithmétique modulaire, les codes LDPC non-binaires définis sur les corps finis n'ont étés étudiés qu'à partir de la fin des années 90. Il a été montré que ces codes offrent de meilleures performances que leurs équivalents binaires lorsque le bloc codé est de longueur faible à modérée, ou lorsque les symboles transmis sur le canal sont eux-mêmes des symboles non-binaires, comme par exemple dans le cas des modulations d'ordre supérieur ou des canaux à antennes multiples.Cependant, ce gain en performance implique un coût non négligeable en termes de complexité de décodage, quipeut entraver l'utilisation des codes LDPC non binaires dans des systèmes réels, surtout lorsque le prix à payer encomplexité est plus important que le gain en performance.Cette thèse traite de l'analyse et de la conception des codes LDPC non binaires pour des canaux à évanouissements. L'objectif principal de la thèse est de démontrer que, outre le gain en performance en termes de capacité de correction, l'emploi des codes LDPC non binaires peut apporter des bénéfices supplémentaires,qui peuvent compenser l'augmentation de la complexité du décodeur. La « flexibilité » et la « diversité »représentent les deux bénéfices qui seront démontrées dans cette thèse. La « flexibilité » est la capacité d'unsystème de codage de pouvoir s'adapter à des débits (rendements) variables tout en utilisant le même encodeuret le même décodeur. La « diversité » se rapporte à sa capacité d'exploiter pleinement l'hétérogénéité du canal de communication.La première contribution de cette thèse consiste à développer une méthode d'approximation de l'évolution de densité des codes LDPC non-binaires, basée sur la simulation Monte-Carlo d'un code « infini ». Nous montrons que la méthode proposée fournit des estimations très fines des performances asymptotiques des codes LDPCnon-binaires et rend possible l'optimisation de ces codes pour une large gamme d'applications et de modèles de canaux.La deuxième contribution de la thèse porte sur l'analyse et la conception de système de codage flexible,utilisant des techniques de poinçonnage. Nous montrons que les codes LDPC non binaires sont plus robustes au poinçonnage que les codes binaires, grâce au fait que les symboles non-binaires peuvent être partialement poinçonnés. Pour les codes réguliers, nous montrons que le poinçonnage des codes non-binaires obéit à des règles différentes, selon que l'on poinçonne des symboles de
Cette thèse porte sur l'analyse et le design de codes de canal définis par des graphes creux. Le but est de construire des codes ayant de très bonnes performances sur de larges plages de rapports signal à bruit lorsqu'ils sont décodés itérativement. Dans la première partie est introduite une nouvelle classe de codes LDPC, nommés code LDPC hybrides. L'analyse de cette classe pour des canaux symétriques sans mé- moire est réalisée, conduisant à l'optimisation des paramètres, pour le canal gaussien à entrée binaire. Les codes LDPC hybrides résultants ont non seulement de bonnes proprié- tés de convergence, mais également un plancher d'erreur très bas pour des longueurs de mot de code inférieures à trois mille bits, concurrençant ainsi les codes LDPC multi-edge. Les codes LDPC hybrides permettent donc de réaliser un compromis intéressant entre ré- gion de convergence et plancher d'erreur avec des techniques de codage non-binaires. La seconde partie de la thèse a été consacrée à étudier quel pourrait être l'apport de méthodes d'apprentissage artificiel pour le design de bons codes et de bons décodeurs itératifs, pour des petites tailles de mot de code. Nous avons d'abord cherché comment construire un code en enlevant des branches du graphe de Tanner d'un code mère, selon un algorithme d'apprentissage, dans le but d'optimiser la distance minimale. Nous nous sommes ensuite penchés sur le design d'un décodeur itératif par apprentissage artificiel, dans l'optique d'avoir de meilleurs résultats qu'avec le décodeur BP, qui devient sous- optimal dès qu'il y a des cycles dans le graphe du code. Dans la troisième partie de la thèse, nous nous sommes intéressés au décodage quan- tifié dans le même but que précédemment : trouver des règles de décodage capables de décoder des configurations d'erreur difficiles. Nous avons proposé une classe de déco- deurs utilisant deux bits de quantification pour les messages du décodeur. Nous avons prouvé des conditions suffisantes pour qu'un code LDPC, avec un poids de colonnes égal à quatre, et dont le plus petit cycle du graphe est de taille au moins six, corrige n'importe quel triplet d'erreurs. Ces conditions montrent que décoder avec cette règle à deux bits permet d'assurer une capacité de correction de trois erreurs pour des codes de rendements plus élevés qu'avec une règle de décodage à un bit.
Les codes binaires à matrices creuses (Low-Density Parity-Check, LDPC) et les turbo-codes ont une capacité s’approchant de la limite de Shannon pour des trames de grande taille. Cependant, ces codes ont le désavantage d’être moins efficaces pour les faibles tailles. De plus, l’association de codes binaires avec des modulations d’ordre élevé oblige à une étape de marginalisation pour passer d’un symbole aux fiabilités des bits associés à ce symbole. Ce calcul s’accompagne d’une perte d’information qui peut être récupérée par démodulation itérative au prix d’une plus grande complexité. Les codes LDPC définis sur des corps de Galois d’ordre q > 2 permettent de résoudre ces problèmes. Toutefois, lesdécodeurs optimaux associés ont une complexité très importante qui rend leur utilisation problématique.L’objectif de cette thèse est de valoriser les codes LDPC non binaires en proposant d’une part une architecture d’un décodeur à complexité réduite et en montrant d’autre part l’intérêt de les associer à des modulations d’ordre élevé. Dans la première partie de notre thèse, nous proposons de simplifier l’algorithme de décodage Extended Min-Sum (EMS) en considérant un nombre limité n_α << n_m des fiabilités intrinsèques lors de la mise à jour des messages par les nœuds de variable. Cette approche permet de réduire la taille de la mémoire dédiée au stockage des messages intrinsèques. De plus, pour améliorer l’effcacité des nœuds de parité nous proposons une variante simplifiée de l’algorithme L-Bubble Check et l’architecture associée. Enfin, nous montrons par l’intermédiaire d’un prototype sur une carte FPGA (Field Programmable Gate Array) que notre décodeur possède une faible complexité en le comparant avec un ancien décodeur EMS conçu par notre laboratoire de recherche dans le cadre du projet européen DAVINCI. Dans la deuxième partie, nous étudions l’association des codes LDPC non binaires avec une modulation par décalage cyclique de code (Cyclic Code-shift Keying, CCSK) de même ordre. Nous avons choisi cette modulation pour ses propriétés qui permettent de réduire la complexité du démodulateur. En effet, nous montrons qu’il est possible dans le cas d’un système de transmission mono-porteuse avec préfixe cyclique de fusionner le démodulateur et l’égaliseur dans un même bloc comportant une seule transformée de Fourier rapide et une seule transformée de Fourier rapide inverse. Les simulations montrent que ce système possède des performances comparables à un système de transmission multiporteuses de type OFDM (Orthogonal Frequency-Division Multiplexing). Elles montrent aussi que la modulation CCSK donne des performances meilleures que la modulation de Hadamard dans un canal en environnement intérieur sélectif en fréquence. Enfin, les simulations montrent que les codes LDPC non binaires sont nettement plus effcaces avec la modulation CCSK que les codes LDPC binaires même en considérant une démodulation itérative.
Cette thèse se consacre à l'étude de décodeurs itératifs, pour des codes correcteurd'erreurs binaires et non-binaires à faible densité (LDPC). Notre objectif est de modéliserdes décodeurs de complexité faibles et de faible latence tout en garantissantde bonne performances dans la région des très faibles taux d'erreur (error floor).Dans la première partie de cette thèse, nous étudions des décodeurs itératifssur des alphabets finis (Finite Alphabet iterative decoders, FAIDs) qui ont étérécemment proposés dans la littérature. En utilisant un grand nombre de décodeursFAIDs, nous proposons un nouvel algorithme de décodage qui améliore la capacité decorrections d'erreur des codes LDPC de degré dv = 3 sur canal binaire symétrique.La diversité des décodeurs permet de garantir une correction d'erreur minimale sousdécodage itératif, au-delà de la pseudo-distance des codes LDPC. Nous donnonsdans cette thèse un exemple detailé d'un ensemble de décodeur FAIDs, qui corrigetous les évènements d'erreur de poids inférieur ou égal à 7 avec un LDPC de petitetaille (N=155,K=64,Dmin=20). Cette approche permet de corriger des évènementsd'erreur que les décodeurs traditionnels (BP, min-sum) ne parviennent pas à corriger.Enfin, nous interprétons les décodeurs FAIDs comme des systèmes dynamiques etnous analysons les comportements de ces décodeurs sur des évènements d'erreur lesplus problématiques. En nous basant sur l'observation des trajectoires périodiquespour ces cas d'étude, nous proposons un algorithme qui combine la diversité dudécodage avec des sauts aléatoires dans l'espace d'état du décodeur itératif. Nousmontrons par simulations que cette technique permet de s'approcher des performancesd'un décodage optimal au sens du maximum de vraisemblance, et ce pourplusieurs codes.Dans la deuxième partie de cette thèse, nous proposons un nouvel algorithmede décodage à complexité réduite pour les codes LDPC non-binaires. Nous avonsappellé cet algorithme Trellis-Extended Min-Sum (T-EMS). En transformant le domainede message en un domaine appelée domaine delta, nous sommes capable dechoisir les déviations ligne par ligne par rapport à la configuration la plus fiable,tandis que les décodeurs habituels comme le décodeur EMS choisissent les déviationscolonne par colonne. Cette technique de sélection des déviations ligne parligne nous permet de réduire la complexité du décodage sans perte de performancepar rapport aux approches du type EMS. Nous proposons également d'ajouter une colonne supplémentaire à la représentation en treillis des messages, ce qui résoudle problème de latence des décodeurs existants. La colonne supplémentaire permetde calculer tous les messages extrinséque en parallèle, avec une implémentationmatérielle dédiée. Nous présentons dans ce manuscrit, aussi bien les architecturesmatérielles parallèle que les architectures matérielles série pour l'exécution de notrealgorithme T-EMS. L'analyse de la complexité montre que l'approche T-EMS estparticulièrement adapté pour les codes LDPC non-binaires sur des corps finis deGalois de petite et moyenne dimensions.
On sait depuis vingt ans maintenant qu'un ordinateur quantique permettrait de résoudre en temps polynomial plusieurs problèmes considérés comme difficiles dans le modèle classique de calcul, comme la factorisation ou le logarithme discret. Entre autres, un tel ordinateur mettrait à mal tous les systèmes de chiffrement à clé publique actuellement utilisés en pratique, mais sa réalisation se heurte, entre autres, aux phénomènes de décohérence qui viennent entacher l'état des qubits qui le constituent. Pour protéger ces qubits, on utilise des codes correcteurs quantiques, qui doivent non seulement être performants mais aussi munis d'un décodage très rapide, sous peine de voir s'accumuler les erreurs plus vite qu'on ne peut les corriger. Une solution très prometteuse est fournie par des équivalents quantiques des codes LDPC (Low Density Parity Check, à matrice de parité creuse). Ces codes classiques offrent beaucoup d'avantages : ils sont faciles à générer, rapides à décoder (grâce à un algorithme de décodage itératif) et performants. Mais leur version quantique se heurte (entre autres) à deux problèmes. On peut voir un code quantique comme une paire de codes classiques, dont les matrices de parité sont orthogonales entre elles. Le premier problème consiste alors à construire deux « bons » codes qui vérifient cette propriété. L'autre vient du décodage : chaque ligne de la matrice de parité d'un des codes fournit un mot de code de poids faible pour le second code. En réalité, dans un code quantique, les erreurs correspondantes sont bénignes et n'affectent pas le système, mais il est difficile d'en tenir compte avec l'algorithme de décodage itératif usuel. On étudie dans un premier temps une construction existante, basée sur un produit de deux codes classiques. Cette construction, qui possède de bonnes propriétés théoriques (dimension et distance minimale), s'est avérée décevante dans les performances pratiques, qui s'expliquent par la structure particulière du code produit. Nous proposons ensuite plusieurs variantes de cette construction, possédant potentiellement de bonnes propriétés de correction. Ensuite, on étudie des codes dits q-Aires~: ce type de construction, inspiré des codes classiques, consiste à agrandir un code LDPC existant en augmentant la taille de son alphabet. Cette construction, qui s'applique à n'importe quel code quantique 2-Régulier (c'est-À-Dire dont les matrices de parité possèdent exactement deux 1 par colonne), a donné de très bonnes performances dans le cas particulier du code torique. Ce code bien connu se décode usuellement très bien avec un algorithme spécifique, mais mal avec l'algorithme usuel de propagation de croyances. Enfin, un équivalent quantique des codes spatialement couplés est proposé. Cette idée vient également du monde classique, où elle améliore de façon spectaculaire les performances des codes LDPC : le décodage s'effectue en temps quasi-Linéaire et atteint, de manière prouvée, la capacité des canaux symétriques à entrées binaires. Si dans le cas quantique, la preuve éventuelle reste encore à faire, certaines constructions spatialement couplées ont abouti à d'excellentes performances, bien au-Delà de toutes les autres constructions de codes LDPC quantiques proposées jusqu'à présent.