Özet.Bu çalışmada bir spin-1/2 parçacıgın spin serbesti derecesi olarak bir kübiti (kuantum bit) ele alıyoruz.İki boyutlu düzlem ve kuzey kutbu çıkartılmış 2-küre topolojik olarak eşdeger olduklarından, iki boyutlu düzlemdeki hareket 2-küre üzerinde temsil edilebilir.Ters stereografik fonksiyonu kullanarak iki boyutlu düzlemi 2-küre üzerine aktarıyoruz.Öte yandan 2-küre, üzerindeki her noktanın bir kübiti temsil ettigi Bloch küresi olarak düşünülebildiginden, bir parçacıgın iki boyutlu düzlem üzerindeki zaman içindeki evrimi, buna karşılık gelen kübitin Bloch küresi üzerinde zaman içindeki evrimine karşılık gelir.Manyetik alanın spini döndürebilme özelligini kullanarak iki boyutlu bir düzlemdeki parçacıgın hareketinin tek bir kübit kullanılarak simüle edilmesini saglayacak zamana bagımlı manyetik alanın tam formunu veriyoruz.
Özet.Bu çalışmada bir spin-1/2 parçacıgın spin serbesti derecesi olarak bir kübiti (kuantum bit) ele alıyoruz.İki boyutlu düzlem ve kuzey kutbu çıkartılmış 2-küre topolojik olarak eşdeger olduklarından, iki boyutlu düzlemdeki hareket 2-küre üzerinde temsil edilebilir.Ters stereografik fonksiyonu kullanarak iki boyutlu düzlemi 2-küre üzerine aktarıyoruz.Öte yandan 2-küre, üzerindeki her noktanın bir kübiti temsil ettigi Bloch küresi olarak düşünülebildiginden, bir parçacıgın iki boyutlu düzlem üzerindeki zaman içindeki evrimi, buna karşılık gelen kübitin Bloch küresi üzerinde zaman içindeki evrimine karşılık gelir.Manyetik alanın spini döndürebilme özelligini kullanarak iki boyutlu bir düzlemdeki parçacıgın hareketinin tek bir kübit kullanılarak simüle edilmesini saglayacak zamana bagımlı manyetik alanın tam formunu veriyoruz.
Bu tezde, iki parçalı kuantum sistemleri için kuantum dolanıklığının geometrik tasviri incelenmiştir. Kuantum sistemlerine matris operatörü yaklaşımı ve sistemin saf (pure) veya karışık (mixed) olmasını belirleyen basit bir kriterin varlığı üzerinde yoğunlaştık. Yoğunluk matrisinin karesinin izinin (trace) birim değerden sapması, karışık durumun saf duruma olan uzaklığını karakterize etmektedir. Bu uzaklık, doğrusal entropi (linear entropy) rolünü oynamaktadır. Karışık durumun bu özelliğinin, concurrence (uyuşum) adı verilen pozitif bir sayı ile ifade edilebileceğini gösterdik. Saf durumlar için concurrence sıfır olurken, karışık durumlar için sıfırdan farklıdır. Daha sonra, yoğunluk matrisi karesinin izinin doğal geometrik bir tasviri olarak Frobenius normunu kullanarak, saf ve karışık durumların bu norm aracılığıyla geometrik yorumunu elde ettik. Saf durumların, yoğunluk matrisinin özdeğerleri uzayındaki birim yarıçaplı Frobenius küresine ait olduğu gösterilmiştir. Karışık durumlar ise Frobenius yuvarının (ball) içinde yer almaktadır. Bu noktalar üzerinde, normalizasyon hiperdüzleminden ve karışıklığın (mixedness) maksimum değerinden kaynaklanan kısıtlamalar bulduk. Karışık durumların bu geometrik tasvirini, iki parçalı kuantum durumlarının indirgenmiş yoğunluk matrisine (reduced density matrix) uyguladık. Eğer matris karışık bir durumu tanımlıyorsa, orijinal iki parçalı durumun dolanık (entangled) durum olduğu gösterilmiştir. Bu sayede, saf iki parçalı kuantum durumlarının dolanıklığını geometrik bir tablo ile karakterize edebildik. Böylece, ayrılabilir (separable) durumlar Frobenius küresi üzerindeki noktalarla karakterize edilirken, dolanık durumlar Frobenius yuvarının içinde yer alır. Açıklayıcı örnekler olarak hesaplamalarımızı, kübit-kütrit (qubit-qutrit) gibi belirli iki parçalı durumlara uyguladık. Kübit-kübit durumu için concurrence değerinin yalnızca katsayı matrisinin 2x2 determinantına eşit olduğu; daha genel durumlar için ise katsayı matrisinden elde edilen 2x2 minörlerin kareleri toplamına eşit olduğu gösterilmiştir. Ardından, concurrence formüllerini, yüksek boyutlardaki alanlar için geçerli olan Pisagor teoremine benzer bir biçimde yeniden formüle ettik.
Kuantum dolanıklıktaki eşanlı çöküş ve "yerel olmama" (non-locality) olgusu, klasik 4-boyutlu uzay-zaman sürekliliğinde rölativistik nedensellik açısından ontolojik bir gerilim yaratmaktadır [Einstein et al., 1935; Bell, 1964]. Bu çalışmada; dolanık parçacık sistemleri klasik Minkowski uzay-zamanda iki ayrışık nokta olarak değil, konfigürasyon uzayında iki eş tepe noktasına (çift tepeli) sahip tekil bir olasılık dalga paketi olarak yeniden tanımlanmıştır [Jabs, 2015]. Fiziksel uzay-zaman metriği, kuantum durumunun üzerine çöktüğü dinamik bir projeksiyon perdesi olarak ele alınmış [Van Raamsdonk, 2010; Maldacena & Susskind, 2013]; taşıyıcı dalganın faz hızı (𝑣𝑝=𝑐2/𝑣𝑔) üzerinden uzay-zamanın kuantum hızına verdiği geometrik tepki modellenmiştir [de Broglie, 1925]. Önceki durgun kütle kısıtlamaları aşılarak, model doğrudan rölativistik toplam kuantum enerjisi (𝐸) ve Stres-Enerji Tensörü (𝑇𝜇𝜈) üzerine oturtulmuş [Einstein, 1916; Misner et al., 1973]; kütleli (elektron vb.) ve kütlesiz (foton vb.) tüm kuantum sistemlerini kapsayan evrensel bir yapıya kavuşturulmuştur. Kovaryant enerji-momentum korunum şartının (𝛻𝜇𝑇eff𝜇𝜈=0) Lagrange çarpanları üzerinden kesin matematiksel ispatı sunulmuş; ayrıca modelin Planck enerjisi limitinde (𝐸≪𝐸𝑃) Standart Kuantum Mekaniği ile çelişmediğini kanıtlayan Karşılık Gelme İlkesi (Correspondence Principle) matematiksel olarak ispatlanmıştır [Bohr, 1920; Planck, 1899].
Bu çalışma kapsamında literatürde var olan tek kubit(kuantum bit) ışınlanma/telenakil (quantum teleportation) protokolünün çok kubit sistemlere genellenmesi incelenmiştir. Ardından, birden fazla hedefe telenakil olanakları tartışılarak, buna dair bir protokol önerilmiştir. Geliştirilen teorik çerçeve kapsamında, kubitler üzerinde değişiklik yapan kuantum mantık kapılarının da genellenmesi tartışılmıştır. Söz konusu kuantum mantık kapılarının genel versiyonları oluşturulmuş olup, literatürdeki özel durumlar için çalıştıkları gösterilmiştir. Işınlanmanın çok kubit-çok hedefe genellenmesi sonucu kurulan teorik çerçevede oluşan denklemlerin bir örüntü içerdiği belirlenmiş olup, bu örüntü aracılığı ile karmaşık tensör çarpımları ile tek tek uğraşmaksızın da protokolün gerçekleştirilebileceği bir yol önerilmiştir. Çalışma kapsamında çok kubit - tek hedef, çok kubit – çok hedef protokollerine yönelik Python bilgisayar programları oluşturulmuştur. Oluşturulan programların, sunulan teorik çerçevenin ön gördüğü sonuçları başarılı bir şekilde ürettiği gözlenmiştir. Bu programlar aracılığı ile, uzun ve hata yapma olasılığı yüksek matematiksel işlemlerin kısa sürede ve hatasız yapılabilmesinin olanağı yaratılmıştır. Oluşturulan program sonuçları aynı zamanda, yukarıda bahsedilen örüntünün varlığını kanıtlamaktadır.
Bu tezde simetri kavramı vurgulanmış ve grup teorisi metodu yardımıyla bazı özel Lie grupları ile bağlantılı kuantum sistemler incelenmiştir. Tezin ilk bölümünde, simetri kavramı, Lie grupları ve bu gruplar ile ilişkili bazı kuantum sistemler hakkında ön bilgi verilmiştir. İkinci bölümde, SL(2, R) Lie grubunun homojen uzayında Gram ve genelleştirilmiş Cartan ayrışımları kullanılarak Laplace-Beltrami operatörleri elde edilmiştir. Bu Laplace-Beltrami operatörleri yardımıyla elde edilen kuantum sistemler verilmiş ve bu sistemlerin bağlı ve saçılma durumları elde edilmiştir. Bağlı durumlara karşılık gelen analitik çözümlerin grafikleri verilmiştir. Üçüncü bölümde, SO(3, 2) Lie grubunun SO(3, 2)/SO(3, 1) simetrik uzayının küresel ve horiküresel koordinatlardaki parametrizasyonları kullanılarak Casimir operatörleri elde edilmiştir. Bu Casimir operatörler yardımıyla elde edilen kuantum sistemler verilmiş ve sistemlerin analitik çözümleri elde edilmiştir. Dördüncü bölümde, SU(3) Lie grubu ile ilişkili bir kuantum kontrol problemi ele alınmıştır. Bir simetri indirgeme tekniği geliştirilerek G = S grubu yardımıyla ilgili problem, boyutu or?inal durum uzayının boyutunun yarısı olan bir reel uzayda tanımlı bir probleme indirgenmiştir. Çözümün nümerik olarak hesaplanması için bir yöntem sunulmuş ve yöntem bir örnekle desteklenmiştir.
ÖZET KUANTUM SP˙IN S˙ISTEMLER˙INDE DOLA ¸SIKLIK VE KUANTUM TELEPORTASYON Ferid AKBA ¸S Yüksek Lisans Tezi, Fizik Anabilim Dalı Tez Danı¸smanı: Dr. Ögr. Üyesi Cenk AKYÜZ ˘ 2019, 103 sayfa Kuantum enformasyon teorisinin önemli bir özelligi olan kuantum dola¸sıklık ˘ oldukça geni¸s bir uygulama alanına sahiptir. Sistemin dola¸sık olma özelligi˘ kullanılarak bilginin teleportasyonu günümüzde hem teorik hem de deneysel olarak çalı¸sılan önemli konulardan biri olmu¸stur. Heisenberg spin sistemleri de dola¸sıklıgın olu¸sturulmasında ve bu dola¸sık sistemlerin bir kuantum kanalı olarak ˘ kullanılıp, teleportasyonun gerçekle¸stirilmesinde ara¸stırılması gereken bir önem ta¸sır. Bu motivasyondan hareketle tezimizde öncelikle dört kubitten olu¸san J1 −J2 Heisenberg XXX sistemi kullanılarak, bu sistemin hem en yakın kom¸su hem de ikinci en yakın kom¸su kubitleri arasındaki dola¸sık kuantum kanalları aracılıgıyla, ˘ dola¸sık bir kuantum durumunun teleportasyonunu inceledik. Sonrasında ise aynı incelemeleri dört spinden olu¸san spin( 1 2 ,1) karma spin J1 − J2 Heisenberg XXX sistemi için gerçekle¸stirdik. Sisteme ekledigimiz ˘ Dx ve Dz gibi DM etkile¸smeleri ve Bz manyetik alanı gibi parametrelerle teleportasyonun en etkin ¸sekilde gerçekle¸stirilebilmesi için olası durumları belirlemeye çalı¸stık. Elde edilen sonuçlardan genelde ikinci en yakın kom¸su kubitler arasındaki kuantum kanalı kullanılarak yapılan teleportasyonun daha iyi oldugu görülmü¸stür. Dört ˘ kubitlik sistem için Dx parametresinin Dz’ye göre dü¸sük sıcaklıklarda teleportasyon üzerinde daha etkin oldugu anla¸sılırken hem dört kubitlik hem de karma spin ˘ sistemlerinde dü¸sük manyetik alan degerleri için dü¸sük olmayan belli sıcaklıklara ˘ kadar iyi teleportasyon sonuçlarına ula¸sılmı¸stır.
Bu tez çalışmasında ilk olarak, kuantum özdeş parçacık sistemlerinden olan fermiyonların genel kuantum mekaniksel özellikleri ele alınmıştır. Daha sonra, ideal Fermi gazının iki ve üç-boyutlu uzaylarda genel termodinamik ve istatistiksel özellikleri incelenmiştir. \nİkinci olarak, özel bir deforme Fermi sistemini oluşturan VPJC-tipli q-deforme fermiyon gaz modelinin kuantum cebirsel özelliklerinin yanı sıra, modele ait fermiyonik Jackson türev operatörünün bazı matematiksel fonksiyonlara etkileri de çalışılmıştır. \nTez çalışmasının ilk özgün kısmı olarak; üç-boyutlu uzayda, VPJC-tipli q-deforme fermiyon gaz modelinin düşük sıcaklıklardaki istatistiksel mekanik davranışı üzerine yoğunlaşılmıştır. Özel olarak, modelin deforme kimyasal potansiyeli ve deforme ısı kapasitesinin hem sıcaklık ile hem de 0 < q < 1 aralığında tanımlı deformasyon parametresi q ile değişimleri incelenmiştir. VPJC-fermiyon gaz modelinin fiziksel bir uygulaması olarak deforme ısı kapasitesi fonksiyonu; Niobyum, Demir ve Kurşun metallerinin elektronik ısı kapasitelerinin sıcaklıkla değişimlerinin incelenmesine uygulanmıştır. \nTez çalışmasının diğer bir özgün kısmında ise, VPJC-fermiyon gaz modelinin iki-boyutlu uzayda termodinamik ve istatistiksel özellikleri incelenmiştir. Yine iki-boyutta, modelin hal denkleminin virial açılımı yapılarak, ilk beş deforme virial katsayısı bulunmuştur. \nSonuç olarak, VPJC-fermiyon gaz modelinin deformasyon parametresi q’nun termodinamik ve istatistiksel fonksiyonlara etkileri araştırılmıştır. Bulunan sonuçların, ideal Fermi gazının istatistiksel mekanik sonuçlarıyla kıyaslamaları yapılmıştır. Özellikle düşük sıcaklıklarda, VPJC-tipli q-deforme fermiyon gaz modelinden elde edilen ısı kapasitesi faktörü olan q-deforme Sommerfeld parametresinin incelenen metaller için deneysel sonuçlarla, serbest-elektron teorisi sonuçlarından daha uyumlu olduğu gösterilmiştir. Son olarak, VPJC-fermiyon gaz modelinin diğer muhtemel uygulama alanlarının neler olabileceği tartışılmıştır.