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CIENCIA EN DESARROLLO

Mecánica Cuántica en las Representaciones de Coordenadas y Momento a Través Tres Problemas Sencillos

E. J. Bolaños, Diana Carolina Velandia Suescun, D.A. Rasero

Published Jan 8, 2021• 0 citations
Publisher

Abstract

En este trabajo presentamos la solución de la ecuación de Schrödinger estacionaria en la representaciónde coordenadas y de momento para tres problemas sencillos: el potencial lineal, el oscilador armónicoy el potencial tipo delta de Dirac. Verificamos a través del cálculo explícito que las funciones de ondaobtenidas en cada representación están conectadas a través de la transformada de Fourier, mostrando queambas soluciones constituyen dos representaciones complementarias del mismo estado cuántico. Desde unpunto de vista pedagógico esto muestra que ambas soluciones contienen información de igual valor teóricoy constituyen dos representaciones complementarias.

DOI
10.19053/01217488.v12.n1.2021.11589

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Se formalizo la teoria de los estados coherentes y comprimidos del oscilador armonico mediante los operadores de Weyl (relacionado con el grupo de Heisenberg – Weyl 1 ) y el operador de compresion (relacionado con el grupo de Lie no compacto 2,1 ). Las propiedades de estos estados de la optica cuantica se obtienen aplicando la mecanica cuantica y la teoria de grupos, dando asi un tratamiento intermedio entre la optica cuantica y el formalismo matematico de la teoria de grupos. Se encontro para estos grupos 1 y 2,1 una representacion en terminos de los operadores de ascenso y descenso y del oscilador armonico. Se desarrollo un metodo, basado en la propiedad de traslacion del operador de Weyl y su analogo para el operador de compresion , para calcular algunas de las propiedades de los estados coherentes y comprimidos, verificandose que los estados coherentes son estados de minima incertidumbre en el tiempo de acuerdo a la desigualdad de incertidumbre de Heisenberg, y los estados comprimidos son de minima incertidumbre de acuerdo a la desigualdad generalizada de Schrodinger. Se calcularon las correlaciones cuanticas dependientes y no dependientes del tiempo de los operadores no dependientes y dependientes del tiempo, de posicion y de momento de los estados coherentes y comprimidos. Se demuestra que los estados coherentes no estan correlacionados, mientras que los estados comprimidos si lo estan. Comparamos el producto de las dispersiones dependientes y no dependientes del tiempo de los estados coherentes y de los estados comprimidos. Se encontro que estos difieren en un termino adicional que aparece en los estados comprimidos, el cual se atribuyo a la correlacion cuantica de estos. Se generalizan los resultados obtenidos para los estados coherentes y comprimidos al estudiar los estados coherentes y comprimidos del oscilador armonico, utilizando el metodo desarrollado en el tratamiento de los estados coherentes y comprimidos. Se demuestra que los estados coherentes y comprimidos de numero tambien son de minima incertidumbre en el tiempo, nuevamente de acuerdo a las desigualdades de Heisenberg y Schrodinger, respectivamente.

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An´alisis del comportamiento de un potencial lineal al solucionar la ecuaci´on de Schr¨odinger.

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•Jul 10, 2024•0 citations
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En este articulo se analiza y resuelve laecuacion de Schrodinger independiente deltiempo o en estado estacionario para una particulaen una caja unidimensional de potencialcero. Para este proposito se definen conceptosy postulados cuanticos como la funcion deonda y los requisitos matematicos que debecumplir como el de ser funcion continua, univaluada(un solo valor f(x) para cada valor dex) y diferenciable (derivable). Se describen alos operadores cuanticos: como el operadorde posicion, operador derivada, operador delmomento lineal clasico y cuantico, operadorenergia potencial y el operador Hamiltoniano.Se obtienen valores propios o eigenvalores.Se normalizan funciones aplicando metodosdel calculo integral y se establece la ecuacionde Schrodinger para una dimension y tres dimensiones.La solucion da a una funcion de onda real que matematicamente es una funciontrigonometrica seno. Se encuentra quela energia de la particula esta cuantizada olimitada a valores discretos.
Las barreras y pozos de potencial cuánticos tienen múltiples aplicaciones para representar sistemas a escalas atómicas como semiconductores, materiales ópticos o enlaces químicos. Si bien estos sistemas se pueden resolver con la ecuación de Schrödinger de manera exacta o con aproximaciones numéricas y matemáticas, sus metodologías resultan ser complejas, poco intuitivas y muy particulares para cada caso que resulta difícil generalizarlo a otras formas de potencial. Para ello, se empleó el formalismo de espacio de fases para resolver la TISE en sistemas de pozos y barreras rectangulares 1D. Se encontró que la función de onda Ψ se puede obtener mediante transformaciones lineales de figuras geométricas (elipses o rectas) que dan a los estados cuánticos. Para el caso de la barrer, se obtuvo que la transmitancia se puede representar como una razón de integrales de superficie de las elipses. Para el caso del pozo, se encontró que los estados ligados están dados por una ecuación trascendental, cuya derivada da como resultado una ecuación diferencial. Se concluyó que los casos de barreras y pozos de potencial se pueden analizar como un mismo sistema y que los estados ligados y los estados resonantes corresponden al mismo estado conectado.
Se formalizo la teoria de los estados coherentes y comprimidos del oscilador armonico mediante los operadores de Weyl (relacionado con el grupo de Heisenberg – Weyl 1 ) y el operador de compresion (relacionado con el grupo de Lie no compacto 2,1 ). Las propiedades de estos estados de la optica cuantica se obtienen aplicando la mecanica cuantica y la teoria de grupos, dando asi un tratamiento intermedio entre la optica cuantica y el formalismo matematico de la teoria de grupos. Se encontro para estos grupos 1 y 2,1 una representacion en terminos de los operadores de ascenso y descenso y del oscilador armonico. Se desarrollo un metodo, basado en la propiedad de traslacion del operador de Weyl y su analogo para el operador de compresion , para calcular algunas de las propiedades de los estados coherentes y comprimidos, verificandose que los estados coherentes son estados de minima incertidumbre en el tiempo de acuerdo a la desigualdad de incertidumbre de Heisenberg, y los estados comprimidos son de minima incertidumbre de acuerdo a la desigualdad generalizada de Schrodinger. Se calcularon las correlaciones cuanticas dependientes y no dependientes del tiempo de los operadores no dependientes y dependientes del tiempo, de posicion y de momento de los estados coherentes y comprimidos. Se demuestra que los estados coherentes no estan correlacionados, mientras que los estados comprimidos si lo estan. Comparamos el producto de las dispersiones dependientes y no dependientes del tiempo de los estados coherentes y de los estados comprimidos. Se encontro que estos difieren en un termino adicional que aparece en los estados comprimidos, el cual se atribuyo a la correlacion cuantica de estos. Se generalizan los resultados obtenidos para los estados coherentes y comprimidos al estudiar los estados coherentes y comprimidos del oscilador armonico, utilizando el metodo desarrollado en el tratamiento de los estados coherentes y comprimidos. Se demuestra que los estados coherentes y comprimidos de numero tambien son de minima incertidumbre en el tiempo, nuevamente de acuerdo a las desigualdades de Heisenberg y Schrodinger, respectivamente.
En el presente artículo hallamos la solución de la ecuación de Schrodinger para un potencial lineal. La solución encontrada por medio del método de separación de variables da como resultado la superposición de funciones de Bessel de orden 1/3; lo interesante es la simplicidad con que es resuelto el problema académico, el cual puede ser relacionado con diferentes modelos de potenciales lineales como el gravitacional y el efecto Stark. Finalmente se gráfica el cuadrado del valor absoluto de la función de onda encontrada.
La tesis se divide en siete capitulos. El primer capitulo es introductorio y en el se explica como, a partir de la solucion de la ecuacion de Schrodinger dependiente del tiempo unidimensional (ESDT1D), se ha calculado numericamente la funcion de onda en la representacion de posiciones, en la representacion de momentos y en el espacio de las fases cuantico utilizando la distribucion de Wigner y la distribucion de Husimi. A partir de la ESDT1D y de la formulacion de Madelung-de Broglie-Bohm (MdBB) de la Mecanica Cuantica, se explica tambien como se ha calculado numericamente el Potencial Total (PT), la accion cuantica y las trayectorias cuanticas. Este primer capitulo muestra tambien la importancia de estudiar los sistemas cuanticos en las distintas representaciones. Como los procesos estudiados pertenecen a ladinamica cuantica, el tiempo es un factor determinante a lahora de comprender los procesos cuanticos por lo que tambien se ha incluido su definicion dentro de este capitulo. Finalmente en la introduccion se muestra una aplicacion al estudio del efecto tunel y del efecto Hartman utilizando las herramientas numericas desarrolladas. El capitulo dos esta dedicado al estudio de las resonancias en una doble barrera de potencial cualdrada, utilizando el PT de manera analoga a los diagramas de energia potencial utilizados en mecanica clasica y la representacion de posiciones. En este capitulo se demuestra que las resonancias se manifiestan como una radiacion hacia atra en el PT y que el efecto tunel y el antitunel son los mecanismos responsables de que esto suceda. En el capitulo tres, se muestra la influencia que tiene en la transmision cuantica la distancia entre el paquete gaussiano inicial y la barrera, para ciertas condiciones iniciales del problema. La transmision cuantica aumenta tanto mas cerca se encuentran el paquete gaussiano inicial y la barrera clasica. El capitulo cuatro se centra en el calculo de las trayectorias cuanticas utilizando un algoritmo sencillo desarrollado en nuestro grupo. Se muestra ademas una aplicacion a una barrera de potencial cuadrada. El capitulo cinco se dedica al estudio del efecto Hartman utilizando la representacion de posiciones y la representacion de momentos. En el capitulo se muestra que la barrera de potencial cuadrada actua como filtro de los momentos bajos del paquete gaussiano. El capitulo seis esta dedicado al estudio del origen de las resonancias en una colision de un paquete gaussiano con una barrera de potencial clasica. En el estudio se demuestra que el origen de las oscilaciones en el PT esta en la pendiente de la barrera de potencial clasica. El ultimo capitulo muestra como se ha calculado la dinamica cuantica en el espacio de las fases cuantico utilizando la funcion de distribucion de Wigner y la de Husimi. Estas funciones de distribucion permitiran estudiar la dinamica cuantica al estilo clasico utilizando el espacio de fases cuantico y el PT.
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