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Progress of Theoretical Physics

Specific Heat of a Quantum Spin Chain of an Easy-Plane Type under an In-Plane Magnetic Field--Ferromagnetic Chain with S=1

Toshio Tsuzuki

Published Mar 1, 1985• 0 citations
OpenAlex

Abstract

Calcul de la chaleur massique en fonction de la temperature et du champ magnetique dans le cas d'une forte anisotropie d'ion isole. On utilise une approximation de produit de paires pour la matrice densite. Une expression de l'integrale de transfert de la fonction de partition est formulee au moyen de l'etat coherent de spin

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Dans ce mémoire d'habilitation je présente mes travaux recents sur les chaînes de spin quantiques. Les chaînes de spin constituent l'exemple le plus fondamental de modèles intégrables quantiques. Ces modèles ont plusieurs applications directes en théorie de la matière condensée, en physique statistique, en optique quantique, en théorie des champs et même en théorie des cordes mais ils sont aussi très importants car ils donnent une possibilité unique de traiter de manière exacte des phénomènes non perturbatifs inaccessibles par les autres moyens. Dans ce cadre le problème central de la théorie moderne des systèmes intégrables concerne le calcul explicite des fonctions de corrélation et des facteurs de forme et leur analyse asymptotique. La méthode présentée dans ce mémoire est basée sur l'ansatz de Bethe algébrique. Je montre comment cette méthode peut être utilisée pour le calcul des fonctions de corrélation à température nulle de la chaîne de spin 1/2 de Heisenberg. Le point principal de cette approche est la solution du problème inverse quantique obtenue pour la chaîne de spin 1/2 XXZ. Cette solution ainsi qu'une formule simple pour les produits scalaires des états de Bethe nous a permit d'obtenir les fonctions de corrélation les plus fondamentales ("les blocs élémentaires") sous forme d'intégrales multiples. Ces représentations sous forme d'intégrales multiples permettent de faire un analyse asymptotique pour quelques quantités physiques (probabilité de formation du vide) et même, dans certains cas particuliers, de les calculer d'une manière exacte. Il est possible d'obtenir à partir de ces représentations des résultats pour les fonctions à deux points, c'est à dire les fonctions de corrélation les plus importantes pour les applications. Un lien est établi entre ces intégrales multiples et les sommes de facteurs de forme. Ce résultat est généralisé aux fonctions de corrélation dynamiques. Je présente aussi dans ce mémoire les généralisations de cette méthode aux chaînes de spin supérieur à 1/2 et aux chaînes de spin à bords ouverts.

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Specific Heat of a Quantum Spin Chain of an Easy-Plane Type under an In-Plane Magnetic Field

Toshio Tsuzuki

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Progress of Theoretical Physics Supplement•Jan 1, 1984•3 citations
Calcul de la chaleur massique en fonction de la temperature et du champ magnetique dans le cas d'une forte anisotropie d'ion isole. On utilise une approximation de produit de paires pour la matrice densite. Une expression de l'integrale de transfert de la fonction de partition est formulee au moyen de l'etat coherent de spin
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Recouvrements d'états après une trempe quantique au bord dans la chaîne de spins XXZ intégrable L'objectif de cette thèse est de proposer une approche analytique exacte pour le calcul des recouvrements entre les états propres de la chaîne XXZ ouverte avant et après une trempe quantique au bord, c'est-à-dire un changement brusque de l'un des champs magnétiques appliqués aux bords. Ces recouvrements d'états constituent un élément fondamental pour la description de la dynamique hors équilibre des systèmes quantiques et jouent un rôle crucial dans la compréhension de leur évolution après une trempe quantique. Nous considérons plus particulièrement la chaîne de spins 1/2 XXZ avec des conditions aux limites ouvertes et des champs magnétiques aux bords longitudinaux, dans le régime antiferromagnétique massif. Il s'agit de l'un des modèles intégrables les plus simples présentant des conditions aux limites non périodiques. Ce système peut être interprété comme une chaîne quantique interagissant avec son environnement à travers des degrés de liberté situés aux bords.La méthode de diffusion inverse quantique (Quantum Inverse Scattering Method, QISM) et l'Ansatz de Bethe algébrique (ABA) constituent un cadre théorique puissant pour l'étude de telles quantités. Le but de notre analyse est de calculer, dans ce formalisme, des expressions exactes des recouvrements d'états dans la limite thermodynamique. En utilisant la formule de Slavnov exprimant les produits scalaires d'états de Bethe sous forme de déterminant, nous obtenons d'abord une représentation sous forme de déterminant des recouvrements entre états propres avant et après la trempe quantique. En appliquant ce que nous appelons la méthode d'extraction de Gaudin, nous montrons qu'il est possible d'extraire de ce rapport de déterminants une structure de type déterminant de Cauchy, adaptée pour l'analyse thermodynamique. Nous montrons que, lorsque l'on reste dans le régime massif, le recouvrement entre les états fondamentaux (pour lesquels la configuration de racines de Bethe ne contient aucun trou) avant et après la trempe peut être écrit sous une forme de produit, valide à des corrections exponentiellement petites en fonction de la taille du système. Cela nous permet d'obtenir une expression analytique et exacte du recouvrement dans la limite de taille infinie, dépendant uniquement des paramètres physiques du modèle: l'anisotropie de la chaîne et les champs magnétiques de bord. Cette formule est ensuite vérifiée par comparaison directe avec des résultats de diagonalisation numérique. Nous étendons ensuite cette analyse à une classe plus large d'états (fondamentaux ou excités) caractérisés par la présence d'un nombre fini de trous dans leur distribution de racines de Bethe. Nous montrons que la méthode d'extraction de Gaudin conduit de nouveau à une structure de type Cauchy, perturbée cette fois par une matrice de rang égal au nombre de trous. Dans ce cas, le recouvrement se factorise en un préfacteur, de forme produit, similaire à celui de l'état fondamental, multiplié par un déterminant de taille égale au nombre de trous n. Dans la limite thermodynamique, nous obtenons une expression explicite du recouvrement dépendant de l'anisotropie, des champs magnétiques de bord et des positions des trous. Les résultats présentés dans cette thèse ouvrent la voie à une étude analytique plus générale des trempes quantiques locales au bord dans les systèmes quantiques intégrables à l'aide des techniques de l'Ansatz de Bethe algébrique.
L'objectif de cette thèse est de proposer une approche analytique exacte pour le calcul des recouvrements entre les états propres de la chaîne XXZ ouverte avant et après une trempe quantique au bord, c'est-à-dire un changement brusque de l'un des champs magnétiques appliqués aux bords. Ces recouvrements d'états constituent un élément fondamental pour la description de la dynamique hors équilibre des systèmes quantiques et jouent un rôle crucial dans la compréhension de leur évolution après une trempe quantique. Nous considérons plus particulièrement la chaîne de spins 1/2 XXZ avec des conditions aux limites ouvertes et des champs magnétiques aux bords longitudinaux, dans le régime antiferromagnétique massif. Il s'agit de l'un des modèles intégrables les plus simples présentant des conditions aux limites non périodiques. Ce système peut être interprété comme une chaîne quantique interagissant avec son environnement à travers des degrés de liberté situés aux bords.La méthode de diffusion inverse quantique (Quantum Inverse Scattering Method, QISM) et l'Ansatz de Bethe algébrique (ABA) constituent un cadre théorique puissant pour l'étude de telles quantités. Le but de notre analyse est de calculer, dans ce formalisme, des expressions exactes des recouvrements d'états dans la limite thermodynamique. En utilisant la formule de Slavnov exprimant les produits scalaires d'états de Bethe sous forme de déterminant, nous obtenons d'abord une représentation sous forme de déterminant des recouvrements entre états propres avant et après la trempe quantique. En appliquant ce que nous appelons la méthode d'extraction de Gaudin, nous montrons qu'il est possible d'extraire de ce rapport de déterminants une structure de type déterminant de Cauchy, adaptée pour l'analyse thermodynamique. Nous montrons que, lorsque l'on reste dans le régime massif, le recouvrement entre les états fondamentaux (pour lesquels la configuration de racines de Bethe ne contient aucun trou) avant et après la trempe peut être écrit sous une forme de produit, valide à des corrections exponentiellement petites en fonction de la taille du système. Cela nous permet d'obtenir une expression analytique et exacte du recouvrement dans la limite de taille infinie, dépendant uniquement des paramètres physiques du modèle: l'anisotropie de la chaîne et les champs magnétiques de bord. Cette formule est ensuite vérifiée par comparaison directe avec des résultats de diagonalisation numérique. Nous étendons ensuite cette analyse à une classe plus large d'états (fondamentaux ou excités) caractérisés par la présence d'un nombre fini de trous dans leur distribution de racines de Bethe. Nous montrons que la méthode d'extraction de Gaudin conduit de nouveau à une structure de type Cauchy, perturbée cette fois par une matrice de rang égal au nombre de trous. Dans ce cas, le recouvrement se factorise en un préfacteur, de forme produit, similaire à celui de l'état fondamental, multiplié par un déterminant de taille égale au nombre de trous n. Dans la limite thermodynamique, nous obtenons une expression explicite du recouvrement dépendant de l'anisotropie, des champs magnétiques de bord et des positions des trous. Les résultats présentés dans cette thèse ouvrent la voie à une étude analytique plus générale des trempes quantiques locales au bord dans les systèmes quantiques intégrables à l'aide des techniques de l'Ansatz de Bethe algébrique.
Quantum statistical mechanics is developed for an easy-plane ferromagnetic chain under an in-plane magnetic field. A pair product approximation is made for the density matrix. A transfer integral expression for the partition function is formulated by the use of the coherent state of spin. Specific heat is computed as a function of temperature and magnetic field for the case of strong single-ion anisotropy. From our qualitative study it is suggested that, beyond the sine-Gordon approximation, simultaneous consideration of the quantum effect and the instability against the off-plane fluctuation (the Kumar-Magyari-Thomas instability) is necessary to explain specific heat, in particular, and thermodynamic quantities, in general, of the present system.