Η παρούσα διατριβή μελετάει τις θεμελιώδεις πτυχές της δυναμικής του ανισοτροπικού μονοδιαστάτου μοντέλου Heisenberg. Συγκεκριμένα, μελετάμε την σκέδαση των spinons από τοπικά δυναμικά αποσκοπώντας στην κατανόηση σε μικροσκοπικό επίπεδο των διαδικασιών σκέδασης από ατέλειες, φωνόνια και φράγματα δυναμικού, η οποία είναι ουσίωδης στην εκτός ισορροπίας μελέτη της μεταφοράς σπιν. Επιπλέον, μελετάμε το θεμελιώδες ερώτημα "Πως μια τοπολογική διέγερση πόλλων σωματιδίων σκεδάζεται από δυναμικά;". Το παρόν ερώτημα είναι σημαντικό για μια πληθώρα από συστήματα με τοπολογικές διεγέρσεις πολλών σωματιδίων, έχοντας τόσο θεωρητικό άλλα και πειραματικό ενδιαφέρον. Επιπρόσθετα, μελετάμε την θερμοδυναμική του προαναφερθέντος συστήματος όπου κοιτάμε τις διεγέρσεις χαμηλής ενέργειας, αποτελούμενες από string διεγέρσεις, βρίσκοντας απλές εκφράσεις με την βοήθεια των dressed ορμών. Επαναδιατυπώνοντας τις εκφράσεις της ειδικής θερμότητας και της μαγνητικής επιδεικτικότητας τονίζουμε ότι σε αντιθέση με τις προσεγγίσεις θεωριών πεδίου εντελώς διαφορετικές string διεγέρσεις συνεισφέρουν στη δυναμική και τη θερμοδυναμική του συστήματος. Εν συνεχεία, μελετάμε τις συναρτήσεις εξισορρόπησης όπου πρόσφατα προτάθηκε μια ενδιαφέρουσα προέκταση του ΤΒΑ για χωροχρονικά εξαρτώμενες πυκνότητες υπό την ονομασία γενικευμένη υδροδυναμική (GHD). Χρησιμοποιώντας την GHD σε γραμμική προσέγγιση, αναλύουμε την εξισορρόπηση ενός κυματανύσματος που εξαρτάται από θερμικά/μαγνητικά προφίλ. Σαν υποπροϊόν αυτής της έρευνας, εξάγουμε τα Drude weights ως ολοκληρώματα ως προς την συχνότητα της φασματική συνάρτησης για το υπό μελέτη κυματανύσμα. Η συγκεκριμένη μελέτη παρέχει το θεωρητικό υπόβαθρο σε καινοτόμα πειράματα πάνω σε μονοδιάστατους μαγνήτες, για παράδειγμα πάνω στη δυναμική μεταφορά θερμότητας και σε πειράματα φασματοσκοπίας, που ελέγχουν την εξισορρόπηση των μαγνητικών/θερμικών δυναμικών προφίλ.
Η παρούσα διατριβή μελετάει τις θεμελιώδεις πτυχές της δυναμικής του ανισοτροπικού μονοδιαστάτου μοντέλου Heisenberg. Συγκεκριμένα, μελετάμε την σκέδαση των spinons από τοπικά δυναμικά αποσκοπώντας στην κατανόηση σε μικροσκοπικό επίπεδο των διαδικασιών σκέδασης από ατέλειες, φωνόνια και φράγματα δυναμικού, η οποία είναι ουσίωδης στην εκτός ισορροπίας μελέτη της μεταφοράς σπιν. Επιπλέον, μελετάμε το θεμελιώδες ερώτημα "Πως μια τοπολογική διέγερση πόλλων σωματιδίων σκεδάζεται από δυναμικά;". Το παρόν ερώτημα είναι σημαντικό για μια πληθώρα από συστήματα με τοπολογικές διεγέρσεις πολλών σωματιδίων, έχοντας τόσο θεωρητικό άλλα και πειραματικό ενδιαφέρον. Επιπρόσθετα, μελετάμε την θερμοδυναμική του προαναφερθέντος συστήματος όπου κοιτάμε τις διεγέρσεις χαμηλής ενέργειας, αποτελούμενες από string διεγέρσεις, βρίσκοντας απλές εκφράσεις με την βοήθεια των dressed ορμών. Επαναδιατυπώνοντας τις εκφράσεις της ειδικής θερμότητας και της μαγνητικής επιδεικτικότητας τονίζουμε ότι σε αντιθέση με τις προσεγγίσεις θεωριών πεδίου εντελώς διαφορετικές string διεγέρσεις συνεισφέρουν στη δυναμική και τη θερμοδυναμική του συστήματος. Εν συνεχεία, μελετάμε τις συναρτήσεις εξισορρόπησης όπου πρόσφατα προτάθηκε μια ενδιαφέρουσα προέκταση του ΤΒΑ για χωροχρονικά εξαρτώμενες πυκνότητες υπό την ονομασία γενικευμένη υδροδυναμική (GHD). Χρησιμοποιώντας την GHD σε γραμμική προσέγγιση, αναλύουμε την εξισορρόπηση ενός κυματανύσματος που εξαρτάται από θερμικά/μαγνητικά προφίλ. Σαν υποπροϊόν αυτής της έρευνας, εξάγουμε τα Drude weights ως ολοκληρώματα ως προς την συχνότητα της φασματική συνάρτησης για το υπό μελέτη κυματανύσμα. Η συγκεκριμένη μελέτη παρέχει το θεωρητικό υπόβαθρο σε καινοτόμα πειράματα πάνω σε μονοδιάστατους μαγνήτες, για παράδειγμα πάνω στη δυναμική μεταφορά θερμότητας και σε πειράματα φασματοσκοπίας, που ελέγχουν την εξισορρόπηση των μαγνητικών/θερμικών δυναμικών προφίλ.
Ο σκοπός αυτής της διατριβής, είναι η κβαντική–οπτική περιγραφή της αλληλεπίδρασης ισχυρού πεδίου λέϊζερ–ατόμου. Χρησιμοποιώντας μία πλήρη κβαντομηχανική προσέγγιση (πιο συγκεκριμένα, θεωρώντας σύμφωνη κατάσταση για το πεδίο του λεϊζερ) για την περιγραφή των αρμονικών υψηλής τάξης, παραγώμενες από την αλληλεπίδραση ενός ισχυρού υπέρυθρου πεδίου λεϊζερ με άτομα, καταγράψαμε το φάσμα των αρμονικών χωρίς τη χρήση συμβατικού φασματόμετρου ακραίας υπεριώδους φασματικής περιοχής. Αυτό επιτεύχθηκε, με τη χρήση στατιστικής φωτονίων στην κατάσταση του υπέρυθρου φωτός που εξέρχεται από το αέριο μέσο. Βρέθηκε ότι η ακτινοβολία έχει μια ξεχωριστή μη–κλασσική συμπεριφορά, καθώς η κατανομή φωτονίων αποτελείται από μία σειρά καλά καθορισμένων κορυφών, οι οποίες αντιστοιχούν στο φάσμα των αρμονικών υψηλής τάξης. Αυτή η εργασία συνθέτει τα πεδία της φυσικής ισχυρού πεδίου και κβαντικής οπτικής και ανοίγει το δρόμο για μελέτες στην επιστήμη των αττοδευτερολέπτων, χρησιμοποιώντας συμβατικά διαγνωστικά υπέρυθρης ακτινοβολίας.
Οι συγκρούσεις ανταλλαγής σπιν στα αλκαλικά ατομικά αέρια αποτελούν θεμέλιο για μια πληθώρα από θεμελιώδης και εφαρμοσμένες έρευνες όπως οι μελέτες της πυρηνικής δομής και των θεμελιωδών συμμετριών, τα ευαίσθητα ατομικά μαγνητόμετρα, ο μαγνητικός συντονισμός και η βιομαγνητική απεικόνιση. Τα αποτελέσματα των συγκρούσεων ανταλλαγής σπιν στο ατομικό σύστημα είναι πολύπλούσια και διαφέρουν ανάλογα τις συνθήκες: Μπορούν να προκαλέσουν αποσυμφωνία και να δημιουργήσουν θόρυβο σπιν ή μπορούν να μεταφέρουν πόλωση σπιν και κβαντική συμφωνία χωρίς να συνεισφέρουν στην αποσυμφωνία του ολικού σπιν του αερίου. Πρόσφατα, με την ανάπτυξη των κβαντικών μετρήσεων και της κβαντικής τεχνολογίας, οι συγκρούσεις ανταλλαγής σπιν έχουν τραβήξει αρκετά το ενδιαφέρον σαν ένας πόρος για την κβαντική μετρολογία και σαν πιθανή πηγή κβαντικού θορύβου. Κάναμε ένα πείραμα ακρίβειας το οποίο αφορά συσχετίσεις θορύβου σπιν σε πολυατομικά θερμά ατομικά αέρια. Πιο συγκεκριμένα, παρατηρούμε μη μηδενικές συσχετίσεις σπιν θορύβου και φαινόμενα μεταφορά κβαντικής συμφωνίας σε θερμική ισορροπία μεταξύ των σπιν των αλκαλικών ατόμων 133Cs και 87Rb, τα οποία έχουν από την φύση τους διαφορετικούς γυρομαγνητικούς λόγους. Και τα δύο αυτά αποτελέσματα πηγάζουν από τις αυθόρμητες και ακατάπαυστες συγκρούσεις ανταλλαγής σπιν οι οποίες τείνουν να συζεύξουν τα δυο ατομικά συστήματα μέσω της σύμφωνης ανταλλαγής σπιν. Ερευνούμε την συμπεριφορά των αυθόρμητων συσχετίσεων θορύβου σπιν τόσο σε μία ισχυρά συζευγμένη περιοχή, σε μικρά μαγνητικά πεδία, όπου ο ρυθμός των συγκρούσεων ανταλλαγής σπιν είναι μεγαλύτερος από την διαφορά των Larmor συχνοτήτων των δυο αερίων και σε μία ασθενώς συζευγμένη περιοχή, σε μεγαλύτερα μαγνητικά πεδία, όπου η μεγάλη συχνότητα Larmor τείνει να συρρικνώσει τις σχηματισμένες συσχετίσεις. Σε θεωρητικό επίπεδο, αναπτύξαμε μια εικόνα κβαντικών τροχιών των αλληλεπιδράσεων ανταλλαγής σπιν, η οποία είναι σε συμφωνία με την γεννήτρια εξίσωση που περιγράφει την δυναμική του πίνακα πυκνότητας. Στην συνέχεια χρησιμοποιούμε τις κβαντικές τροχιές για να δείξουμε την φύση των συσχετίσεων θορύβου οι οποίες αναπτύσσονται αυθόρμητα σε πολυατομικά συστήματα και συχνά χρησιμοποιούνται σε ευαίσθητες μετρήσεις του σπιν. Τέλος, δείχνουμε ότι οι συγκρούσεις ανταλλαγής σπιν στα θερμά ατομικά αέρια δημιουργούν αυθόρμητα ισχυρές δυαδικές συμπλέξεις, τις οποίες και ποσοτικοποιούμε χρησιμοποιώντας τα εργαλεία της θεωρίας της κβαντικής πληροφορίας. Οι συμπλέξεις αυτές έχουν χρόνο ζωής τουλάχιστον ίσο με τον χρόνο των συγκρούσεων ανταλλαγής σπιν και επηρεάζουν άμεσα μετρούμενα μεγέθη που σχετίζονται με τον θόρυβο σπιν. Παρουσιάζουμε ένα θεωρητικό παράδειγμα όπου ένα θερμό και πυκνό ατομικό αέριο μπορεί να διατηρήσει δυαδικές και ίσως και ανώτερης τάξης κβαντικές συμπλέξεις. Βαθύτερη κατανόηση των συγκρούσεων ανταλλαγής σπιν στα θερμά αέρια δυο διαφορετικών ειδών μπορεί να συνεισφέρει στην βελτίωση της λειτουργίας των ατομικών συσκευών, όπως είναι για παράδειγμα τα ατομικά μαγνητόμετρα, ή στην δημιουργία και ανακάλυψη νέων κβαντικών πρωτοκόλλων ή και νέων ατομικών συσκευών.
Ένας σχετικά νέος τομέας ενεργής έρευνας που συνδυάζει την κβαντική οπτική, τη νανοφωτονική και την κβαντική τεχνολογία ασχολείται με τη μελέτη των οπτικών ιδιοτήτων πολύπλοκων φωτονικών δομών που περιέχουν κβαντικά συστήματα, όπως είναι οι κβαντικές τελείες ημιαγωγών και οι πλασμονικές νανοδομές. Η παρούσα διδακτορική διατριβή εμπίπτει σε αυτό το ερευνητικό πεδίο και παρουσιάζει μια θεωρητική και υπολογιστική μελέτη της οπτικά ελεγχόμενης δυναμικής ημιαγώγιμων κβαντικών τελειών ισχυρά συνδεδεμένων με πλασμονικές νανοδομές. Συγκεκριμένα, μελετάται η ελεγχόμενη μεταφορά πληθυσμών σε καταστάσεις εξιτονίων και δι-εξιτονίων σε ημιαγωγικές κβαντικές τελείες υπό την επίδραση μιας πλασμονικής νανοδομής, χρησιμοποιώντας τόσο συμβατικές όσο και νέες μεθόδους κβαντικού ελέγχου, όπως είναι η χρήση αναλυτικά παραγόμενων παλμών συγκεκριμένου σχήματος, εφαρμογή της μεθόδου ταχείας αδιαβατικής μεταφοράς (εφαρμογή παλμών chirped), εφαρμογή μεθόδων που βασίζονται σε συντομεύσεις της αδιαβατικότητας και εφαρμογή ειδικά σχεδιασμένων παλμών on-off. Προκειμένου να μελετήσουμε τη συνεκτική αλληλεπίδραση των ηλεκτρομαγνητικών πεδίων με τις συζευγμένες κβαντικές-πλασμονικές νανοδομές συνδυάζουμε υπολογισμούς κβαντικής δυναμικής με ηλεκτρομαγνητικούς υπολογισμούς και επιλύουμε τις σχετικές εξισώσεις πινάκων πυκνότητας. Τα αποτελέσματα της διδακτορικής διατριβής μπορούν να χρησιμοποιηθούν τόσο για την υλοποίηση γρήγορων οπτικών διακοπτών και ευαίσθητων αισθητήρων στη νανοκλίμακα, όσο και για θεμελιώδη προβλήματα της κβαντικής τεχνολογίας, όπως είναι η ελεγχόμενη δυναμική των κβαντικών bits και η παραγωγή περιπλεγμένων ή μεμονωμένων φωτονίων.
Στην παρούσα εργασία ασχοληθήκαμε με το φαινόμενο Β-Α και με παραλλαγές του. Αρχικά εξετάσαμε το φαινόμενο από την Κλασική οπτική γωνία δηλαδή προσπαθήσαμε να εξηγήσουμε το φαινόμενο με την χρήση της Κλασικής Μηχανικής, πράγμα το οποίο όπως είδαμε το Β-Α φαινόμενο είναι αδύνατο να ερμηνευθεί από την Κλασσική Μηχανική και μόνο η Κβαντομηχανική μπορεί να το εξηγήσει με την εισαγωγή των τελεστών του ανυσματικού δυναμικού και του βαθμωτού δυναμικού στις εξισώσεις του Hamilton και κατ’ επέκταση στην εξίσωση του Schrödinger. Έτσι συνεχίσαμε την μελέτη μας με την χρήση της Κβαντομηχανικής, πλέον τα σωματίδια ήταν κύματα αυτό διευκόλυνε την προσπάθεια μας να βρούμε την απαιτούμενη διαφορά φάσης ώστε να καταλήξουμε στο συμπέρασμα ότι όντος τα ανυσματικά δυναμικά επηρεάζουν τα φορτισμένα σωματίδια και χωρίς την παρουσία μαγνητικών πεδίων στον χώρο και επίσης επιβεβαιώνει παλιότερα πειράματα συμβολής που πραγματοποιήθηκαν για αυτό το φαινόμενο. Στην συνέχεια παρουσιάσουμε τα πρώτα πειράματα που πραγματοποιήθηκαν για την επαλήθευση του φαινομένου B-A. Τα πειράματα διεξήχθησαν από τους Chambers, Mollenstedt, Bayh και δέχτηκαν κριτική τόσο για την θεωρητική όσο και για την πειραματική προσέγγισή τους από τους Bocchieri και Loinger. Τέλος παραθέτουμε μια παραλλαγή του φαινομένου αυτού η οποία αναφέρετε στους περιστρεφόμενους υπεραγωγούς δηλαδή παρατηρείτε η διαφορά φάσης και με την χρήση περιστρεφόμενων υπεραγωγών .
Οι πρόσφατες εξελίξεις στον τομέα της πειραματικής κατασκευής κβαντικών υπολογιστών με εξαρτήματα αυξημένης αξιοπιστίας δείχνει ότι η κατασκευή τέτοιων μεγάλων μηχανών βασισμένων στις αρχές της κβαντικής φυσικής είναι πιθανή στο κοντινό μέλλον. Καθώς το μέγεθος των μελλοντικών κβαντικών υπολογιστών θα αυξάνεται, η σχεδίαση αποδοτικότερων κβαντικών κυκλωμάτων και μεθόδων σχεδίασης θα αποκτήσει σταδιακά πρακτικό ενδιαφέρον. Η συνεισφορά της διατριβής στην κατεύθυνση της σχεδίασης αποδοτικών κβαντικών κυκλωμάτων είναι διττή: Η πρώτη είναι η σχεδίαση καινοτόμων αποδοτικών αριθμητικών κβαντικών κυκλωμάτων βασισμένων στον Κβαντικό Μετασχηματισμό Fourier (QFT), όπως πολλαπλασιαστής-με-σταθερά-συσσωρευτής (MAC) και διαιρέτης με σταθερά, με γραμμικό βάθος (ή ταχύτητα) ως προς τον αριθμό ψηφίων των ακεραίων. Αυτά τα κυκλώματα συνδυάζονται αποτελεσματικά ώστε να επιτελέσουν την πράξη του modulo πολλαπλασιασμού με σταθερά με γραμμική πολυπλοκότητα χρόνου και χώρου και συνεπώς μπορούν να επιτελέσουν την πράξη της modulo εκθετικοποίησης (modular exponentiation) με τετραγωνική πολυπλοκότητα χρόνου και γραμμική πολυπλοκότητα χώρου. Οι πράξεις της modulo εκθετικοποίησης και του modulo πολλαπλασιασμού είναι αναπόσπαστα μέρη του σημαντικού κβαντικού αλγορίθμου παραγοντοποίησης του Shor, αλλά και άλλων κβαντικών αλγορίθμων της ίδιας οικογένειας, γνωστών ως κβαντική εκτίμηση φάσης (Quantum Phase Estimation). Αντιμετωπίζονται με αποτελεσματικό τρόπο σημαντικά προβλήματα υλοποίησης, που σχετίζονται με την απαίτηση χρήσης κβαντικών πυλών περιστροφής υψηλής ακρίβειας, καθώς και της χρήσης τοπικών επικοινωνιών. Η δεύτερη συνεισφορά της διατριβής είναι μία γενική μεθοδολογία ιεραρχικής σύνθεσης κβαντικών και αντιστρέψιμων κυκλωμάτων αυθαίρετης πολυπλοκότητας και μεγέθους. Η ιεραρχική μέθοδος σύνθεσης χειρίζεται καλύτερα μεγάλα κυκλώματα σε σχέση με τις επίπεδες μεθόδους σύνθεσης. Η προτεινόμενη μέθοδος προσφέρει πλεονεκτήματα σε σχέση με τις συνήθεις ιεραρχικές συνθέσεις που χρησιμοποιούν την μέθοδο "υπολογισμός-αντιγραφή-αντίστροφος υπολογισμός" του Bennett.
Ο φορμαλισμός των ολοκληρωμάτων διαδρομής του Feynman είναι ένα από τα ισχυρότερα εργαλεία για την κατανόηση των ιδιοτήτων κβαντικών συστημάτων μέσω κλασικών υπολογισμών. Όντας κατάλληλη για ημικλασσικές προσεγγίσεις, η θεωρία των ολοκληρωμάτων διαδρομής προσφέρει μία μεγάλη πληθώρα αναλυτικών μεθόδων για την μελέτη της δυναμικής κβαντικών συσχετισμών, σε κλειστά και ανοικτά κβαντικά συστήματα. Η επέκταση των ολοκληρωμάτων αυτών στο μιγαδικό επίπεδο C, μέσω των Glauber συνοχικών καταστάσεων, στο μιγαδικό μη-επίπεδο πολύπτυγμα C ̅ μέσω των su(2) συνοχικών καταστάσεων, και σε φερμιονικά συστήματα, μέσω των φερμιονικών συνοχικών καταστάσεων, επέτρεψε την εφαρμογή των μεθόδων ολοκληρωμάτων διαδρομής στη μελέτη συστημάτων πολλών σωμάτων. Τα συστήματα αυτά είναι μείζονος σημασίας τόσο για τη Φυσική Στερεάς Κατάστασης όσο και για την επιστήμη Κβαντικής Πληροφόριας, καθώς επιτρέπουν την ύπαρξη εναγγαλισμένων καταστάσεων. Οι συσχετισμοί τέτοιων καταστάσεων έχουν καθαρά κβαντικό χαρακτήρα, καθώς δεν έχουν κλασικό ανάλογο, και μπορούν να χρησιμοποιηθούν τόσο για την κατανόηση κβαντικών αλλαγών φάσης όσο και ως το βασικό εργαλείο για την επεξεργασία κβαντικής πληροφορίας. Τα τελευταία χρόνια έχει υπάρξει σημαντική πρόοδος στη μελέτη των στατικών ιδιοτήτων και της δυναμικής κλειστών συστημάτων πολλών σωμάτων, σε πειραματικό αλλά και θεωρητικό επίπεδο. Παρά αυτής της προόδου, η χρήση τεχνικών ολοκληρωμάτων διαδρομής στις αντίστοιχες αναλύσεις είναι σχετικά περιορισμένη. Ο κύριος λόγος για τον οποίο συμβαίνει αυτό είναι ότι, προς το παρόν, δεν υπάρχει κοινά αποδεκτός τρόπος για τον ορισμό της συναρτησιακής ολοκλήρωσης σε μιγαδικούς χώρους οι οποίοι καλύπτονται από συνοχικές καταστάσεις, για γενικά συστήματα που εκφράζονται από μποζονικούς, σπιν ή φερμιονικούς τελεστές. Απουσία εννοιολογικών και δομικών προβλημάτων, τα ολοκληρώματα διαδρομής συνοχικών καταστάσεων μπορούν να προσφέρουν ποικιλία τεχνικών, αναλυτικών και αριθμητικών, για την ανάλυση κλειστών και ανοικτών συστημάτων. Στην παρούσα διατριβή γίνεται ένα βήμα προς αυτήν την κατεύθυνση, καθώς ο κύριος στόχος είναι η κατασκευή μίας σειράς από μαθηματικά συνεπείς μεθόδους κατασκευής τέτοιων ολοκληρωμάτων για τη μελέτη μποζονικών, σπιν και φερμιονικών συστημάτων. Επιπροσθέτως, οι μέθοδοι αυτές γενικέυονται για τη μελέτη οδηγούμενων, αλλά και ανοικτών κβαντικών συστημάτων. Οι τεχνικές που θα χρησιμοποιηθούν για να επιτευχθεί αυτό διαφέρουν σημαντικά για τις περιπτώσεις μποζονικών/σπιν και φερμιονικών συνοχικών καταστάσεων. Στις πρώτες δύο περιπτώσεις, μια συλλογή από μαθηματικά εργαλεία προερχόμενα από τον τομέα της γεωμετρικής κβάντωσης θα είναι απαραίτητα, καθώς τα ολοκληρώματα διαδρομής μποζονικών και σπιν συνοχικών καταστάσεων μπορούν να ερμηνευτούν ως ολοκληρώματα διαδρομής φασικού χώρου πάνω σε Kahler πολυπτύγματα. Παρόλο που η θεωρία της κβάντωσης πάνω σε συμπλεκτικά πολυπτύγματα είναι ένα πολύ μαθηματικά εκτεταμμένο θέμα, γίνεται προφανές ότι η χρήση συγκεκριμμένων αποτελεσμάτων, όχι μόνο επιτρέπει τη λύση των προβλημάτων που αντιμετωπίζουν τα ολοκληρώματα διαδρομής συνοχικών καταστάσεων με μποζονικές μεταβλητές, αλλά και προσφέρει σαφήνεια σε διφορούμενα θέματα προερχόμενα από τον τομέα της Kahler κβάντωσης. Πιο συγκεκριμένα, η προτεινόμενη μεθοδολογία επιτρέπει την πρώτη μαθηματικά αυστηρή απάντηση στο ερώτημα σχετικά με την αναγκαιότητα της μεταπλεκτικής διόρθωσης. Αυτό επιτυγχάνεται με τη κατασκευή μίας απεικόνισης που απο-κβαντώνει κβαντικούς τελεστές, προσφέροντας τις κατάλληλες κλασικές Χαμιλτονιανές συναρτήσεις, για χρήση στην αντίστοιχη ολοκλήρωση διαδρομής. Η προαναφερθείσα απο-κβάντωση επιτυγχάνεται για τους γεννήτορες της άλγεβρας τόσο μποζονικών όσο και σπιν συστημάτων, μέσω της αντιστροφής της διαδικασίας της γεωμετρικής κβάντωσης. Καθώς η υπόθεση οι κυματοσυναρτήσεις να περιέχουν ή όχι διορθώσεις ημι-μορφών, επηρεάζει με μη τετριμμένο τρόπο την αντιστοιχία αυτή τελεστών-συναρτήσεων, τα Χαμιλτονιανά σύμβολα που προκύπτουν οδηγούν στο συμπέρασμα ότι η σωστή ερμηνεία του συνεχούς ορίου χρειάζεται απαραίτητα την μεταπλεκτική διόρθωση. Με αυτόν τον τρόπο, ως τελικό αποτέλεσμα προσφέρεται μία πολύ απλή απεικόνιση που υπό συγκεκριμένες αλλά καλώς τεκμηρειωμένες φυσικές συνθήκες προσφέρει το σωστό συνεχές όριο για κβαντικά συστήματα που εκφράζονται από τελεστές πρώτης τάξης ως προς τους γεννήτορες των αλγεβρών. Καθώς τα αποτελέσματα αυτά οδηγούν σε καλώς ορισμένα συναρτησιακά ολοκληρώματα, που επιδέχονται αλγεβρική επεξεργασία, είναι δυνατό να χρησιμοποιηθούν για την κατανόηση ανώτερων τάξεων και πολυωνύμων τελεστών, καθώς και για την μελέτη αλληλεπιδράσεων. Η μελέτη τέτοιων περιπτώσεων γίνεται για συγκεκριμένες κλασεις τελεστών, ενώ προτείνονται πιθανοί τρόποι επέκτασης των αποτελεσμάτων. Η περίπτωση φερμιονικών ολοκληρωμάτων διαδρομής συνοχικών καταστάσεων δεν είναι δυνατό να μελετηθεί με τέτοιο τρόπο όμως, καθώς τα φερμιόνια δεν επιδέχονται τέτοιο τύπου συμπλεκτική δομή, με αποτέλεσμα να είναι απαραίτητη η χρήση μίας ριζικά διαφορετικής διαδικασίας. Η κατασκευή μίας τέτοιας διαδικασίας είναι δυνατή με της χρήση κάποιων πρόσφατων αποτελεσμάτων σχετικά με την συνεπή κβάντωση ολοκληρωμάτων διαδρομής Majorana φερμιονικών συστημάτων. Μέσω αυτών των αποτελεσμάτων προτείνεται μία μέθοδος, η οποία οδηγεί σε καλώς ορισμένες δράσεις, κατάλληλες για χρήση σε ολοκληρώματα διαδρομής μιγαδικών φερμιονίων, τα οποία ταυτίζονται με τα ολοκληρώματα διαδρομής φερμιονικών συνοχικών καταστάσεων. Η κατασκευή αυτή στη συνέχεια χρησιμοποιείται για τη μελέτη του μονοδιάστατου XY μοντέλου αλυσίδας σπιν, επιτρέποντας τον πολύ απλό υπολογισμό μίας σειράς γνωστών και μη τετριμμένων αποτελεσμάτων για συναρτήσεις συσχετισμού, που δρουν ως έλεγχος σχετικά με την εγκυρότητα της μεθόδου. Κατά την προαναφερθείσα μελέτη, το πρόβλημα αναγνώρισης του σωστού συνεχούς ορίου αναγνωρίστηκε και επιλύθηκε ακόμα και για την περίπτωση συναρτήσεων συσχετισμού, καθώς αποδείχθηκε ότι η αναγνώριση των κατάλληλων συναρτησιακών παραγωγίσεων της γεννήτριας συνάρτησης δεν είναι πάντα η τετριμμένη. Με την καλώς ορισμένη αυτή μέθοδο στη συνέχεια αναπτύχθηκε μία γενικευμένη μέθοδος για τη μελέτη γενικών φερμιονικών και σπιν-1/2 συστημάτων, με ή και χωρίς χρονοεξαρτώμενους συντελεστές. Για την τελευταία περίπτωση, η προαναφερθείσα μέθοδος αναπτύχθηκε στα πλαίσια της θεωρίας δυναμικής εκτός ισορροπίας, όπου κατασκευάστηκε το κατάλληλο ολοκλήρωμα διαδρομής ως προς την Schwinger-Keldysh χρονική διαδρομή. Η μελέτη αυτή οδήγησε σε σημαντικά αποτελέσματα σχετικά με τη συμπεριφορά του συστήματος της μονοδιάστατης ΧΥ αλυσίδας καθώς διέρχεται από το κρίσιμο σημείο, ενώ επιβεβαιώθηκε ο Kibble-Zurek μηχανισμός. Και οι δύο προτεινόμενες λύσεις διαφέρουν από τις υπάρχουσες, καθώς οι γνωστές μέθοδοι είτε εξαρτώνται από τη διακριτή δομή είτε είναι υπερβολικά έμμεσες. Οι μέθοδοι αυτές στη συνέχεια εφαρμόζονται για την μελέτη ανοικτών μποζονικών και φερμιονικών κβαντικών συστημάτων μέσω ολοκληρωμάτων διαδρομής συνοχικών καταστάσεων. Στα πλαίσια αυτής της μελέτης προτείνεται ένα συστηματικός και συνεπής τρόπος για την κατασκευή τέτοιων ολοκληρωμάτων παρουσία σύνθετων συστημάτων, ενώ έμφαση δίνεται στη μελέτη συστημάτων εμβαπτισμένων σε κβαντικό θερμικό λουτρό. Η δομές που κατασκευάζονται εφαρμόζονται στο όριο της Μαρκοβιανής προσέγγισης, η οποία επιτρέπει την πιο άμεση κατανόηση της φυσικής της μεθόδου, ενώ ως παράδειγμα παρουσιάζεται η μελέτη της χρονικής εξέλιξης συναρτήσεων συσχετισμού για τα συστήματα του μποζονικού και του φερμιονικού απλού αρμονικού ταλαντωτή, οδηγώντας σε πλήρη αντιστοιχία με τα γνωστά αποτελέσματα.