Cette thèse est divisée en deux parties : la première présente un modèle statistique en deux dimensions de percolation corrélée sur un réseau toroïdal. Nous présentons un protocole pour construire des surfaces corrélées à longue portée sur la base de surfaces gaussiennes fractionnaires, puis nous relions les ensembles de niveaux à une famille de modèles de percolation corrélés. Les clusters émergents sont ensuite étudiés numériquement, et nous testons leur symétrie conforme en vérifiant que les corrections de taille finie de connectivité à deux points suivent les prédictions de la théorie des champs conformes. Nous commentons également le comportement des fonctions à trois points et fournissons un code numérique pour reproduire les résultats. La deuxième partie de la thèse étudie la chaîne quantique XXZ intégrable de spin-1/2 avec des conditions aux bords ouvertes, pour un nombre pair et impair de sites. Dans régime antiferromagnétique, nous utilisons l'Ansatz de Bethe Algébrique pour déterminer les configurations possibles en termes des champs aux bords. On retrouve les conditions d'existence d'états fondamentaux quasi dégénérés séparés par un gap au reste du spectre. Nous calculons l'aimantation au bord à température nulle et constatons qu'elle dépend du champ sur le bord opposé même dans la limite de chaîne semi-infinie. Nous calculons enfin la fonction d'autocorrélation temporelle au bord et montrons que dans le cas de taille paire, elle est finie à la limite de temps long à cause de la quasi-dégénérescence.
Cette thèse est divisée en deux parties : la première présente un modèle statistique en deux dimensions de percolation corrélée sur un réseau toroïdal. Nous présentons un protocole pour construire des surfaces corrélées à longue portée sur la base de surfaces gaussiennes fractionnaires, puis nous relions les ensembles de niveaux à une famille de modèles de percolation corrélés. Les clusters émergents sont ensuite étudiés numériquement, et nous testons leur symétrie conforme en vérifiant que les corrections de taille finie de connectivité à deux points suivent les prédictions de la théorie des champs conformes. Nous commentons également le comportement des fonctions à trois points et fournissons un code numérique pour reproduire les résultats. La deuxième partie de la thèse étudie la chaîne quantique XXZ intégrable de spin-1/2 avec des conditions aux bords ouvertes, pour un nombre pair et impair de sites. Dans régime antiferromagnétique, nous utilisons l'Ansatz de Bethe Algébrique pour déterminer les configurations possibles en termes des champs aux bords. On retrouve les conditions d'existence d'états fondamentaux quasi dégénérés séparés par un gap au reste du spectre. Nous calculons l'aimantation au bord à température nulle et constatons qu'elle dépend du champ sur le bord opposé même dans la limite de chaîne semi-infinie. Nous calculons enfin la fonction d'autocorrélation temporelle au bord et montrons que dans le cas de taille paire, elle est finie à la limite de temps long à cause de la quasi-dégénérescence.
Effets de bord dans les chaînes de spin quantiques et effets de taille finie dans le model toroidal de percolation corrélé Cette thèse est divisée en deux parties : la première présente un modèle statistique en deux dimensions de percolation corrélée sur un réseau toroïdal. Nous présentons un protocole pour construire des surfaces corrélées à longue portée sur la base de surfaces gaussiennes fractionnaires, puis nous relions les ensembles de niveaux à une famille de modèles de percolation corrélés. Les clusters émergents sont ensuite étudiés numériquement, et nous testons leur symétrie conforme en vérifiant que les corrections de taille finie de connectivité à deux points suivent les prédictions de la théorie des champs conformes. Nous commentons également le comportement des fonctions à trois points et fournissons un code numérique pour reproduire les résultats. La deuxième partie de la thèse étudie la chaîne quantique XXZ intégrable de spin-1/2 avec des conditions aux bords ouvertes, pour un nombre pair et impair de sites. Dans régime antiferromagnétique, nous utilisons l'Ansatz de Bethe Algébrique pour déterminer les configurations possibles en termes des champs aux bords. On retrouve les conditions d'existence d'états fondamentaux quasi dégénérés séparés par un gap au reste du spectre. Nous calculons l'aimantation au bord à température nulle et constatons qu'elle dépend du champ sur le bord opposé même dans la limite de chaîne semi-infinie. Nous calculons enfin la fonction d'autocorrélation temporelle au bord et montrons que dans le cas de taille paire, elle est finie à la limite de temps long à cause de la quasi-dégénérescence.
L'objectif de cette thèse est de proposer une approche analytique exacte pour le calcul des recouvrements entre les états propres de la chaîne XXZ ouverte avant et après une trempe quantique au bord, c'est-à-dire un changement brusque de l'un des champs magnétiques appliqués aux bords. Ces recouvrements d'états constituent un élément fondamental pour la description de la dynamique hors équilibre des systèmes quantiques et jouent un rôle crucial dans la compréhension de leur évolution après une trempe quantique. Nous considérons plus particulièrement la chaîne de spins 1/2 XXZ avec des conditions aux limites ouvertes et des champs magnétiques aux bords longitudinaux, dans le régime antiferromagnétique massif. Il s'agit de l'un des modèles intégrables les plus simples présentant des conditions aux limites non périodiques. Ce système peut être interprété comme une chaîne quantique interagissant avec son environnement à travers des degrés de liberté situés aux bords.La méthode de diffusion inverse quantique (Quantum Inverse Scattering Method, QISM) et l'Ansatz de Bethe algébrique (ABA) constituent un cadre théorique puissant pour l'étude de telles quantités. Le but de notre analyse est de calculer, dans ce formalisme, des expressions exactes des recouvrements d'états dans la limite thermodynamique. En utilisant la formule de Slavnov exprimant les produits scalaires d'états de Bethe sous forme de déterminant, nous obtenons d'abord une représentation sous forme de déterminant des recouvrements entre états propres avant et après la trempe quantique. En appliquant ce que nous appelons la méthode d'extraction de Gaudin, nous montrons qu'il est possible d'extraire de ce rapport de déterminants une structure de type déterminant de Cauchy, adaptée pour l'analyse thermodynamique. Nous montrons que, lorsque l'on reste dans le régime massif, le recouvrement entre les états fondamentaux (pour lesquels la configuration de racines de Bethe ne contient aucun trou) avant et après la trempe peut être écrit sous une forme de produit, valide à des corrections exponentiellement petites en fonction de la taille du système. Cela nous permet d'obtenir une expression analytique et exacte du recouvrement dans la limite de taille infinie, dépendant uniquement des paramètres physiques du modèle: l'anisotropie de la chaîne et les champs magnétiques de bord. Cette formule est ensuite vérifiée par comparaison directe avec des résultats de diagonalisation numérique. Nous étendons ensuite cette analyse à une classe plus large d'états (fondamentaux ou excités) caractérisés par la présence d'un nombre fini de trous dans leur distribution de racines de Bethe. Nous montrons que la méthode d'extraction de Gaudin conduit de nouveau à une structure de type Cauchy, perturbée cette fois par une matrice de rang égal au nombre de trous. Dans ce cas, le recouvrement se factorise en un préfacteur, de forme produit, similaire à celui de l'état fondamental, multiplié par un déterminant de taille égale au nombre de trous n. Dans la limite thermodynamique, nous obtenons une expression explicite du recouvrement dépendant de l'anisotropie, des champs magnétiques de bord et des positions des trous. Les résultats présentés dans cette thèse ouvrent la voie à une étude analytique plus générale des trempes quantiques locales au bord dans les systèmes quantiques intégrables à l'aide des techniques de l'Ansatz de Bethe algébrique.
Recouvrements d'états après une trempe quantique au bord dans la chaîne de spins XXZ intégrable L'objectif de cette thèse est de proposer une approche analytique exacte pour le calcul des recouvrements entre les états propres de la chaîne XXZ ouverte avant et après une trempe quantique au bord, c'est-à-dire un changement brusque de l'un des champs magnétiques appliqués aux bords. Ces recouvrements d'états constituent un élément fondamental pour la description de la dynamique hors équilibre des systèmes quantiques et jouent un rôle crucial dans la compréhension de leur évolution après une trempe quantique. Nous considérons plus particulièrement la chaîne de spins 1/2 XXZ avec des conditions aux limites ouvertes et des champs magnétiques aux bords longitudinaux, dans le régime antiferromagnétique massif. Il s'agit de l'un des modèles intégrables les plus simples présentant des conditions aux limites non périodiques. Ce système peut être interprété comme une chaîne quantique interagissant avec son environnement à travers des degrés de liberté situés aux bords.La méthode de diffusion inverse quantique (Quantum Inverse Scattering Method, QISM) et l'Ansatz de Bethe algébrique (ABA) constituent un cadre théorique puissant pour l'étude de telles quantités. Le but de notre analyse est de calculer, dans ce formalisme, des expressions exactes des recouvrements d'états dans la limite thermodynamique. En utilisant la formule de Slavnov exprimant les produits scalaires d'états de Bethe sous forme de déterminant, nous obtenons d'abord une représentation sous forme de déterminant des recouvrements entre états propres avant et après la trempe quantique. En appliquant ce que nous appelons la méthode d'extraction de Gaudin, nous montrons qu'il est possible d'extraire de ce rapport de déterminants une structure de type déterminant de Cauchy, adaptée pour l'analyse thermodynamique. Nous montrons que, lorsque l'on reste dans le régime massif, le recouvrement entre les états fondamentaux (pour lesquels la configuration de racines de Bethe ne contient aucun trou) avant et après la trempe peut être écrit sous une forme de produit, valide à des corrections exponentiellement petites en fonction de la taille du système. Cela nous permet d'obtenir une expression analytique et exacte du recouvrement dans la limite de taille infinie, dépendant uniquement des paramètres physiques du modèle: l'anisotropie de la chaîne et les champs magnétiques de bord. Cette formule est ensuite vérifiée par comparaison directe avec des résultats de diagonalisation numérique. Nous étendons ensuite cette analyse à une classe plus large d'états (fondamentaux ou excités) caractérisés par la présence d'un nombre fini de trous dans leur distribution de racines de Bethe. Nous montrons que la méthode d'extraction de Gaudin conduit de nouveau à une structure de type Cauchy, perturbée cette fois par une matrice de rang égal au nombre de trous. Dans ce cas, le recouvrement se factorise en un préfacteur, de forme produit, similaire à celui de l'état fondamental, multiplié par un déterminant de taille égale au nombre de trous n. Dans la limite thermodynamique, nous obtenons une expression explicite du recouvrement dépendant de l'anisotropie, des champs magnétiques de bord et des positions des trous. Les résultats présentés dans cette thèse ouvrent la voie à une étude analytique plus générale des trempes quantiques locales au bord dans les systèmes quantiques intégrables à l'aide des techniques de l'Ansatz de Bethe algébrique.
Dans cette thèse sont principalement étudiés des systèmes quantiques intégrables critiques avec l’ansatz de Bethe qui ont la propriété particulière d’être non-unitaires ou non-compacts. Ceci concerne des modèles de physique statistique non-locaux tels que la percolation, mais aussi par exemple les systèmes désordonnés. Ce manuscrit présente à la fois des études détaillées de la limite continue de modèles intégrables sur réseau, et développe de nouvelles techniques pour étudier cette correspondance. Dans une première partie nous étudions en détail la limite continue de chaînes de superspins non-unitaires (et parfois non-compactes) qui ont une symétrie orthosymplectique. Nous montrons qu’il s’agit de modèles sigma sur supersphère en calculant leur spectre avec la théorie des champs, avec l’ansatz de Bethe, et numériquement. Leur non-unitarité autorise une brisure spontanée de symétrie habituellement interdite par le théorème de Mermin-Wagner. Leur caractère de perturbation marginale d’une théorie conforme des champs logarithmique est particulièrement étudié. Nous établissons également une correspondance précise entre le spectre et des configurations de boucles avec intersections, et obtenons de nouveaux exposants critiques pour les chemins non-recouvrants compacts ainsi que leurs corrections logarithmiques multiplicatives. Cette étude fut par ailleurs l’occasion de développer une nouvelle méthode pour calculer le spectre d’excitation d’une chaîne de spin quantique critique à partir de l’ansatz de Bethe, incluant les corrections logarithmiques, également en présence de racines de Bethe dites ’en chaînes’, et qui évite les méthodes de Wiener-Hopf et les équations intégrales non-linéaires. Dans une deuxième partie nous abordons l’influence d’un champ magnétique sur une chaîne de spin quantique et montrons que des séries convergentes peuvent être obtenues pour plusieurs quantités physiques telles que l’aimantation acquise ou les exposants critiques, dont les coefficients peuvent être calculés efficacement par récurrence. La structure de ces relations de récurrence permet d’étudier génériquement le spectre d’excitation, et elles sont applicables y compris dans certains cas où les racines de Bethe sont sur une courbe dans le plan complexe. Nous espérons que l’étude de la continuation analytique de ces séries puisse être utile pour les chaînes non-compactes. Par ailleurs, nous montrons que les fluctuations à l’intérieur de la courbe arctique du modèle à six vertex avec conditions aux bords de type mur sont décrites par un champ Gaussien libre avec une constante de couplage dépendant de la position, qui peut être calculée à partir de l’énergie libre de la chaîne XXZ avec une torsion imaginaire dans un champ magnétique.
Nous developpons dans cette these diverses methodes de calcul des fonctions de correlation et des facteurs de forme des modeles integrables quantiques basees sur l'ansatz de bethe algebrique. Nous traitons differents modeles integrables sur reseau, en particulier les chaines de spin de heisenberg xy, xxx et xxz, ainsi qu'un modele de bosons fortement correles sur reseau que nous appelons le modele de phase. Dans la premiere partie nous etudions le modele xy qui est le point de fermions libres pour la chaine de spin la plus generale xyz. Pour le calcul des fonctions de correlation sur la chaine finie et dans la limite thermodynamique nous utilisons la technique d'integration sur les variables de grassmann et les etats coherents correspondants. Les fonctions de correlations sont representees comme des determinants de matrices finies pour la chaine finie et comme des determinants de fredholm d'operateurs integraux dans la limite thermodynamique. Dans la deuxieme partie le modele de phase est etudie dans le cadre de l'ansatz de bethe algebrique. Nous calculons les fonctions de correlation a deux points et les facteurs de forme en utilisant la methode d'izergin et korepin. La troisieme partie est consacree aux cas plus generaux des chaines de spin de heisenberg xxx et xxz. Nous utilisons l'operateur de twist introduit initialement dans la theorie des groupes quantiques. Cette approche permet de resoudre le probleme inverse quantique pour la chaine finie et de representer les facteurs de forme pour la chaine finie comme des determinants de matrices finies. Nous montrons que ces representation sont adaptees a la limite thermodynamique et permettent en particulier de prouver la formule de baxter pour la magnetisation spontanee pour la chaine xxz dans le regime massif.
Analyse et techniques avancées d'intégrabilité pour l'étude de chaînes quantiques de spins Dans cette thèse sont principalement étudiés des systèmes quantiques intégrables critiques avec l’ansatz de Bethe qui ont la propriété particulière d’être non-unitaires ou non-compacts. Ceci concerne des modèles de physique statistique non-locaux tels que la percolation, mais aussi par exemple les systèmes désordonnés. Ce manuscrit présente à la fois des études détaillées de la limite continue de modèles intégrables sur réseau, et développe de nouvelles techniques pour étudier cette correspondance. Dans une première partie nous étudions en détail la limite continue de chaînes de superspins non-unitaires (et parfois non-compactes) qui ont une symétrie orthosymplectique. Nous montrons qu’il s’agit de modèles sigma sur supersphère en calculant leur spectre avec la théorie des champs, avec l’ansatz de Bethe, et numériquement. Leur non-unitarité autorise une brisure spontanée de symétrie habituellement interdite par le théorème de Mermin-Wagner. Leur caractère de perturbation marginale d’une théorie conforme des champs logarithmique est particulièrement étudié. Nous établissons également une correspondance précise entre le spectre et des configurations de boucles avec intersections, et obtenons de nouveaux exposants critiques pour les chemins non-recouvrants compacts ainsi que leurs corrections logarithmiques multiplicatives. Cette étude fut par ailleurs l’occasion de développer une nouvelle méthode pour calculer le spectre d’excitation d’une chaîne de spin quantique critique à partir de l’ansatz de Bethe, incluant les corrections logarithmiques, également en présence de racines de Bethe dites ’en chaînes’, et qui évite les méthodes de Wiener-Hopf et les équations intégrales non-linéaires. Dans une deuxième partie nous abordons l’influence d’un champ magnétique sur une chaîne de spin quantique et montrons que des séries convergentes peuvent être obtenues pour plusieurs quantités physiques telles que l’aimantation acquise ou les exposants critiques, dont les coefficients peuvent être calculés efficacement par récurrence. La structure de ces relations de récurrence permet d’étudier génériquement le spectre d’excitation, et elles sont applicables y compris dans certains cas où les racines de Bethe sont sur une courbe dans le plan complexe. Nous espérons que l’étude de la continuation analytique de ces séries puisse être utile pour les chaînes non-compactes. Par ailleurs, nous montrons que les fluctuations à l’intérieur de la courbe arctique du modèle à six vertex avec conditions aux bords de type mur sont décrites par un champ Gaussien libre avec une constante de couplage dépendant de la position, qui peut être calculée à partir de l’énergie libre de la chaîne XXZ avec une torsion imaginaire dans un champ magnétique.