Dans cette thèse sont principalement étudiés des systèmes quantiques intégrables critiques avec l’ansatz de Bethe qui ont la propriété particulière d’être non-unitaires ou non-compacts. Ceci concerne des modèles de physique statistique non-locaux tels que la percolation, mais aussi par exemple les systèmes désordonnés. Ce manuscrit présente à la fois des études détaillées de la limite continue de modèles intégrables sur réseau, et développe de nouvelles techniques pour étudier cette correspondance. Dans une première partie nous étudions en détail la limite continue de chaînes de superspins non-unitaires (et parfois non-compactes) qui ont une symétrie orthosymplectique. Nous montrons qu’il s’agit de modèles sigma sur supersphère en calculant leur spectre avec la théorie des champs, avec l’ansatz de Bethe, et numériquement. Leur non-unitarité autorise une brisure spontanée de symétrie habituellement interdite par le théorème de Mermin-Wagner. Leur caractère de perturbation marginale d’une théorie conforme des champs logarithmique est particulièrement étudié. Nous établissons également une correspondance précise entre le spectre et des configurations de boucles avec intersections, et obtenons de nouveaux exposants critiques pour les chemins non-recouvrants compacts ainsi que leurs corrections logarithmiques multiplicatives. Cette étude fut par ailleurs l’occasion de développer une nouvelle méthode pour calculer le spectre d’excitation d’une chaîne de spin quantique critique à partir de l’ansatz de Bethe, incluant les corrections logarithmiques, également en présence de racines de Bethe dites ’en chaînes’, et qui évite les méthodes de Wiener-Hopf et les équations intégrales non-linéaires. Dans une deuxième partie nous abordons l’influence d’un champ magnétique sur une chaîne de spin quantique et montrons que des séries convergentes peuvent être obtenues pour plusieurs quantités physiques telles que l’aimantation acquise ou les exposants critiques, dont les coefficients peuvent être calculés efficacement par récurrence. La structure de ces relations de récurrence permet d’étudier génériquement le spectre d’excitation, et elles sont applicables y compris dans certains cas où les racines de Bethe sont sur une courbe dans le plan complexe. Nous espérons que l’étude de la continuation analytique de ces séries puisse être utile pour les chaînes non-compactes. Par ailleurs, nous montrons que les fluctuations à l’intérieur de la courbe arctique du modèle à six vertex avec conditions aux bords de type mur sont décrites par un champ Gaussien libre avec une constante de couplage dépendant de la position, qui peut être calculée à partir de l’énergie libre de la chaîne XXZ avec une torsion imaginaire dans un champ magnétique.
Dans cette thèse sont principalement étudiés des systèmes quantiques intégrables critiques avec l’ansatz de Bethe qui ont la propriété particulière d’être non-unitaires ou non-compacts. Ceci concerne des modèles de physique statistique non-locaux tels que la percolation, mais aussi par exemple les systèmes désordonnés. Ce manuscrit présente à la fois des études détaillées de la limite continue de modèles intégrables sur réseau, et développe de nouvelles techniques pour étudier cette correspondance. Dans une première partie nous étudions en détail la limite continue de chaînes de superspins non-unitaires (et parfois non-compactes) qui ont une symétrie orthosymplectique. Nous montrons qu’il s’agit de modèles sigma sur supersphère en calculant leur spectre avec la théorie des champs, avec l’ansatz de Bethe, et numériquement. Leur non-unitarité autorise une brisure spontanée de symétrie habituellement interdite par le théorème de Mermin-Wagner. Leur caractère de perturbation marginale d’une théorie conforme des champs logarithmique est particulièrement étudié. Nous établissons également une correspondance précise entre le spectre et des configurations de boucles avec intersections, et obtenons de nouveaux exposants critiques pour les chemins non-recouvrants compacts ainsi que leurs corrections logarithmiques multiplicatives. Cette étude fut par ailleurs l’occasion de développer une nouvelle méthode pour calculer le spectre d’excitation d’une chaîne de spin quantique critique à partir de l’ansatz de Bethe, incluant les corrections logarithmiques, également en présence de racines de Bethe dites ’en chaînes’, et qui évite les méthodes de Wiener-Hopf et les équations intégrales non-linéaires. Dans une deuxième partie nous abordons l’influence d’un champ magnétique sur une chaîne de spin quantique et montrons que des séries convergentes peuvent être obtenues pour plusieurs quantités physiques telles que l’aimantation acquise ou les exposants critiques, dont les coefficients peuvent être calculés efficacement par récurrence. La structure de ces relations de récurrence permet d’étudier génériquement le spectre d’excitation, et elles sont applicables y compris dans certains cas où les racines de Bethe sont sur une courbe dans le plan complexe. Nous espérons que l’étude de la continuation analytique de ces séries puisse être utile pour les chaînes non-compactes. Par ailleurs, nous montrons que les fluctuations à l’intérieur de la courbe arctique du modèle à six vertex avec conditions aux bords de type mur sont décrites par un champ Gaussien libre avec une constante de couplage dépendant de la position, qui peut être calculée à partir de l’énergie libre de la chaîne XXZ avec une torsion imaginaire dans un champ magnétique.
Analyse et techniques avancées d'intégrabilité pour l'étude de chaînes quantiques de spins Dans cette thèse sont principalement étudiés des systèmes quantiques intégrables critiques avec l’ansatz de Bethe qui ont la propriété particulière d’être non-unitaires ou non-compacts. Ceci concerne des modèles de physique statistique non-locaux tels que la percolation, mais aussi par exemple les systèmes désordonnés. Ce manuscrit présente à la fois des études détaillées de la limite continue de modèles intégrables sur réseau, et développe de nouvelles techniques pour étudier cette correspondance. Dans une première partie nous étudions en détail la limite continue de chaînes de superspins non-unitaires (et parfois non-compactes) qui ont une symétrie orthosymplectique. Nous montrons qu’il s’agit de modèles sigma sur supersphère en calculant leur spectre avec la théorie des champs, avec l’ansatz de Bethe, et numériquement. Leur non-unitarité autorise une brisure spontanée de symétrie habituellement interdite par le théorème de Mermin-Wagner. Leur caractère de perturbation marginale d’une théorie conforme des champs logarithmique est particulièrement étudié. Nous établissons également une correspondance précise entre le spectre et des configurations de boucles avec intersections, et obtenons de nouveaux exposants critiques pour les chemins non-recouvrants compacts ainsi que leurs corrections logarithmiques multiplicatives. Cette étude fut par ailleurs l’occasion de développer une nouvelle méthode pour calculer le spectre d’excitation d’une chaîne de spin quantique critique à partir de l’ansatz de Bethe, incluant les corrections logarithmiques, également en présence de racines de Bethe dites ’en chaînes’, et qui évite les méthodes de Wiener-Hopf et les équations intégrales non-linéaires. Dans une deuxième partie nous abordons l’influence d’un champ magnétique sur une chaîne de spin quantique et montrons que des séries convergentes peuvent être obtenues pour plusieurs quantités physiques telles que l’aimantation acquise ou les exposants critiques, dont les coefficients peuvent être calculés efficacement par récurrence. La structure de ces relations de récurrence permet d’étudier génériquement le spectre d’excitation, et elles sont applicables y compris dans certains cas où les racines de Bethe sont sur une courbe dans le plan complexe. Nous espérons que l’étude de la continuation analytique de ces séries puisse être utile pour les chaînes non-compactes. Par ailleurs, nous montrons que les fluctuations à l’intérieur de la courbe arctique du modèle à six vertex avec conditions aux bords de type mur sont décrites par un champ Gaussien libre avec une constante de couplage dépendant de la position, qui peut être calculée à partir de l’énergie libre de la chaîne XXZ avec une torsion imaginaire dans un champ magnétique.
L'objectif de cette thèse est de proposer une approche analytique exacte pour le calcul des recouvrements entre les états propres de la chaîne XXZ ouverte avant et après une trempe quantique au bord, c'est-à-dire un changement brusque de l'un des champs magnétiques appliqués aux bords. Ces recouvrements d'états constituent un élément fondamental pour la description de la dynamique hors équilibre des systèmes quantiques et jouent un rôle crucial dans la compréhension de leur évolution après une trempe quantique. Nous considérons plus particulièrement la chaîne de spins 1/2 XXZ avec des conditions aux limites ouvertes et des champs magnétiques aux bords longitudinaux, dans le régime antiferromagnétique massif. Il s'agit de l'un des modèles intégrables les plus simples présentant des conditions aux limites non périodiques. Ce système peut être interprété comme une chaîne quantique interagissant avec son environnement à travers des degrés de liberté situés aux bords.La méthode de diffusion inverse quantique (Quantum Inverse Scattering Method, QISM) et l'Ansatz de Bethe algébrique (ABA) constituent un cadre théorique puissant pour l'étude de telles quantités. Le but de notre analyse est de calculer, dans ce formalisme, des expressions exactes des recouvrements d'états dans la limite thermodynamique. En utilisant la formule de Slavnov exprimant les produits scalaires d'états de Bethe sous forme de déterminant, nous obtenons d'abord une représentation sous forme de déterminant des recouvrements entre états propres avant et après la trempe quantique. En appliquant ce que nous appelons la méthode d'extraction de Gaudin, nous montrons qu'il est possible d'extraire de ce rapport de déterminants une structure de type déterminant de Cauchy, adaptée pour l'analyse thermodynamique. Nous montrons que, lorsque l'on reste dans le régime massif, le recouvrement entre les états fondamentaux (pour lesquels la configuration de racines de Bethe ne contient aucun trou) avant et après la trempe peut être écrit sous une forme de produit, valide à des corrections exponentiellement petites en fonction de la taille du système. Cela nous permet d'obtenir une expression analytique et exacte du recouvrement dans la limite de taille infinie, dépendant uniquement des paramètres physiques du modèle: l'anisotropie de la chaîne et les champs magnétiques de bord. Cette formule est ensuite vérifiée par comparaison directe avec des résultats de diagonalisation numérique. Nous étendons ensuite cette analyse à une classe plus large d'états (fondamentaux ou excités) caractérisés par la présence d'un nombre fini de trous dans leur distribution de racines de Bethe. Nous montrons que la méthode d'extraction de Gaudin conduit de nouveau à une structure de type Cauchy, perturbée cette fois par une matrice de rang égal au nombre de trous. Dans ce cas, le recouvrement se factorise en un préfacteur, de forme produit, similaire à celui de l'état fondamental, multiplié par un déterminant de taille égale au nombre de trous n. Dans la limite thermodynamique, nous obtenons une expression explicite du recouvrement dépendant de l'anisotropie, des champs magnétiques de bord et des positions des trous. Les résultats présentés dans cette thèse ouvrent la voie à une étude analytique plus générale des trempes quantiques locales au bord dans les systèmes quantiques intégrables à l'aide des techniques de l'Ansatz de Bethe algébrique.
Recouvrements d'états après une trempe quantique au bord dans la chaîne de spins XXZ intégrable L'objectif de cette thèse est de proposer une approche analytique exacte pour le calcul des recouvrements entre les états propres de la chaîne XXZ ouverte avant et après une trempe quantique au bord, c'est-à-dire un changement brusque de l'un des champs magnétiques appliqués aux bords. Ces recouvrements d'états constituent un élément fondamental pour la description de la dynamique hors équilibre des systèmes quantiques et jouent un rôle crucial dans la compréhension de leur évolution après une trempe quantique. Nous considérons plus particulièrement la chaîne de spins 1/2 XXZ avec des conditions aux limites ouvertes et des champs magnétiques aux bords longitudinaux, dans le régime antiferromagnétique massif. Il s'agit de l'un des modèles intégrables les plus simples présentant des conditions aux limites non périodiques. Ce système peut être interprété comme une chaîne quantique interagissant avec son environnement à travers des degrés de liberté situés aux bords.La méthode de diffusion inverse quantique (Quantum Inverse Scattering Method, QISM) et l'Ansatz de Bethe algébrique (ABA) constituent un cadre théorique puissant pour l'étude de telles quantités. Le but de notre analyse est de calculer, dans ce formalisme, des expressions exactes des recouvrements d'états dans la limite thermodynamique. En utilisant la formule de Slavnov exprimant les produits scalaires d'états de Bethe sous forme de déterminant, nous obtenons d'abord une représentation sous forme de déterminant des recouvrements entre états propres avant et après la trempe quantique. En appliquant ce que nous appelons la méthode d'extraction de Gaudin, nous montrons qu'il est possible d'extraire de ce rapport de déterminants une structure de type déterminant de Cauchy, adaptée pour l'analyse thermodynamique. Nous montrons que, lorsque l'on reste dans le régime massif, le recouvrement entre les états fondamentaux (pour lesquels la configuration de racines de Bethe ne contient aucun trou) avant et après la trempe peut être écrit sous une forme de produit, valide à des corrections exponentiellement petites en fonction de la taille du système. Cela nous permet d'obtenir une expression analytique et exacte du recouvrement dans la limite de taille infinie, dépendant uniquement des paramètres physiques du modèle: l'anisotropie de la chaîne et les champs magnétiques de bord. Cette formule est ensuite vérifiée par comparaison directe avec des résultats de diagonalisation numérique. Nous étendons ensuite cette analyse à une classe plus large d'états (fondamentaux ou excités) caractérisés par la présence d'un nombre fini de trous dans leur distribution de racines de Bethe. Nous montrons que la méthode d'extraction de Gaudin conduit de nouveau à une structure de type Cauchy, perturbée cette fois par une matrice de rang égal au nombre de trous. Dans ce cas, le recouvrement se factorise en un préfacteur, de forme produit, similaire à celui de l'état fondamental, multiplié par un déterminant de taille égale au nombre de trous n. Dans la limite thermodynamique, nous obtenons une expression explicite du recouvrement dépendant de l'anisotropie, des champs magnétiques de bord et des positions des trous. Les résultats présentés dans cette thèse ouvrent la voie à une étude analytique plus générale des trempes quantiques locales au bord dans les systèmes quantiques intégrables à l'aide des techniques de l'Ansatz de Bethe algébrique.
Dans cette thèse nous étudions différents aspects des modèles critiques non-unitaires de physique statistique en deux dimensions. Notre approche, partant de modèles discrets sur le réseau, permet d'en apprendre plus sur les théories conformes associées. Celles-ci sont non-unitaires et souvent irrationnelles, logarithmiques ou encore non-compactes. Pour commencer, le problème de l'entropie d'intrication dans des chaînes de spin non-unitaires et son interprétation dans les modèles de boucles sont considérés. Le rôle de la charge centrale effective, une quantité pertinente pour étudier aussi d'autres problèmes de ce manuscrit, y est discuté. Ensuite, nous regardons deux problèmes liés au modèle de Chalker-Coddington, une chaîne de spin supersymétrique de dimension infinie, importante pour l'étude de la transition entre plateaux dans l'effet Hall quantique entier. Puisque ce modèle a un nombre infini de degrés de liberté, il a été proposé de considérer une série de troncations. Nous présentons de nouveaux résultats basés sur cette approche et développons cette méthode dans le cadre du mouvement Brownien dans sa formulation supersymétrique. Ensuite, un nouveau modèle est proposé pour interpoler la classe A et la classe C de l'effet Hall quantique. Le modèle de Chalker-Coddington est une réalisation particulière de la classe A tandis que la classe C, qui décrit la physique de l'effet Hall quantique de spin, est relié à un modèle de percolation. Ce modèle donne un exemple de flot sous l'action du groupe de renormalisation entre une théorie conforme compacte et non-compacte. La dernière partie de cette thèse discute la classification des observables sur réseau avec une symétrie discrète. Le processus est illustré sur le modèle de Potts avec sa symétrie sous l'action du groupe des permutations et des résultats déjà connus sont étendus au cas des opérateurs non-scalaires. Cette approche est importante dans l'étude de l'indécomposabilité des modèles non-unitaires et peut être utilisée pour étudier la percolation en dimension supérieure.
Étude de l’effet des interactions élastiques et électroniques dans les théories de champs en basse dimension Cette thèse explore l'effet des interactions dans plusieurs théories des champs de basse dimension à l'aide de techniques analytiques perturbatives et non perturbatives de la théorie des champs. Nous nous concentrons principalement sur les systèmes planaires de la physique de la matière condensée et leurs transitions de phase, thermiques ou quantiques, induites par les interactions. Ces dernières sont caractérisées par des dimensions anormales, ou de manière équivalente des exposants critiques, qui sont des observables physiques universelles calculables avec les techniques de diagramme de Feynman multi-boucles. Une première partie est consacrée à l'étude des fluctuations élastiques dans plusieurs théories statistiques des champs associées à la phase plate des membranes polymérisées, omniprésentes en physique. Nous explorons leurs propriétés mécaniques critiques, en particulier la rigidité anormale induite par les corrélations à longue portée que nous calculons à un ordre en boucles élevé. Une variante incluant du désordre est aussi considérée par la technique des répliques, dévoilant une nouvelle transition de plissement vers une phase de verre. Une deuxième partie examine plusieurs théories de jauge abéliennes en basse dimension, qui sont particulièrement utiles pour décrire les systèmes quantiques fermioniques planaires fortement corrélés comme le graphène à basse énergie. Nous considérons également une extension minimalement supersymétrique en relation avec un potentiel supergraphène. Pour ces modèles, nous calculons les exposants critiques, par un développement en boucles ou Nf, et abordons la possibilité d'une transition de phase métal isolant par la génération dynamique d'une masse pour l'électron.
On a compris ces dernières années que certaines mesures d'intrications sont un outil efficace pour la compréhension et la caractérisation de phases nouvelles et exotiques de la matière, en particulier lorsque les méthodes traditionnelles basées sur l'identification d'un paramètre d'ordre sont insuffisantes. Cette thèse porte sur l'étude de quelques systèmes quantiques à basse dimension où un telle approche s'avère fructueuse. Parmi ces mesures, l'entropie d'intrication, définie via une bipartition du système quantique, est probablement la plus populaire, surtout à une dimension. Celle-ci est habituellement très difficile à calculer en dimension supérieure, mais nous montrons ici que le calcul se simplifie drastiquement pour une classe particulière de fonctions d'ondes, nommées d'après Rokhsar et Kivelson. L'entropie d'intrication peut en effet s'exprimer comme une entropie de Shannon relative à la distribution de probabilité générée par les composantes de la fonction d'onde du fondamental d'un autre système quantique, cette fois-ci unidimensionnel. Cette réduction dimensionnelle nous permet d'étudier l'entropie aussi bien par des méthodes numériques (fermions libres, diagonalisations exactes, ...) qu'analytiques (théories conformes). Nous argumentons aussi que cette approche permet d'accéder facilement à certaines caractéristiques subtiles et universelles d'une fonction d'onde donnée en général.Une autre partie de cette thèse est consacrée aux trempes quantiques locales dans des systèmes critiques unidimensionnels. Nous insisterons particulièrement sur une quantité appelée écho de Loschmidt, qui est le recouvrement entre la fonction d'onde avant la trempe et la fonction d'onde à temps t après la trempe. En exploitant la commensurabilité du spectre de la théorie conforme, nous montrons que l'évolution temporelle doit être périodique, et peut même être souvent obtenue analytiquement. Inspiré par ces résultats, nous étudions aussi la contribution de fréquence nulle à l'écho de Loschmidt après la trempe. Celle-ci s'exprime comme un simple produit scalaire -- que nous nommons fidélité bipartie -- et est une quantité intéressante en elle-même. Malgré sa simplicité, son comportement se trouve être très similaire à celui de l'entropie d'intrication. Pour un système critique unidimensionnel en particulier, notre fidélité décroît algébriquement avec la taille du système, un comportement rappelant la célèbre catastrophe d'Anderson. L'exposant est universel et relié à la charge centrale de la théorie conforme sous-jacente.