Comprender los fenomenos fisicoquimicos que ocurren a nivel subatomico es factor fundamental para entender el comportamiento de la materia a estas escalas de energia. Es necesario hacer uso de la ecuacion de Schrodinger para modelar de forma aproximada el movimiento de los atomos que componen una molecula. Durante el desarrollo de este trabajo de grado, se abordo el estudio de la ecuacion de Schrodinger y su aplicacion en el movimiento de moleculas diatomicas. A traves de la cual se describe el potencial de interaccion, asi como las energias traslacionales, rotacionales y vibracionales de dichas moleculas. De igual forma se estudia el Hamiltoniano en forma general, y particularmente para la molecula de hidrogeno. De esta manera se establecieron las bases para abordar el estudio de algunas moleculas, acerca de las cuales hasta la culminacion de este trabajo, no se habia presentado un estudio general ni detallado en la literatura, como la molecula de BrCl para la cual se realizo este analisis fenomenologico.
Comprender los fenomenos fisicoquimicos que ocurren a nivel subatomico es factor fundamental para entender el comportamiento de la materia a estas escalas de energia. Es necesario hacer uso de la ecuacion de Schrodinger para modelar de forma aproximada el movimiento de los atomos que componen una molecula. Durante el desarrollo de este trabajo de grado, se abordo el estudio de la ecuacion de Schrodinger y su aplicacion en el movimiento de moleculas diatomicas. A traves de la cual se describe el potencial de interaccion, asi como las energias traslacionales, rotacionales y vibracionales de dichas moleculas. De igual forma se estudia el Hamiltoniano en forma general, y particularmente para la molecula de hidrogeno. De esta manera se establecieron las bases para abordar el estudio de algunas moleculas, acerca de las cuales hasta la culminacion de este trabajo, no se habia presentado un estudio general ni detallado en la literatura, como la molecula de BrCl para la cual se realizo este analisis fenomenologico.
RESUMEN: En este trabajo se estudia la cuantificación del entrelazamiento entre el movimiento vibracional y rotacional en moléculas diatómicas polares sometidas a campos eléctricos externos. Si bien los estados vibrorotacionales estacionarios presentan separabilidad (y por tanto, no presentan entrelazamiento) la presencia de un campo externo (tanto estático como dinámico en forma de pulsos) produce funciones de onda rotovibracionales de superposición lineal que implican correlación vibrorotacional. Se analizan las entropías de entrelazamiento de dichas funciones correlacionadas en función de la intensidad del campo estático. En el caso dinámico, se analiza el establecimiento de entrelazamiento y su dinámica en función de los parámetros del pulso (amplitud, frecuencia, duración, fase) de forma que a través de ellos pueda realizarse un control para generar estados con una magnitud de entrelazamiento deseada (máxima o mínima). Los cálculos de entropías se realizan en términos de entropías lineales y de von Neumann, la cuales se calculan a través de los autovalores de las matrices densidad reducidas (vibracionales y rotacionales) con la implementación del teorema de Schmidt.
El objetivo de la tesis es el estudio de fenomenos disipativos en el ambito de la Mecanica Cuantica mediante modelos basados en Ecuaciones en Derivadas Parciales. Nos centramos en la formulacion de onda adaptada a este tipo de mecanismos, estudiando que terminos no lineales pueden tener cabida en una ecuacion de Schrodinger disipativa y analizando el buen planteamiento del problema de Cauchy asociado a algunas ecuaciones de Schrodinger que contienen dichos terminos. Prestamos especial atencion a los efectos de friccion y difusion, estudiando generalizaciones cuanticas de la ecuacion de Langevin para el movimiento browniano clasico. Este analisis esta estrechamente relacionado con el problema de la existencia de un argumento suficientemente regular para una funcion de onda dada, al que prestamos atencion especifica.
El modelado de este tipo de procesos es un campo de gran interes en Fisica y en Ingenieria. A escalas en las que los efectos cuanticos son esenciales, el analisis de fenomenos disipativos constituye una cuestion de interes creciente por su gran aplicabilidad en multiples ramas como dinamica browniana, dispersion de iones pesados, optica cuantica, estudio del efecto tunel cuantico o diseno de dispositivos semiconductores.
En esta tesis doctoral, se han investigado la estructura electronica y las propiedades de dos tipos de moleculas Rydberg poliatomicas que difieren en el mecanismo de enlace que las forma.
En primer lugar, se ha analizado el impacto de un campo electrico externo en una molecula Rydberg triatomica, formada por un atomo de rubidio en un estado Rydberg y dos atomos de la misma especie en el estado fundamental. Para ello, se han considerado tres configuraciones geometricas de la molecula Rydberg: dos lineales y una plana. En este sistema el mecanismo de enlace se debe a la colision a baja energia entre el electron Rydberg y los atomos en el estado fundamental. La estructura electronica de estas moleculas Rydberg triatomicas se ha descrito dentro de la aproximacion de Born-Oppenheimer, y la interaccion entre el electron Rydberg y los atomos en el estado fundamental en el marco de la teoria de colisiones a bajas energias usando los pseudo-potenciales de Fermi de onda-s y onda-p. Se ha mostrado que las curvas y superficies de potencial adiabaticas, presentan un comportamiento oscilatorio a medida que aumenta la distancia entre los atomos en estado fundamental y el core ionico, que refleja el caracter oscilatorio de la funcion de onda del electron Rydberg. Los pozos de potencial de estos estados electronicos adiabaticos son lo suficientemente profundos para albergar estados vibracionales donde esta molecula triatomica existiria. Se ha mostrado que el efecto principal del campo electrico externo es aumentar el caracter de enlace vibracional de estos estados electronicos adiabaticos, ya que los pozos de potencial se hacen mas profundos.
En la segunda parte de esta tesis doctoral, se ha investigado la estructura electronica de moleculas Rydberg poliatomicas formadas por un atomo Rydberg y una o dos moleculas diatomicas heteronucleares. Se ha considerado como prototipo la molecula Rydberg poliatomica formada por un atomo de rubidio en un estado Rydberg y una o dos moleculas de KRb. En este sistema, el mecanismo de enlace se debe a la dispersion anisotropica del electron Rydberg con el momento dipolar electrico permanente de la molecula polar. Dentro de la aproximacion Born-Oppenheimer, se ha descrito de manera realista el movimiento rotacional interno de la molecula diatomica usando la approximacion de rotor rigido. Para la molecula Rydberg triatomica, se han explorado los estados electronicos adiabaticos que surgen del multiplete Rydberg Rb(n, l ≥ 3), al variar el numero cuantico principal n, y de los estados Rydberg Rb(26d), Rb(28s) y Rb(27p). En todos estos casos los potenciales Born-Oppenheimer muestran un caracter oscilatorio con configuraciones estables, donde existen estados vibracionales ligados. Para la molecula Rydberg pentaatomica, se ha analizado una configuracion lineal simetrica y otra asimetrica, y se han estudiado la metamorfosis de las curvas de potencial Born-Oppenheimer cuando la distancia entre las moleculas diatomicas y el core Rydberg aumenta. Para molecula Rydberg pentaatomica, nuestro estudio ha estado centrado en los niveles electronicos que se forman a partir del multiplete degenerado Rydberg Rb(n = 20, l ≥ 3) y el estado Rydberg Rb(23s), con las moleculas de KRb en el estado rotacionales fundamental y excitados respectivamente. Al igual que para molecula Rydberg triatomica, se han encontrado estados electronicos estables con pozos de potencial que poseen varios estados vibracionales. Dado que las moleculas diatomicas pueden rotar dentro de es tas moleculas Rydberg poliatomicas, se ha analizado el impacto del campo electico inducido por el atomo Rydberg en su dinamica rotacional. Se ha demostrado que las propiedades direccionales de la molecula KRb dependen en gran medida del estado Rydberg y del estado rotacional inicial de la molecula KRb que forman la molecula de alcance ultra-largo. Asi, si el multiplete degenerado Rydberg forma la molecula Rydberg, la molecula de KRb esta bastante orientada y alineada, y lo mismo sucede si inicialmente el KRb se encuentra en su estado rotacional fundamental.
Este artículo ofrece un enfoque detallado para la derivación y análisis de la ecuación de Dirac, subrayando su importancia en la física cuántica-relativista. Se exploran las bases matemáticas detrás de la ecuación, incluyendo el uso de matrices de Pauli y matrices gamma, y se discuten las soluciones tanto para partículas en reposo como en movimiento. Se analizan también las aplicaciones de la ecuación en el contexto de la física de partículas y la física del estado sólido, prestando especial atención a las interacciones con campos electromagnéticos y el fenómeno de la antimateria. Este trabajo busca no solo presentar las ecuaciones, sino también ofrecer una discusión profunda de los conceptos subyacentes, con el objetivo de proporcionar una comprensión completa y accesible para estudiantes e investigadores.
El tema central de la tesis doctoral es el análisis de los sistemas cuánticos abiertos. Estos sistemas se caracterizan por estar sometidos a la interacción con el entorno, lo que provoca que su evolución deje de ser unitaria. Es por tanto necesario considerar modelos más allá de la ecuación de Schrödinger. Los sistemas cuánticos abiertos aparecen en numerosos campos, como la Física del Estado Sólido y la Dinámica Molecular. Por este motivo, un análisis detallado de sus propiedades y su dinámica es un tema digno de estudio con un gran abanico de aplicaciones. El enfoque elegido en esta tesis es el desarrollo de un formalismo geométrico que describa de forma adecuada las características de los sistemas cuánticos abiertos. La geometría diferencial ha demostrado ser una herramienta muy útil en el análisis de sistemas físicos. Desde mediados del siglo XX, se ha desarrollado con gran éxito una descripción geométrica de la Mecánica Clásica, principalmente en torno a las mecánicas lagrangiana y hamiltoniana. Por este motivo, resulta natural describir también los sistemas cuánticos en términos geométricos. Las ventajas de un formalismo geométrico resultan claras. Cuando tanto los sistemas clásicos como los cuánticos se describen en los mismos términos, es sencillo describir situaciones en las que existan interacciones clásico-cuánticas. Éste es el caso, por ejemplo, de muchos modelos de Dinámica Molecular, en los que los núcleos y los electrones son considerados respectivamente como partículas clásicas y cuánticas. Por otra parte, un formalismo geométrico de la Mecánica Cuántica posibilita un mejor entendimiento de las diferencias intrínsecas entre las teorías clásicas y las cuánticas. Dada su relevancia a lo largo de la tesis, el Capítulo 1 está enfocado al resumen y el análisis de la descripción geométrica de la imagen de Schrödinger de la Mecánica Cuántica. En formulación usual (algebraica), esta imagen se basa en la representación de los estados de los sistemas cuánticos mediante vectores en un espacio de Hilbert complejo. La transición a una formulación basada en geometría diferencial es inmediata para sistemas finito-dimensionales, dado que los espacios lineales de dimensión finita son casos triviales de variedades diferenciables. Las estructuras adicionales, en concreto el producto hermítico propio de los espacios de Hilbert y los escalares complejos, se describen mediante campos tensoriales en dichas variedades diferenciables, formando lo que se conoce como una estructura Kähler. Todos los ingredientes necesarios para el análisis de sistemas cuánticos pueden describirse en estas variedades de Kähler. Los observables se representan mediante funciones diferenciables, mientras que la dinámica se describe mediante curvas integrales de campos vectoriales hamiltonianos respecto a la forma simpléctica de la estructura Kähler. Esta caracterización puede llevarse a cabo en el espacio de Hilbert asociado a cualquier sistema cuántico finito-dimensional. Además, es posible analizar las propiedades geométricas del espacio proyectivo de Hilbert, el cual constituye el conjunto de estados puros del sistema. Su estructura Kähler puede ser deducida mediante un proceso de reducción de la estructura previamente obtenida en el espacio de Hilbert. Como aspecto novedoso, la tesis presenta en detalle este proceso de reducción, dotándolo de una descripción matemática adecuada. Todas las características de la imagen de Schrödinger pueden describirse de forma geométrica, lo que permite utilizar nuevas herramientas en el análisis de los sistemas cuánticos. Éste es precisamente el tema principal del Capítulo 2, en el cual se utilizan los sistemas de Lie-Kähler para resolver la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo. En geometría diferencial, un sistema de Lie es un sistema no homogéneo de ecuaciones diferenciales que admite una regla de superposición. En general, la obtención de esta regla de superposición es una ardua tarea, la cual puede aligerarse en presencia de estructuras adicionales que sean preservadas por la acción del sistema de Lie. De esta forma, según la estructura preservada, es posible hablar de sistemas de Lie-Hamilton, Lie-Dirac, etc. En el caso de la Mecánica Cuántica, una ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo es un sistema de Lie que preserva la estructura de Kähler previamente descrita. Es por tanto un nuevo tipo de sistema de Lie, al que resulta natural denominar de Lie-Kähler. El Capítulo 2 presenta las propiedades de estos nuevos sistemas y describe un método riguroso para la obtención de sus reglas de superposición. El formalismo geométrico puede extenderse más allá de la imagen de Schrödinger, lo que resulta necesario en el contexto de los sistemas cuánticos abiertos, dado que tanto estados puros como estados mezcla son necesarios para su descripción. Por este motivo, el Capítulo 3 resume la imagen de Heisenberg de la Mecánica Cuántica y su representación de los estados puros y mezcla como funcionales lineales en el álgebra de Lie-Jordan de observables. Se explica también como las estructuras algebraicas de los observables pueden representarse geométricamente en el espacio dual de funcionales lineales en el álgebra. Este es el punto de partida de una de las principales contribuciones de la tesis. Un proceso de reducción, similar al realizado en el análisis de la imagen de Schrödinger, permite describir las propiedades geométricas de la variedad de estados puros y mezcla del sistema. De esta forma, se obtienen dos campos tensoriales en la variedad de estados, los cuales representan correctamente las estructuras algebraicas de los observables. Puede por tanto concluirse que el formalismo geométrico presentado en la tesis es completamente equivalente a la descripción algebraica tradicional, ya que se logra describir adecuadamente todas las propiedades de los sistemas cuánticos. Además, el formalismo geométrico ofrece una visión más clara de las propiedades intrínsecas de la Mecánica Cuántica, lo que facilita una mejor comprensión de la teoría. Por otra parte, un análisis geométrico de la variedad de estados permite estudiar su estratificación y sus propiedades. La tesis demuestra que se trata de una variedad con borde, cuyos puntos extremales son precisamente los estados puros del sistema. La estratificación de esta variedad resulta importante a la hora de considerar la dinámica inducida por campos gradiente y hamiltonianos. Con el objetivo de ilustrar todas estas propiedades, se analizan unos casos sencillos pero con relevancia física. A lo largo de la tesis, se muestran diversas aplicaciones del formalismo geométrico al análisis de sistemas cuánticos abiertos. El Capítulo 4 presenta la descripción de la evolución markoviana de sistemas cuánticos abiertos. Se dice que una evolución es markoviana si depende únicamente en el estado actual del sistema y no de los estados en instantes anteriores, es decir, si el sistema "no tiene memoria". En Mecánica Cuántica, la evolución markoviana se obtiene a partir de la ecuación de Kossakowski-Lindblad, una ecuación diferencial de primer orden en la variedad de estados puros y mezcla de un sistema cuántico abierto. El formalismo geométrico describe esta ecuación como un campo tensorial en esta variedad, lo que permite analizar las propiedades de sus curvas integrales. De esta manera, es posible considerar diversos aspectos de la evolución markoviana desde un punto de vista geométrico. Cualquier evolución no-unitaria determina un cambio en las propiedades algebraicas de los observables cuánticos, lo que puede resultar en una contracción del álgebra. En términos geométricos, esta contracción puede entenderse mediante el límite de una familia de campos tensoriales definida por el flujo del campo tensorial de Kossakowski-Lindblad. Otra característica importante de esta evolución es la existencia de variedades límite. Sus propiedades pueden determinarse gracias a la estructura afín existente, lo que a su vez permite investigar su relación con las contracciones de álgebras de observables. Por último, se ofrece una descripción geométrica de los problemas de control de sistemas cuánticos abiertos. Un análisis geométrico de la Mecánica Cuántica permite aplicar a estos problemas los resultados de la teoría de control de grupos de Lie. Como consecuencia, es posible realizar una clasificación de los sistemas cuánticos abiertos según sus propiedades de controlabilidad. Otro ejemplo de sistemas cuánticos abiertos aparece en el contexto de la Dinámica Molecular. En el estudio de sistemas moleculares, debido al gran número de partículas presentes, la ecuación de Schrödinger no puede ser resuelta ni siquiera por métodos numéricos. Por tanto, resulta útil considerar aproximaciones a la ecuación de Schrödinger. En particular, existen muchos modelos que consideran un comportamiento clásico de algunas de las partículas, normalmente los núcleos. El Capítulo 5 resume las propiedades estos modelos moleculares, y en particular del conocido como modelo de Ehrenfest. Es posible llevar a cabo una descripción geométrica de este modelo, basándose en las descripciones de los subsistemas clásico y cuántico. Como resultado, las ecuaciones del modelo pueden escribirse como ecuaciones hamiltonianas en una variedad de Poisson. A partir de estas propiedades, la tesis presenta una generalización del modelo de Ehrenfest a distribuciones estadísticas. Este es un paso importante, ya que se demuestra que esta descripción estadística predice la aparición de efectos relacionados con el fenómeno de decoherencia, algo que no ocurre en el modelo de Ehrenfest estándar. Se han realizado simulaciones numéricas, cuyos resultados respaldan la descripción de sistemas moleculares mediante el modelo estadístico de Ehrenfest. Por último, en este contexto resulta posible considerar distribuciones estadísticas con temperatura. La tesis presenta estas dist
El objetivo de este trabajo es realizar un estudio sobre las transiciones de fase cuánticas que se presentan en el modelo de Rabi, un modelo de interacción radiación-materia entre un átomo de dos niveles y un campo bosónico. Presentaremos y analizaremos su hamiltoniano para, a partir del mismo, caracterizar las transiciones de fase cuánticas que afectan tanto al estado fundamental como a los estados excitados del sistema. Primero analizaremos la transición en el estado fundamental, realizando el estudio cuántico mediante cálculos numéricos y luego haciendo un estudio analítico dentro de una aproximación semiclásica. Ello nos permitirá comparar los resultados y comprobar la validez de esta aproximación. Después, analizaremos la transición en los estados excitados, comparando de nuevo el estudio analítico con los cálculos numéricos, exactos. Veremos que la transición de fase en el estado fundamental se debe al cambio del potencial que observa el sistema, causando la rotura de la simetría de dicho estado. Por otro lado, comprobaremos que la transición en los estados excitados solo puede ocurrir cuando ya se ha dado la transición en el estado fundamental, y veremos que se caracteriza por la degeneración en niveles de energía inferiores a cierto valor crítico. En todos los casos, comprobaremos que los cálculos semiclásicos y los exactos coinciden cuando el cociente entre las energías que caracterizan al átomo y al campo bosónico tiene un valor grande comparado con 1. Para conseguirlo, hemos desarrollado desde cero diversos códigos MATLAB con el objetivo de poder realizar los cálculos necesarios para caracterizar las transiciones. En concreto, para estudiar la transición de fase en el estado fundamental, hemos desarrollado un código que permite obtener la energía del estado fundamental del sistema y otro que permite calcular, para dicho estado, el valor esperado del número de fotones y de σz, observables que se discutirán en el texto. También hemos creado un código que muestra la forma del potencial que afecta al sistema en su estado fundamental. Del mismo modo, al estudiar la transición en los estados excitados, hemos creado un código que obtiene todos los niveles de energía del sistema, con el objetivo de calcular numéricamente la densidad de estados. Otro código permite comparar este cálculo con la expresión analítica que obtendremos de la densidad de estados, y otro último calcula el valor de σz en todos los estados del sistema. Por último, dos códigos nos permitirán crear imágenes que sirvan para ilustrar lo que sucede en las transiciones; el primero de ellos representa la forma del potencial que afecta al sistema en diversas situaciones; el segundo estudia la variación de los diez primeros niveles energéticos del sistema. Todo esto se desarrolla en el trabajo. Los códigos pueden consultarse en el apéndice.