RESUMEN: En este trabajo se estudia la cuantificación del entrelazamiento entre el movimiento vibracional y rotacional en moléculas diatómicas polares sometidas a campos eléctricos externos. Si bien los estados vibrorotacionales estacionarios presentan separabilidad (y por tanto, no presentan entrelazamiento) la presencia de un campo externo (tanto estático como dinámico en forma de pulsos) produce funciones de onda rotovibracionales de superposición lineal que implican correlación vibrorotacional. Se analizan las entropías de entrelazamiento de dichas funciones correlacionadas en función de la intensidad del campo estático. En el caso dinámico, se analiza el establecimiento de entrelazamiento y su dinámica en función de los parámetros del pulso (amplitud, frecuencia, duración, fase) de forma que a través de ellos pueda realizarse un control para generar estados con una magnitud de entrelazamiento deseada (máxima o mínima). Los cálculos de entropías se realizan en términos de entropías lineales y de von Neumann, la cuales se calculan a través de los autovalores de las matrices densidad reducidas (vibracionales y rotacionales) con la implementación del teorema de Schmidt.
RESUMEN: En este trabajo se estudia la cuantificación del entrelazamiento entre el movimiento vibracional y rotacional en moléculas diatómicas polares sometidas a campos eléctricos externos. Si bien los estados vibrorotacionales estacionarios presentan separabilidad (y por tanto, no presentan entrelazamiento) la presencia de un campo externo (tanto estático como dinámico en forma de pulsos) produce funciones de onda rotovibracionales de superposición lineal que implican correlación vibrorotacional. Se analizan las entropías de entrelazamiento de dichas funciones correlacionadas en función de la intensidad del campo estático. En el caso dinámico, se analiza el establecimiento de entrelazamiento y su dinámica en función de los parámetros del pulso (amplitud, frecuencia, duración, fase) de forma que a través de ellos pueda realizarse un control para generar estados con una magnitud de entrelazamiento deseada (máxima o mínima). Los cálculos de entropías se realizan en términos de entropías lineales y de von Neumann, la cuales se calculan a través de los autovalores de las matrices densidad reducidas (vibracionales y rotacionales) con la implementación del teorema de Schmidt.
Los corrales cuánticos presentan propiedades interesantes debido a la interesante \ncombinación de confinamiento y focalización algunas de las cuales fueron observadas experimentalmente. Estudiamos el comportamiento estático y dinámico de estos sistemas. \nEn primer lugar analizamos el caso del corral cuántico no interactuante (sin impurezas), y con parámetros realistas obtuvimos los autoestados la elipse con el modelo de pared dura. Posteriormente estudiamos el sistema en presencia de dos impurezas de Kondo de espín S = 1/2 localizadas en los focos de la elipse. Éstas interactúan con los electrones itinerantes en la elipse vía un término de superintercambio J. Diagonalizamos este sistema numéricamente y estudiamos propiedades tales como correlación de espín y correlaciones dinámicas. Encontramos que, para valores de J chicos comparado con el ancho de banda, \nlos espines están en un estado singlete para número par de electrones en la elipse o triplete para número impar (régimen RKKY). En ese límite es posible describir el comportamiento a bajas energías con un hamiltoniano efectivo entre las impurezas. Para valores grandes de J más estados electrónicos están involucrados y los espines se descorrelacionan formando un estado de Kondo local con los electrones itinerantes. Estudiamos algunas magnitudes de la teoría de la información cuántica que es una herramienta alternativa para el análisis de sistemas cuánticos. Calculamos la entropía de von Neumann para diversas particiones del \nsistema y caracterizamos el cambio de régimen de RKKY al de Kondo ante el incremento de J, de acuerdo a los resultados obtenidos con el cálculo de funciones de correlaciones estáticas y dinámicas. \nAdicionalmente consideramos fluctuaciones de carga en los estados de las impurezas y analizamos propiedades estáticas y dinámicas en función de los parámetros relevantes del sistema. El modelo estudiado consiste de dos impurezas de Anderson localizadas en los focos e hibridizadas con magnitud V a los electrones en la elipse. Con el estudio de la correlación de espín entre las impurezas, y entre una impureza y los electrones en un mismo foco, caracterizamos los regímenes RKKY y Kondo. Esto está de acuerdo con los resultados obtenidos con la densidad de estados electrónica calculada usando un modelo más realista que incluye la hibridización con estados del continuo. \nEncontramos una relación entre el entrelazamiento entre las impurezas de espín y \nobservables físicos del sistema. Con ésto obtuvimos el diagrama de fases de entrelazamiento entre las impurezas para llenado par e impar, que presenta regiones en las que están entrelazadas y otras de estados separables.Mostramos resultados numéricos que sustentan las relaciones encontradas. \nComo aplicación adicional de los conceptos de información cuántica al estudio de las propiedades físicas de sistemas correlacionados, analizamos una cadena de espín S = 1 con condiciones de contorno abiertas y con interacción a primeros vecinos bilineal y bicuadrática (β). En particular estudiamos los modelos de Heisenberg (β = 0) y AKLT (β = 1/3). Realizamos diversos estudios en sistemas bipartitos puros y mixtos. Para caracterizar el entrelazamiento en un sistema bipartito puro usamos la entropía de von Neumann, en cambio para un sistema bipartito mixto, usamos la negatividad. Estos estudios nos permitieron estudiar las excitaciones de espín 1/2 localizadas en los bordes de la cadena [87, 88]. \nUn resultado interesante aparece cuando analizamos el entrelazamiento entre dos \npartes del sistema; que es máximo entre los extremos de la cadena y disminuye hacia el centro, reflejando el carácter fraccionario y la localización de las excitaciones de espín del modelo, que han sido observadas experimentalmente. \nEn conclusión, usando tanto técnicas tradicionales (correlaciones estáticas y dinámicas) como novedosas (información cuántica) para el estudio de sistemas interactuantes, investigamos el comportamiento de algunos sistemas nanoscópicos paradigmáticos. Para ésto utilizamos técnicas tanto analíticas como numéricas de actualidad. Esperamos que los resultados obtenidos en esta tesis sean útiles para una mejor comprensión de estos sistemas, así como para posibles aplicaciones nanotecnológicas. \n
En esta tesis se consideran problemas matematicos relacionados con dos de los fenomenos mas caracteristicos y significativos de la Mecanica Cuantica: el principio de incertidumbre de Heisenberg y el entrelazamiento. El hilo conductor lo constituyen las medidas matematicas de la incertidumbre asociada a distribuciones de probabilidad, que por un lado son indispensables para formular matematicamente este principio y cuantificar la incertidumbre asociada a los distintos sistemas cuanticos y por otro lado proporcionan una herramienta util para la caracterizacion del escurridizo fenomeno del entrelazamiento, paradigma central tanto dentro de los fundamentos de la Mecanica Cuantica como en las sorprendentes aplicaciones de la Teoria de la Informacion Cuantica. En esta memoria los dos primeros capitulos se han escrito a modo de introduccion y los siguientes contienen nuestras aportaciones originales a estos problemas. En el primer capitulo presentamos como se construyen de una forma rigurosa desde un punto de vista matematico medidas de la incertidumbre y mostramos como la entropia de Shannon ocupa un lugar preferente entre ellas. En el segundo, despues de introducir los postulados y la estructura matematica basica de la Mecanica Cuantica, analizamos en detalle el principio de incertidumbre y repasamos las distintas relaciones de incertidumbre desarrolladas hasta la fecha, asi como las argumentaciones que hacen a las relaciones de incertidumbre entropicas la formulacion mas rigurosa del principio. En este capitulo se analizara tambien el fenomeno del entrelazamiento, su significado y relevancia. Aunque el problema de su caracterizacion sigue abierto (problema de la separabilidad), se presentaran los criterios previos mas relevantes para su identificacion y se mostrara que las relaciones de incertidumbre juegan un papel util en esta tarea. Por ultimo, se dara una brevisima introduccion a la teoria de las medidas de entrelazamiento y su conexion con las medidas de incertidumbre. En el capitulo 3 se abordara el problema del calculo de entropias de polinomios ortogonales, directamente relacionado con la expresion de la incertidumbre en sistemas atomicos y moleculares; se utilizaran principalmente tecnicas analiticas, en particular de la teoria de funciones especiales. El capitulo 4 se relaciona con la derivacion de desigualdades optimas para la formulacion de relaciones de incertidumbre entropicas, apoyandonos sobre todo en tecnicas de optimizacion. A continuacion nos centraremos en el entrelazamiento y el problema de la separabilidad, para lo que principalmente utilizaremos algebra lineal y analisis matricial. En el capitulo 5 se estudiara este problema utilizando una formulacion particular del principio de incertidumbre. En el capitulo 6, motivados por la estructura interna de las condiciones de separabilidad expresadas a traves de relaciones de incertidumbre, obtendremos condiciones para la presencia de entrelazamiento a traves de medidas de la correlacion. Por ultimo, en el capitulo 7 estudiaremos como utilizar las condiciones del apartado anterior y las basadas en relaciones de incertidumbre para poder obtener informacion no solo cualitativa sino tambien cuantitativa acerca del entrelazamiento.
El intercambio de entrelazamiento es un método utilizado para distribuir las propiedades de la naturaleza subatómicas (correlaciones cuánticas) entre partículas distantes y no interactuantes. Para estudiar el intercambio de entrelazamiento multipartito, existen dos enfoques: aumentar el número de fuentes iniciales con dos partículas en cada una, o considerar dos fuentes con múltiples partículas. En este trabajo, se consideran dos fuentes con múltiples partículas. Aunque es bien sabido que los estados que presentan entrelazamiento máximo pueden mantenerse con un entrelazamiento máximo, incluso al aumentar el número de partículas consideradas inicialmente en las fuentes. En este trabajo, se analiza el intercambio de entrelazamiento para estados puros y mezclados. Con la ayuda del formalismo del operador densidad, se estudian las probabilidades de ocurrencia y, posteriormente, mediante la concurrencia triangular, se calcula el entrelazamiento. En la primera etapa, se consideran estados puros en las fuentes iniciales. Considerando estados GHZ, se observa que se obtiene la misma probabilidad de ocurrencia y el mismo entrelazamiento para cada medida de Bell, que no depende del número de partículas considerada inicialmente en las fuentes. Luego, se consideran estados tipo W, observando que se obtienen distintas probabilidades de ocurrencia y entrelazamiento, en este caso, hay una dependencia respecto al número de partículas en las fuentes. En la segunda etapa, se consideran estados mezclados mediante la definición de los estados de Werner. En particular, se consideran estados W bajo la acción de un ruido blanco o un canal de amortiguamiento, en ambas fuentes iniciales, y se discute el efecto de los ruidos sobre la cantidad de entrelazamiento intercambiado.
EN PRIMER LUGAR SE ESTUDIA LA APROXIMACION HIDRODINAMICA APLICADA A SISTEMAS CUANTICOS QUE PUEDE CONSIDERARSE COMO LA EXTENSION DEL FORMALISMO DE LA DENSIDADAL CASO DE SISTEMAS EN UN POTENCIAL EXTERNO DEPENDIENTE DEL TIEMPO EN TRES DIRECCIONES: A) PARTIENDO DE LA TEORIA CINETICA CUANTICA B) CONSIDERANDO EL PRINCIPIO VARIACIONAL QUE CONDUCE A LA ECUACION DE SCHRODINGER DEPENDIENTE DEL TIEMPO Y C) LA EXTENSION DEL TEOREMA DE HOHEMBERG Y KOHN AL CASO DINAMICO. EN LA REVISION SE RESALTAN DOS ASPECTOS: AUSENCIA DE EQUILIBRIO LOCAL EN LA DISTRIBUCION DE MOMENTOS Y PRESENCIA DE VORTICIDAD EN EL CAMPO DE VELOCIDADES. PARA INCLUIR ESTOS DOS ASPECTOS PROPONEMOS UNA DENSIDAD LANGRANGIANA CON UN TERMINO CUADRATICO EN LA VELOCIDAD Y EN EL GRADIENTE DE LA DENSIDAD. ESTE TERMINO ES EQUIVALENTE A LA EXISTENCIA DE UNA MASA COLECTIVA TENSORIAL. ANALIZAMOS EL CASO SENCILLO DE UNA MASA COLECTIVA ESCALAR DEPENDIENTE DE LA DENSIDAD OBTENIENDO LOS MODOS NORMALES DE OSCILACION EN TORNO A LA DENSIDAD DE EQUILIBRIO PARA UN SISTEMA FINITO DE NUCLEONES SATURADO EN ESPIN E ISOESPIN. ANALIZAMOS EL COMPORTAMIENTO DE LAS FRECUENCIAS DENSIDADES DE TRANSICION Y CAMPOS DE VELOCIDADES EN FUNCION DE LA MASA COLECTIVA UTILIZADA Y COMPARAMOS CONOTRAS DESCRIPCIONES DE TIPO FLUIDODINAMICO. EN LA SEGUNDA PARTE ESTUDIAMOS LA FORMULACION DE LA TEORIA DEL FUNCIONAL EN TERMINOS DEL POTENCIAL EN LUGAR DE LA DENSIDAD ELECTRONICA. COMENTAMOS NUESTRA APLICACION DE LA PRIMERA VERSION DE LA ECUACION DE ENGLERT-SCHWINGER AL GRAFITO Y PROPONEMOS UN METODO QUE NOS PERMITE PASAR DE UN FUNCIONAL DE LA DENSIDAD A OTRO DEL POTENCIAL Y QUE EN SU FORMA APROXIMADA HEMOS APLICADO PARA OBTENER UNA ECUACION DIFERENCIAL DE SEGUNDO ORDEN PARA EL POTENCIAL DONDE ESTAN INCLUIDOS LOS EFECTOS DE LA CORRELACION ADEMAS DEL INTERCAMBIO Y DE LA PRIMERA CORRECCION POR INHOMOGENEIDAD.
En esta tesis estudiaremos diversos aspectos del entrelazamiento entre diferentes particiones de sistemas de muchos cuerpos, tanto para el estado fundamental como para estados térmicos. Consideraremos en general aquellos sistemas definidos por Hamiltonianos cuadráticos en operadores locales y en particular el caso de redes de espines. Con este fin se desarrollará en primer lugar una generalización de la aproximación denominada CSPA de la función de partición de sistemas cuánticos compuestos, así como del formalismo RPA, al que se reduce el primero en situaciones donde el sistema admite soluciones de campo medio estables. A partir de la función de partición aproximada se estimará la concurrencia de pares para redes de espines 1/2 invariantes ante translaciones. Se mostrará también que en redes de espín 1/2 invariantes traslacionales la función de partición en la aproximación RPA puede evaluarse en forma analítica. En segundo lugar se presentará un mapeo bosónico consistente con RPA, que nos permitirá mapear el estado fundamental de un sistema general a un estado en el sistema de bosones que en primera aproximación pertenece a la clase de los estados Gaussianos. Esto nos permitirá estimar el entrelazamiento entre cualquier par de partes del sistema original en términos del entrelazamiento en estados Gaussianos, que puede ser evaluado exactamente. Luego se mostrarán resultados concretos en redes generales de espín s invariantes ante transformaciones de “paridad de espín z”. Veremos además como este tratamiento nos permite determinar las condiciones exactas para la existencia de un campo factorizante del sistema, esto es, configuraciones particulares del campo magnético externo para las que el sistema admite un (o en general varios) estado(s) fundamental(es) completamente separables. En los ejemplos estudiados, mostraremos cómo en el caso en que estos estados presenten ruptura espontánea de simetría el sistema desarrolla correlaciones cuánticas de largo alcance en la vecindad de ese punto, independientemente del alcance de las interacciones entre las partes. Finalmente se analizará en detalle el comportamiento exacto del sistema en esas condiciones.
La extensión del concepto de entrelazamiento a sistemas de componentes indistinguibles, y en particular a sistemas fermiónicos es un problema fundamental que ha recientemente suscitado gran interés. En este trabajo se desarrolla y examina en profundidad esta extensión, considerando además su rol en información cuántica y en la caracterización de correlaciones en sistemas fuertemente interactuantes. En primer lugar se considera el denominado entrelazamiento de un cuerpo, que es una medida de correlaciones fermiónicas basada en la matriz densidad de un cuerpo (SPDM) y que cuantifica la desviación de un estado puro fermiónico de un determinante de Slater. Se analiza su comportamiento en el estado fundamental de un sistema superconductor y de otros sistemas fuertemente interactuantes, mostrándose su correlación con el parámetro de orden correspondiente y saturación en el régimen de acoplamiento fuerte. Se examina también el entrelazamiento de estados reducidos del sistema por medio de la concurrencia fermiónica, mostrando que caracteriza la transición de fase. En segundo lugar se analizan aspectos formales del entrelazamiento de un cuerpo. Se demuestra que el mismo puede ser considerado formalmente como un recurso cuántico. La teoría de recursos asociada tiene al conjunto de determinantes de Slater como estados libres, y un conjunto de operaciones, que incluyen transformaciones unitarias de un cuerpo y medidas de ocupación de un modo, como operaciones libres. Se introduce también una formulación general bipartita del entrelazamiento de un cuerpo, basada en una descomposición tipo Schmidt 1 −(N −1) de un estado puro de N fermiones, en la que la SPDM emerge naturalmente. Finalmente se generaliza esta formulación bipartita, separando los estados de M < N y (N − M) fermiones. Esta descomposición se encuentra directamente vinculada con las matrices densidad de M y (N−M) cuerpos, que son isoespectrales. De aquí emerge naturalmente el concepto de entrelazamiento de M cuerpos, que generaliza el entrelazamiento de un cuerpo y provee una caracterización general de las correlaciones. Se demuestran también propiedades operacionales del mismo. Se presentan asimismo evaluaciones analíticas de los espectros de las matrices de M cuerpos en sistemas fuertemente correlacionados.