EN PRIMER LUGAR SE ESTUDIA LA APROXIMACION HIDRODINAMICA APLICADA A SISTEMAS CUANTICOS QUE PUEDE CONSIDERARSE COMO LA EXTENSION DEL FORMALISMO DE LA DENSIDADAL CASO DE SISTEMAS EN UN POTENCIAL EXTERNO DEPENDIENTE DEL TIEMPO EN TRES DIRECCIONES: A) PARTIENDO DE LA TEORIA CINETICA CUANTICA B) CONSIDERANDO EL PRINCIPIO VARIACIONAL QUE CONDUCE A LA ECUACION DE SCHRODINGER DEPENDIENTE DEL TIEMPO Y C) LA EXTENSION DEL TEOREMA DE HOHEMBERG Y KOHN AL CASO DINAMICO. EN LA REVISION SE RESALTAN DOS ASPECTOS: AUSENCIA DE EQUILIBRIO LOCAL EN LA DISTRIBUCION DE MOMENTOS Y PRESENCIA DE VORTICIDAD EN EL CAMPO DE VELOCIDADES. PARA INCLUIR ESTOS DOS ASPECTOS PROPONEMOS UNA DENSIDAD LANGRANGIANA CON UN TERMINO CUADRATICO EN LA VELOCIDAD Y EN EL GRADIENTE DE LA DENSIDAD. ESTE TERMINO ES EQUIVALENTE A LA EXISTENCIA DE UNA MASA COLECTIVA TENSORIAL. ANALIZAMOS EL CASO SENCILLO DE UNA MASA COLECTIVA ESCALAR DEPENDIENTE DE LA DENSIDAD OBTENIENDO LOS MODOS NORMALES DE OSCILACION EN TORNO A LA DENSIDAD DE EQUILIBRIO PARA UN SISTEMA FINITO DE NUCLEONES SATURADO EN ESPIN E ISOESPIN. ANALIZAMOS EL COMPORTAMIENTO DE LAS FRECUENCIAS DENSIDADES DE TRANSICION Y CAMPOS DE VELOCIDADES EN FUNCION DE LA MASA COLECTIVA UTILIZADA Y COMPARAMOS CONOTRAS DESCRIPCIONES DE TIPO FLUIDODINAMICO. EN LA SEGUNDA PARTE ESTUDIAMOS LA FORMULACION DE LA TEORIA DEL FUNCIONAL EN TERMINOS DEL POTENCIAL EN LUGAR DE LA DENSIDAD ELECTRONICA. COMENTAMOS NUESTRA APLICACION DE LA PRIMERA VERSION DE LA ECUACION DE ENGLERT-SCHWINGER AL GRAFITO Y PROPONEMOS UN METODO QUE NOS PERMITE PASAR DE UN FUNCIONAL DE LA DENSIDAD A OTRO DEL POTENCIAL Y QUE EN SU FORMA APROXIMADA HEMOS APLICADO PARA OBTENER UNA ECUACION DIFERENCIAL DE SEGUNDO ORDEN PARA EL POTENCIAL DONDE ESTAN INCLUIDOS LOS EFECTOS DE LA CORRELACION ADEMAS DEL INTERCAMBIO Y DE LA PRIMERA CORRECCION POR INHOMOGENEIDAD.
EN PRIMER LUGAR SE ESTUDIA LA APROXIMACION HIDRODINAMICA APLICADA A SISTEMAS CUANTICOS QUE PUEDE CONSIDERARSE COMO LA EXTENSION DEL FORMALISMO DE LA DENSIDADAL CASO DE SISTEMAS EN UN POTENCIAL EXTERNO DEPENDIENTE DEL TIEMPO EN TRES DIRECCIONES: A) PARTIENDO DE LA TEORIA CINETICA CUANTICA B) CONSIDERANDO EL PRINCIPIO VARIACIONAL QUE CONDUCE A LA ECUACION DE SCHRODINGER DEPENDIENTE DEL TIEMPO Y C) LA EXTENSION DEL TEOREMA DE HOHEMBERG Y KOHN AL CASO DINAMICO. EN LA REVISION SE RESALTAN DOS ASPECTOS: AUSENCIA DE EQUILIBRIO LOCAL EN LA DISTRIBUCION DE MOMENTOS Y PRESENCIA DE VORTICIDAD EN EL CAMPO DE VELOCIDADES. PARA INCLUIR ESTOS DOS ASPECTOS PROPONEMOS UNA DENSIDAD LANGRANGIANA CON UN TERMINO CUADRATICO EN LA VELOCIDAD Y EN EL GRADIENTE DE LA DENSIDAD. ESTE TERMINO ES EQUIVALENTE A LA EXISTENCIA DE UNA MASA COLECTIVA TENSORIAL. ANALIZAMOS EL CASO SENCILLO DE UNA MASA COLECTIVA ESCALAR DEPENDIENTE DE LA DENSIDAD OBTENIENDO LOS MODOS NORMALES DE OSCILACION EN TORNO A LA DENSIDAD DE EQUILIBRIO PARA UN SISTEMA FINITO DE NUCLEONES SATURADO EN ESPIN E ISOESPIN. ANALIZAMOS EL COMPORTAMIENTO DE LAS FRECUENCIAS DENSIDADES DE TRANSICION Y CAMPOS DE VELOCIDADES EN FUNCION DE LA MASA COLECTIVA UTILIZADA Y COMPARAMOS CONOTRAS DESCRIPCIONES DE TIPO FLUIDODINAMICO. EN LA SEGUNDA PARTE ESTUDIAMOS LA FORMULACION DE LA TEORIA DEL FUNCIONAL EN TERMINOS DEL POTENCIAL EN LUGAR DE LA DENSIDAD ELECTRONICA. COMENTAMOS NUESTRA APLICACION DE LA PRIMERA VERSION DE LA ECUACION DE ENGLERT-SCHWINGER AL GRAFITO Y PROPONEMOS UN METODO QUE NOS PERMITE PASAR DE UN FUNCIONAL DE LA DENSIDAD A OTRO DEL POTENCIAL Y QUE EN SU FORMA APROXIMADA HEMOS APLICADO PARA OBTENER UNA ECUACION DIFERENCIAL DE SEGUNDO ORDEN PARA EL POTENCIAL DONDE ESTAN INCLUIDOS LOS EFECTOS DE LA CORRELACION ADEMAS DEL INTERCAMBIO Y DE LA PRIMERA CORRECCION POR INHOMOGENEIDAD.
En esta tesis desarrollamos metodos de teoria de campos para sistemas con una densidad
de materia cuantica no trivial. Esto requiere nuevas tecnicas que permitan comprender
lo que sucede cuando el vacio trivial de la teoria relativista se reemplaza por
un estado no-relativista.
La primera parte de la tesis se enfoca en obtener de manera sistematica la teoria
de campos no-relativista. Para esto, partimos de la teoria relativista y deducimos una
teoria efectiva valida para escalas de energia mucho menores que las masas de los campos.
Se estudia primero el caso bosonico, donde se obtiene una teoria no-relativista con
invariancia de escala tipo Lifshitz. A continuacion, se consideran sistemas fermionicos.
Desarrollamos un nuevo metodo, basado en el uso de proyectores de energia, que nos
permite obtener la teoria efectiva en D-dimensiones de espacio-tiempo. Como una aplicacion importante, se consideran los efectos de campos externos electromagneticos y
gravitatorios sobre teorias no-relativistas, y se determinan las interacciones que estos
producen.
La segunda parte de la tesis esta dedicada a sistemas fermionicos a densidad finita.
Primero nos enfocamos en el caso de fermiones libres, y luego discutimos teorias interactuantes.
En sistemas libres, generalizamos el metodo de los proyectores para incorporar
la densidad finita, y asi deducimos una teoria efectiva valida cerca de la superficie de
Fermi. Este formalismo reproduce la teoria de Landau de liquidos de Fermi.
Finalmente, nos enfocaremos en sistemas interactuantes. Con el objetivo de modelar
sistemas electronicos fuertemente correlacionados, como los superconductores de
altas temperaturas, estudiamos una superficie de Fermi acoplada a un boson critico.
Este boson aparece naturalmente en materia condensada como un parametro de orden;
en fisica de altas energias da lugar a un modelo efectivo de cromodinamica cuantica
a densidad finita. Analizamos las correcciones cuanticas a un lazo, que nos permiten
llegar a un non-Fermi liquid, similar a lo que se observa en puntos critico cuanticos.
A continuacion, discutimos los efectos de introducir una masa bosonica; esto nos permitira alejarnos del punto critico y estudiar otras regiones del diagrama de fases de la
teoria.
EN LA PRESENTE MEMORIA HEMOS USADO TEORIA DE FUNCIONALES DE LA DENSIDAD PARA DESCRIBIR EL ESTADO FUNDAMENTAL DE ALGUNOS SISTEMAS FEMIONICOS Y BOSONICOS ESTACIONARIOS. LOS CAPITULOS 2 Y 3 ESTAN DEDICADOS AL ESTUDIO DEL ESTADO FUNDAMENTAL DE PEQUENOS AGREGADOS METALICOS; ASI HAREMOS UNA DESCRIPCION VARIACIONAL DE SU ESTADO FUNDAMENTAL, Y SE OBTENDRA UNA FORMULA ANALITICA PARA LA ENERGIA Y OTROS OBSERVABLES. EL CAPITULO 4 ESTUDIA, EN LA APROXIMACION DE THOMAS-FERMI RELATIVISTA, LA ESTRUCTURA DE ENANAS BLANCAS EN LAS QUE SE HA INTRODUCIDO UNA DEBIL AUTOINTERACCION DE CORTO ALCANCE. EL CAPITULO 5 ABORDA UNA DESCRIPCION VARIACIONAL DEL ESTADO FUNDAMENTAL DE AGREGADOS DE 4HE CUYA ENERGIA SE EXPRESA MEDIANTE UN POTENCIAL FENOMENOLOGICO DE LA MATRIZ DENSIDAD DE UN CUERPO. FINALMENTE LOS CAPITULOS 6, 7 Y 8 ESTAN DEDICADOS AL ESTUDIO DEL ESTADO FUNDAMENTAL DE TRES SISTEMAS BOSONICOS EN LA APROXIMACION DE HARTREE: ESFERA AUTOGRAVITANTE DE BOSONES, ESFERA AUTOYUKAWIANA DE BOSONES, Y ATOMO BOSONICO; LA ENERGIA DEL SISTEMA ES PUESTA EN FUNCION DE LA DENSIDAD NUMERO DE PARTICULAS Y MINIMIZADA RESPECTO A VARIACIONES DE ESTA DENSIDAD; ESTA FORMULACION ES EQUIVALENTE A RESOLVER EL ESTADO FUNDAMENTAL DE UN SISTEMA DE BOSONES IDENTICOS EN APROXIMACION DE HARTREE DE FORMA QUE EL HAMILTONIANO CONTIENE UN POTENCIAL PROMEDIO CREADO POR LA ASAMBLEA, Y UN POTENCIAL EXTERNO.
Esta tesis es una contribucion multidisciplinar a la teoria de funciones especiales (ver Parte I: Funciones especiales y teoria de la informacion), a la teoria de la informacion de los sistemas cuanticos (ver Parte II: Mecanica cuantica y teoria de la informacion, Relaciones de incertidumbre), y a la fisica molecular (ver Parte III: Dimeros alcalinos en campos electricos).
En la Parte I, que esta conformada por tres capitulos, se investigan varias medidas de informacion de las soluciones de ecuaciones diferenciales de tipo hipergeometrico e hipergeometrico generalizado. Entre las citadas soluciones se encuentran un gran numero de funciones especiales de la matematica aplicada y de la fisica matematica, que aparecen de forma natural en la formulacion matematica de una gran cantidad de problemas fisicos. Se calcula la informacion de Fisher y las entropias de Shannon, Renyi y Tsallis, que cuantifican de forma complementaria el esparcimiento de estas funciones de un modo mas apropiado que la varianza. Ademas, se consideran otras medidas de informacion, como los planos y los productos de informacion, que combinan dos de las medidas de esparcimiento ya citadas.
El Capitulo 1 introduce los elementos fundamentales de la teoria de la informacion que se usaran en las dos primeras partes: las medidas teoricas de informacion, tales como e.g. la entropia de Shannon, y la informacion de Fisher. Ademas, se mencionan algunas de sus propiedades y, en particular, las relaciones de incertidumbre que satisfacen. El Capitulo 2 aborda el calculo analitico de la informacion de Fisher de las densidades de probabilidad, asociadas a las soluciones de ecuaciones diferenciales de tipo hipergeometrico e hipergeometrico generalizado, a partir de los valores esperados de los coeficientes de dichas ecuaciones diferenciales. Este estudio se hace de forma general para cualquier ecuacion y posteriormente se presentan casos concretos con el fin de ilustrar esta tecnica. El Capitulo 3 presenta dos nuevas medidas de informacion: el plano de Cramer-Rao, en el cual se representan la informacion de Fisher y la varianza, y el producto de Cramer-Rao, consistente en el producto de estas dos medidas de esparcimiento. Las tres familias de polinomios clasicas, i.e. Hermite, Laguerre y Jacobi, se estudian en el marco de estas nuevas medidas de informacion.
La Parte II de la Tesis, que consta de los capitulos 4 al 6, aborda el calculo de las distintas medidas de informacion de sistemas mecano-cuanticos realistas, encontrandose nuevas relaciones de incertidumbre y cotas a magnitudes fisicas relevantes como la propia informacion de Fisher o la energia cinetica. Ademas, en el segundo y tercer capitulo de esta parte se hace hincapie en los sistemas sometidos a potenciales centrales, entre los que se incluyen todos los sistemas de dos cuerpos cuya interaccion depende unicamente de la distancia entre los mismos, como es el caso del atomo hidrogenoide; o sistemas prototipicos clave en el desarrollo de la mecanica cuantica y con multitud de aplicaciones, como es el oscilador armonico.
El Capitulo 4 plantea el calculo de la entropia de Shannon y la informacion de Fisher de la densidad de probabilidad mecano-cuantica de una particula en un potencial central lineal monodimensional. Mientras la informacion de Fisher se calcula de forma analitica para todos los estados del sistema, para la entropia de Shannon se halla su comportamiento asintotico en el limite de los estados altamente excitados. En el Capitulo 5 se aborda el problema general del calculo de la informacion de Fisher para sistemas centrales en espacios de dimensionalidad arbitraria. Se encuentran expresiones cerradas de la informacion de Fisher en los espacios de posiciones y momentos en terminos de los valores esperados radiales de la densidad de probabilidad y se halla una relacion de incertidumbre basada en estas medidas de informacion. Esta relacion es comparable a la relacion de incertidumbre entropica de Bialynicki-Birula y Mycielski basada en la entropia de Shannon, y a la relacion de incertidumbre de Heisenberg basada en la varianza, la cual, ademas, se consigue mejorar para estos sistemas. En el Capitulo 6 se continua el estudio de los sistemas centrales de dimensionalidad arbitraria, centrandose en la acotacion de la energia cinetica de sistemas monoparticulares por medio de algunos valores esperados radiales de posicion. Finalmente, habida cuenta de la reciprocidad entre los espacios de posiciones y momentos, se pueden definir cotas similares para la susceptibilidad diamagnetica a partir de las cotas a la energia cinetica.
En la tercera y ultima parte de esta tesis, que consta de los capitulos 7 y 8, se estudia de la dinamica rotacional de las moleculas diatomicas heteronucleares bajo la accion de campos electricos externos homogeneos y variables con el tiempo. En los ultimos anos, el analisis teorico y experimental de moleculas ultrafrias, tanto de sus propiedades como de su produccion, se ha convertido en una piedra angular de la moderna fisica molecular. El tratamiento de estos sistemas en presencia de campos externos requiere una atencion especial. Estos campos permiten atrapar, enfriar y manipular el sistema, modificando simultaneamente de forma significativa su estructura interna. Este trabajo es una contribucion al analisis teorico del control de los movimientos rotacional y vibracional por medio de campos electricos dependientes del tiempo.
El Capitulo 7 es meramente descriptivo e incluye las herramientas teorico-computacionales necesarias para este trabajo. En el se deriva el Hamiltoniano que gobierna el movimiento rovibracional de un dimero polar en presencia de dichos campos electricos, y se indican las aproximaciones realizadas; en particular la de Born-Oppenheimer, que permite separar el movimiento electronico del nuclear. Ademas, se exponen las aproximaciones del rotador rigido y el rotador efectivo al Hamiltoniano que describen la accion del campo en la dinamica rotacional de aquellos sistemas que se pueden considerar como rigidos. Se concluye describiendo brevemente la tecnica computacional hibrida empleada para llevar a cabo la evolucion temporal, que combina el metodo de division del operador evolucion o metodo del split-operator, la transformada de Fourier rapida, y las representaciones de variable discreta y de base finita.
En el Capitulo 8 se discuten y analizan los resultados obtenidos para la molecula de LiCs sometida a una combinacion de campos electricos dependientes del tiempo. En primer lugar, el campo solo tiene componente en el eje z del sistema de referencia del laboratorio, y se lleva a cabo un encendido y apagado exponencial del mismo. Se realiza un detallado analisis de la dinamica rotacional en los regimenes de intensidad constante y post-pulso, al variar los tiempos caracteristicos de este proceso. En particular, se ha demostrado que es posible predecir de forma robusta el numero de estados pendulares o de ondas parciales necesarios para describir correctamente la dinamica rotacional en estos dos regimenes. Sin embargo, una vez que el campo ha sido apagado, la contribucion especifica de cada estado rotacional es muy sensible a los tiempos de encendido y apagado. El paquete de ondas final muestra una gran variedad de fenomenos de localizacion y orientacion molecular. Estos efectos son periodicos en el tiempo, y su periodo es una fraccion del periodo rotacional molecular.
En segundo lugar, tras encender la componente z del campo, este se rota hacia el eje x manteniendo siempre la intensidad constante, y finalmente se apaga. Se ha investigado la variacion de la dinamica rotacional con la duracion de la rotacion, centrando nuestra atencion en la posibilidad de transferir poblacion a estados con numero cuantico magnetico no nulo. Se ha mostrado que la contribucion de esos niveles es significativa solo si la rotacion es no-adiabatica, i.e. su duracion ha de ser inferior al periodo rotacional de la molecula. De hecho el regimen adiabatico se alcanza para giros de duracion igual o superior a un periodo rotacional. Finalmente, se ha analizado tambien el efecto de la rotacion del campo sobre los fenomenos de localizacion y orientacion del paquete de ondas final.
El tema central de la tesis doctoral es el análisis de los sistemas cuánticos abiertos. Estos sistemas se caracterizan por estar sometidos a la interacción con el entorno, lo que provoca que su evolución deje de ser unitaria. Es por tanto necesario considerar modelos más allá de la ecuación de Schrödinger. Los sistemas cuánticos abiertos aparecen en numerosos campos, como la Física del Estado Sólido y la Dinámica Molecular. Por este motivo, un análisis detallado de sus propiedades y su dinámica es un tema digno de estudio con un gran abanico de aplicaciones. El enfoque elegido en esta tesis es el desarrollo de un formalismo geométrico que describa de forma adecuada las características de los sistemas cuánticos abiertos. La geometría diferencial ha demostrado ser una herramienta muy útil en el análisis de sistemas físicos. Desde mediados del siglo XX, se ha desarrollado con gran éxito una descripción geométrica de la Mecánica Clásica, principalmente en torno a las mecánicas lagrangiana y hamiltoniana. Por este motivo, resulta natural describir también los sistemas cuánticos en términos geométricos. Las ventajas de un formalismo geométrico resultan claras. Cuando tanto los sistemas clásicos como los cuánticos se describen en los mismos términos, es sencillo describir situaciones en las que existan interacciones clásico-cuánticas. Éste es el caso, por ejemplo, de muchos modelos de Dinámica Molecular, en los que los núcleos y los electrones son considerados respectivamente como partículas clásicas y cuánticas. Por otra parte, un formalismo geométrico de la Mecánica Cuántica posibilita un mejor entendimiento de las diferencias intrínsecas entre las teorías clásicas y las cuánticas. Dada su relevancia a lo largo de la tesis, el Capítulo 1 está enfocado al resumen y el análisis de la descripción geométrica de la imagen de Schrödinger de la Mecánica Cuántica. En formulación usual (algebraica), esta imagen se basa en la representación de los estados de los sistemas cuánticos mediante vectores en un espacio de Hilbert complejo. La transición a una formulación basada en geometría diferencial es inmediata para sistemas finito-dimensionales, dado que los espacios lineales de dimensión finita son casos triviales de variedades diferenciables. Las estructuras adicionales, en concreto el producto hermítico propio de los espacios de Hilbert y los escalares complejos, se describen mediante campos tensoriales en dichas variedades diferenciables, formando lo que se conoce como una estructura Kähler. Todos los ingredientes necesarios para el análisis de sistemas cuánticos pueden describirse en estas variedades de Kähler. Los observables se representan mediante funciones diferenciables, mientras que la dinámica se describe mediante curvas integrales de campos vectoriales hamiltonianos respecto a la forma simpléctica de la estructura Kähler. Esta caracterización puede llevarse a cabo en el espacio de Hilbert asociado a cualquier sistema cuántico finito-dimensional. Además, es posible analizar las propiedades geométricas del espacio proyectivo de Hilbert, el cual constituye el conjunto de estados puros del sistema. Su estructura Kähler puede ser deducida mediante un proceso de reducción de la estructura previamente obtenida en el espacio de Hilbert. Como aspecto novedoso, la tesis presenta en detalle este proceso de reducción, dotándolo de una descripción matemática adecuada. Todas las características de la imagen de Schrödinger pueden describirse de forma geométrica, lo que permite utilizar nuevas herramientas en el análisis de los sistemas cuánticos. Éste es precisamente el tema principal del Capítulo 2, en el cual se utilizan los sistemas de Lie-Kähler para resolver la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo. En geometría diferencial, un sistema de Lie es un sistema no homogéneo de ecuaciones diferenciales que admite una regla de superposición. En general, la obtención de esta regla de superposición es una ardua tarea, la cual puede aligerarse en presencia de estructuras adicionales que sean preservadas por la acción del sistema de Lie. De esta forma, según la estructura preservada, es posible hablar de sistemas de Lie-Hamilton, Lie-Dirac, etc. En el caso de la Mecánica Cuántica, una ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo es un sistema de Lie que preserva la estructura de Kähler previamente descrita. Es por tanto un nuevo tipo de sistema de Lie, al que resulta natural denominar de Lie-Kähler. El Capítulo 2 presenta las propiedades de estos nuevos sistemas y describe un método riguroso para la obtención de sus reglas de superposición. El formalismo geométrico puede extenderse más allá de la imagen de Schrödinger, lo que resulta necesario en el contexto de los sistemas cuánticos abiertos, dado que tanto estados puros como estados mezcla son necesarios para su descripción. Por este motivo, el Capítulo 3 resume la imagen de Heisenberg de la Mecánica Cuántica y su representación de los estados puros y mezcla como funcionales lineales en el álgebra de Lie-Jordan de observables. Se explica también como las estructuras algebraicas de los observables pueden representarse geométricamente en el espacio dual de funcionales lineales en el álgebra. Este es el punto de partida de una de las principales contribuciones de la tesis. Un proceso de reducción, similar al realizado en el análisis de la imagen de Schrödinger, permite describir las propiedades geométricas de la variedad de estados puros y mezcla del sistema. De esta forma, se obtienen dos campos tensoriales en la variedad de estados, los cuales representan correctamente las estructuras algebraicas de los observables. Puede por tanto concluirse que el formalismo geométrico presentado en la tesis es completamente equivalente a la descripción algebraica tradicional, ya que se logra describir adecuadamente todas las propiedades de los sistemas cuánticos. Además, el formalismo geométrico ofrece una visión más clara de las propiedades intrínsecas de la Mecánica Cuántica, lo que facilita una mejor comprensión de la teoría. Por otra parte, un análisis geométrico de la variedad de estados permite estudiar su estratificación y sus propiedades. La tesis demuestra que se trata de una variedad con borde, cuyos puntos extremales son precisamente los estados puros del sistema. La estratificación de esta variedad resulta importante a la hora de considerar la dinámica inducida por campos gradiente y hamiltonianos. Con el objetivo de ilustrar todas estas propiedades, se analizan unos casos sencillos pero con relevancia física. A lo largo de la tesis, se muestran diversas aplicaciones del formalismo geométrico al análisis de sistemas cuánticos abiertos. El Capítulo 4 presenta la descripción de la evolución markoviana de sistemas cuánticos abiertos. Se dice que una evolución es markoviana si depende únicamente en el estado actual del sistema y no de los estados en instantes anteriores, es decir, si el sistema "no tiene memoria". En Mecánica Cuántica, la evolución markoviana se obtiene a partir de la ecuación de Kossakowski-Lindblad, una ecuación diferencial de primer orden en la variedad de estados puros y mezcla de un sistema cuántico abierto. El formalismo geométrico describe esta ecuación como un campo tensorial en esta variedad, lo que permite analizar las propiedades de sus curvas integrales. De esta manera, es posible considerar diversos aspectos de la evolución markoviana desde un punto de vista geométrico. Cualquier evolución no-unitaria determina un cambio en las propiedades algebraicas de los observables cuánticos, lo que puede resultar en una contracción del álgebra. En términos geométricos, esta contracción puede entenderse mediante el límite de una familia de campos tensoriales definida por el flujo del campo tensorial de Kossakowski-Lindblad. Otra característica importante de esta evolución es la existencia de variedades límite. Sus propiedades pueden determinarse gracias a la estructura afín existente, lo que a su vez permite investigar su relación con las contracciones de álgebras de observables. Por último, se ofrece una descripción geométrica de los problemas de control de sistemas cuánticos abiertos. Un análisis geométrico de la Mecánica Cuántica permite aplicar a estos problemas los resultados de la teoría de control de grupos de Lie. Como consecuencia, es posible realizar una clasificación de los sistemas cuánticos abiertos según sus propiedades de controlabilidad. Otro ejemplo de sistemas cuánticos abiertos aparece en el contexto de la Dinámica Molecular. En el estudio de sistemas moleculares, debido al gran número de partículas presentes, la ecuación de Schrödinger no puede ser resuelta ni siquiera por métodos numéricos. Por tanto, resulta útil considerar aproximaciones a la ecuación de Schrödinger. En particular, existen muchos modelos que consideran un comportamiento clásico de algunas de las partículas, normalmente los núcleos. El Capítulo 5 resume las propiedades estos modelos moleculares, y en particular del conocido como modelo de Ehrenfest. Es posible llevar a cabo una descripción geométrica de este modelo, basándose en las descripciones de los subsistemas clásico y cuántico. Como resultado, las ecuaciones del modelo pueden escribirse como ecuaciones hamiltonianas en una variedad de Poisson. A partir de estas propiedades, la tesis presenta una generalización del modelo de Ehrenfest a distribuciones estadísticas. Este es un paso importante, ya que se demuestra que esta descripción estadística predice la aparición de efectos relacionados con el fenómeno de decoherencia, algo que no ocurre en el modelo de Ehrenfest estándar. Se han realizado simulaciones numéricas, cuyos resultados respaldan la descripción de sistemas moleculares mediante el modelo estadístico de Ehrenfest. Por último, en este contexto resulta posible considerar distribuciones estadísticas con temperatura. La tesis presenta estas dist
La presente tesis estudia y desarrolla diferentes aproximaciones a la teoria del funcional densidad estatico (DFT) y dependiente del tiempo (TDDFT) para la descripcion de procesos no lineales en sistemas electronicos, abordando las virtudes y limitaciones de las aproximaciones (adiabaticas) que se usan normalmente en las simulaciones de respuesta dinamica a campos externos arbitrarios. En la primera parte de la tesis presentamos tres nuevos funcionales para describir el estado fundamental de un sistema fermionico. Los sistemas que se estudian son sistemas modelo de pocos electrones, mayormente en una dimension, para los cuales se tiene acceso a la solucion exacta.Mi primera contribucion ha sido el desarrollo de un funcional adinamico local (LDAy LSDA) en una dimension, construido usando resultados de simulaciones \Quantum Monte Carlo. Mi segunda contribucion es un funcional con simetria de spin rota pero localizacion espacial correcta, que es capaz de reproducir satisfactoriamente las energias de transferencia de carga entre dos atomos de una molecula. El exito de este ultimo se puede entender en terminos de un teorema de Koopmans generalizado. Mi tercera contribucion al desarrollo de funcionales para el estado fundamental consiste en plantear el funcional exacto para el modelo de Hubbard de dos sitios, encontrado usando el metodo exacto propuesto por Levy y Lieb.En la segunda parte de la tesis se estudian los espectros opticos lineales y no-lineales usando los funcionales del estado fundamental desarrollados en la primera parte de la tesis, bajo una perspectiva adiabatica (esto es, que el funcional del estado fundamentales valido para situaciones fuera del equilibrio, por lo que solo depende de la densidad instantanea y no tiene memoria de la historia pasada de la densidad). Para estudiar la calidad de los diferentes funcionales y los efectos no-adiabaticos analizamos en detalle tanto excitaciones dobles como oscilaciones de Rabi (inclusive oscilaciones con transferencia espacial de carga). Las propagaciones temporales se hicieron usando el codigo octopus (http://tddft.org/progrms/octopus) y se desarrollaron codigos propios para los modelos de Hubbard y para la busqueda del funcional adiabatico exacto. Dado el enorme cambio en la poblacion de los dos niveles de energia implicados para una oscilacion de Rabi (la poblacion del estado fundamental pasa de 100 % a 0 % en medio ciclo de Rabi y viceversa para el estado excitado) estas constituyen un ejemplo de dinamica altamente no lineal y permiten estudiar la validez de las diferentes aproximaciones al funcional densidad dependiente del tiempo en este regimen.Hemos demostrado que los funcionales adiabaticos son incapaces de describir oscilaciones de Rabi resonantes ya que siempre dan lugar a la aparicion de un desfase dinamico en la evolucion temporal del momento de dipolo. En la ultima parte de la tesis se descubre y estudia la aparicion de unas nuevas estructuras altamente no-locales (tanto en tiempo como en espacio) que presenta el funcional exacto de TDDFT para poder describir procesos dinamicos no-lineales arbitrarios. Estas estructuras (pico y escalon dinamico) deben tenerse en cuenta a la hora de desarrollar funcionales no-adiabaticos (esto es, con memoria) ya que son imprescindibles para poder abordar nuevos fenomenos de respuesta altamente no-lineal. Desde un punto de vista de las aplicaciones a sistemas complejos, los procesos dinamicos no-lineales que se han discutido en esta tesis y analizado en detalle en sistemas modelo de pocos electrones, juegan un papel primordial en la simulacion de los procesos de transferencia de carga en celulas solares organicas o entre biomoleculas y para describir la dinamica conjunta de electrones y nucleos en respuesta a campos externos ultra intensos y ultra-rapidos (atosegundos) que son accesibles en la actualidad con las nuevas fuentes de luz de los free-electron-lasers, entre otros.
En esta tesis se estudia la dinámica de no equilibrio de sistemas cuánticos aislados de muchos cuerpos. El protocolo de no equilibrio estudiado es el de un quench cuántico, es decir, una perturbación abrupta al sistema que se produce al variar instantáneamente uno de los parámetros del Hamiltoniano. Estamos particularmente interesados en las escalas de tiempo y en los mecanismos de relajación de los sistemas cuánticos aislados. Para atacar este problema utilizamos una variedad de técnicas analíticas para indagar diversos modelos. En el Capítulo 2 utilizamos la bosonización en una dimensión para estudiar la relajación por dephasing (el mecanismo que domina a tiempos cortos) en un sistema de fermiones unidimensionales con interacciones de corto y largo alcance. En el Capítulo 3 investigamos la formación de estados metaestables de tiempos cortos (estados pretermalizados) como fruto de la evolución por dephasing en un sistema de fermiones en dos dimensiones usando bosonización multidimensional. En el Capítulo 4 deducimos ecuaciones de movimiento para funciones de correlación de pocos puntos en sistemas débilmente interactuantes utilizando el formalismo del operador proyección. En el Capítulo 5 utilizamos estas ecuaciones para analizar la dinámica de tiempos largos de un sistema unidimensional de fermiones cerca del punto integrable X X Z . En este Capítulo también estudiamos la dinámica de un sistema unidimensional de bosones usando la aproximación truncada de Wigner (TWA por sus siglas en inglés), una aproximación válida en el límite semiclásico. Los hallazgos de nuestro trabajo pueden enunciarse de manera suscinta: cuando los canales de relajación del sistema son escasos y para energías lo suficientemente bajas emergen estados metaestables entre el estado inicial y el estado final de la evolución. Éstos pueden tener vidas medias muy grandes y obturar completamente la observación del equilibrio térmico en simulaciones numéricas o en experimentos. Los estados metaestables surgen como resultado del dephasing entre ciertos modos cuasilibres del sistema. Además, tales estados estacionarios admiten una descripción estadística en términos de un ensamble de Gibbs generalizado que toma en cuenta todas las cantidades conservadas del modelo efectivo de tiempos cortos. A tiempos mayores las colisiones inelásticas llevan al equilibrio térmico final. En el Capítulo 6 se detallan las conclusiones de nuestro trabajo y diversas perspectivas abiertas.