El álgebra dominio de un semigrupo completamente positivo
Luis Daniel Regalado Hernández
Dados un semigrupo completamente positivo Φ = {φ t } t≥0 y su generador L, nos preguntamos qué tan grande es la máxima ⇤-álgebra dentro de D(L), el dominio de L. Iniciaremos con la revisión de algunas topologías en B(H), el conjunto de operadores acotados sobre un espacio de Hilbert separable H, y siguiendo a W. Arveson [3] discutiremos un criterio que caracteriza a la máxima ⇤-álgebra A ⇢ D(L).Mediante un ejemplo mostraremos que la máxima álgebra puede llegar a ser tan trivial como C1l. IntroducciónEl concepto de Semigrupo Cuántico de Markov (SCM) se introdujo en física cuántica para describir la evolución disipativa de un sistema cuántico que interacción con su entorno, al cual se le llama sistema cuántico abierto.Las primeras referencias al tema datan de los años setenta del siglo pasado, [19,21].Desde entonces la noción de SCM se usa ampliamente en matemáticas y física, aplicándose de manera exitosa para describir fenómenos típicamente cuánticos como la decoherencia, que corresponde al decaimiento de las características (correlacciones) cuánticas de un sistema.Por esta razón los SCM son herramienta fundamental en áreas donde la decoherencia juega un papel relevante, tales como óptica cuántica, computación cuántica y teoría cuántica de la información y comunicación, entre otras, así como en modelos de control y transporte cuánticos.Si un SCM es uniformemente continuo y actúa sobre el álgebra de von Neumann B(H), de todos los operadores acotados sobre un espacio de Hilbert separable, el teorema de Gorini-Kossakowski-Sudarshan y Lindblad (GKSL) [14,22] establece que su generador infinitesimal L tiene la formadonde Φ es una transformación completamente positiva y G es el generador de un semigrupo fuertemente continuo de contracciones.Este resultado fue extendido posteriormente al caso de una C ⇤ -álgebra arbitraria actuando sobre un espacio de Hilbert por Christensen y Evans [8].Si el semigrupo es continuo en una topología más débil que la uniforme, la caracterización de su generador infinitesimal es un problema abierto.Un resultado de A. Holevo [18] muestra la existencia de un SCM cuyo generador no tiene una representación estándar similar a (1).No obstante, existen trabajos como [13] y otros más recientes [2, 1] que estudian ciertas clases de semigrupos cuyo generador tiene una representación estándar.En particular, Androulakis y Ziemke demuestran la existencia de una representación estándar para cierta clase de SCM donde la parte completamente positiva Φ es una transformación que asocia a cada elemento x en el álgebra dominio A del semigrupo, una forma sesquilineal Φ(x) definida sobre un subespacio de H. Pero, como demuestra Holevo [17], el álgebra dominio de un semigrupo puede consistir sólo de múltiplos de la identidad, de manera que la transformación completamente positiva Φ encontrada por Androulakis-Ziemke y, consecuentemente, la representación estándar del generador infinitesimal del semigrupo pueden estar definidas sólo sobre un subespacio no denso.El propósito del presente trabajo es estudiar a fondo el concepto de álgebra dominio de un SCM introducido por Arveson [3] y el ejemplo de Holevo [17] de un SCM con álgebra vii
•Jul 9, 2020•0 citations