Dados un semigrupo completamente positivo Φ = {φ t } t≥0 y su generador L, nos preguntamos qué tan grande es la máxima ⇤-álgebra dentro de D(L), el dominio de L. Iniciaremos con la revisión de algunas topologías en B(H), el conjunto de operadores acotados sobre un espacio de Hilbert separable H, y siguiendo a W. Arveson [3] discutiremos un criterio que caracteriza a la máxima ⇤-álgebra A ⇢ D(L).Mediante un ejemplo mostraremos que la máxima álgebra puede llegar a ser tan trivial como C1l. IntroducciónEl concepto de Semigrupo Cuántico de Markov (SCM) se introdujo en física cuántica para describir la evolución disipativa de un sistema cuántico que interacción con su entorno, al cual se le llama sistema cuántico abierto.Las primeras referencias al tema datan de los años setenta del siglo pasado, [19,21].Desde entonces la noción de SCM se usa ampliamente en matemáticas y física, aplicándose de manera exitosa para describir fenómenos típicamente cuánticos como la decoherencia, que corresponde al decaimiento de las características (correlacciones) cuánticas de un sistema.Por esta razón los SCM son herramienta fundamental en áreas donde la decoherencia juega un papel relevante, tales como óptica cuántica, computación cuántica y teoría cuántica de la información y comunicación, entre otras, así como en modelos de control y transporte cuánticos.Si un SCM es uniformemente continuo y actúa sobre el álgebra de von Neumann B(H), de todos los operadores acotados sobre un espacio de Hilbert separable, el teorema de Gorini-Kossakowski-Sudarshan y Lindblad (GKSL) [14,22] establece que su generador infinitesimal L tiene la formadonde Φ es una transformación completamente positiva y G es el generador de un semigrupo fuertemente continuo de contracciones.Este resultado fue extendido posteriormente al caso de una C ⇤ -álgebra arbitraria actuando sobre un espacio de Hilbert por Christensen y Evans [8].Si el semigrupo es continuo en una topología más débil que la uniforme, la caracterización de su generador infinitesimal es un problema abierto.Un resultado de A. Holevo [18] muestra la existencia de un SCM cuyo generador no tiene una representación estándar similar a (1).No obstante, existen trabajos como [13] y otros más recientes [2, 1] que estudian ciertas clases de semigrupos cuyo generador tiene una representación estándar.En particular, Androulakis y Ziemke demuestran la existencia de una representación estándar para cierta clase de SCM donde la parte completamente positiva Φ es una transformación que asocia a cada elemento x en el álgebra dominio A del semigrupo, una forma sesquilineal Φ(x) definida sobre un subespacio de H. Pero, como demuestra Holevo [17], el álgebra dominio de un semigrupo puede consistir sólo de múltiplos de la identidad, de manera que la transformación completamente positiva Φ encontrada por Androulakis-Ziemke y, consecuentemente, la representación estándar del generador infinitesimal del semigrupo pueden estar definidas sólo sobre un subespacio no denso.El propósito del presente trabajo es estudiar a fondo el concepto de álgebra dominio de un SCM introducido por Arveson [3] y el ejemplo de Holevo [17] de un SCM con álgebra vii
Dados un semigrupo completamente positivo Φ = {φ t } t≥0 y su generador L, nos preguntamos qué tan grande es la máxima ⇤-álgebra dentro de D(L), el dominio de L. Iniciaremos con la revisión de algunas topologías en B(H), el conjunto de operadores acotados sobre un espacio de Hilbert separable H, y siguiendo a W. Arveson [3] discutiremos un criterio que caracteriza a la máxima ⇤-álgebra A ⇢ D(L).Mediante un ejemplo mostraremos que la máxima álgebra puede llegar a ser tan trivial como C1l. IntroducciónEl concepto de Semigrupo Cuántico de Markov (SCM) se introdujo en física cuántica para describir la evolución disipativa de un sistema cuántico que interacción con su entorno, al cual se le llama sistema cuántico abierto.Las primeras referencias al tema datan de los años setenta del siglo pasado, [19,21].Desde entonces la noción de SCM se usa ampliamente en matemáticas y física, aplicándose de manera exitosa para describir fenómenos típicamente cuánticos como la decoherencia, que corresponde al decaimiento de las características (correlacciones) cuánticas de un sistema.Por esta razón los SCM son herramienta fundamental en áreas donde la decoherencia juega un papel relevante, tales como óptica cuántica, computación cuántica y teoría cuántica de la información y comunicación, entre otras, así como en modelos de control y transporte cuánticos.Si un SCM es uniformemente continuo y actúa sobre el álgebra de von Neumann B(H), de todos los operadores acotados sobre un espacio de Hilbert separable, el teorema de Gorini-Kossakowski-Sudarshan y Lindblad (GKSL) [14,22] establece que su generador infinitesimal L tiene la formadonde Φ es una transformación completamente positiva y G es el generador de un semigrupo fuertemente continuo de contracciones.Este resultado fue extendido posteriormente al caso de una C ⇤ -álgebra arbitraria actuando sobre un espacio de Hilbert por Christensen y Evans [8].Si el semigrupo es continuo en una topología más débil que la uniforme, la caracterización de su generador infinitesimal es un problema abierto.Un resultado de A. Holevo [18] muestra la existencia de un SCM cuyo generador no tiene una representación estándar similar a (1).No obstante, existen trabajos como [13] y otros más recientes [2, 1] que estudian ciertas clases de semigrupos cuyo generador tiene una representación estándar.En particular, Androulakis y Ziemke demuestran la existencia de una representación estándar para cierta clase de SCM donde la parte completamente positiva Φ es una transformación que asocia a cada elemento x en el álgebra dominio A del semigrupo, una forma sesquilineal Φ(x) definida sobre un subespacio de H. Pero, como demuestra Holevo [17], el álgebra dominio de un semigrupo puede consistir sólo de múltiplos de la identidad, de manera que la transformación completamente positiva Φ encontrada por Androulakis-Ziemke y, consecuentemente, la representación estándar del generador infinitesimal del semigrupo pueden estar definidas sólo sobre un subespacio no denso.El propósito del presente trabajo es estudiar a fondo el concepto de álgebra dominio de un SCM introducido por Arveson [3] y el ejemplo de Holevo [17] de un SCM con álgebra vii
Los semigrupos cuánticos de Markov (SCM) son una extensión no conmutativa de los semigrupos de Markov definidos en probabilidad clásica. Ellos representan una evolución sin memoria de un sistema microscopico acorde a las leyes de la física cuántica y a la estructura de los sistemas cuánticos abiertos. Esto significa que la dinámica reducida del sistema principal es descrita por un espacio de Hilbert separable complejo ???? por medio de un semigrupo ????=(????t)t≥0, el cual actúa sobre una subálgebra de von Neumann ???? del álgebra ????(????) de todos los operadores lineales acotados definidos en ????. Por simplicidad, algunas veces asumiremos que ????=????(????). El semigrupo ???? corresponde al cuadro de Heisenberg en el sentido que dado cualquier observable x, ????t(x) describe su evolución en el tiempo t. De esta forma, dada una matriz de densidad p, su dinámica (cuadro de Schrödinger) es dada por el semigrupo predual ????*t(ρ) , donde tr(ρ????t(x))=tr(????*t(ρ)x), tr(⋅) denota la operación traza. En este trabajo ofrecemos una exposición de varios resultados básicos sobre SCM. Además discutimos aplicaciones de SCM en teoría de la información cuántica y computación cuántica.
Resumen.En estas notas se exponen con detalle y de manera autocontenida las herramientas básicas de la teoría de los espacios de Hilbert complejos de dimensión infinita, que son necesarias para un primer estudio, matemáticamente riguroso, de la mecánica cuántica.En la última parte incluimos una introducción axiomática a la mecánica cuántica y una breve exposición del modelo del oscilador armónico y de la teoría de estados cuánticos Gaussianos. IntroducciónLa mecánica cuántica es la rama de la física que estudia los fenómenos físicos que ocurren en escalas de longitudes muy pequeñas.El calificativo "cuántico" surge de, en contraste con la mecánica clásica, considerar algunas cantidades que toman solamente valores discretos i.e., en "paquetes" o quantum-quanta en latín.Aún cuando hay muchas nociones de la mecánica cuántica que aún suscitan controversia, esta teoría se aplica exitosamente para describir el comportamiento de sistema físicos y sus predicciones son consistentes con los experimentos.Los sistemas físicos que estudia la mecánica cuántica, exhiben propiedades ondulatorias que se pueden describir mediante una ecuación de onda, por ejemplo, la bien conocida "ecuación de Schrödinger", que describe la evolución temporal de una partícula subatómica con masa, en el contexto no relativista.En estas notas trabajamos con el formalismo de matrices de densidad, que permite describir estados que son mezclas de estados puros.En consecuencia, este enfoque resulta ser una herramienta poderosa para describir sistemas cuánticos más generales, por ejemplo, acoplamientos (ensambles) de muchos sistemas cuánticos idénticos.El material que se presenta en este trabajo está dividido en cuatro secciones compuestas de la siguiente manera: la sección 1 contiene una selección de resultados de índole geométrico y analítico de la teoría de espacios de Hilbert: ortogonalidad y descomposición ortogonal, convexidad, operadores lineales, norma de operadores y funcionales lineales.La sección 2 se concentra en la clase de los operadores compactos, particularmente en los operadores de la clase de traza y de manera especial, en los operadores de Hilbert-Schmidt.Es relevante mencionar que los estados cuánticos se representan mediante operadores positivos de traza uno.La sección 3 se dedica al estudio de operadores no acotados que pueden no estar densamente definidos en un espacio de Hilbert.Abordamos también el estudio de operadores cerrados y cerrables, el adjunto de un operador y una introducción a la teoría espectral de operadores.Una parte esencial de esta sección son los operadores simétricos e isométricos, los cuales exhiben similitudes en sus propiedades geométricas y espectrales.Cabe señalar que las observables físicas se representan por operadores simétricos típicamente no acotados.Por último, en la sección 4 se discuten brevemente postulados de la mecánica cuántica en el marco del formalismo de matrices de densidad, se revisa el modelo del oscilador armónico cuántico y se ofrece una introducción a los estados cuánticos Gaussianos.Al final de cada sección incluimos una selección de problemas que sirven para complementar estas notas.El lector interesado puede profundizar en el estudio de resultados aquí expuestos, desde los más básicos hasta los más avanzados, en la literatura clásica de operadores lineales, por ejemplo en [1,2,3,4,13,20].
En este trabajo, se analiza una teoría que es en cierto modo una extensión natural del campo de las telecomunicaciones clásicas a la mecánica cuántica. Dicha teoría se llama tomografía cuántica y es de hecho una imagen de la mecánica cuántica equivalente a las más habituales que son la imagen de Schrödinger o la de Heisenberg. Esta nueva imagen, difiere de las precedentes en que está muy ligada a la capacidad tecnológica a la hora de medir observables (momento, energía, etc.) en el campo de la óptica cuántica, ya que su objetivo primordial es el de conseguir reconstruir el estado de un sistema cuántico a partir de mediciones en el laboratorio, y dado al avance tecnológico del instrumental de laboratorio disponible como láseres y fotodetectores, cada vez está suscitando mayor interés. En el primer capítulo, veremos cómo nace esta idea de reconstruir estados cuánticos discutiendo brevemente la técnica clásica conocida como Tomografía Axial Computerizada (TAC). Esta técnica está basada en los trabajos de Johann Karl August Radon aplicando la transformada que lleva su nombre. Introduciremos la transformada de Radon de una función de probabilidad definida en el espacio de fases para ver cómo se aplica en el caso del TAC. Para aplicar esta idea para la reconstrucción de estados cuánticos, veremos, en primer lugar, que existe una extensión natural de las técnicas de demodulación de señales moduladas en amplitud (AM) en el campo de la óptica cuántica mostrando que el papel que cumple un mezclador puede ser reemplazado por una combinación de divisores de haz y fotodetectores y mostraremos explícitamente cómo reconstruir el operador densidad que describe un estado cuántico a través de un proceso reminiscente de la transformada de Radon clásica. El segundo capítulo será el corazón de este trabajo. En él, introduciremos de manera formal la descripción tomográfica de la mecánica cuántica. Presentaremos una teoría general, para ello, trataremos a los observables como elementos de un álgebra C_ y los estados serán funcionales lineales positivos que actúen en dicha algebra. Veremos que esta descripción de la mecánica cuántica puede dividirse en dos partes, una primera con el objetivo de obtener una fórmula para reconstruir el estado de un sistema cuántico a partir de una función definida sobre un conjunto llamado conjunto tomográfico, que será un conjunto de observables que tendrá que cumplir una serie de condiciones que expondremos debidamente. A esta primera parte de la teoría, la bautizaremos como Teoría de muestreo generalizada en sistemas cuánticos. La segunda parte estará relacionada con la parte puramente experimental. Lo que hace necesario tener que añadir esta segunda parte es el hecho de que la función definida anteriormente sobre el conjunto tomográfico, que llamaremos función de muestreo, en general, no puede ser medida por medio de los dispositivos con los que contamos en un laboratorio de óptica cuántica, sin embargo, a partir de las mediciones hechas con un fotodetector, podemos obtener distribuciones de probabilidad de cantidades relacionadas con los observables. Entonces, tomando esto último como motivación, esta segunda parte de la teoría consistirá en relacionar esa función de muestreo con una distribución de probabilidad que llamaremos tomograma, que será el resultado directo de un proceso de medida en el laboratorio, y la llamaremos Transformada generalizada positiva por motivos que se expondrán convenientemente. Uno de los problemas más sutiles de esta teoría consiste en hallar un conjunto tomográfico que cumpla las condiciones necesarias para permitir reconstruir el estado a partir de él. Sin embargo, veremos que de manera natural, las representaciones unitarias irreducibles de un grupo finito o de Lie compacto proporcionan conjuntos tomográficos que cumplen las condiciones requeridas, por eso, nos centraremos en el estudio de la reconstrucción de estados a partir de grupos relacionados con el sistema físico dado. Aunque también destacaremos que existen otras representaciones unitarias que nos permiten reconstruir el estado cuántico a partir de ellas, como lo es la representación unitaria irreducible del grupo de Heisenberg Weyl dada por el álgebra de Lie que forman los operadores momento y posición cuánticos que es el ejemplo con el que nace la tomografía cuántica introducido en el primer capítulo. En el tercer capítulo presentaremos un algoritmo numérico que se deriva a partir de unos estados que llamaremos estados adaptados que habremos definido en el capítulo anterior. Este algoritmo nace como un problema inverso, ya que hasta entonces nos habremos centrado en reconstruir estados a partir de un conjunto tomográfico, en especial, cuando el conjunto tomográfico está definido a partir de una representación unitaria de un grupo. Este problema inverso consiste en determinar qué información es posible obtener de una representación unitaria de un grupo si se tiene una familia de estados que describe un sistema físico relacionado con un grupo de simetría. La respuesta a esta pregunta es muy satisfactoria ya que es posible conocer la matriz de transformación de base que nos permita transformar la base, en la que está descrita la representación unitaria, en una base adaptada a los subespacios invariantes bajo la acción de todos los elementos de la representación. Este problema se conoce como descomposición de Clebsh Gordan, ya que dicha transformación aplicada a la representación unitaria la convierte en una matriz diagonal por bloques en la que cada bloque corresponde a una representación unitaria irreducible. La manera en la que resolveremos este problema es con un algoritmo numérico que sólo requiere dos estados adaptados como argumentos de entrada, que pueden ser obtenidos de manera directa si se conoce de forma explícita la representación unitaria que queremos reducir. Este algoritmo lo hemos bautizado con el nombre de SMILY. Hay que destacar que como este algoritmo se ha generado sólo aplicando ciertas transformaciones unitarias sobre matrices que representan un estado cuántico, tiene una extensión natural que podría implementarse en un ordenador cuántico. Para acabar esta tesis, generalizaremos la descripción tomográfica a campos clásicos y cuánticos. Para el caso clásico, primero realizaremos una descripción tomográfico para sistemas con finitos grados de libertad y obtendremos el equivalente tomográfico de la ecuación de Liouville para una densidad de probabilidad y tras esto, haremos el mismo análisis para sistemas con infinitos grados de libertad. Para obtener la descripción tomográfica para campos cuánticos, partiremos del concepto de segunda cuantización y mostraremos el equivalente tomográfico de los axiomas de Wightman Streater para una teoría cuántica de campos. Y para terminar, obtendremos un teorema de reconstrucción para campos escalares y calcularemos el tomograma de ciertos estados de un campo cuántico escalar libre. Comentemos esto último diciendo que es el inicio de una teoría que permitirá una descripción tomográfica de estados, por ejemplo ligados, para teorías con interacción. Para concluir este resumen, quisiera resaltar que el lector especializado, si lo considera conveniente, puede comenzar a leer a partir del segundo capítulo, ya que aunque el primer capítulo sirve como motivación de porqué desarrollar una descripción tomográfica de la mecánica cuántica, el texto puede comprenderse si previamente no se ha leído.
El Objetivo general de éste trabajo es reformular la fundamentación estadística de la mecánica cuántica tomando como elementos las "propiedades físicas" en lugar de las magnitudes en general. Procuramos demostrar cuánto más sencillos de demostrar y directamente interpretables aparecen muchos resultados de la mayor importancia, sin que se pierda generalidad. Por supuesto tomamos como punto de referencia el formidable libro de J. von Neumann: "Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik", tan lleno de ideas aún no suficientemente explotadas y que es el cimiento obligado de cuanto edificio teórico se ha pretendido levantar en la Mecánica Cuántica. Además de la reformulación antes mencionada, hemos conseguido varios resultados particulares nuevos; entre otros la demostración de que el método Koopman (7) de tratar sistemas dinámicos puede aplicarse a la estadística cuántica, y por lo tanto valen también para ella ciertas demostraciones del teorema ergódico. Hacemos también una verificación del mismo mediante la comparación de una sucesión real de mediciones con una "cadena de Markov" y damos la formulación cuántica del concepto de "transitividad métrica". Hemos también simplificado la demostración de algunos teoremas y en especial generalizado para espectros continuos el referente a la ley de distribución de Maxwell. Exponemos también, aunque sin detalles, dos ideas que nos parecen de gran importancia; la relación topológica entre espacios "complementarios" (coordenadas e impulsos por ejemplo), que aunque implícita en numerosos trabajos no hemos visto nunca enunciada claramente, y la distinción entre el tiempo del sistema y del observador, que permite recobrar la simetría relativista. Nueva es también la comparación entre la lógica propia de las proyecciones, la lógica usual y la de tres valores, y además el concepto de "conjunción estadística" que exponemos en un apéndice. Teníamos también intención de utilizar el concepto estadístico de función característica de una distribución, pero encontramos que ese tema ya había sido tratado, justamente en otro trabajo de tesis, por Arnous (1), en 1947. De todos modos hemos agregado un pequeño apéndice comentando su contenido. En cambio hemos renunciado a la inclusión de un resumen de la parte matemática, pues su volumen estaría fuera de proporción con el resto del trabajo y porque existen obras sumamente claras y apropiadas para referencia, como el capítulo correspondiente del libro de v. Neumann y otras obras que se citan en una bibliografía especial. Aunque por comodidad nuestras fórmulas se refieren concretamente al espacio de Hilbert de las funciones de la clase L² (cuadrado del módulo sumable), valen siempre, con obvias modificaciones, para otros espacios de uso común. Los teoremas que daremos por conocidos pueden encontrarse en su mayor parte en el Capítulo II del libro de v. Neumann, pero en general trataremos de dar referencias explícitas.
Desde su origen, la teoria de la informacion ha tenido fuertes conexiones con la mecanica estadistica. El mismo termino entropia de la informacion fue elegido por Shannon a partir del termino usado en termodinamica, bajo sugerencia de Von Neumann. La misma relacion se ha desarrollado recientemente entre las correspondientes generalizaciones cuanticas de ambas teorias, que son la informacion cuantica, que estudia el almacenamiento y la manipulacion de la informacion en sistemas cuanticos, y la fisica de muchos cuerpos. Las conexiones entre los dos campos aumentan cada dia y van en las dos direcciones. Las herramientas e ideas de la informacion cuantica ayudan a solucionar problemas abiertos en teoria de la materia condensada, y nuevos modelos de muchos cuerpos se desarrollan para aplicaciones de la informacion cuantica. Al mismo tiempo la implementacion y el control experimental de pequenos sistemas cuanticos ha mejorado de forma espectacular, aumentando la posibilidad de que estos experimentos se puedan llevar a cabo a escala mas grande, abriendo la posibilidad de aplicaciones practicas.
Es reciente el interes de la comunidad de investigadores en informacion cuantica por estos modelos, y se ha empezado a ver este tipo de evoluciones no solamente como un problema que resolver, sino como un recurso que explotar. Este fundamental cambio de perspectiva ha abierto una nueva linea de investigacion en el campo, incorporando ideas sobre como construir evoluciones artificiales en las cuales la disipacion trabaja en nuestro favor en vez de en nuestra contra, incluso protegiendo el sistema de otros ruidos incontrolados. De esta manera se han planteado nuevos problemas interesantes, como cual es el poder computacional de estos modelos y que condiciones pueden garantizar la resistencia contra el ruido externo.
Esta tesis es parte del esfuerzo para mejorar nuestro conocimiento de estos modelos.
Nos hemos centrado en el estudio de las propiedades de evoluciones disipativas de sistemas cuanticos de espines en un reticulo, bajo una hipotesis que llamamos equilibracion rapida. Consideramos evoluciones disipativas con un unico punto fijo, y que comprimen todo el espacios de estados iniciales en un entorno decreciente del punto fijo. La escala temporal a la cual se tiene esta compresion, es decir el tiempo que tenemos que esperar para que cualquier estado inicial se encuentre arbitrariamente cercano al punto fijo, se llama tiempo de equilibracion del proceso. La condicion de equilibracion rapida pide que este tiempo sea logaritmico en el tamano del sistema.
La contribucion principal de esta tesis es demostrar que la equilibracion rapida tiene importantes consecuencias en las propiedades del sistema. Este sera estable bajo perturbaciones externas y sus puntos fijos satisfaran una ley de area para la informacion mutua.
La parte mas tecnica de este trabajo se basa en las llamadas cotas de Lieb Robinson. Muy conocidas en el caso de sistemas cerrados, pero igualmente validas para sistemas abiertos, las cotas de Lieb Robinson formalizan la idea que la informacion en un sistema de muchos cuerpos solo puede moverse con una velocidad finita, dado que su propagacion esta mediada por las interacciones locales. Por lo tanto, controlar la escala temporal con la cual la evolucion converge permite a su vez controlar la escala espacial a la cual se pueden crear correlaciones.
En esta Tesis se analizan diversos modelos de interes en optica cuantica, demostrando que sus simetrias dinamicas pueden expresarse en terminos de deformaciones polinomicas de algebras de Lie. Los generadores de estas algebras se interpretan como variables invariantes colectivas en terminos de las cuales se describe completamente la dinamica. Estas algebras no resuelven de forma inmediata el problema dinamico, pero permiten clasificar los subespacios invariantes bajo la evolucion de una manera similar a como se hace en la construccion de las representaciones irreducibles de su(2).
Es posible entonces definir operadores para la fase relative entre subsistemas debido a que en estos subespacios los operadores que representan las transiciones aparecen como un algebra de escalera de dimension finita y su descomposicion polar siempre admite soluciones unitarias.
La dimension finita de los subespacios invariantes lleva a que el espectro de la fase relativa es discreto, lo que no deja de ser sorprendente desde un punto de vista fisico. A partir de los autoestados correspondientes se obtiene la distribucion de probabilidad parala fase relativa de los modelos considerados y se analiza su evolucion temporal. Tambien se construyen las medidas positivas sobre algebras de operadores (POMs) generadas por estos autoestados.
Inspirados por el comportamiento de modelos lineales con simetria su(2), se analiza la ley de transformacion de los modelos considerados en esta Tesis bajo rotaciones generadas por las deformaciones polinomicas. Cuando la desintontia es grandes, el metodo permite describir el modelo original en terminos de un hamiltoniano efectivo diagonal. Esto nos lleva a estudiar el limite dispersivo de estos modelos, deduciendo algunas consecuencias dinamicas no triviales. Asimismo, se utiliza este metodo de pequenas rotaciones para el analisis sistematico de los efectos de relajacion en estos hamiltonianos