Preliminares 1.1 Semigrupos dinámicos cuánticosSea h un espacio de Hilbert complejo y separable; se usaran letras latinas minúsculas como u, v, . . ., para denotar los elementos de h; u, v es el producto interno de u, v y u es la norma de u.Sea B(h) el álgebra de los operadores lineales y acotados en h; a, b, x, y, z, . . .denotarán a los elementos de B(h) y x ∞ a la norma de x ∈ B(h); el elemento identidad en B(h) será denotado por I. Sea B + (h) el cono de los operadores positivo definidos en h.Dados x, y ∈ B(h) autoadjuntos, se dice x ≤ y si y -x ∈ B(h) + .L 1 (h) designará el espacio de los operadores de traza finita en h.σ, ρ, . . .denotarán a los elementos de L 1 (h) y σ 1 a la norma de σ en L 1 (h).Dados dos operadores x, y ∈ B(h), se denotará al conmutador de x, y como [x, y] := xy-yx. El bien conocido Teorema de Schatten (véase [38]) afirma que (Len el siguiente sentido: f (ρ) = tr(xρ), donde tr(σ) es la traza del elemento σ ∈ L 1 (h).La norma de la funcional f es exactamente x ∞ .Debido al Teorema de Schatten, B(h) tiene la llamada topología débil * o topología ultra débil y L 1 (h) tiene la topología débil.La topología débil * se define como la menor topología
Preliminares 1.1 Semigrupos dinámicos cuánticosSea h un espacio de Hilbert complejo y separable; se usaran letras latinas minúsculas como u, v, . . ., para denotar los elementos de h; u, v es el producto interno de u, v y u es la norma de u.Sea B(h) el álgebra de los operadores lineales y acotados en h; a, b, x, y, z, . . .denotarán a los elementos de B(h) y x ∞ a la norma de x ∈ B(h); el elemento identidad en B(h) será denotado por I. Sea B + (h) el cono de los operadores positivo definidos en h.Dados x, y ∈ B(h) autoadjuntos, se dice x ≤ y si y -x ∈ B(h) + .L 1 (h) designará el espacio de los operadores de traza finita en h.σ, ρ, . . .denotarán a los elementos de L 1 (h) y σ 1 a la norma de σ en L 1 (h).Dados dos operadores x, y ∈ B(h), se denotará al conmutador de x, y como [x, y] := xy-yx. El bien conocido Teorema de Schatten (véase [38]) afirma que (Len el siguiente sentido: f (ρ) = tr(xρ), donde tr(σ) es la traza del elemento σ ∈ L 1 (h).La norma de la funcional f es exactamente x ∞ .Debido al Teorema de Schatten, B(h) tiene la llamada topología débil * o topología ultra débil y L 1 (h) tiene la topología débil.La topología débil * se define como la menor topología
Resumen.En estas notas se exponen con detalle y de manera autocontenida las herramientas básicas de la teoría de los espacios de Hilbert complejos de dimensión infinita, que son necesarias para un primer estudio, matemáticamente riguroso, de la mecánica cuántica.En la última parte incluimos una introducción axiomática a la mecánica cuántica y una breve exposición del modelo del oscilador armónico y de la teoría de estados cuánticos Gaussianos. IntroducciónLa mecánica cuántica es la rama de la física que estudia los fenómenos físicos que ocurren en escalas de longitudes muy pequeñas.El calificativo "cuántico" surge de, en contraste con la mecánica clásica, considerar algunas cantidades que toman solamente valores discretos i.e., en "paquetes" o quantum-quanta en latín.Aún cuando hay muchas nociones de la mecánica cuántica que aún suscitan controversia, esta teoría se aplica exitosamente para describir el comportamiento de sistema físicos y sus predicciones son consistentes con los experimentos.Los sistemas físicos que estudia la mecánica cuántica, exhiben propiedades ondulatorias que se pueden describir mediante una ecuación de onda, por ejemplo, la bien conocida "ecuación de Schrödinger", que describe la evolución temporal de una partícula subatómica con masa, en el contexto no relativista.En estas notas trabajamos con el formalismo de matrices de densidad, que permite describir estados que son mezclas de estados puros.En consecuencia, este enfoque resulta ser una herramienta poderosa para describir sistemas cuánticos más generales, por ejemplo, acoplamientos (ensambles) de muchos sistemas cuánticos idénticos.El material que se presenta en este trabajo está dividido en cuatro secciones compuestas de la siguiente manera: la sección 1 contiene una selección de resultados de índole geométrico y analítico de la teoría de espacios de Hilbert: ortogonalidad y descomposición ortogonal, convexidad, operadores lineales, norma de operadores y funcionales lineales.La sección 2 se concentra en la clase de los operadores compactos, particularmente en los operadores de la clase de traza y de manera especial, en los operadores de Hilbert-Schmidt.Es relevante mencionar que los estados cuánticos se representan mediante operadores positivos de traza uno.La sección 3 se dedica al estudio de operadores no acotados que pueden no estar densamente definidos en un espacio de Hilbert.Abordamos también el estudio de operadores cerrados y cerrables, el adjunto de un operador y una introducción a la teoría espectral de operadores.Una parte esencial de esta sección son los operadores simétricos e isométricos, los cuales exhiben similitudes en sus propiedades geométricas y espectrales.Cabe señalar que las observables físicas se representan por operadores simétricos típicamente no acotados.Por último, en la sección 4 se discuten brevemente postulados de la mecánica cuántica en el marco del formalismo de matrices de densidad, se revisa el modelo del oscilador armónico cuántico y se ofrece una introducción a los estados cuánticos Gaussianos.Al final de cada sección incluimos una selección de problemas que sirven para complementar estas notas.El lector interesado puede profundizar en el estudio de resultados aquí expuestos, desde los más básicos hasta los más avanzados, en la literatura clásica de operadores lineales, por ejemplo en [1,2,3,4,13,20].
Dados un semigrupo completamente positivo Φ = {φ t } t≥0 y su generador L, nos preguntamos qué tan grande es la máxima ⇤-álgebra dentro de D(L), el dominio de L. Iniciaremos con la revisión de algunas topologías en B(H), el conjunto de operadores acotados sobre un espacio de Hilbert separable H, y siguiendo a W. Arveson [3] discutiremos un criterio que caracteriza a la máxima ⇤-álgebra A ⇢ D(L).Mediante un ejemplo mostraremos que la máxima álgebra puede llegar a ser tan trivial como C1l. IntroducciónEl concepto de Semigrupo Cuántico de Markov (SCM) se introdujo en física cuántica para describir la evolución disipativa de un sistema cuántico que interacción con su entorno, al cual se le llama sistema cuántico abierto.Las primeras referencias al tema datan de los años setenta del siglo pasado, [19,21].Desde entonces la noción de SCM se usa ampliamente en matemáticas y física, aplicándose de manera exitosa para describir fenómenos típicamente cuánticos como la decoherencia, que corresponde al decaimiento de las características (correlacciones) cuánticas de un sistema.Por esta razón los SCM son herramienta fundamental en áreas donde la decoherencia juega un papel relevante, tales como óptica cuántica, computación cuántica y teoría cuántica de la información y comunicación, entre otras, así como en modelos de control y transporte cuánticos.Si un SCM es uniformemente continuo y actúa sobre el álgebra de von Neumann B(H), de todos los operadores acotados sobre un espacio de Hilbert separable, el teorema de Gorini-Kossakowski-Sudarshan y Lindblad (GKSL) [14,22] establece que su generador infinitesimal L tiene la formadonde Φ es una transformación completamente positiva y G es el generador de un semigrupo fuertemente continuo de contracciones.Este resultado fue extendido posteriormente al caso de una C ⇤ -álgebra arbitraria actuando sobre un espacio de Hilbert por Christensen y Evans [8].Si el semigrupo es continuo en una topología más débil que la uniforme, la caracterización de su generador infinitesimal es un problema abierto.Un resultado de A. Holevo [18] muestra la existencia de un SCM cuyo generador no tiene una representación estándar similar a (1).No obstante, existen trabajos como [13] y otros más recientes [2, 1] que estudian ciertas clases de semigrupos cuyo generador tiene una representación estándar.En particular, Androulakis y Ziemke demuestran la existencia de una representación estándar para cierta clase de SCM donde la parte completamente positiva Φ es una transformación que asocia a cada elemento x en el álgebra dominio A del semigrupo, una forma sesquilineal Φ(x) definida sobre un subespacio de H. Pero, como demuestra Holevo [17], el álgebra dominio de un semigrupo puede consistir sólo de múltiplos de la identidad, de manera que la transformación completamente positiva Φ encontrada por Androulakis-Ziemke y, consecuentemente, la representación estándar del generador infinitesimal del semigrupo pueden estar definidas sólo sobre un subespacio no denso.El propósito del presente trabajo es estudiar a fondo el concepto de álgebra dominio de un SCM introducido por Arveson [3] y el ejemplo de Holevo [17] de un SCM con álgebra vii
Si el proceso de medición es representado como una interacción entre dos sistemas cuánticos, el objeto y el aparato, se obtiene una correlación entre los estados de ambos sistemas. Un cambio de base en los espacios de Hilbert del objeto y del aparato permite en algunos casos obtener una correlación diferente. Para algunos autores esto implicaría la posibilidad de medir simultáneamente observables que no conmutan, lo que haría necesaria la presencia de un environment que, vía decoherencia, seleccionara la base adecuada (pointer basis). Mostramos en este trabajo que si bien el cambio de base y la nueva correlación entre estados del objeto y estados del aparato es matemáticamente posible, esto no se corresponde con una medición realizable en el laboratorio. Resulta entonces innecesario apelar a la decoherencia producida por el medio ambiente para decidir cual es el observable que efectivamente “mide” el aparato.
En este trabajo, se analiza una teoría que es en cierto modo una extensión natural del campo de las telecomunicaciones clásicas a la mecánica cuántica. Dicha teoría se llama tomografía cuántica y es de hecho una imagen de la mecánica cuántica equivalente a las más habituales que son la imagen de Schrödinger o la de Heisenberg. Esta nueva imagen, difiere de las precedentes en que está muy ligada a la capacidad tecnológica a la hora de medir observables (momento, energía, etc.) en el campo de la óptica cuántica, ya que su objetivo primordial es el de conseguir reconstruir el estado de un sistema cuántico a partir de mediciones en el laboratorio, y dado al avance tecnológico del instrumental de laboratorio disponible como láseres y fotodetectores, cada vez está suscitando mayor interés. En el primer capítulo, veremos cómo nace esta idea de reconstruir estados cuánticos discutiendo brevemente la técnica clásica conocida como Tomografía Axial Computerizada (TAC). Esta técnica está basada en los trabajos de Johann Karl August Radon aplicando la transformada que lleva su nombre. Introduciremos la transformada de Radon de una función de probabilidad definida en el espacio de fases para ver cómo se aplica en el caso del TAC. Para aplicar esta idea para la reconstrucción de estados cuánticos, veremos, en primer lugar, que existe una extensión natural de las técnicas de demodulación de señales moduladas en amplitud (AM) en el campo de la óptica cuántica mostrando que el papel que cumple un mezclador puede ser reemplazado por una combinación de divisores de haz y fotodetectores y mostraremos explícitamente cómo reconstruir el operador densidad que describe un estado cuántico a través de un proceso reminiscente de la transformada de Radon clásica. El segundo capítulo será el corazón de este trabajo. En él, introduciremos de manera formal la descripción tomográfica de la mecánica cuántica. Presentaremos una teoría general, para ello, trataremos a los observables como elementos de un álgebra C_ y los estados serán funcionales lineales positivos que actúen en dicha algebra. Veremos que esta descripción de la mecánica cuántica puede dividirse en dos partes, una primera con el objetivo de obtener una fórmula para reconstruir el estado de un sistema cuántico a partir de una función definida sobre un conjunto llamado conjunto tomográfico, que será un conjunto de observables que tendrá que cumplir una serie de condiciones que expondremos debidamente. A esta primera parte de la teoría, la bautizaremos como Teoría de muestreo generalizada en sistemas cuánticos. La segunda parte estará relacionada con la parte puramente experimental. Lo que hace necesario tener que añadir esta segunda parte es el hecho de que la función definida anteriormente sobre el conjunto tomográfico, que llamaremos función de muestreo, en general, no puede ser medida por medio de los dispositivos con los que contamos en un laboratorio de óptica cuántica, sin embargo, a partir de las mediciones hechas con un fotodetector, podemos obtener distribuciones de probabilidad de cantidades relacionadas con los observables. Entonces, tomando esto último como motivación, esta segunda parte de la teoría consistirá en relacionar esa función de muestreo con una distribución de probabilidad que llamaremos tomograma, que será el resultado directo de un proceso de medida en el laboratorio, y la llamaremos Transformada generalizada positiva por motivos que se expondrán convenientemente. Uno de los problemas más sutiles de esta teoría consiste en hallar un conjunto tomográfico que cumpla las condiciones necesarias para permitir reconstruir el estado a partir de él. Sin embargo, veremos que de manera natural, las representaciones unitarias irreducibles de un grupo finito o de Lie compacto proporcionan conjuntos tomográficos que cumplen las condiciones requeridas, por eso, nos centraremos en el estudio de la reconstrucción de estados a partir de grupos relacionados con el sistema físico dado. Aunque también destacaremos que existen otras representaciones unitarias que nos permiten reconstruir el estado cuántico a partir de ellas, como lo es la representación unitaria irreducible del grupo de Heisenberg Weyl dada por el álgebra de Lie que forman los operadores momento y posición cuánticos que es el ejemplo con el que nace la tomografía cuántica introducido en el primer capítulo. En el tercer capítulo presentaremos un algoritmo numérico que se deriva a partir de unos estados que llamaremos estados adaptados que habremos definido en el capítulo anterior. Este algoritmo nace como un problema inverso, ya que hasta entonces nos habremos centrado en reconstruir estados a partir de un conjunto tomográfico, en especial, cuando el conjunto tomográfico está definido a partir de una representación unitaria de un grupo. Este problema inverso consiste en determinar qué información es posible obtener de una representación unitaria de un grupo si se tiene una familia de estados que describe un sistema físico relacionado con un grupo de simetría. La respuesta a esta pregunta es muy satisfactoria ya que es posible conocer la matriz de transformación de base que nos permita transformar la base, en la que está descrita la representación unitaria, en una base adaptada a los subespacios invariantes bajo la acción de todos los elementos de la representación. Este problema se conoce como descomposición de Clebsh Gordan, ya que dicha transformación aplicada a la representación unitaria la convierte en una matriz diagonal por bloques en la que cada bloque corresponde a una representación unitaria irreducible. La manera en la que resolveremos este problema es con un algoritmo numérico que sólo requiere dos estados adaptados como argumentos de entrada, que pueden ser obtenidos de manera directa si se conoce de forma explícita la representación unitaria que queremos reducir. Este algoritmo lo hemos bautizado con el nombre de SMILY. Hay que destacar que como este algoritmo se ha generado sólo aplicando ciertas transformaciones unitarias sobre matrices que representan un estado cuántico, tiene una extensión natural que podría implementarse en un ordenador cuántico. Para acabar esta tesis, generalizaremos la descripción tomográfica a campos clásicos y cuánticos. Para el caso clásico, primero realizaremos una descripción tomográfico para sistemas con finitos grados de libertad y obtendremos el equivalente tomográfico de la ecuación de Liouville para una densidad de probabilidad y tras esto, haremos el mismo análisis para sistemas con infinitos grados de libertad. Para obtener la descripción tomográfica para campos cuánticos, partiremos del concepto de segunda cuantización y mostraremos el equivalente tomográfico de los axiomas de Wightman Streater para una teoría cuántica de campos. Y para terminar, obtendremos un teorema de reconstrucción para campos escalares y calcularemos el tomograma de ciertos estados de un campo cuántico escalar libre. Comentemos esto último diciendo que es el inicio de una teoría que permitirá una descripción tomográfica de estados, por ejemplo ligados, para teorías con interacción. Para concluir este resumen, quisiera resaltar que el lector especializado, si lo considera conveniente, puede comenzar a leer a partir del segundo capítulo, ya que aunque el primer capítulo sirve como motivación de porqué desarrollar una descripción tomográfica de la mecánica cuántica, el texto puede comprenderse si previamente no se ha leído.
En esta Tesis se desarrollan metodologías para determinar y analizar en profundidad el fenómeno de factorización exacta de autoestados de Hamiltonianos de sistemas cuánticos de muchos cuerpos fuertemente interactuantes. Esta factorización comprende tanto el caso de autoestados que son producto de estados de componentes primarios, como aquél en el que son producto de estados de pares (dimerización) o grupos de componentes (clústers). El tema es relevante en varias áreas de gran interés actual. En primer lugar se derivan condiciones necesarias y suficientes generales para que un Hamiltoniano de un sistema interactuante posea un autoestado exacto factorizado, expresadas en forma de ecuaciones de autovalores especiales. El formalismo es aplicado a un sistema de interacción general de N componentes, cada uno con n niveles accesibles localmente, de modo que el Hamiltoniano puede expresarse en términos de operadores que satisfacen un álgebra U(n). Para n=2, es equivalente a un sistema de espines 1/2 con acoplamientos tipo XYZ en un campo magnético. Se determinan puntos de factorización, mostrando que corresponden a un punto de degeneración excepcional, y se examinan las propiedades críticas del entrelazamiento en su entorno. Posteriormente, se muestra que las condiciones de factorización pueden expresarse en términos de la matriz de covarianza cuántica de los operadores locales que componen el Hamiltoniano. El formalismo requiere solo valores medios locales y resulta adecuado para sistemas y factorizaciones generales. Pone de manifiesto el rol esencial de la existencia de operadores locales conservados para una separabilidad exacta, ya sea total o parcial. El método permite derivar las condiciones para la existencia de diversos tipos de factorización exacta de autoestados en sistemas de espines interactuantes. En particular, se derivan las condiciones más generales para la factorización en dímeros y clústers de espín 0, solo conocidas en algunos casos especiales. Luego se extienden los resultados a dimerización exacta en singletes generalizados, que son estados de pares que no están máximamente entrelazados, con propiedades únicas en relación a operadores conservados. Se muestra que permiten la dimerización exacta inducida por campo en sistemas anisotrópicos XYZ para espín arbitrario. Se brindan ejemplos específicos, incluyendo la extensión a campo magnético no nulo del modelo de Majumdar-Ghosh. Finalmente, se examina la factorización en sistemas de componentes indistinguibles. Siguiendo el esquema basado en operadores conservados, se caracterizaron los estados llamados condensados de pares, tanto fermiónicos como bosónicos, que pueden considerarse "uniformemente separables'' a nivel de par. Se muestra que están completamente caracterizados por un número fijo de operadores de un cuerpo exactamente conservados. A partir de este resultado se obtiene el Hamiltoniano de dos cuerpos más general que posee el condensado de pares como autoestado exacto, junto con una clase que lo tiene como estado fundamental no degenerado. Mediante el formalismo anterior se determina también una condición necesaria y suficiente para asegurar que un estado dado sea un condensado de par exacto, que permite además su reconstrucción exacta. Proporciona también una medida simple de la proximidad de un estado dado a un condensado de par, junto con una "mejor'' aproximación de condensado de par al estado. Se muestran resultados ilustrativos.
El tema central de la tesis doctoral es el análisis de los sistemas cuánticos abiertos. Estos sistemas se caracterizan por estar sometidos a la interacción con el entorno, lo que provoca que su evolución deje de ser unitaria. Es por tanto necesario considerar modelos más allá de la ecuación de Schrödinger. Los sistemas cuánticos abiertos aparecen en numerosos campos, como la Física del Estado Sólido y la Dinámica Molecular. Por este motivo, un análisis detallado de sus propiedades y su dinámica es un tema digno de estudio con un gran abanico de aplicaciones. El enfoque elegido en esta tesis es el desarrollo de un formalismo geométrico que describa de forma adecuada las características de los sistemas cuánticos abiertos. La geometría diferencial ha demostrado ser una herramienta muy útil en el análisis de sistemas físicos. Desde mediados del siglo XX, se ha desarrollado con gran éxito una descripción geométrica de la Mecánica Clásica, principalmente en torno a las mecánicas lagrangiana y hamiltoniana. Por este motivo, resulta natural describir también los sistemas cuánticos en términos geométricos. Las ventajas de un formalismo geométrico resultan claras. Cuando tanto los sistemas clásicos como los cuánticos se describen en los mismos términos, es sencillo describir situaciones en las que existan interacciones clásico-cuánticas. Éste es el caso, por ejemplo, de muchos modelos de Dinámica Molecular, en los que los núcleos y los electrones son considerados respectivamente como partículas clásicas y cuánticas. Por otra parte, un formalismo geométrico de la Mecánica Cuántica posibilita un mejor entendimiento de las diferencias intrínsecas entre las teorías clásicas y las cuánticas. Dada su relevancia a lo largo de la tesis, el Capítulo 1 está enfocado al resumen y el análisis de la descripción geométrica de la imagen de Schrödinger de la Mecánica Cuántica. En formulación usual (algebraica), esta imagen se basa en la representación de los estados de los sistemas cuánticos mediante vectores en un espacio de Hilbert complejo. La transición a una formulación basada en geometría diferencial es inmediata para sistemas finito-dimensionales, dado que los espacios lineales de dimensión finita son casos triviales de variedades diferenciables. Las estructuras adicionales, en concreto el producto hermítico propio de los espacios de Hilbert y los escalares complejos, se describen mediante campos tensoriales en dichas variedades diferenciables, formando lo que se conoce como una estructura Kähler. Todos los ingredientes necesarios para el análisis de sistemas cuánticos pueden describirse en estas variedades de Kähler. Los observables se representan mediante funciones diferenciables, mientras que la dinámica se describe mediante curvas integrales de campos vectoriales hamiltonianos respecto a la forma simpléctica de la estructura Kähler. Esta caracterización puede llevarse a cabo en el espacio de Hilbert asociado a cualquier sistema cuántico finito-dimensional. Además, es posible analizar las propiedades geométricas del espacio proyectivo de Hilbert, el cual constituye el conjunto de estados puros del sistema. Su estructura Kähler puede ser deducida mediante un proceso de reducción de la estructura previamente obtenida en el espacio de Hilbert. Como aspecto novedoso, la tesis presenta en detalle este proceso de reducción, dotándolo de una descripción matemática adecuada. Todas las características de la imagen de Schrödinger pueden describirse de forma geométrica, lo que permite utilizar nuevas herramientas en el análisis de los sistemas cuánticos. Éste es precisamente el tema principal del Capítulo 2, en el cual se utilizan los sistemas de Lie-Kähler para resolver la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo. En geometría diferencial, un sistema de Lie es un sistema no homogéneo de ecuaciones diferenciales que admite una regla de superposición. En general, la obtención de esta regla de superposición es una ardua tarea, la cual puede aligerarse en presencia de estructuras adicionales que sean preservadas por la acción del sistema de Lie. De esta forma, según la estructura preservada, es posible hablar de sistemas de Lie-Hamilton, Lie-Dirac, etc. En el caso de la Mecánica Cuántica, una ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo es un sistema de Lie que preserva la estructura de Kähler previamente descrita. Es por tanto un nuevo tipo de sistema de Lie, al que resulta natural denominar de Lie-Kähler. El Capítulo 2 presenta las propiedades de estos nuevos sistemas y describe un método riguroso para la obtención de sus reglas de superposición. El formalismo geométrico puede extenderse más allá de la imagen de Schrödinger, lo que resulta necesario en el contexto de los sistemas cuánticos abiertos, dado que tanto estados puros como estados mezcla son necesarios para su descripción. Por este motivo, el Capítulo 3 resume la imagen de Heisenberg de la Mecánica Cuántica y su representación de los estados puros y mezcla como funcionales lineales en el álgebra de Lie-Jordan de observables. Se explica también como las estructuras algebraicas de los observables pueden representarse geométricamente en el espacio dual de funcionales lineales en el álgebra. Este es el punto de partida de una de las principales contribuciones de la tesis. Un proceso de reducción, similar al realizado en el análisis de la imagen de Schrödinger, permite describir las propiedades geométricas de la variedad de estados puros y mezcla del sistema. De esta forma, se obtienen dos campos tensoriales en la variedad de estados, los cuales representan correctamente las estructuras algebraicas de los observables. Puede por tanto concluirse que el formalismo geométrico presentado en la tesis es completamente equivalente a la descripción algebraica tradicional, ya que se logra describir adecuadamente todas las propiedades de los sistemas cuánticos. Además, el formalismo geométrico ofrece una visión más clara de las propiedades intrínsecas de la Mecánica Cuántica, lo que facilita una mejor comprensión de la teoría. Por otra parte, un análisis geométrico de la variedad de estados permite estudiar su estratificación y sus propiedades. La tesis demuestra que se trata de una variedad con borde, cuyos puntos extremales son precisamente los estados puros del sistema. La estratificación de esta variedad resulta importante a la hora de considerar la dinámica inducida por campos gradiente y hamiltonianos. Con el objetivo de ilustrar todas estas propiedades, se analizan unos casos sencillos pero con relevancia física. A lo largo de la tesis, se muestran diversas aplicaciones del formalismo geométrico al análisis de sistemas cuánticos abiertos. El Capítulo 4 presenta la descripción de la evolución markoviana de sistemas cuánticos abiertos. Se dice que una evolución es markoviana si depende únicamente en el estado actual del sistema y no de los estados en instantes anteriores, es decir, si el sistema "no tiene memoria". En Mecánica Cuántica, la evolución markoviana se obtiene a partir de la ecuación de Kossakowski-Lindblad, una ecuación diferencial de primer orden en la variedad de estados puros y mezcla de un sistema cuántico abierto. El formalismo geométrico describe esta ecuación como un campo tensorial en esta variedad, lo que permite analizar las propiedades de sus curvas integrales. De esta manera, es posible considerar diversos aspectos de la evolución markoviana desde un punto de vista geométrico. Cualquier evolución no-unitaria determina un cambio en las propiedades algebraicas de los observables cuánticos, lo que puede resultar en una contracción del álgebra. En términos geométricos, esta contracción puede entenderse mediante el límite de una familia de campos tensoriales definida por el flujo del campo tensorial de Kossakowski-Lindblad. Otra característica importante de esta evolución es la existencia de variedades límite. Sus propiedades pueden determinarse gracias a la estructura afín existente, lo que a su vez permite investigar su relación con las contracciones de álgebras de observables. Por último, se ofrece una descripción geométrica de los problemas de control de sistemas cuánticos abiertos. Un análisis geométrico de la Mecánica Cuántica permite aplicar a estos problemas los resultados de la teoría de control de grupos de Lie. Como consecuencia, es posible realizar una clasificación de los sistemas cuánticos abiertos según sus propiedades de controlabilidad. Otro ejemplo de sistemas cuánticos abiertos aparece en el contexto de la Dinámica Molecular. En el estudio de sistemas moleculares, debido al gran número de partículas presentes, la ecuación de Schrödinger no puede ser resuelta ni siquiera por métodos numéricos. Por tanto, resulta útil considerar aproximaciones a la ecuación de Schrödinger. En particular, existen muchos modelos que consideran un comportamiento clásico de algunas de las partículas, normalmente los núcleos. El Capítulo 5 resume las propiedades estos modelos moleculares, y en particular del conocido como modelo de Ehrenfest. Es posible llevar a cabo una descripción geométrica de este modelo, basándose en las descripciones de los subsistemas clásico y cuántico. Como resultado, las ecuaciones del modelo pueden escribirse como ecuaciones hamiltonianas en una variedad de Poisson. A partir de estas propiedades, la tesis presenta una generalización del modelo de Ehrenfest a distribuciones estadísticas. Este es un paso importante, ya que se demuestra que esta descripción estadística predice la aparición de efectos relacionados con el fenómeno de decoherencia, algo que no ocurre en el modelo de Ehrenfest estándar. Se han realizado simulaciones numéricas, cuyos resultados respaldan la descripción de sistemas moleculares mediante el modelo estadístico de Ehrenfest. Por último, en este contexto resulta posible considerar distribuciones estadísticas con temperatura. La tesis presenta estas dist