Challenges
Datasets
Workspaces
Papers
Discussions
Leaderboard
Log inSign up
Challenges
Datasets
Workspaces
Papers
Discussions
Leaderboard
Blog
Job Board
Q3AS

© 2026 Aqora Quantum S.A.S.

TermsPrivacyLegal Notice

Spektrum Akademischer Verlag eBooks

Klassische relativistische Feldtheorie

Eckhard Rebhan

Published Jan 1, 2010• 0 citations
Publisher

Abstract

In Schrödingers Wellenmechanik kann ψ(x, t) als Wellenfunktion für ein oder mehrere Teilchen aufgefaßt werden. In beiden Fällen ergibt sich ein Erhaltungssatz $$ \frac{d} {{dt}}\int {\psi \psi *d^3 x = 0} $$ für die Wahrscheinlichkeitsdichte ψψ*. Da mit ψ auch jedes Vielfache von ψ eine Lösung der Schrödinger-Gleichung ist, mußt die Quantisierung $$ \int {\psi \psi *d^3 x = \left\{ \begin{gathered} 1 f\ddot ur eine Ein - Teilchen - Theorie, \hfill \\ N f\ddot ur eine N - Teilchen - Theorie \hfill \\ \end{gathered} \right.} $$ als zusätzliche Bedingung mit in die Theorie aufgenommen werden, sie ergibt sich nicht als eine Folge der Theorie. Das muß als eine deutliche Schwäche der Schrödinger-Theorie angesehen werden, diese ist keine vollständige Quantentheorie.

DOI
10.1007/978-3-8274-2603-1_7

Related papers

Einleitung zur Relativistischen Quantenmechanik

Eckhard Rebhan

Aus dem Korrespondenzprinzip folgt, daß es in Analogie zur relativistischen Mechanik auch eine relativistische Quantenmechanik geben muß. Interessanterweise hat E. Schrödinger noch vor der Schrödinger-Gleichung als erstes eine relativistische “Wellengleichung“ aufgestellt. Er publizierte diese jedoch nicht, weil sie nicht die richtige Feinstruktur der Energieniveaus des Wasserstoffatoms lieferte. Erst, nachdem er bemerkt hatte, daß sie einen brauchbaren nicht-relativistischen Limes liefert, wollte er das nachholen, doch da waren ihm bereits O. Klein und W. Gordon zuvorgekommen. Aus diesem Grund wird die auch von ihm entdeckte Gleichung heute meist als Klein-Gordon-Gleichung bezeichnet. Sie hat sich als korrekte relativistische Gleichung für Spin-0-Teilchen erwiesen und wird daher ausführlich in Kapitel 4 untersucht. Dabei soll der frühere Usus, sie als Klein-Gordon-Schrödinger-Gleichung zu bezeichnen, wieder aufleben. Anders als die Schrödinger-Gleichung enthält die Klein-Gordon-Schrödinger-Gleichung Zeitableitungen zweiter Ordnung. Sie paßt daher zunächst nicht nicht in das in Kapitel Q6 entwickelte allgemeine Schema der Quantenmechanik, kann jedoch durch eine geeignete Umformulierung in dieses eingepaßt werden.

Spektrum Akademischer Verlag eBooks•Jan 1, 2010•0 citations

Die Schrödinger-Gleichung

Gerd Otter, Raimund Honecker

Aufgrund der beobachteten Welleneigenschaften eines Teilchens stellt sich die Frage, wie sich das Teilchen beschreiben läßt. In Abschn. 1.2.3 wurde bereits erläutert, daß dem Teilchen eine Wellenfunktion $$\psi \left( {\vec r,t} \right)$$ zugeordnet wird, deren Absolutquadrat nach der Deutung von Max Born die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Teilchens angibt. Von welcher Gestalt diese Welle ist, ob es sich z.B. um eine ebene Welle, eine Kugelwelle oder um andere Wellen handelt, hängt sicher vom jeweils gestellten physikalischen Problem ab. In der klassischen Physik werden Wellenphänomene durch Lösungen einer Differentialgleichung — Wellengleichung — beschrieben. So ist es plausibel, daß auch in der Quantenphysik eine Differentialgleichung, nämlich die Schrödinger—Gleichung, die Ausgangsbasis für eine Materiewelle ist. Sie wurde von Schrödinger 1925 aufgrund der allgemeinen Eigenschaften der Materiewellen aufgestellt. Die Schrödinger—Gleichung läßt sich nicht herleiten, sondern nur plausibel machen. Diese Eigenschaft hat sie mit allen grundlegenden Gleichungen der Physik, z.B. mit den Maxwell—Gleichungen der Elektrodynamik gemeinsam. Die Bedeutung der Schrödinger—Gleichung liegt ebenso wie bei den Maxwell—Gleichungen darin, daß die aus ihr hergeleiteten Ergebnisse mit den Experimenten übereinstimmen.

Vieweg+Teubner eBooks•Jan 1, 1993•0 citations

Anwendungen der Dirac-Theorie

Eckhard Rebhan

Für die mittlere Geschwindigkeit eines freien Elektrons fanden wir das Ergebnis (2.61). Wenn wir danach fragen, welchen Wert der Geschwindigkeit eine einzelne Messung liefert, stoßen wir auf ein merkwürdiges Resultat: Als Folge der Beziehungen (2.49) besitzt jede Komponente von cα nur die Eigenwerte ±c, d. h. bei der Messung einer Geschwindigkeitskomponente findet man nach den üblichen Regeln der Quantenmechanik nur entweder c oder −c. (Wie das mit den Ergebnissen praktischer Messungen zu vereinbaren ist, wird am Ende dieses Abschnitts diskutiert.) Das ist ganz anders als in der Schrödingerschen Wellenmechanik, in der sich für den Geschwindigkeitsoperator $$ \hat v = \hat p/m $$ das kontinuierliche Spektrum der Eigenwerte p/m ergibt.

Spektrum Akademischer Verlag eBooks•Jan 1, 2010•0 citations

Quantenphysik, Interpretation und Fundamentalprinzip

Fischer, Stephan

Das "Messproblem" oder allgemeiner, das "Interpretationsproblem" der Quantenphysik ist aktuell.Dies ist erstaunlich, liegt die Theorie doch seit nunmehr gut 100 Jahren vor, und kann sie mit Recht als die erfolgreichste, präziseste und umfassendste wissenschaftliche Konzeption bezeichnet werden, über die wir verfügen.Nach vielen der von den meisten Wissenschaftsphilosophen als zentral angesehenen Kriterien guter Theorien, ist die Quantenphysik unübertroffen.Die Zahl ihrer Anwendungen ist enorm, sie erreicht eine Genauigkeit, die weit über allen vorangegangenen Theorien liegt und ihr auch bei überraschenden und ungewohnten Prognosen erreichter Bestätigungserfolg muss beeindrucken.Kurz, sie gilt als ein ausgezeichneter Kandidat für das, was oft als ‚die aktuell beste Theorie' bezeichnet wird.Nur leider, sie beschreibt eine ‚seltsame' Quantenwelt.Formal gesehen betrifft das Interpretationsproblem die Differenz zwischen der Kontinuität der zu Grunde liegenden Gleichung und der Diskontinuität von Messergebnissen.Diese Diskontinuität verdankt sich formal der nicht-kommutativen Algebra für Operatoren.Bei allen Quantisierungsverfahren -auch wenn sie den Korrespondenz-und Analogievorschriften (zum ‚klassischen' Formalismus) genügen -müssen die Vertauschungsregeln zusätzlich angegeben werden.Der Inhalt dieser Vertauschungsregeln ist als solcher also nicht Inhalt des formalen Apparates; er ergibt sich nicht aus diesem.Diese Eigenständigkeit der Vertauschungsregeln ist notwendig, um die Lücke zwischen Formalismus und Messergebnis zu füllen; auf welche Eigenschaften der Quantenwelt sie sich dabei beziehen, eröffnet den Interpretationsspielraum.Viele der sich in diesem Verfahren ergebenden Eigenschaften muten nun seltsam und ungewohnt im Vergleich zur ‚bekannten' makroskopischen (klassischen) Welt an."Seltsam" ist nun natürlich ein Ausdruck, der weder in der Formulierung der Theorie, noch auch in einer wissenschaftsphilosophischen Auseinandersetzung mit ihr, einen rechten Platz hat.Er umschreibt aber die Tatsache, dass einige

•Jan 1, 2011•0 citations

Bemerkungen zum Problem der verborgenen Parameter in der Quantenmechanik

Wolfgang Ernst Friederich Pauli

In einer Reihe von Arbeiten aus den Jahren 1926/27 hat de Broglie2eine Interpretation der Quantenmechanik erörtert, worin eine Wellenfunktion Ψ, die der Schrödinger-Gleichung gehorcht, genau so als Realität betrachtet wird wie die Teilchen. Ein,Zustand’ eines abgeschlossenen, aus n Teilchen bestehenden Systems wird darin in jedem Augenblick beschrieben erstens durch die Wellenfunktion Ψ in einem Raum mit f= 3 nDimensionen, zweitens durch die ‚reellen‘Lagekoordinaten z1,..., zfder Teilchen. Die den Zustand definierenden physikalischen Größen sind also (1) $$ \left( {{q_{1}}, \ldots {q_{f}};t} \right)und\;{z_{1}}\left( t \right), \ldots {z_{f}}\left( t \right), $$ .

Vieweg+Teubner eBooks•Jan 1, 1988•0 citations

Relativistische Quantenmechanik

Udo Scherz

Für die Einteilchenquantenmechanik wurde in Kap. 1 aufgrund des Welle-Teilchen-Dualismus mit Hilfe der De Broglie-Beziehungen ein Zusammenhang zwischen der klassichen Mechanik und der Schrödinger-Gleichung hergestellt.

Teubner-Studienbücher. Physik•Jan 1, 1999•3 citations
In Schrödingers Wellenmechanik kann ψ(x, t) als Wellenfunktion für ein oder mehrere Teilchen aufgefaßt werden. In beiden Fällen ergibt sich ein Erhaltungssatz ddt∫ψψ∗d3x=0\frac{d} {{dt}}\int {\psi \psi *d^3 x = 0}dtd​∫ψψ∗d3x=0 für die Wahrscheinlichkeitsdichte ψψ*. Da mit ψ auch jedes Vielfache von ψ eine Lösung der Schrödinger-Gleichung ist, mußt die Quantisierung ∫ψψ∗d3x={1fu¨reineEin−Teilchen−Theorie,\hfillNfu¨reineN−Teilchen−Theorie\hfill\int {\psi \psi *d^3 x = \left\{ \begin{gathered} 1 f\ddot ur eine Ein - Teilchen - Theorie, \hfill \\ N f\ddot ur eine N - Teilchen - Theorie \hfill \\ \end{gathered} \right.}∫ψψ∗d3x={1fu¨reineEin−Teilchen−Theorie,\hfillNfu¨reineN−Teilchen−Theorie\hfill​ als zusätzliche Bedingung mit in die Theorie aufgenommen werden, sie ergibt sich nicht als eine Folge der Theorie. Das muß als eine deutliche Schwäche der Schrödinger-Theorie angesehen werden, diese ist keine vollständige Quantentheorie.
Aus dem Korrespondenzprinzip folgt, daß es in Analogie zur relativistischen Mechanik auch eine relativistische Quantenmechanik geben muß. Interessanterweise hat E. Schrödinger noch vor der Schrödinger-Gleichung als erstes eine relativistische “Wellengleichung“ aufgestellt. Er publizierte diese jedoch nicht, weil sie nicht die richtige Feinstruktur der Energieniveaus des Wasserstoffatoms lieferte. Erst, nachdem er bemerkt hatte, daß sie einen brauchbaren nicht-relativistischen Limes liefert, wollte er das nachholen, doch da waren ihm bereits O. Klein und W. Gordon zuvorgekommen. Aus diesem Grund wird die auch von ihm entdeckte Gleichung heute meist als Klein-Gordon-Gleichung bezeichnet. Sie hat sich als korrekte relativistische Gleichung für Spin-0-Teilchen erwiesen und wird daher ausführlich in Kapitel 4 untersucht. Dabei soll der frühere Usus, sie als Klein-Gordon-Schrödinger-Gleichung zu bezeichnen, wieder aufleben. Anders als die Schrödinger-Gleichung enthält die Klein-Gordon-Schrödinger-Gleichung Zeitableitungen zweiter Ordnung. Sie paßt daher zunächst nicht nicht in das in Kapitel Q6 entwickelte allgemeine Schema der Quantenmechanik, kann jedoch durch eine geeignete Umformulierung in dieses eingepaßt werden.
Aufgrund der beobachteten Welleneigenschaften eines Teilchens stellt sich die Frage, wie sich das Teilchen beschreiben läßt. In Abschn. 1.2.3 wurde bereits erläutert, daß dem Teilchen eine Wellenfunktion ψ(r⃗,t)\psi \left( {\vec r,t} \right)ψ(r,t) zugeordnet wird, deren Absolutquadrat nach der Deutung von Max Born die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Teilchens angibt. Von welcher Gestalt diese Welle ist, ob es sich z.B. um eine ebene Welle, eine Kugelwelle oder um andere Wellen handelt, hängt sicher vom jeweils gestellten physikalischen Problem ab. In der klassischen Physik werden Wellenphänomene durch Lösungen einer Differentialgleichung — Wellengleichung — beschrieben. So ist es plausibel, daß auch in der Quantenphysik eine Differentialgleichung, nämlich die Schrödinger—Gleichung, die Ausgangsbasis für eine Materiewelle ist. Sie wurde von Schrödinger 1925 aufgrund der allgemeinen Eigenschaften der Materiewellen aufgestellt. Die Schrödinger—Gleichung läßt sich nicht herleiten, sondern nur plausibel machen. Diese Eigenschaft hat sie mit allen grundlegenden Gleichungen der Physik, z.B. mit den Maxwell—Gleichungen der Elektrodynamik gemeinsam. Die Bedeutung der Schrödinger—Gleichung liegt ebenso wie bei den Maxwell—Gleichungen darin, daß die aus ihr hergeleiteten Ergebnisse mit den Experimenten übereinstimmen.
Für die mittlere Geschwindigkeit eines freien Elektrons fanden wir das Ergebnis (2.61). Wenn wir danach fragen, welchen Wert der Geschwindigkeit eine einzelne Messung liefert, stoßen wir auf ein merkwürdiges Resultat: Als Folge der Beziehungen (2.49) besitzt jede Komponente von cα nur die Eigenwerte ±c, d. h. bei der Messung einer Geschwindigkeitskomponente findet man nach den üblichen Regeln der Quantenmechanik nur entweder c oder −c. (Wie das mit den Ergebnissen praktischer Messungen zu vereinbaren ist, wird am Ende dieses Abschnitts diskutiert.) Das ist ganz anders als in der Schrödingerschen Wellenmechanik, in der sich für den Geschwindigkeitsoperator v^=p^/m \hat v = \hat p/m v^=p^​/m das kontinuierliche Spektrum der Eigenwerte p/m ergibt.
Das "Messproblem" oder allgemeiner, das "Interpretationsproblem" der Quantenphysik ist aktuell.Dies ist erstaunlich, liegt die Theorie doch seit nunmehr gut 100 Jahren vor, und kann sie mit Recht als die erfolgreichste, präziseste und umfassendste wissenschaftliche Konzeption bezeichnet werden, über die wir verfügen.Nach vielen der von den meisten Wissenschaftsphilosophen als zentral angesehenen Kriterien guter Theorien, ist die Quantenphysik unübertroffen.Die Zahl ihrer Anwendungen ist enorm, sie erreicht eine Genauigkeit, die weit über allen vorangegangenen Theorien liegt und ihr auch bei überraschenden und ungewohnten Prognosen erreichter Bestätigungserfolg muss beeindrucken.Kurz, sie gilt als ein ausgezeichneter Kandidat für das, was oft als ‚die aktuell beste Theorie' bezeichnet wird.Nur leider, sie beschreibt eine ‚seltsame' Quantenwelt.Formal gesehen betrifft das Interpretationsproblem die Differenz zwischen der Kontinuität der zu Grunde liegenden Gleichung und der Diskontinuität von Messergebnissen.Diese Diskontinuität verdankt sich formal der nicht-kommutativen Algebra für Operatoren.Bei allen Quantisierungsverfahren -auch wenn sie den Korrespondenz-und Analogievorschriften (zum ‚klassischen' Formalismus) genügen -müssen die Vertauschungsregeln zusätzlich angegeben werden.Der Inhalt dieser Vertauschungsregeln ist als solcher also nicht Inhalt des formalen Apparates; er ergibt sich nicht aus diesem.Diese Eigenständigkeit der Vertauschungsregeln ist notwendig, um die Lücke zwischen Formalismus und Messergebnis zu füllen; auf welche Eigenschaften der Quantenwelt sie sich dabei beziehen, eröffnet den Interpretationsspielraum.Viele der sich in diesem Verfahren ergebenden Eigenschaften muten nun seltsam und ungewohnt im Vergleich zur ‚bekannten' makroskopischen (klassischen) Welt an."Seltsam" ist nun natürlich ein Ausdruck, der weder in der Formulierung der Theorie, noch auch in einer wissenschaftsphilosophischen Auseinandersetzung mit ihr, einen rechten Platz hat.Er umschreibt aber die Tatsache, dass einige
In einer Reihe von Arbeiten aus den Jahren 1926/27 hat de Broglie2eine Interpretation der Quantenmechanik erörtert, worin eine Wellenfunktion Ψ, die der Schrödinger-Gleichung gehorcht, genau so als Realität betrachtet wird wie die Teilchen. Ein,Zustand’ eines abgeschlossenen, aus n Teilchen bestehenden Systems wird darin in jedem Augenblick beschrieben erstens durch die Wellenfunktion Ψ in einem Raum mit f= 3 nDimensionen, zweitens durch die ‚reellen‘Lagekoordinaten z1,..., zfder Teilchen. Die den Zustand definierenden physikalischen Größen sind also (1) (q1,…qf;t)und  z1(t),…zf(t), \left( {{q_{1}}, \ldots {q_{f}};t} \right)und\;{z_{1}}\left( t \right), \ldots {z_{f}}\left( t \right), (q1​,…qf​;t)undz1​(t),…zf​(t), .