Für die mittlere Geschwindigkeit eines freien Elektrons fanden wir das Ergebnis (2.61). Wenn wir danach fragen, welchen Wert der Geschwindigkeit eine einzelne Messung liefert, stoßen wir auf ein merkwürdiges Resultat: Als Folge der Beziehungen (2.49) besitzt jede Komponente von cα nur die Eigenwerte ±c, d. h. bei der Messung einer Geschwindigkeitskomponente findet man nach den üblichen Regeln der Quantenmechanik nur entweder c oder −c. (Wie das mit den Ergebnissen praktischer Messungen zu vereinbaren ist, wird am Ende dieses Abschnitts diskutiert.) Das ist ganz anders als in der Schrödingerschen Wellenmechanik, in der sich für den Geschwindigkeitsoperator $$ \hat v = \hat p/m $$ das kontinuierliche Spektrum der Eigenwerte p/m ergibt.
Für die mittlere Geschwindigkeit eines freien Elektrons fanden wir das Ergebnis (2.61). Wenn wir danach fragen, welchen Wert der Geschwindigkeit eine einzelne Messung liefert, stoßen wir auf ein merkwürdiges Resultat: Als Folge der Beziehungen (2.49) besitzt jede Komponente von cα nur die Eigenwerte ±c, d. h. bei der Messung einer Geschwindigkeitskomponente findet man nach den üblichen Regeln der Quantenmechanik nur entweder c oder −c. (Wie das mit den Ergebnissen praktischer Messungen zu vereinbaren ist, wird am Ende dieses Abschnitts diskutiert.) Das ist ganz anders als in der Schrödingerschen Wellenmechanik, in der sich für den Geschwindigkeitsoperator v^=p^/m das kontinuierliche Spektrum der Eigenwerte p/m ergibt.
Es wird gezeigt, wie man zu einer Formulierung der Quantenmechanik des magnetischen Elektrons nach der Sehrödinger sehen Methode der Eigen funktion en ohne Verwendung zweideutiger Funktionen gelangen kann, indem man, gestützt auf die allgemeine Dirac-Jordansche Transformationstheorie, neben den Ortskoordinaten jedes Elektrons, um seinen rotatorischen Freiheitsgraden Rechnung zu tragen, die Komponente seines Eigenimpulsmomentes in einer festen Richtung als weitere unabhängige Veränderliche einführt. Im Gegensatz zur klassischen Mechanik kann diese Variable jedoch, ganz unabhängig von irgend einer speziellen Art der äußeren Kraftfelder, nur die Werte (Math) und (Math) annehmen. Das Hinzutreten der genannten neuen Variable bewirkt daher bei einem Elektron einfach ein Aufspalten der Eigenfunktion in zwei Ortsfunktionen ψα, ψβ und allgemeiner bei N Elektronen in 2N Funktionen, die als die „Wahrscheinlichkeitsamplituden” dafür zu betrachten sind, daß in einem bestimmten stationären Zustand des Systems nicht nur die Lagenkoordinaten der Elektronen in vorgegebenen infinitesimalen Intervallen liegen, sondern auch die Komponenten ihrer Eigenmomente in der festgewählten Richtung bei (Math) vorgegebene Werte haben* Pauli (1927b)
In der vorliegenden Arbeit behandeln wir verschiedene Themen aus dem Gebiet der Quanteninformationstheorie. Die unterschiedlichen Ergebnisse sollen entweder die Anwendung theoretischer Konzepte auf reale Experimente erleichtern oder bei der weiterfuhrenden Arbeit an zentralen Fragen helfen. Im Detail werden folgende Punkte untersucht: Wir wenden uns als Erstes der Fragestellung zu, unter welchen Vorraussetzungen eine gegebene Menge an Erwartungswerten mit den ersten beiden Momenten der Spinoperatoren eines Zustandes von Gesamtspin j kompatible ist. Hierbei liegt das Hauptaugenmerk auf einer operationellen Beschreibung, so dass man direkt mit den Momenten arbeiten kann, anstatt den kompletten Dichteoperator zu verwenden. Wir zeigen, dass diese Charakterisierung physikalischer Momente zu dem Problem der Bose-symmetrischen Erweiterungen fur speziell bestimmte Zweiqubit Zustande aquivalent ist. Mittels dieser Umformulierung bestimmen wir operationelle Teil- und Ubermengen der exakten Menge, um somit auf einfache Art und Weise Momente identifizieren zu konnen, die sicher physikalisch sind, als auch andere, die eindeutig inkompatibel mit den Vorhersagen der Quantenmechanik sind. Diese approximative Losung gewinnt mit steigender Gesamtspinzahl j an Genauigkeit, und konvergiert im Limes gegen die exakte Losung. Im nachsten Abschnitt beschaftigen wir uns mit dem Konzept der Verschrankungszeugen; der gebrauchlichsten Methode zur Verschrankungsdetektion. Wir untersuchen, wie man die Qualitat eines linearen Verschrankungszeugen durch quadratische, nichtlineare Terme verbessen kann, so dass man mehr verschrankte Zustande auf einmal detektiert. Das betrachtete Verbessungsschema hat den Vorteil dass man es iterative benutzen kann. Dies liefert eine Abfolge von Verschrankungszeugen mit Nichtlinearitaten immer hoherer Ordnung, deren Starke in jedem Schritt zunimmt. Die entwickelte Iterationsmethode kann fur verschiedene Aufgaben verwendet werden und wir betrachten zwei ausgezeichnete Extremfalle: Entweder optimieren wir fur einen vorgegeben Zielzustand oder fur alle moglichen Zustande gleichmassig. Im restlichen Teil der Arbeit untersuchen wir verschiedene Moglichkeiten, wie man bereits vorhandene Ideen besser an reale Experimente anpasst. Hier sei angemerkt dass viele Anwendungen der Quanteninformationstheorie nur fur stark idealisierte Systeme vorgeschlagen und diskutiert wurden und somit nicht direkt fur das Experiment anwendbar sind. Dieser Punkt ist fur das Feld der Quantenschlusselverteilung von besonderer Bedeutung, da man die vorbehaltslose Sicherheit eines realen, durch ein Experiment generierten Schlussels zeigen mochte und nicht nur fur die einer idealisierten Version davon. Mit diesem Ziel im Hinterkopf untersuchen wir zuerst die theoretische Idee des Squash Modells. Dieses bietet einen eleganten Ausrechentrick', der es erlaubt, die Sicherheitsanalyse eines idealisierten Quantenschlusselverteilungsprotokolls direkt fur das reale Experiment zu verwenden. Wir entwickeln einen Formalismus zur Prufung dieses Squash Modells fur einen gegebenen Messaufbau und betrachten relevante Messschemen mit und ohne dieser Eigenschaft. Im Gegensatz zu diesem theoretischen Modell behandlen wir auch eine experimentelle Moglichkeit, die es uns erlaubt, die Sicherheitsanalyse des idealisierten Systems direkt fur das reale Experiment zu verwenden. Dazu benutzen wir die Idee, dass man durch die Kombination eines variablen Strahlteilers mit einem einfachen Click/No-Click' Detektor, die Statistik von photonauflosenden Detektoren erhalten kann. Durch diese Hardwareanderung ist es moglich, die sicherheitsrelevanten Parameter direkt abzuschatzen. Diese Methode bietet somit auch einen Weg, die Sicherheit eines realen Quantenschlusselverteilungsexperiments zu beweisen, fur das die theoretische Squash Modell Idee nicht funktioniert. Als Ergebnis erhalt man unter anderem einen neuen Distanzrekord fur ein reales Quantenschlusselverteilungsexperiment mit derzeitiger Technologie. Als letzten Punkt betrachten wir das Problem der experimentellen Verschrankungsverifizierung. Bei dieser Verifizierung hat man oftmals ein Praktikabilitatsproblem, weil man---ob verschiedener Grunde---meistens nur ein sehr vereinfachtes Modell fur die verwendenten Messapparate benutzt. Wir zeigen, dass man in diesem Fall der Fehlinterpretation der beobachteten Messausgange durchaus Fehler machen kann, allerdings untersuchen wir in erster Linie Bedingungen, unter denen ein falschlicher Verschrankungsnachweis ausgeschlossen werden kann. Zu diesem Zweck verwenden wir ein dem Squash Modell ahnliches, aber weniger restriktives Konzept. Eine interessante Anwendung liefern die ublicherweise mittels Tomographie durchgefuhrten Verschrankungstests, die man typischerweise fur parametrische Fluoreszenz Quellen oder fur photonische Mehrparteienexperimente verwendet. Wir zeigen, dass diese sehr einfach fehlerfrei gemacht werden konnen.
In dieser Arbeit wird eine spezielle Klasse verallgemeinerter Messungen in der Quantenmechanik untersucht. Es handelt sich um sogenannte unscharfe Messungen. Mathematisch sind sie durch vertauschende Effekte und reine Operationen (d.h. reine Zustände werden durch den Messprozess auf reine Zustände abgebildet) gekennzeichnet. Physikalisch bedeutet das, man kann sie als Messungen herkömmlicher Messgrößen wie z.B. Energie, Ort oder Spin auffassen, und sie produzieren kein klassisches Rauschen. In der Praxis treten sie u.a. auf, wenn die Kopplung zwischen Messgerät und zu vermessendem System sehr schwach ist. Daher sind sie verwandt mit den schwachen Messungen von Aharonov und Vaidman, die über eine solche schwache Kopplung definiert sind. Die Streuung der Messwerte einer unscharfen Messung ist größer als die einer vergleichbaren Projektionsmessung, daher die Bezeichnung "unscharf". Damit verbunden ist aber häufig auch eine geringere Störung des zu vermessenden Systems. Falls die Störung gering ist, wird die Messung auch "schwach" genannt. Das Verhältnis zwischen Informationsgewinn und Störung (Zustandsänderung) durch die Messung nimmt für minimale, unscharfe Messungen eine einfache Form an: die Zustandsänderung entspricht der Änderung der Wahrscheinlichkeitverteilung der Messergebnisse. Da letztere wiederum dem Informationsgewinn durch die Messung entspricht (der Informationsgewinn kann durch die negative Änderung der Shannon-Entropie gemessen werden), sind Informationsgewinn und Störung äquivalent. Die Messung von Dynamik an einem einzelnen Quantensystem in Echtzeit ist ein Anwendungsgebiet für unscharfe Messungen. Ein Folge von unscharfen Messungen wird in dieser Arbeit vorgestellt, die die Rabioszillationen eines einzelnen Zwei-Niveau-Systems in Echtzeit gewährleisten soll. Als Maß für die Auflösung einer kurzen Sequenz von Messungen (N-Serie) wurde die sogenannte Niveau-Auflösungszeit aus der Streuung der Messresultate einer N-Serie gewonnen. Es stellte sich heraus, dass diese proportional zur Dekohärenzzeit ist, die ein Maß für die Störung des Zwei-Niveau-Systems darstellt. Monte-Carlo-Simulationen der sequentiellen Messung zeigen, dass eine Visualisierung der Rabioszillationen möglich ist. Bedingung dafür ist, dass die Niveau-Auflösungszeit ungefähr gleich der Rabi-Periode ist. Eine Realisierung einer Folge von unscharfen Messungen wird anhand eines quantenoptischen Systems aus der Hohlraumresonator-QED beschrieben. Schliesslich wird die Entwicklung eines Qubits mit Hamiltonischer Dynamik unter dem Einfluss einer Folge von unscharfen Messungen beschrieben. Differenzengleichungen werden hergeleitet um die zeitliche Entwicklung des Zwei-Niveau-Systems darzustellen. Verschiedene Effekte treten auf: u.a. eine zusätzliche unitäre Dynamik, verursacht durch den unitären Anteil der Back-action'' des Messapparates und Dekohärenz aufgrund dieses unitären Anteils sowie aufgrund des Informationsgewinnes. Es kommt auch zu einer Art Reibung (Dissipation). Im Grenzwert kontinuierlicher Messungen verschwinden die meisten dieser Effekte. Für diesen Grenzwert wird eine Mastergleichung angegeben, die die Zustandsdynamik bei einer sequentiellen Messung näherungsweise beschreibt. Das erste Kapitel dieser Arbeit enthält eine Diskussion der Auswirkungen der Stochastik auf die Struktur der Quantenmechanik. Ausgehend von der Zufälligkeit des Ausganges von Quantenmessungen und der nicht-eindeutigen Zerlegbarkeit von gemischten Zuständen in reine Zustände ergibt sich eine Motivation für drei der vier Axiome der Quantenmechanik.
Gibt es das Leere oder gibt es das Leere nicht? Diese Frage hat Wissenschaftler und Philosophen seit der Antike umgetrieben. Während etwa Demokrit behauptete, dass es nur Atome und den leeren Raum gebe, haben einflussreiche Gelehrte, vor allem Aristoteles, das Dogma des horror vacui verkündet, die Scheu der Natur vor der Leere. Es ist nicht erstaunlich, dass diese Frage im 17. Jahrhundert an Dringlichkeit gewann, hat man damals doch damit begonnen, solche Fragen experimentell zu entscheiden. Wie Klaus Liebers in diesem Heft diskutiert, sind nach den ersten Experimenten von Evangelista Torricelli vor allem die Untersuchungen von Blaise Pascal von Bedeutung. Wir wissen natürlich, dass auch in den Experimenten Torricellis und Pascals der Raum nicht völlig leer ist, da noch immer einige Flüssigkeits- oder Gasmoleküle vorhanden sind. Die interessante Frage ist, ob sich der Raum zumindest im Prinzip leeren lässt. In der Technik spricht man von einem Hochvakuum, wenn der Druck der verbleibenden Moleküle unter etwa 10−7 Hektopascal fällt, was mit dem Atmosphärendruck unter Normalbedingungen von etwas über 1013 Hektopascal zu vergleichen ist. Im interplanetaren Raum hat man weniger als 10−18 Hektopascal. Hier kommt ganz entscheidend die Quantentheorie ins Spiel. Als Vakuum bezeichnet man dort üblicherweise den Grundzustand des Hamilton-Operators, also den Zustand niedrigster Energie. Bei der Berechnung dieser Energie hat man mit mathematischen Schwierigkeiten zu kämpfen, da sich für diese Energie zunächst der unsinnige Wert unendlich ergibt. Das hat mit den Nullpunktschwankungen zu tun, die wegen Heisenbergs Unbestimmtheitsrelationen unvermeidbar sind. Das Problem lässt sich (zunächst) lösen, indem man nur die endlichen Differenzen zur Grundzustandsenergie betrachtet und letztere willkürlich auf null setzt. Überraschungen lassen nicht lange auf sich warten. So erkannte der niederländische Physiker Hendrik Casimir schon 1948, dass das Einbringen zweier paralleler Platten im leeren Raum dazu führt, dass diese sich anziehen, was einer negativen Grundzustandsenergie entspricht. Experimentell ist dieser Casimir-Effekt wohletabliert. Er zeigt, dass das Vakuum recht ungewöhnliche Eigenschaften hat. Die Überraschungen verstärken sich noch, wenn man einen Beobachter betrachtet, der sich mit gleichförmiger Beschleunigung a durch das Vakuum bewegt. Wie der kanadische Physiker William Unruh 1976 feststellte, sieht dieser Beobachter keinen leeren Raum, sondern nimmt einen thermischen Zustand mit der Temperatur ħa/2πkBc wahr. Hierin bedeuten ħ das Wirkungsquantum, kB die Boltzmann-Konstante und c die Lichtgeschwindigkeit. Grund dafür ist die verschränkte Natur des Grundzustands, die sich bei gleichförmiger Beschleunigung thermisch äußert. Obwohl dieser Unruh-Effekt experimentell noch nicht etabliert ist, wird er allgemein akzeptiert. Wir verdanken unsere Existenz dem Vakuum Eng verwandt damit ist ein nach dem britischen Physiker Stephen Hawking bezeichneter Effekt. Wie Hawking 1974 theoretisch herausfand, strahlen Schwarze Löcher mit einer Temperatur ħκ/2πkBc, wobei κ die Oberflächenbeschleunigung des Schwarzen Loches ist. Auch nach diesem Effekt wird experimentell gefahndet. Während in der Quantenfeldtheorie nur die Differenzen zur Grundzustandsenergie messbar sind, ist für die Gravitation tatsächlich die absolute Energie von Bedeutung, da jeder Energie nach E = mc2 eine Masse zugeordnet ist, die ein Gravitationsfeld erzeugt. So sollte etwa der Grundzustand des mit dem Higgs-Teilchen verknüpften Feldes ein beträchtliches Gravitationsfeld erzeugen, von dem aber nichts zu spüren ist. Zu spüren ist aber eine im Vakuum vorhandene, viel kleinere Energie, die als Kosmologische Konstante oder Dunkle Energie zu einer beschleunigten Expansion des Universums führt. Der Ursprung dieser Vakuumenergie ist bisher nicht geklärt. Nach den gängigen Vorstellungen der Kosmologie lassen sich die Strukturen im Universum, Galaxien und Galaxienhaufen, auf die Nullpunktschwankungen von Feldern im frühen Universum zurückführen, die durch eine äußerst schnelle Expansion (inflationäre Phase) quasi zum Leben erweckt werden. So verdanken auch wir unsere Existenz dem Vakuum, vor dem die Natur keine Scheu hat. Claus Kiefer ist Professor für theoretische Physik an der Universität zu Köln, wo er sich vornehmlich der Quanten- und Gravitationsphysik widmet.